5.5三元一次方程组（分层作业）数学北师大版2024八年级上册

5.5三元一次方程组 8大知识点（基础）+能力提升题（7道）+拓展培优练（3道） 一、三元一次方程定义 1．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程中，是三元一次方程的是（    ） A．y＝2 015＋2x B．x＋y＝ C．xy＝z D．x＋y－z＝2 015 二、利用三元一次方程组求代数式值 1．已知，（），则 ． 2．已知，则的值为 ． 3．【阅读理解】在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把①代入②得： 把代入①得： 方程组的解为． （2）已知，求的值． 解：得：③ ，得： 【类比迁移】 （1）直接写出方程组的解； （2）若，求的值； 【实际应用】 （3）端午节是中华民族传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗，某食品店推出的肉粽、豆沙粽和蛋黄粽深受顾客喜欢．现采购1个肉粽、2个豆沙粽和3个蛋黄粽需要45元；3个肉粽、5个豆沙粽和7个蛋黄粽需要113元，那么采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要多少钱？ 三、解三元一次方程组 1．已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ． 2．解方程组． 3．解下列方程组． (1) (2) 4．解方程组： 四、三元一次方程组的应用-商品购买问题 1．某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔，3块橡皮，7本日记本，共50元；若购买7支铅笔，4块橡皮，10本日记本，共69元．则购买2支铅笔，2块橡皮，2本日记本，需要的钱数为（   ） A．24元 B．31元 C．38元 D．无法确定 2．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．128元 B．130元 C．150元 D．160元 3．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需125元，购甲1件、乙2件、丙3件共需75元，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（   ）元． A．25 B．100 C．50 D．125 4．某班级组织活动购买小奖品，买2支铅笔、4块橡皮、1本笔记本共需20元，买4支铅笔、6块橡皮、2本笔记本共需36元，则购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需 元． 5．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需215元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需185元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 元． 五、三元一次方程组的应用-数字组合问题 1．一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，则原来的三位数是 ． 2．一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的．如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99．求这个三位数． 3．对任意有理数定义运算如下：，这里是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当时，．现已知所定义的新运算满足条件：． (1)求． (2)若，求． (3)若有一个不为零的数，使得对任意有理数，有，求的值． 4．一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数． 六、三元一次方程组的应用-浓度混合问题 1．现有A、B、C三个容器装有不同浓度的三种盐水，其浓度之比为1:2:3．若将A容器中的盐水取出20kg倒入B容器中，将C容器中的盐水取出10kg也倒入B容器中，再将A容器中剩下的盐水倒入C容器中，这时发现B容器和C容器中的盐水浓度一样．又若在原C容器盐水中加入与原C容器相同浓度的盐水25kg后，其溶质正好是原A容器盐水取出5kg盐水后溶质的3倍．则原A容器盐水质量的3倍与原C容器盐水质量之和比原B容器盐水质量的4倍多 kg． 2．A、B、C三瓶不同浓度的酒精，A瓶内有酒精2kg，浓度x%，B瓶有酒精3kg，浓度y%，C瓶有酒精5kg，浓度z%，从A瓶中倒出10%，B瓶中倒出20%，C瓶中倒出24%，混合后测得浓度33.5%，将混合后的溶液倒回瓶中，使它们恢复原来的质量，再从A瓶倒出30%，B瓶倒出30%，C瓶倒出30%，混合后测得浓度为31.5%，测量发现，，，且x、y、z均为整数，则把起初A、B两瓶酒精全部混合后的浓度为 ． 七、三元一次方程组的应用-生产工程问题 1．某车间每天能生产A种零件200个，或者B种零件100个，或者C种零件120个，A、B、C三种零件分别取1个、2个、3个才能配成一套．要在四月份一个月内生产最多的成套产品向五一劳动节献礼，则A种零件生产 天，B种零件生产 天，C种零件生产 天． 2．为提升国家5A级旅游景区“江中盆景”－－石宝寨的艺术品味，县文旅委决定开发甲、乙两种石宝寨标识的工艺品，并使用当地A、B、C三种原料进行生产，已知制作每件甲工艺品需要A原料2千克、B原料2千克、C原料4千克，制作每件乙工艺品需要A原料4千克、B原料4千克、C原料2千克（甲、乙两种工艺品的每件成本分别等于各自产品中所含的A、B、C三种原料成本之和）．