阶段小卷(3)2.1-2.2-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

阶段小卷(三)[2.1－2.2] (见学生用书P233) [时间：40分钟　满分：100分] 一、单选题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．若m<n，则下列各式中正确的是(　C　) A．m－2>n－2 B．4m>4n C．－3m>－3n D．－1>－1 2．已知实数a，b，c满足ac2<bc2，则(　D　) A．ac3<bc3 B．a2<b2 C．< D．a＋c3<b＋c3 3．已知a>0，b>0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，则(　A　) A．m≥n B．m>n C．m≤n D．m<n 【解析】 由题意可知，m－n＝a－2＋2－2＋b＝＋≥0， 当且仅当a＝b＝1时，等号成立，即m≥n. 4．若正实数x，y满足x＋16y＝xy，则(　D　) A．x＋y≤25 B．x＋y≥32 C．x＋y≤32 D．x＋y≥25 【解析】 由x＋16y＝xy，得＋＝1，又x，y为正实数， 所以x＋y＝＝17＋＋≥17＋2＝25， 当且仅当x＝4y＝20时，等号成立． 5．已知a，b∈R＋，则下列不等式中不成立的是(　D　) A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)≥4 C．≥a＋b D．≥ 【解析】 a＋b＋≥2＋≥2＝2，当且仅当a＝b且ab＝时，取等号，故A正确； (a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，取等号，故B正确； ≥≥＝a＋b，当且仅当a＝b时，取等号，故C正确； 当a＝1，b＝2时，＝＝，＝，此时≥不成立． 6．某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.15万元，已知使用x年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为(　C　) A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】 设该设备年平均费用为y万元，则y＝＋＋＝＋＋≥2＋＝， 当且仅当＝，即当x＝6时，该设备年平均费用最少． 7．已知正数x，y满足＋＝1，则x＋y的最小值是(　A　) A．17 B．16 C．15 D．14 【解析】 ∵＋＝1， ∴x＋1＋y＝＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当＝，即x＝5，y＝12时，x＋y取得最小值17.故选A. 二、多选题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 8．若0<<1<，<－1，则(　ABC　) A．a>1>b>0 B．ac<bc C．> D．c2>b2 【解析】 由0<<1<，<－1，得a>1>b>0，－1<c<0， 所以ac<bc，>，无法确定c2与b2的大小关系．故选ABC. 9．2024·永嘉中学高一设a>1，b>1，且ab－＝2，则下列说法中正确的是(　AD　) A．a＋b有最小值2 B．a＋b有最大值4＋2 C．ab有最大值4＋2 D．ab有最小值4＋2 【解析】 由于a>1，b>1，则a＋b≥2，又ab－＝2得ab＝＋2， 所以a＋b≥2，则－4－8≥0，解得a＋b≤2(舍)或a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1＋时，a＋b有最小值2，故A正确，B不正确； 由a＋b≥2，又ab－＝2得a＋b＝ab－2， 所以ab－2≥2，则－8ab＋4≥0， 解得ab≤4－2<1(舍)或ab≥4＋2，当且仅当a＝b＝1＋时，ab有最小值4＋2，故C不正确，D正确． 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 10．某新农村为加强体育文化建设，购买了一批体育器材．已知在该批次器材中，4个排球和5个足球的价格之和小于400元．而6个排球和3个足球的价格之和大于450元．设1个排球的价格为A元，1个足球的价格为B元，则A__>__B.(填“>”“<”或“＝”) 【解析】 由题意得所以 所以A－B>25>0，则A>B. 11．已知x－y＝3，则(x－1)(1－y)的最大值为____． 【解析】 由ab≤(a，b∈R)得(x－1)(1－y)≤＝＝.当且仅当x－1＝1－y且x－y＝3，即x＝，y＝－时，等号成立． 12．已知实数a，b满足－4≤a－b≤－1，2≤2a＋b≤4，则3a＋b的取值范围为__≤3a＋b≤5__． 【解析】 设3a＋b＝x＋y＝a＋b，则解得 即3a＋b＝＋. ∵－≤≤－，≤≤， ∴≤3a＋b≤5. 13．2024·济南外国语高一为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底面宽为 2 m的无盖长方体沉淀箱(如图所示).污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，A，B孔的面积忽略不计，设箱的底面长为a m，高度为b m．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积成反比，现有制箱材料60 m2.则当a＝__6__，b＝__3__时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 【解析】 由题设，知4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)， 即a＋2b＋ab＝30(a>0，b>0). 因为a＋2b≥2，所以2·＋ab≤30， 当且仅当a＝2b时取等号． 由a>0，b>0，解得0<ab≤18， 即当a＝2b时，ab取得最大值，其最大值为18. 所以2b2＝18，解得b＝3，a＝6. 故当a＝6，b＝3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 四、解答题(本大题共3小题，共33分) 14．(11分)(1)设x>－1，求的最小值． (2)设实数a，b，c满足①b＋c＝6－4a＋3a2，②c－b＝4－4a＋a2，试确定a，b，c的大小关系． 解：(1)因为x>－1，所以x＋1>0，则＝＝(x＋1)＋＋3≥2＋3＝2＋3(当且仅当x＝－1时，取等号)，所以的最小值为2＋3. (2)因为c－b＝4－4a＋a2＝≥0， 所以c≥b，当且仅当a＝2时，b＝c， 2b＝－＝－＝2a2＋2， 所以b＝a2＋1， b－a＝a2－a＋1＝＋>0， 所以b>a. 综上可知，c≥b>a，当且仅当a＝2时，b＝c. 15．(11分)已知a，b，c>0，且a＋b＋c＝3，证明： (1)＋＋≥3. (2)＋＋≥3. 证明：(1)由题意得＝1， 所以＋＋＝ ＝≥ ＝3， 当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立． (2)因为a2＋b2≥2ab，所以2a2＋2b2≥，即≥. 同理可得≥，≥， 所以＋＋≥＝3， 当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立． 16．(11分)2024·富阳中学高一某公司要设计一张矩形广告如下，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm. (1)试用栏目高a cm与宽b cm(a>0，b>0)表示整个矩形广告面积S cm2. (2)怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告的面积最小？并求最小值． 解：(1)由栏目高a cm与宽b cm(a>0，b>0)，可知ab＝20 000，广告的高为(a＋20)cm，宽为(3b＋30)cm(其中a>0，b>0)， 广告的面积S＝(a＋20)(3b＋30)＝3ab＋30a＋60b＋600＝30(a＋2b)＋60 600. (2)由ab＝20 000，所以b＝. 所以S＝30(a＋2b)＋60 600＝30＋60 600 ≥30×2＋60 600 ＝12 000＋60 600＝72 600，当a＝200时，b＝100. 故当矩形栏目的高为200 cm，宽为100 cm时， 可使广告的面积最小，最小值为72 600 cm2. 学科网（北京）股份有限公司 $$