精品解析：四川省达州市大竹县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

大竹县2025年春季义务教育质量检测 八年级数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 第一卷选择题（共40分） 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 使得分式有意义x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 或 2. 下列各式中，是不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 下列因式分解正确的是（　　） A. 6 B. C. D. 5 4. 若，则代数式的值为（ ）． A. B. C. 2 D. 5. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G，若，，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 6. 如图，在中，，点E在的延长线上，，若平分，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 5 7. 如图，在中，，D为上一点，，过点C作于点E，交于点F．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 9. 如图，所在直线是对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 0或2 D. 或3 第二卷非选择题（共110分） 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 因式分解：______． 12. 已知分式，则x的值为______． 13. 如图，点O是各边垂直平分线的交点，连接．如果，那么______． 14. 如图，已知：射线，点在射线上，点在射线上，均为直角三角形，若，将各边边长分别扩大2倍得到，将各边边长分别扩大2倍得到，……，则的面积为______． 15. 如图，在中，，点E是的中点，点F在线段上，连接，，若，，时，的长度为________． 三．解答题（共8小题，满分90分）解答时应写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤 16. （1）解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来； （2）解分式方程：． 17. 如图，平面直角坐标系中，点，点，点． （1）请画出关于轴对称的； （2）在轴上存在点，使得的周长最小，请在图上作出点的位置并保留作图痕迹； （3）平面直角坐标系中存在点，满足和全等，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 18. 在冰雪旅游时期，某旅游商品经销店欲购进A、B两种冰雪纪念品，若用380元可以购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件． （1）求A、B两种纪念品的进价分别为多少? （2）若该经销店每件A种纪念品售价25元，每件B种纪念品售价38元，该经销店准备购进A、B两种纪念品共50件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于310元，则该经销店最多可购进A种纪念品多少件? 19. 如图，在四边形中，点在上，，，于点，于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，，点的坐标为．点是线段上一点，连接并延长至，使，连接． （1）求直线表达式； （2）若是直角三角形，求点的坐标； （3）若直线与的边有两个交点，求的取值范围． 21. 如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边，连接、． （1）当时，试判断的形状，并说明理由； （2）当是等腰三角形时，求的度数． 22. 为推动城市“颜值”与“品质”双提升，红花岗区对遵义1935街区进行优化提升改造．改造后“街区”某商铺打算购进两种文创饰品对游客销售．已知种的单价比种单价的倍少元，用元购买种的数量与用元购买种数量相等． （1）求饰品每件的进价分别为多少元？ （2）该商铺计划共购进个两种文创饰品，购买总费用不超过元，且种文创饰品的购买数量不少于种文创饰品购买数量的．问：共有哪几种购买方案？ 23. 定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的【相伴方程】． （1）在方程①，②，③中，不等式组的【相伴方程】是______；（填序号） （2）若不等式组的一个【相伴方程】的解是整数，则这个【相伴方程】是，求a的值； （3）若方程，都是关于x的不等式组的【相伴方程】，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大竹县2025年春季义务教育质量检测 八年级数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 第一卷选择题（共40分） 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 使得分式有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】要使分式有意义，分母不能等于0． 解方程，得． 因此，x的取值范围是， 故选A． 2. 下列各式中，是不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的定义，理解并掌握不等式的定义是解题的关键．由不等号“”连接的式子即为不等式即可求解． 【详解】解：根据不等式定义可得，②；③；④；⑥是不等式，共4个， 故选：C ． 3. 下列因式分解正确的是（　　） A. 6 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．根据提公因式法、公式法分别分解因式判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 若，则代数式的值为（ ）． A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先运用分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ． 故选C． 5. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G，若，，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； 首先根据角平分线的性质得到，然后三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹得平分， 过G点作于H点，如图， ∴， ∵， ∴的面积． 故选：A． 6. 如图，在中，，点E在的延长线上，，若平分，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，即得，进而根据角平分线的定义可得，即得，最后根据线段的和差关系即可求解， 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，在中，，D为上一点，，过点C作于点E，交于点F．