每件甲工艺品的成本是每千克C原料成本的10倍，销售每件甲、乙丁艺品的利润率分别是25%、20%，若销售这两种工艺品若干后的总利润率刚好是时，则甲、乙两种工艺品的销售件数之比是 ． 3．某校的学生座椅由靠背、座垫及铁架组成（如图①）．靠背、座垫的尺寸如图②．已知用于切靠背和座垫的板材长为，宽为（裁切时不计损耗），若要不造成板材浪费，该板材有 种裁切方案．现学校有铁架500个，20张靠背和74张座垫，为有效利用已有资源，学校准备制作500张学生座椅，则需要购买上述规格的板材 张（板材恰好全部用完）． 4．某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出更多的产品，应如何安排各工序里的人数？ 八、三元一次方程组的应用-其他问题 1．在数学游艺会上，有张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，4，……，，．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，如图，这五张卡片分别记为A、B、C、D、E，若依次将相邻两张卡片上的两数之和告诉参与者，如表所示，则参与者猜对的信息为（    ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数之和 A．A最大 B．B最大 C．C最大 D．D最大 2．甲、乙、丙三人各有糖若干粒，要求互相赠送．先由甲给乙、丙，所给的糖数等于乙、丙原来各有的糖数，依同法再由乙给甲、丙现有糖数，后由丙给甲、乙现有糖数，互送后每人恰好各有粒，原来甲、乙共有糖 粒． 3．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表所示： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 (1)则牛奶每箱为__________元；咖啡每箱为_________元； (2)超市中该款牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的牛奶和原价咖啡，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，求此次按原价采购的咖啡有多少箱． 4．小泉用三根尼龙编织条（如图所示）在三个方向上对一个包装盒进行加固．所用尼龙编织条分别为9分米，11分米，15分米．若每个尼龙条接头重叠处都是10厘米，那么这个包装盒的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 1．设，，．．．，，是从1，0，这三个数中任意取一个值后，所组成的一列数，设，则下列说法： ①的值可能是0； ②的不同的值共有9个； ③若，且，则，，．．．，中为0的个数是6．正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．甲、乙、丙三人共解100道数学题，每人都只会做其中的60道题，且三人合在一起，这100道都能解答出来．将其中只有一人会做的题目叫难题，三人都会做的题叫容易题，则难题比容易题多 ． 3．[阅读感悟]： 有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： (1)已知实数x、y满足，，求和的值． (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ 4．解下列三元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 5．在等式中，当时，；当时，；当时，．求的值． 6．在国家乡村振兴战略推动下，下山嘴村的标志性项目“富民路”开始修建．修建过程中分别有甲、乙、丙三家施工队参与修建，已知甲、乙两队合修6天完成了这条路的，乙、丙两队合修3天完成了剩下的，其余的再由三队合修半天完成．若甲、乙、丙三队单独修这条路，各需要多少天可以修完？ 7．某地积极推进实施垃圾分类投放的举措．居民需要将垃圾分为“可回收垃圾”“易腐垃圾”“有害垃圾”“其他垃圾”四类进行分类投放．某小区为了鼓励小区居民积极参与垃圾分类，决定设立垃圾正确投放积分奖励机制．规则如下表： 垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾 每公斤获得积分（分） 积分可以兑换部分商品，具体细则如下表： 物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张 积分数 已知公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可以获得积分；公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可获得积分． (1)求，的值． (2)小敏家一季度共有公斤可回收垃圾，公斤易腐垃圾，公斤有害垃圾．小敏妈妈决定将这一季度获得的所有积分都兑换成“垃圾袋”和“小区临时停车券”这两类物品，请你运用所学的数学知识推理得到具体的兑换方案． 1．某商家将电子手表、保温杯、蓝牙耳机搭配为三种礼盒各一个，其中A盒中有1个保温杯，3个电子手表，2个蓝牙耳机；B盒中有1个保温杯，2个电子手表，1个蓝牙耳机；C盒中有2个保温杯，3个电子手表，1个蓝牙耳机．经核算，C盒的成本为155元，B盒的成本为100元（每种礼盒的成本为该盒中保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本之和），则A盒的成本为（   ） A．140元 B．145元 C．150元 D．165元 2．已知都为整式． ①若且，则或； ②若，当时，则； ③若（为非负整数），且，则所有满足条件的整式M的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.5三元一次方程组 8大知识点（基础）+能力提升题（7道）+拓展培优练（3道） 一、三元一次方程定义 1．