高效作业14 素养微专题 利用基本不等式求最值-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

高效作业14[素养微专题　利用基本不等式求最值] (见学生用书P231) [A级　教材落实与巩固] 　 　　　　　　　 　　　　　 　　　　 1．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　B　) A． B． C． D． 【解析】 x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时取等号． 2．若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为(　A　) A．16 B．8 C．4 D．2 【解析】 因为正实数a，b满足a＋4b＝ab， 所以ab＝a＋4b≥2＝4，所以ab≥16， 当且仅当a＝4b，即a＝8，b＝2时等号成立． 3．若x<，则y＝3x＋1＋有(　C　) A．最大值0 B．最小值9 C．最大值－3 D．最小值－3 【解析】 因为x<，所以3x－2<0，y＝3x－2＋＋3＝－＋3≤－2＋3＝－3.当且仅当2－3x＝，即x＝－时取“＝”． 4．若xy是正数，则＋的最小值是(　C　) A．3 B． C．4 D． 【解析】 ＋＝＋＋≥1＋1＋2＝4.当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号． 5．已知x>0，y>0，且＋＝1，则2x＋y＋的最小值为(　D　) A．9 B．10 C．12 D．13 【解析】 2x＋y＋＝＋＝6＋1＋＋＋＝7＋＋≥7＋2＝13， 当且仅当＝，即x＝y＝4时，等号成立． 6．五一期间，小红父母决定匀速驾驶汽车到北京游玩，全段路程为1 200 km，速度v不能超过120 km/h，而汽车每小时的运输成本为元．为使全程运输成本最小，则汽车的行驶速度为(　B　) A．90 km/h B．100 km/h C．110 km/h D．120 km/h 【解析】 由题意可得，汽车全程运输成本y＝·＝24v＋≥2＝4 800(0<v≤120)， 当且仅当24v＝，即v＝100 km/h时，等号成立，即此时y的值最小． 7．若正实数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(　C　) A． B．1 C． D． 【解析】 因为正实数x，y满足x2＋3xy－1＝0，所以y＝，则x＋y＝x＋＝＋≥，当且仅当＝时等号成立，即x＝，y＝时，x＋y取得最小值，故x＋y的最小值为. 8． [多选题]已知a>0，b>0，a＋b＝1，对于代数式，下列说法正确的是(　AC　) A．最小值为9 B．最大值是9 C．当a＝b＝时取得最小值 D．当a＝b＝时取得最大值 【解析】 原式＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，因为ab≤＝， 所以≥4，所以原式＝1＋≥9，当且仅当a＝b＝时，等号成立． 9．已知a，b，c都是正数，则＋＋__≥__a＋b＋c.(填“＞”“≥”“＜”或“≤”) 【解析】 ∵＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， ∴＋＋＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)， ∴＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时等号成立． 10．若a，b都是正数，且a＋b＝1，则(a＋1)(b＋1)的最大值是____． 【解析】 因为a，b都是正数，且a＋b＝1，所以(a＋1)(b＋1)≤＝， 当且仅当a＋1＝b＋1，即a＝b＝时，等号成立． 所以(a＋1)(b＋1)的最大值为. 11．已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为__2＋__． 【解析】 根据题意，3a＋b＝2ab＋＝1，则a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝2＋，当且仅当b＝a时等号成立，则a＋b的最小值为2＋. 12．2024·青岛二中高一已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值． (2)x＋y的最小值． 解：(1)由x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 则1＝＋≥2＝，得xy≥64， 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立． 所以xy的最小值为64. (2)由(1)可得＋＝1， 则x＋y＝(x＋y) ＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当x＝12且y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. [B级　基本方法与思维] 13．已知实数a>0，b>0，＋＝1，则a＋2b的最小值是(　B　) A．3 B．2 C．3 D．2 【解析】 因为a>0，b>0，＋＝1，所以a＋2b＝(a＋1)＋2(b＋1)－3＝[(a＋1)＋2(b＋1)]·－3＝－3≥3＋2－3＝2，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故选B. 14．2024·学军中学高一设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为(　A　) A．－ B． C． D．－4 【解析】 因为a，b为正实数，且a＋b＝1， 所以＋＝(a＋b)＝＋≥＋2＝， 当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时，等号成立． 因此有－－≤－， 即－－的上确界为－. 15．写出一个关于a与b的等式，使＋是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为__a2＋b2＝1(答案不唯一)__. 【解析】 该等式为a2＋b2＝1，下面证明该等式符合条件． ＋＝(a2＋b2)＝1＋9＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即a2＝，b2＝时取等号，此时＋是一个变量，且它的最小值为16. 16．2024·黄岩中学高一已知x，y都是正实数．求证： (1)＋≥x＋y. (2)≥. 证明：(1)要证＋≥x＋y， 只需证x3＋y3≥xy(x＋y)， 左边因式分解得(x＋y)(x2－xy＋y2)≥xy(x＋y)，只需证x2－xy＋y2≥xy，只需证x2＋y2≥2xy.因为x2＋y2≥2xy成立，当且仅当x＝y时等号成立，所以＋≥x＋y成立． (2)要证≥，只需证4(x3＋y3)≥x3＋y3＋3x2y＋3xy2， 只需证x3＋y3≥x2y＋xy2，由(1)的证明过程可知x3＋y3≥x2y＋xy2成立， 所以≥成立． [C级　素养形成与创优] 17．杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光．其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点．已知购买x台“机器狗”的总成本为y＝x2＋x＋20. (1)若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台？ (2)现安排标明“汪1”“汪2”“汪3”的3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米. 3台“机器狗”所用时间(单位：秒)分别为t1，t2，t3. “汪1”有一半的时间以速度(单位：米/秒)v1奔跑，另一半的时间以速度v2奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度v1奔跑，另一半的路程以速度v2奔跑，其中v1>0，v2>0，且v1≠v2，则哪台机器狗用的时间最少？ 请说明理由． 解：(1)由题意，购买x台“机器狗”的总成本为y＝x2＋x＋20， 则每台机器狗的平均成本为＝x＋＋1≥2＋1＝1＋1＝2， 当且仅当x＝时，即x＝40时，等号成立， 所以，若使每台“机器狗”的平均成本最低，应买40台． (2)由题意，“汪1”满足t1v1＋t1v2＝120，可得t1＝， “汪2”满足t2＝120，可得t2＝， “汪3”满足t3＝＋＝， ≤＝，v1≠v2， 所以<. 因为v1>0，v2>0，且v1≠v2， 所以可得>， 则>>>0， 所以t1<t2<t3，所以 “汪1”用的时间最少． 学科网（北京）股份有限公司 $$