阶段小卷(14)5.6-5.7-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

阶段小卷(十四)[5.6－5.7] (见学生用书P369) [时间：40分钟　满分：100分] 一、单选题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉上一点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝A sin 400πt.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定A，a的值分别为(　A　) A．， B．， C．， D．， 【解析】 因为由题干图可知当t＝a时，y＝A sin 400πt取到最大值，所以A＝，且400πa＝＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，a＝. 2．已知函数f＝3sin 2x，将函数f的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到函数y＝g的图象，则函数g的解析式为(　B　) A．g＝3sin B．g＝3sin C．g＝3sin D．g＝3sin 【解析】 将函数f的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到f＝3sin 2＝3sin ，故g＝3sin . 3．如图，质点P在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，P的角速度大小为2 rad/s，起点P0为射线y＝－x与⊙O的交点．则当0≤t≤12时，动点P的纵坐标y关于t(单位：s)的函数在下列哪个区间上是单调递增的(　B　) A． B． C． D． 【解析】 根据题意可设y＝A sin ，因为P在单位圆上的角速度大小为2 rad/s，起点P0为射线y＝－x与⊙O的交点，所以A＝1，ω＝2，φ＝－， 所以动点P的纵坐标y关于t(单位：s)的函数y＝sin ， 由－＋2kπ≤2t－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤t≤＋kπ，k∈Z， 又因为0≤t≤12，所以0≤t≤，≤t≤，≤t≤，≤t≤， 所以该函数的单调递增区间是，，，. 4．函数y＝A sin 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式可以是(　A　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 【解析】 显然A＝2，因为＝＋＝，所以T＝π，所以ω＝＝＝2. 由f＝2得2sin ＝2，所以－＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z.当k＝0时，φ＝，所以f(x)＝2sin . 5．2024·嘉兴一中高一已知函数f＝2cos 的部分图象如下图所示， 其中A，B，为了得到g＝2sin 2x的图象，需将(　D　) A．函数f的图象的横坐标伸长为原来的 倍后，再向左平移个单位长度 B．函数f的图象的横坐标缩短为原来的 后，再向右平移个单位长度 C．函数f的图象向左平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的 倍 D．函数f的图象向右平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的 倍 【解析】 依题意，T＝－＝，解得T＝，故ω＝＝3，则f＝2cos ，而f＝2cos ＝2，故φ＝－＋2kπ，而<，故φ＝－，f＝2cos .将函数f的图象向右平移个单位长度后，得到y＝2cos ＝2sin 3x的图象，再将横坐标伸长为原来的倍，得到g＝2sin 2x的图象． 6．已知函数f＝sin 的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则ω的最小值为(　D　) A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】 因为f＝sin 为奇函数，则ω＋＝kπ， 所以ω＝12k－4.又ω>0，所以12k－4>0，解得k>， 因为k∈Z，所以当k＝1时，ω取得最小值，最小值为8. 7．2024·长沙一中高一某次实验得交变电流i(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数解析式为i＝A sin ，其中A>0，ω>0，≤且t∈，其图象如右图所示，则下列说法错误的是(　D　) A．ω＝100π B．φ＝ C．当t＝时，i＝0 D．当t＝时，i＝10 【解析】 由题知T＝2×＝0.02，则ω＝100π，又A＝10， 则i＝10sin ，所以当t＝0时，10sin φ＝5， 则sin φ＝，又≤， 则φ＝，因此i＝10sin ， 所以当t＝时，i＝10sin ＝10sin 4π＝0， 当t＝时，i＝10sin ＝10sin ＝－10， 因此ABC正确，D错误． 二、多选题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 8．将函数y＝sin 的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的可能取值为(　AD　) A． B． C．－ D．－ 【解析】 将y＝sin 的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到的图象的解析式为y＝sin ，又∵y＝sin 是偶函数，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z，根据选项可知φ的可能值为，－. 