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次的整式方程，叫做三元一次方程组． 根据三元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：A.满足三元一次方程组的定义，故符合题意； B. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意； C. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意； D.，不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选A． 2．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次的方程组，叫做三元一次方程组．根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证． 【详解】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组． A、满足三元一次方程组的定义，故A选项正确； B、，未知量的次数为2次，不是三元一次方程，故B选项错误； C、，未知量的次数为2次，不是三元一次方程，故C选项错误； D、不是整式方程，故D选项错误； 故选：A． 3．下列方程中，是三元一次方程的是（    ） A．y＝2 015＋2x B．x＋y＝ C．xy＝z D．x＋y－z＝2 015 【答案】D 【解析】略 二、利用三元一次方程组求代数式值 1．已知，（），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，用z将x、y表示出来，并代入代数式求解即可． 【详解】解∶联立，， 得， 解得， ∴， 故答案为∶． 2．已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解三元一次方程组，将三个方程相加，即可求解． 【详解】解： 得 ∴ 故答案为：． 3．【阅读理解】在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把①代入②得： 把代入①得： 方程组的解为． （2）已知，求的值． 解：得：③ ，得： 【类比迁移】 （1）直接写出方程组的解； （2）若，求的值； 【实际应用】 （3）端午节是中华民族传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗，某食品店推出的肉粽、豆沙粽和蛋黄粽深受顾客喜欢．现采购1个肉粽、2个豆沙粽和3个蛋黄粽需要45元；3个肉粽、5个豆沙粽和7个蛋黄粽需要113元，那么采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要多少钱？ 【答案】（1）方程组的解为；（2）；（3）采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要230元 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组． （1）用整体代入法求解即可； （2）①－②得：，然后两边都乘以即可求解； （3）设1个肉粽元，1个豆沙粽元，1个蛋黄粽需要元，根据题意列出方程组，然后用整体的思想求解即可． 【详解】解：（1）， 把②代入①得： ∴ 把代入②得： ∴ ∴方程组的解为． （2）， ①－②得：③ ，得 ． （3）设1个肉粽元，1个豆沙粽元，1个蛋黄粽需要元： 则：， 得：③， ③得： 采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要230元． 三、解三元一次方程组 1．已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得且，进而可求解，熟练掌握一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键． 【详解】解：依题意得：且， 解得：， 故答案为：． 2．解方程组． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是利用代入消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组进行求解． 通过观察方程组中方程的特点，利用代入消元法，逐步消去未知数，先求出一个未知数的值，再依次求出其他未知数的值． 【详解】解： 把代入中，得， ， 把代入中，得， ， 把代入中，得， ， ∴方程组的解为． 3．解下列方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握求解方法是解此题的关键． （1）利用加减消元法计算即可得解； （2）设，则，，，求出的值即可． 【详解】（1）解：， ，得， ， 由②，得．④ 将④代入①，得， 即， 又， ． 将，代入④，得． 原方程组的解为； （2）解： 设， ，，， 代入②，得， ， ， ， ，，． 原方程组的解为． 4．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组的应用，解此题的关键是能正确消元，即把三元一次方程组转化成二元一次方程组．利用消元法解三元一次方程组． 【详解】解：②+③得， 解得：， ①+③得，④ 将代入④得， 解得：， 将，，代入①得， 解得： ∴原方程组的解为 四、三元一次方程组的应用-商品购买问题 1．某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔，3块橡皮，7本日记本，共50元；若购买7支铅笔，4块橡皮，10本日记本，共69元．则购买2支铅笔，2块橡皮，2本日记本，需要的钱数为（   ） A．24元 B．31元 C．