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键． 根据三角形外角性质求出，根据等腰三角形的性质求出，进而得，然后根据即可得出的度数． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握乘法公式的运用是解题的关键． 运用乘法公式展开，再根据整式的加减运算得到，结合为任意整数，得到是整数，由此即可求解． 【详解】解： ， ∵为任意整数， ∴是整数， ∴的值总能被5整除， 故选：C． 9. 如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质．通过观察可以发现是轴对称图形，且阴影部分的面积为全面积的一半，根据轴对称图形的性质求解．其中看出三角形与三角形关于对称，面积相等是解决本题的关键．根据和关于直线对称，得出，根据图中阴影部分的面积是求出即可． 【详解】解：关于直线对称， 、关于直线对称， ∴ 和关于直线对称， ， 的面积是：， 图中阴影部分的面积是． 故选：B． 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 0或2 D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握求解的方法是解题的关键； 将分式方程转化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或解为增根（使分母为零），分别求解即可． 【详解】解：原方程两边同乘，得： 化简得：， 即； 当整式方程无解时：即当且时，即，此时方程无解； 当解为增根时：即当解时， 解得，此时使原方程分母为零，无意义； 综上，的值为或； 故选：D． 第二卷非选择题（共110分） 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用完全平方公式因式分解，熟练掌握用完全平方公式因式分解是解题的关键．根据完全平方公式，即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 已知分式，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件是分母不为0，分子为0进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 如图，点O是各边垂直平分线的交点，连接．如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，连接，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角可得，利用三角形内角和定理可得，则可求出，进而得到，即． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O是各边垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为；． 14. 如图，已知：射线，点在射线上，点在射线上，均为直角三角形，若，将各边边长分别扩大2倍得到，将各边边长分别扩大2倍得到，……，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了图形类规律探究问题，根据图形分别求出的面积，的面积，的面积，……，得到规律：的面积，即可求出的面积，正确理解图形得到计算规律是解题的关键． 【详解】∵均为直角三角形，， ∴的面积； ∵将各边边长分别扩大2倍得到， ∴ ∴的面积； ∵将各边边长分别扩大2倍得到， ∴， ∴的面积； ……， ∴的面积， ∴的面积， 故答案为． 15. 如图，在中，，点E是的中点，点F在线段上，连接，，若，，时，的长度为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，直角三角形30度角的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 延长交的延长线于点T，过点E作于点H，根据点E是的中点，，证明，得，，得，根据勾股定理求出得，，然后根据角的直角三角形解答即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点T，过点E作于点H． ∵E是的中点， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分90分）解答时应写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤 16. （1）解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来； （2）解分式方程：． 【答案】（1），见解析；（2）无解． 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组，解分式方程，掌握相关运算的法则是解决问题的关键． （1）先分别求出两个不等式的解集，并在数轴上表示出来，可得出不等式组的解集； （2）去分母，将分式方程化成一元一次方程，再求出解，并检验即可． 【详解】解：（1）解不等式①得：， 解不等式②得：， 故原不等式组解集为， 将其解集在数轴上表示如下图所示： ； （2）原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 故原方程无解． 17. 如图，平面直角坐标系中，点，点，点． （1）请画出关于轴对称的； （2）在轴上存在点，使得的周长最小，请在图上作出点的位置并保留作图痕迹； （3）平面直角坐标系中存在点，满足和全等，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），， 【解析】 【分析】本题考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）作关于轴对称点，连接，与轴交于点，点即为所求； （3）根据题意，可得满足条件的点的坐标为：，，； 【小问1详解】 解：根据题意，作图如下； 即为所画； 【小问2详解】 根据题意，作图如下，作关于轴对称点，连接，与轴交于点，点即为所求； 【小问3详解】 解：根据题意，当点的坐标为时， ， ； 同理可得：点的坐标还可以为：，； 满足条件的点的坐标为：，，； 18. 在冰雪旅游时期，某旅游商品经销店欲购进A、B两种冰雪纪念品，若用380元可以购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件． （1）求A、B两种纪念品的进价分别为多少? （2）若该经销店每件A种纪念品售价25元，每件B种纪念品售价38元，该经销店准备购进A、B两种纪念品共50件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于310元，则该经销店最多可购进A种纪念品多少件? 【答案】（1）A、B两种纪念品的进价分别为20元、30元 （2）30件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用． （1）设A种纪念品每件进价为x元，B种纪念品每件进价为y元，根据题意找出正确的等量关系，列出二元一次方程组，求解即可； （2）设该经销店购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件，根据题意找出不等关系，列出一元一次不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设A种纪念品每件进价为x元，B种纪念品每件进价为y元， 由题意得：， 解得， 答：A种纪念品每件进价为20元，B种纪念品每件进价为30元； 【小问2详解】 设该经销店购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件， 由题意得，， 解得， 答：该经销店最多可购进A种纪念品30件． 