9．2024·烟台一中高一已知函数f(x)＝2sin ，则下列说法中正确的是(　AD　) A．f(x)的最小正周期是π B．f(x)在区间上单调递增 C．将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数f(x)的图象 D．若方程f(x)＝m在区间上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 【解析】 因为函数f(x)＝2sin ，所以f(x)的最小正周期是＝π，故A正确； 当x∈时，2x＋∈，所以f(x)在区间上不单调递增，故B错误； 将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin 的图象，故C错误； 当x∈时，2x＋∈，所以若方程f(x)＝m在区间上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是，故D正确． 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 10．若函数f(x)＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g＝____． 【解析】 函数g(x)＝2sin ＝2sin ，则g＝2×＝. 11．已知函数f(x)＝cos 在上有且仅有2个零点，则整数ω的值为__1__． 【解析】 依题意，ω>0.由0≤x≤2π得≤ωx＋≤2ωπ＋， 要使函数f(x)＝cos (ω>0)在上有且仅有2个零点，则需≤2ωπ＋<，即≤ω<，所以整数ω的值为1. 12．已知角φ的终边经过点P，点A，B是函数f＝sin 图象上的任意两点，若＝2时，的最小值为，则f＝__－__． 【解析】 由条件＝2时，的最小值为， 可知函数f的最小正周期为T＝，所以ω＝＝＝3. 又因为角φ的终边经过点P，所以φ在第四象限，且tan φ＝－1，所以不妨取φ＝－， 所以f＝sin ， 于是f＝sin ＝sin ＝－. 13．如图，已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一定点并且点A到l1，l2的距离分别为h1，h2，其中h1＝2，h2＝6，B是直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C.设∠ABD＝α，则△ABC的面积S关于角α的函数解析式为S＝____；S的最小值为__12__． 【解析】 ∵AE⊥l1，AD⊥l2，AC⊥AB，∴∠ABD＋∠BAD＝，∠CAE＋∠BAD＝， ∴∠CAE＝∠ABD＝α，∴AB＝＝，AC＝＝， ∴S(α)＝AB·AC＝＝. ∵0<α<，∴0<2α<π，即0<sin 2α≤1，∴当α＝， 即2α＝时，S取最小值，S的最小值为S＝12. 四、解答题(本大题共3小题，共33分) 14．(11分)已知函数f(x)＝2sin2x＋cos－1，求f(x)的单调递增区间． 解：f(x)＝2sin2x＋cos－1 ＝－cos 2x＋cos 2x cos ＋sin 2x sin ＝－cos 2x＋sin 2x＝sin . 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间是. 15．(11分)已知f(x)＝2sin (ωx＋φ)的最小正周期为2π，__________． 在①f(x)的图象过点，②f(x)的图象关于直线x＝对称，③f(x)的图象关于点对称这三个条件中任选一个，补充到横线上，并解答问题．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) (1)求函数f(x)的解析式． (2)将f(x)的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间． 解：(1)若选①，由已知得T＝＝2π， 则ω＝1，于是f(x)＝2sin (x＋φ). 因为f(x)的图象过点，所以sin ＝. 由－<φ<0，得－<φ＋<， 所以φ＋＝，即φ＝－，故f(x)＝2sin . 若选②或③，同理可得f(x)＝2sin . (2)将f(x)的图象上所有点向左平移个单位长度得 y＝2sin ＝2sin 的图象， 横坐标变为原来的，所得图象的函数解析式 为g(x)＝2sin . 所以由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z). 故g(x)的单调递增区间为(k∈Z). 16．(11分)下表是A地一天2～18时的部分时刻与温度变化的关系的预报，现选用一个函数y＝f(x)来近似描述温度与时刻的关系． 时刻/h 2 6 10 14 18 温度/℃ 20 10 20 30 20 (1)写出函数y＝f(x)的解析式． (2)若另一个B地区这一天的气温变化曲线也近似满足函数y＝f(x)且气温变化也是从10 ℃到30 ℃，只不过最高气温都比A地区早2个小时，求同一时刻，A地与B地的温差的最大值． 解：(1)由题意不妨设y＝f(x)＝A sin ＋B， 可以发现周期T＝18－2＝16＝，解得ω＝， 而解得A＝10，B＝20， 所以f＝10sin ＋20＝30， 即sin ＝1，不妨取φ＝， 所以函数y＝f(x)的解析式为f＝ 10sin ＋20. (2)设B地区的温度变化函数为g＝f＝10sin ＋20＝－10sin x＋20， 令h＝f－g＝－ ＝10 ＝10 ＝10sin ，其中tan φ2＝＋1，不妨设φ2∈， 所以≤10，当且仅当x＋φ2＝＋kπ，k∈Z时等号成立， 即x＝4＋8k－φ2∈，k∈Z， 所以只能取k＝1或k＝2，满足A地与B地的温差的最大值为10. 学科网（北京）股份有限公司 $$