38元 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组问题，代入消元法等知识点，熟练掌握代入消元是解题的关键．设1支铅笔元，1块橡皮元，1本日记本元，根据题意，列出方程组，解得，，代入，计算即可． 【详解】解：设1支铅笔元，1块橡皮元，1本日记本元， 根据题意，列出方程组， 得， 得， ∴代入①式， ∴， 解得， ∴， ∴， 所以购买2支铅笔，2块橡皮，2本日记本，需要24元． 故选A． 2．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．128元 B．130元 C．150元 D．160元 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程的应用．设甲、乙、丙三种商品的单价分别为元、元、元，根据题意列出方程组，通过相加方程消去变量，直接求出的值． 【详解】解：设甲、乙、丙三种商品的单价分别为元、元、元．根据题意，可列方程组： 将方程①和②相加，得到： ， 化简得： ， 两边同时除以4，得： ， 因此，购买甲、乙、丙三种商品各一件共需128元． 故选：A． 3．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需125元，购甲1件、乙2件、丙3件共需75元，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（   ）元． A．25 B．100 C．50 D．125 【答案】C 【分析】本题考查三元一次方程组的建模及其特殊解法：根据系数特点，将两式相加，整体求解．设出购甲、乙、丙三种商品各一件的未知数，建立方程组，整体求解． 【详解】解：设甲、乙、丙的单价分别为元、元、元， 根据题意：得， 把这两个方程相加得：， ， 购甲、乙、丙各一件共需元， 故选：C． 4．某班级组织活动购买小奖品，买2支铅笔、4块橡皮、1本笔记本共需20元，买4支铅笔、6块橡皮、2本笔记本共需36元，则购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需 元． 【答案】32 【分析】本题考查三元一次方程组的实际应用，设一支铅笔，一块橡皮，一本笔记本的单价分别为元，元和元，根据题意，列出三元一次方程组，进行求解即可． 【详解】解：设一支铅笔，一块橡皮，一本笔记本的单价分别为元，元和元，由题意，得： ， ，得：， ∴； ∴购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需32元； 故答案为：32． 5．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需215元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需185元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 元． 【答案】100 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，关键是根据方程组特点整体求出的和．设甲的单价为x元，乙的单价为y元，丙的单价为z元，根据题意列出关于x、y、z的方程组，求出的值即可． 【详解】解：设甲的单价为x元，乙的单价为y元，丙的单价为z元， 由题意得：， 得：， ∴， 故答案为：． 五、三元一次方程组的应用-数字组合问题 1．一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，则原来的三位数是 ． 【答案】287 【分析】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，设原来的三位数的百位数字为x、十位数字为y、个位数字为z，则原来的三位数表示为：，新数表示为：，故根据题意列三元一次方程组即可求得． 【详解】解：设原来的三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为， 根据题意，得， 解得， 故原来的三位数是287． 故答案为：287． 2．一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的．如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99．求这个三位数． 【答案】473 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，先设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，再根据等量关系列出方程组，求出解即可． 【详解】解：设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z， 由题意，得， 解得， 答：原来的三位数为473． 3．对任意有理数定义运算如下：，这里是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当时，．现已知所定义的新运算满足条件：． (1)求． (2)若，求． (3)若有一个不为零的数，使得对任意有理数，有，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题是新定义题，考查了定义新运算，解方程组．解题关键是根据新定义列出方程组； （1）根据新定义得出，，得出，，代入代数式，进行计算即可求解； （2）根据新定义得出，解方程组，即可求解； （3）由，得，即，得①，由，得②，，得③，解以上方程组成的方程组即可求得、、、的值． 【详解】（1）解：∵， ∴ 由①得，代入②得 ∴ ∴ ∴ （2）依题意得， 由（1）可得，代入③得， 解得： ∴ （3）解：， ， ， 有一个不为零的数使得对任意有理数， 则有①， ，②， ，③， 又，， 解得． ∴ 4．一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数． 【答案】原来的三位数为287． 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用， 先设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，再根据等量关系列出方程组，求出解即可. 【详解】解：设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z， 由题意，得， 解得， 答：原来的三位数为287． 六、三元一次方程组的应用-浓度混合问题 1．现有A、B、C三个容器装有不同浓度的三种盐水，其浓度之比为1:2:3．若将A容器中的盐水取出20kg倒入B容器中，将C容器中的盐水取出10kg也倒入B容器中，再将A容器中剩下的盐水倒入C容器中，这时发现B容器和C容器中的盐水浓度一样．又若在原C容器盐水中加入与原C容器相同浓度的盐水25kg后，其溶质正好是原A容器盐水取出5kg盐水后溶质的3倍．则原A容器盐水质量的3倍与原C容器盐水质量之和比原B容器盐水质量的4倍多 kg． 【答案】 【分析】由题意可设设A、B、C的浓度分别为、和，A、B、C三个容器的质量分别为、和，根据题意，利用，列出两个等量关系，在利用等量关系即可求得的值，即可求得答案． 【详解】解：由A、B、C三个容器三种盐水的浓度之比为1:2:3，设A、B、C的浓度分别为、和，A、B、C三个容器的质量分别为、和，由题意得， ， 整理得， 交叉相乘得， 去括号得， 整理得， 又，即， 由①式和 ②式可得， ， 得， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方程的实际应用、已知式子的值求代数式的值问题，解题的关键根据，公式找出等量关系列出方程求解． 2．A、B、C三瓶不同浓度的酒精，A瓶内有酒精2kg，浓度x%，B瓶有酒精3kg，浓度y%，C瓶有酒精5kg，浓度z%，从A瓶中倒出10%，B瓶中倒出20%，C瓶中倒出24%，混合后测得浓度33.5%，将混合后的溶液倒回瓶中，使它们恢复原来的质量，再从A瓶倒出30%，B瓶倒出30%，C瓶倒出30%，混合后测得浓度为31.5%，测量发现，，，且x、y、z均为整数，则把起初A、B两瓶酒精全部混合后的浓度为 ． 【答案】 【分析】根据第一次A、B、C各取出部分混合后的浓度得到一条关于xyz的等式，再算出混合液倒回后A、B、C中后各自的酒精量，然后根据第二次混合再得到一条关于xyz的等式，联立组成方程组，使用x、y表示z，根据x、y、z的取值范围确定其准确整数值即可求解. 【详解】解：A瓶倒出10%：2000×10%=200（克），剩余：2000-200=1800（克）， B瓶倒出20%：3000×20%=600（克），剩余：3000-600=2400（克）， C瓶倒出24%：5000×24%=1200（克），剩余：5000-1200=3800（克）， 根据题意得：（200×x%+600×y%+1200×z%）÷（200+600+1200）=33.5%， 混合液倒回后A瓶内的酒精量：1800×x%+200×33.5%， 混合液倒回后B瓶内的酒精量：2400×y%+600×33.5%， 混合液倒回后C瓶内的酒精量：3800×z%+1200×33.5%， 再根据题意可得： [（1800×x%+200×33.5%）×30%+（2400×y%+600×33.5%）×30%+（3800×z%+1200×33.5%）×30%]÷（2000×30%+3000×30%+5000×30%）=31.5%， 整理组成方程组得： ， 解得： ， ∵，， ∴，又∵且为整数， 则， 代入可得：，或者或者， ∵x、y、z均为整数，则只有符合题意， 则把起初A、B两瓶酒精混合后的浓度为：， 故答案为. 【点睛】本题考查从题意提取信息列方程组的能力，也考查三元一次方程组得解法，准确得出x、y和z之间的关系式再代入范围求解，舍去不符合题意的解为解题的关键. 七、三元一次方程组的应用-生产工程问题 1．某车间每天能生产A种零件200个，或者B种零件100个，或者C种零件120个，A、B、C三种零件分别取1个、2个、3个才能配成一套．要在四月份一个月内生产最多的成套产品向五一劳动节献礼，则A种零件生产 天，B种零件生产 天，C种零件生产 天． 【答案】 3 12 15 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，审清题意、正确列出三元一次方程组成为解题的关键． 设A种零件生产x天，B种零件生产y天，C种零件生产z天，根据“每天能生产A种零件200个，或者B种零件100个，或者C种零件120个，A、B、C三种零件分别取1个、2个、3个才能配成一套，四月份共有30天”列出一个三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设A种零件生产x天，B种零件生产y天，C种零件生产z天， 根据题意得：解得：， 所以A种零件生产3天，B种零件生产12天，C种零件生产15天． 故答案为：3，12，15． 2．为提升国家5A级旅游景区“江中盆景”－－石宝寨的艺术品味，县文旅委决定开发甲、乙两种石宝寨标识的工艺品，并使用当地A、B、C三种原料进行生产，已知制作每件甲工艺品需要A原料2千克、B原料2千克、C原料4千克，制作每件乙工艺品需要A原料4千克、B原料4千克、C原料2千克（甲、乙两种工艺品的每件成本分别等于各自产品中所含的A、B、C三种原料成本之和）．每件甲工艺品的成本是每千克C原料成本的10倍，销售每件甲、乙丁艺品的利润率分别是25%、20%，若销售这两种工艺品若干后的总利润率刚好是时，则甲、乙两种工艺品的销售件数之比是 ． 【答案】 【分析】设A的单价为元，B的单价为元，C的单价为元，算出甲、乙各自的成本和售价，再设甲、乙两种工艺品的销售件数，再利用利润率公式进行计算即可． 