19. 如图，在四边形中，点在上，，，于点，于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，进而证明，再证明是等腰直角三角形，然后证明由含的直角三角形的性质得，进而由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，，点的坐标为．点是线段上一点，连接并延长至，使，连接． （1）求直线的表达式； （2）若是直角三角形，求点的坐标； （3）若直线与的边有两个交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，将，，代入，即可求解； （2）作的平行线，交轴分别为，根据题意，得出点在上运动，进而分两种情况讨论，①当时，得出，求得直线的解析式为，进而联立直线，即可求解；②当，则则，根据中点坐标公式，即可求解； （3）点是线段上一点，又直线的表达式为得出，，由（2）可得是的中点，得出，直线经过点时，得出，结合图象，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，点的坐标为． ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 将，，代入 得， 解得： ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图所示，作的平行线，交轴分别为， ∴， ∴，，等腰直角三角形， 又∵， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线； ∴点在上运动， ①当时，，过点作于点， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将代入， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴点的坐标为； ②当，则， ∴， ∵，， ∴； 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵点是线段上一点，又直线的表达式为， ∴，， ∴， ∴直线过定点， 由（2）可得是的中点， ∴，即， 当直线与的边有两个交点， ∴直线经过点时，则， 解得：（舍去）或， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数综合应用，中位线的性质，一次函数的平移，等腰三角形的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键． 21. 如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边，连接、． （1）当时，试判断的形状，并说明理由； （2）当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】（1）为直角三角形；理由见解析 （2）为、、 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及等边三角形的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）首先根据已知条件可以证明，然后利用全等三角形的性质可以求出的度数，由此即可判定的形状； （2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 是直角三角形； 【小问2详解】 解：，，，， 要使，需， ， ； 要使，需， ， ； 要使，需， ， ， 综上所述，当是等腰三角形时，为、、． 22. 为推动城市“颜值”与“品质”双提升，红花岗区对遵义1935街区进行优化提升改造．改造后“街区”某商铺打算购进两种文创饰品对游客销售．已知种的单价比种单价的倍少元，用元购买种的数量与用元购买种数量相等． （1）求饰品每件的进价分别为多少元？ （2）该商铺计划共购进个两种文创饰品，购买总费用不超过元，且种文创饰品的购买数量不少于种文创饰品购买数量的．问：共有哪几种购买方案？ 【答案】（1）饰品每件的进价为元，饰品每件的进价为元 （2）共有4种方案，方案一：购买饰品个，购买饰品个；方案二：购买饰品个，购买饰品个；方案三：购买饰品个，购买饰品个；方案四：购买饰品个，购买饰品个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用， （1）设饰品每件的进价为元，则饰品每件的进价为元，根据题意列出分式方程解方程，并检验，即可求解； （2）设购买饰品个，则购买饰品个，根据题意列出一元一次不等式组，求得整数解,即可求解． 【小问1详解】 解：设饰品每件的进价为元，则饰品每件的进价为元，根据题意得， 解得： 经检验，是原方程解且符合题意； ∴饰品每件的进价为（元） 答：饰品每件的进价为元，饰品每件的进价为元； 【小问2详解】 解：设购买饰品个，则购买饰品个，根据题意得， 解得： ∵为正整数， ∴ ∴共有4种方案， 方案一：购买饰品个，购买饰品个； 方案二：购买饰品个，购买饰品个； 方案三：购买饰品个，购买饰品个； 方案四：购买饰品个，购买饰品个． 23. 定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的【相伴方程】． （1）在方程①，②，③中，不等式组的【相伴方程】是______；（填序号） （2）若不等式组的一个【相伴方程】的解是整数，则这个【相伴方程】是，求a的值； （3）若方程，都是关于x的不等式组的【相伴方程】，求m的取值范围． 【答案】（1）①③ （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式组和一元一次方程相结合的问题： （1）分别求出三个一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集即可得到答案； （2）先求出不等式组的解集，然后确定出不等式组的整数解，进而把所求的整数解代入一元一次方程中求出a的值即可； （3）先求出两个相伴方程的解，然后求出不等式组的解，然后根据相伴方程的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴方程①的解为； ∵， ∴， ∴方程②的解为； ∵， ∴， ∴方程③的解为； 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∴方程①③的解是不等式组的解， ∴不等式组的【相伴方程】是①③； 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为， ∴是方程的解， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：解方程得， 解方程得； 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵方程，都是关于x的不等式组的【相伴方程】， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $