高效作业17 素养微专题 不等式“恒成立”“能成立”问题-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

高效作业17[素养微专题　不等式“恒成立”“能成立”问题](见学生用书P239)

[A级　教材落实与巩固]

　 　　　　　　　 　　　　　 　　　　

 

1．一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是(　D　)

A．    B．

C．    D．

2．若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是(　A　)

A．{m|m≤－2或m≥2}

B．{m|－2≤m≤2}

C．{m|m<－2或m>2}

D．{m|－2<m<2}

3．若x2－2ax＋2≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是(　D　)

A．    B．

C．    D．

4．若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是(　D　)

A．

B．

C．

D．

【解析】 当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意；

当k≠0时，需满足k<0且9k2－4k(k－2)＝5k2＋8k≤0，得－≤k<0.综上，－≤k≤0.

5．当2<x<5时，关于x的不等式x2－6x＋11－a<0有解，则实数a的取值范围是(　D　)

A．a≥6    B．a>6

C．a≥2    D．a>2

【解析】 由当2<x<5时，关于x的不等式x2－6x＋11－a<0有解，得a>x2－6x＋11在2<x<5上有解，令y＝x2－6x＋11，则a>ymin＝9－18＋11＝2，即a>2，

所以实数a的取值范围是a>2.

6．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　D　)

A．{m|－1<m<4}

B．{m|m<0或m>3}

C．{m|－4<m<1}

D．{m|m<－1或m>4}

【解析】 因为正实数x，y满足＋＝1，所以x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝2，y＝8时，x＋取得最小值4，由x＋<m2－3m有解，可得m2－3m>4，解得m>4或m<－1.

7．对于任意实数x，不等式x2－2x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是__－2<a≤2__．

【解析】 对任意的实数x，不等式x2－2x－4<0恒成立，

当a－2＝0时，即当a＝2时，则有－4<0恒成立，合乎题意；

当a－2≠0时，即当a≠2时，则有解得－2<a<2.

综上所述，实数a的取值范围是－2<a≤2.

8．当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，则实数m的取值范围为__m>－5__．

【解析】 设y＝x2＋mx＋4，二次函数图象开口向上，当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，所以有当x＝1时，y＝1＋m＋4>0或当x＝2时，y＝4＋2m＋4>0，解得m>－5，则实数m的取值范围为m>－5.

9．当1<x<2时，关于x的不等式2x2－8x－4－a>0恒成立，则实数a的取值范围是__a≤－12__．

【解析】 因为当1<x<2时，关于x的不等式2x2－8x－4－a>0恒成立，

所以a<2x2－8x－4在1<x<2上恒成立，

令y＝2x2－8x－4＝2－12(1<x<2)，

当x＝2时，y＝－12，即2x2－8x－4>－12，

所以a≤－12.

10．若存在1≤a≤3，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围为____.

【解析】 令y＝ax2＋(a－2)x－2＝(x2＋x)a－2x－2，是关于a的函数，由题意得(x2＋x)－2x－2＞0或3(x2＋x)－2x－2＞0.

即x2 －x－2＞0①，或3x2＋x－2＞0②.

解①可得x＜－1或x＞2. 解②可得x＜－1或x>.

综上，实数x的取值范围为x＜－1或x>.

11．2024·湖州一中高一已知对x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求实数m的取值范围．

解：由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1，

因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0，

所以m(x2－x)<1可化为m<，

因为x2－x＝－≤6，

所以≥，所以m<.

即实数m的取值范围是.

[B级　基本方法与思维]