【详解】解：设A的单价为元，B的单价为元，C的单价为元， 由题意可知，甲的成本为：， 化简得， 乙的成本为， 甲的售价为：， 乙的售价为： 设甲、乙两种工艺品的销售件数分别是a件、b件， 则总利润为：， ∴利润率为， 整理得，， 即， 即甲、乙两种工艺品的销售件数之比是． 故答案为： 【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，利润、成本与利润率之间的关系的应用，理解题意列出等量关系是解题的关键． 3．某校的学生座椅由靠背、座垫及铁架组成（如图①）．靠背、座垫的尺寸如图②．已知用于切靠背和座垫的板材长为，宽为（裁切时不计损耗），若要不造成板材浪费，该板材有 种裁切方案．现学校有铁架500个，20张靠背和74张座垫，为有效利用已有资源，学校准备制作500张学生座椅，则需要购买上述规格的板材 张（板材恰好全部用完）． 【答案】 3 101 【分析】本题考查了三元一次方程组，二元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据靠背、座垫的尺寸以及板材长为，宽为，进行列式，结合均为非负整数，进行讨论得出该板材有3种裁切方案；再设张板材切靠背张，切座垫0张；张板材切靠背张，切座垫3张；张板材切靠背0张，切座垫6张；列出三元一次方程组，运用整体思想法进行解答即可． 【详解】解：依题意，设切靠背为张，座垫张， 则， 则 ∵均为非负整数， ∴为非负整数，为非负整数， 即或3，， 则当时，得； 则当时，得； 则当时，则； ∴该板材有3种裁切方案； 设张板材切靠背张，切座垫0张；张板材切靠背张，切座垫3张；张板材切靠背0张，切座垫6张； 则 整理得 两式子相加得， ∴， ∴则需要购买上述规格的板材101张（板材恰好全部用完）． 故答案为： 4．某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出更多的产品，应如何安排各工序里的人数？ 【答案】第一道工序里有30人，第二道工序里有18人，第三道工序里有15人 【分析】本题主要考查三元一次方程组的运用，根据题意，设第一道工序里有x人，第二道工序里有y人，第三道工序里有z人，由数量关系列式求解即可． 【详解】解：设第一道工序里有x人，第二道工序里有y人，第三道工序里有z人，依题意，得     ， 解得 ， 答：第一道工序里有30人，第二道工序里有18人，第三道工序里有15人． 八、三元一次方程组的应用-其他问题 1．在数学游艺会上，有张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，4，……，，．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，如图，这五张卡片分别记为A、B、C、D、E，若依次将相邻两张卡片上的两数之和告诉参与者，如表所示，则参与者猜对的信息为（    ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数之和 A．A最大 B．B最大 C．C最大 D．D最大 【答案】B 【分析】本题考查了解多元一次方程组，解题关键是掌握三元一次方程组的解法． 仿照三元一次方程组的解法求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， 所以最大， 故选：B． 2．甲、乙、丙三人各有糖若干粒，要求互相赠送．先由甲给乙、丙，所给的糖数等于乙、丙原来各有的糖数，依同法再由乙给甲、丙现有糖数，后由丙给甲、乙现有糖数，互送后每人恰好各有粒，原来甲、乙共有糖 粒． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式、三元一次方程组的应用，设甲、乙、丙原来各有糖块粒、粒、粒，根据互赠的规则可得：第三次赠送后甲有粒，乙有粒，丙有粒，根据互赠后每人恰好各有粒，可列三元一次方程组，解方程组求出原来甲、乙分别有粒和粒，相加即为原来甲、乙共有糖粒的数量． 【详解】解：设甲、乙、丙原来各有糖块粒、粒、粒， 第一次赠送后甲有粒，乙有粒，丙有粒， 第二次赠送后甲有粒，乙有粒，丙有粒， 第三次赠送后甲有粒，乙有粒，丙有粒， 互送后每人恰好各有粒， 可得：， 整理可得：， 得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， 把，代入， 可得：， 解得：， ， 原来甲、乙共有糖粒． 故答案为：． 3．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表所示： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 (1)则牛奶每箱为__________元；咖啡每箱为_________元； (2)超市中该款牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的牛奶和原价咖啡，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，求此次按原价采购的咖啡有多少箱． 【答案】(1)牛奶每箱30元，咖啡每箱50元， (2)6箱 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，三元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组是解题的关键． （1）设牛奶每箱x元，咖啡每箱y元，根据表格中的数据建立方程组求解即可； （2）设此次按原价采购的咖啡有m箱，原价购买的牛奶有n箱，打折购买的牛奶有z箱，根据此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：设牛奶每箱x元，咖啡每箱y元， 由题意得，， 解得， ∴牛奶每箱30元，咖啡每箱50元； （2）解：设此次按原价采购的咖啡有m箱，原价购买的牛奶有n箱，打折购买的牛奶有z箱， 由题意得，， ∴， ∴， ∵m、n、z都是非负整数， ∴是5的倍数，即z是5的倍数， 当时，（此时花费超过1200，舍去） 当时，（此时花费超过1200，舍去）； 当时，，符合题意； 当时，（舍去）； 综上所述，， 答：此次按原价采购的咖啡有6箱． 