阶段小卷(13)5.5-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

阶段小卷(十三)[5.5] (见学生用书P357) [时间：40分钟　满分：100分] 一、单选题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．cos cos ＋cos sin ＝(　C　) A．0 B． C． D． 【解析】 cos cos ＋cos sin ＝cos cos ＋sin sin ＝cos ＝cos ＝. 2．在△ABC中，若sin A cos B＝1－cos A sin B，则△ABC是(　B　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【解析】 由sin A cos B＝1－cos A sin B，可得sin A cos B＋cos A sin B＝1，即sin ＝1，A＋B∈，可得A＋B＝，∴C＝，故三角形是直角三角形． 3． 已知tan x＝2，则tan 2等于(　C　) A． B．－ C． D．－ 【解析】 因为tan x＝2，所以tan ＝＝＝， 因此tan 2＝＝＝. 4．若A＋B＝120°，则sinA＋sin B的最大值是(　C　) A．1 B． C． D． 【解析】 因为sin A＋sin B＝2sin cos ＝cos ≤， 当且仅当A＝B＝60°时，等号成立，所以sin A＋sin B的最大值为. 5．已知α∈，cos2＝，则sin＝(　A　) A． B． C． D． 【解析】 由已知可得cos ＝2cos2－1＝2×－1＝，又α∈， ∴α＋∈，∴sin＝， ∴sin ＝sin ＝sin cos － cos sin ＝. 6．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝，c＝，则有(　C　) A．c<b<a B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a 【解析】 a＝cos 6°－sin 6°＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin ＝sin 24°， b＝＝tan26°＝>＝sin 26°， c＝＝sin 25°， 因为y＝sin x在0°<x<90°时单调递增， 所以sin 26°>sin 25°>sin 24°， 所以a<c<b. 7．2024·嘉兴一中高一已知函数f＝sin 2x－cos 2x，则(　B　) A．f在上单调递增，且图象关于直线x＝对称 B．f在上单调递增，且图象关于直线x＝对称 C．f在上单调递减，且图象关于直线x＝对称 D．f在上单调递减，且图象关于直线x＝对称 【解析】 f＝sin 2x－cos 2x＝2sin ， 由于－<x<0，－<2x－<－，所以f在上单调递增， f＝2sin ＝1≠±2，所以f的图象不关于直线x＝对称． f＝2sin ＝2，所以f的图象关于直线x＝对称．故选B. 二、多选题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 8．下列计算结果中正确的是(　BD　) A．cos ＝ B．sin 15°sin 30°sin 75°＝ C．cos cos ＋sin ·sin ＝－ D．＝ 【解析】对于A，cos ＝cos 15°＝cos (45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝，所以A错误． 对于B，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin 30°cos 15° ＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，所以B正确． 对于C，cos cos ＋sin sin ＝cos ＝cos ＝cos 60°＝，所以C错误． 对于D，＝× ＝tan45°＝，所以D正确，故选BD. 9．2024·广州二中高一已知函数f(x)＝sin x cos x＋cos2x，则下列结论中正确的有(　ABD　) A．函数解析式化简后为f(x)＝sin＋ B．f图象的对称轴为直线x＝＋，k∈Z C．f图象的对称中心为，k∈Z D．f的单调递增区间为，k∈Z 【解析】 因为f(x)＝sin x cos x＋cos2x＝sin2x＋cos 2x＋＝sin ＋，故A正确； 令2x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，所以f的对称轴为x＝＋，k∈Z，故B正确； 令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z，所以f图象的对称中心为，k∈Z，故C错误； 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以f的单调递增区间为，k∈Z，故D正确；故选ABD. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 10．cos215°－＝____． 【解析】cos215°－＝＝cos＝cos 30°＝×＝. 11．已知sin ＝，cos αsin β＝，则cos ＝____． 【解析】 因为sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝， 因此sin αcos β＝，则sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝， 所以cos ＝1－2sin2＝1－＝. 12．已知α为第四象限角，且cosα＝，则＝____． 【解析】因为α为第四象限角， 且cos α＝，所以sin α＝－. 又cos2α－sin2α＝， sin ＝sin α－cos α， 所以＝－＝. 13．2024·襄阳四中高一若cos ＝，α＋β＝，且－<α－β<0，则cos 2α的值为____． 【解析】 因为－<α－β<0，α＋β＝，所以sin (α－β)＝－，sin ＝， cos ＝－， 所以cos 2α＝cos ＝cos (α＋β)cos (α－β)－sin (α＋β)sin (α－β) ＝－×＋×＝. 四、解答题(本大题共3小题，共33分) 14．(11分)已知cos ＝sin α. (1)求tan α的值． (2)求2sin －sin (2α＋π)的值． 解：(1)因为cos ＝sin α， 所以cos α＋sin α＝sin α， 即cos α＝sin α，所以tan α＝＝＝3. (2)2sin －sin (2α＋π)＝2cos 2α＋sin 2α＝ ＝ ＝＝－1. 15．(11分)2024·平湖中学高一已知函数f(x)＝coscos ，g(x)＝sin 2x－. (1)求函数f(x)的最小正周期． (2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合． 解：(1)f(x)＝ ＝cos2x－sin2x ＝－ ＝cos 2x－， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x ＝cos ， 当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值， 此时x的取值集合为. 16．(11分)在校园美化、改造活动中，甲校决定在半径为30 m、圆心角为π的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地ABCD，如图所示，请你确定点B的位置，使观赛场地的面积最大，并求出最大面积． 解：如图所示，设CD的中点为M，连接OM交AB于N，连接OC，记∠COM＝α， 则α∈，且OM＝30cos α，MC＝30sin α，BN＝CM＝30sin α，ON＝＝＝10sin α. S矩形ABCD＝2·BN·BC＝2×30sin α×(30cos α－10sin α)＝1 800sin αcos α－600sin2α ＝900sin2α－300(1－cos 2α) ＝600·－300 ＝600sin －300， 当2α＋＝，即α＝时，Smax＝300，此时OB＝2ON＝20sin ＝10. 故当OB＝10m时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为300m2. 学科网（北京）股份有限公司 $$