4．小泉用三根尼龙编织条（如图所示）在三个方向上对一个包装盒进行加固．所用尼龙编织条分别为9分米，11分米，15分米．若每个尼龙条接头重叠处都是10厘米，那么这个包装盒的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 【答案】， 【分析】本题主要考查长方体的体积公式、表面积等知识点，求出长、宽、高是解题的关键． 先根据所用尼龙编织条分别为9分米、11分米、15分米求得长、宽、高，然后再运用长方体的表面积公式和体积公式求解即可． 【详解】解：， ， ， 得：； )：，解得：； 将分别代入②、③可得：；． 所以长方体得表面积为：． 体积为． 1．设，，．．．，，是从1，0，这三个数中任意取一个值后，所组成的一列数，设，则下列说法： ①的值可能是0； ②的不同的值共有9个； ③若，且，则，，．．．，中为0的个数是6．正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】①当，，时可验证可能是0；②枚举法确定的可能值的数量即可判断②；③通过方程组求解0的个数． 【详解】①∵设，，．．．，，是从1，0，这三个数中任意取一个值 ∴当，，时，， ∴的值可能是0，故①正确； ∵ ∴当，，，分别为1，1，1，时，； 当，，，分别为1，1，1，时，； 当，，，分别为1，1，1，0时，； 当，，，分别为1，1，，时，； 当，，，分别为1，1，，0时，； 当，，，分别为1，1，0，0时，； 当，，，分别为1，，，时，； 当，，，分别为1，，，0时，； 当，，，分别为1，，0，0时，； 当，，，分别为1，0，0，0时，； 当，，，分别为0，0，0，0时，； 当，，，分别为0，0，0，时，； 当，，，分别为0，0，，时，； 当，，，分别为0，，，时，； 当，，，分别为，，，时，； 综上所述，的不同的值有：，，，，，，，，，共有9个，故②正确； ③设1的个数为x，0的个数为y，的个数为z 根据题意得， 解得 ∴，，．．．，中为0的个数是6，故③正确． 综上，正确的个数是3． 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数的加法和乘方运算，三元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题意． 2．甲、乙、丙三人共解100道数学题，每人都只会做其中的60道题，且三人合在一起，这100道都能解答出来．将其中只有一人会做的题目叫难题，三人都会做的题叫容易题，则难题比容易题多 ． 【答案】20 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用． 设只有1人解出的题目数量为x，有2人解出的题目数量为y，有3人解出的题目数量为z，根据“每人都只会做其中的60道题，且三人合在一起，这100道都能解答出来”即可列出关于x、y、z的三元一次方程组，②×2-①即可得出结论． 【详解】解：设只有1人解出的题目数量为x，有2人解出的题目数量为y，有3人解出的题目数量为z， 那么3人共解出的题次为：①， 除掉重复的部分，3人共解出的题目为：②， 得：． 故答案为：20 3．[阅读感悟]： 有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： (1)已知实数x、y满足，，求和的值． (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ 【答案】(1)，19； (2)购买5 支铅笔、5块橡皮．5本日记本共需30元． 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，三元一次方程组的应用，掌握加减消元法是解题的关键． （1）根据整体代入的思想，即可求得的值，由即可求得的值； （2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据题意列出方程组，根据整体的思想由可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵实数x、y满足，， ∴得， 得． （2）解：设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 依题意得：， 由可得， ∴， 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． 4．解下列三元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． （1）把消去x，得出关于y，z的二元一次方程组求解，然后把代入①求出x的值； （2）把消去y，得出关于x，z的二元一次方程组求解，然后把x，z代入③求出y的值； （3），得，用④分别与①，②，③相减即可求解； （4），得，，得，联立④⑤，得出关于x，y的二元一次方程组求解，然后把x，y代入③求出z的值； 【详解】（1） ，得 联立②④，得 解得 把代入①，得 ∴ ∴ （2） ，得 联立①④，得 ，解得 把代入③，得 ∴ ∴ （3） ，得 用④分别与①，②，③相减，得 ∴ （4） ，得 ，得 联立④⑤，得 解得 把代入③，得 ∴ ∴ 5．在等式中，当时，；当时，；当时，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，理解消元的思想方法并类比应用是解决本题的关键．将x，y对应值代入等式可得三个三元一次方程构成的方程组，通过消元即可解得． 【详解】解：由题意，得 ，得 ，得 联立④⑤，得 解得 把代入①，得 ∴ ∴． 6．在国家乡村振兴战略推动下，下山嘴村的标志性项目“富民路”开始修建．修建过程中分别有甲、乙、丙三家施工队参与修建，已知甲、乙两队合修6天完成了这条路的，乙、丙两队合修3天完成了剩下的，其余的再由三队合修半天完成．若甲、乙、丙三队单独修这条路，各需要多少天可以修完？ 【答案】甲需要12天，乙需要36天，丙需要18天 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用、分数的计算等知识，理解题意，弄清熟练关系是解题关键．设“富民路”项目总量为“1”，甲每天的工作量为，乙每天的工作量，丙每天的工作量为，根据题意可得①，②，③，然后计算的值，即可获得答案． 【详解】解：设“富民路”项目总量为“1”，甲每天的工作量为，乙每天的工作量，丙每天的工作量为， 根据题意，可得，，， 整理可得①，②，③， 将①代入③，可解得， 将②代入③，可解得， 将代入①，可解得， 所以，单独修这条路甲需要天，乙需要天，丙需要天． 答：若甲、乙、丙三队单独修这条路，则甲需要12天，乙需要36天，丙需要18天． 7．某地积极推进实施垃圾分类投放的举措．居民需要将垃圾分为“可回收垃圾”“易腐垃圾”“有害垃圾”“其他垃圾”四类进行分类投放．某小区为了鼓励小区居民积极参与垃圾分类，决定设立垃圾正确投放积分奖励机制．规则如下表： 垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾 每公斤获得积分（分） 积分可以兑换部分商品，具体细则如下表： 物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张 积分数 已知公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可以获得积分；公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可获得积分． (1)求，的值． (2)小敏家一季度共有公斤可回收垃圾，公斤易腐垃圾，公斤有害垃圾．小敏妈妈决定将这一季度获得的所有积分都兑换成“垃圾袋”和“小区临时停车券”这两类物品，请你运用所学的数学知识推理得到具体的兑换方案． 【答案】(1) (2)有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用等知识点 ，理解题意，列出方程（组）是解决此题的关键． （1）根据题意得列出方程组，解方程即可得解； （2）根据题意列出方程，然后根据s，t，m，n都为非负整数，讨论即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：共有积分为：， 设兑换垃圾袋s卷，5元话费券t张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张， ∴由题意得： 化简得：， ∵s，t，m，n都为非负整数，15，20，10均为5的倍数， ∴ ∴原式化为：， ∴；或， 有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张． 1．某商家将电子手表、保温杯、蓝牙耳机搭配为三种礼盒各一个，其中A盒中有1个保温杯，3个电子手表，2个蓝牙耳机；B盒中有1个保温杯，2个电子手表，1个蓝牙耳机；C盒中有2个保温杯，3个电子手表，1个蓝牙耳机．经核算，C盒的成本为155元，B盒的成本为100元（每种礼盒的成本为该盒中保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本之和），则A盒的成本为（   ） A．140元 B．145元 C．150元 D．165元 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本分别为元、元、元，根据B盒和C盒的成本列出方程组，通过消元法求出的值，再代入A盒的成本表达式求解即可． 【详解】解：设保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本分别为元、元、元，根据题意得： ， 则， 化简得：， 由得， 则A盒成本为： （元）， 故选：B． 2．已知都为整式． ①若且，则或； ②若，当时，则； ③若（为非负整数），且，则所有满足条件的整式M的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的概念理解，整式的加减运算，解三元一次方程组等知识点． 对于①，由题意，，即，代入得，再分类讨论求解；对于②，联立方程组，由第二个方程解出，代入第一个方程得：，再化简求解；对于③，由于为非负整数且，所有可能的组合整式为：若和为0：则；若和为1：则或或；若和为2：或或或或或，再进行合并同类项计算． 【详解】解：对于①，由题意，，即， 代入得， 当时，，解得，但此时，矛盾，舍去； 当时，，解得，但此时，矛盾，舍去。 故原方程无解，故①错误； 对于②，联立方程组， 由第二个方程解出， 代入第一个方程得：， 化简得，即，故②正确； 对于③，为非负整数且， 所有可能的组合整式为： 若和为0：则； 若和为1：则或或； 若和为2：或或或或或， 则所有满足条件的整式M的和为：，故③正确； ∴正确的有2个， 故选：C. 3．在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 【答案】D 【分析】本题考查了求方程组的正整数解，根据题意列出方程，并确定方程组的解为正整数是解题关键．设购买、、三种奖品分别为个，根据题意列方程得，化简后根据均为正整数，结合种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可． 【详解】解：设购买、、三种奖品分别为个， 根据题意列方程得， 即， 由题意得均为正整数． ①当时， ， 分别取，，，，，，，共种情况时，为正整数； ②当时， ， 可以分别取，，，，，共种情况，为正整数； 综上所述：共有种购买方案． 故选：D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$