素养微专题 利用基本不等式求最值-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

素养微专题　利用基本不等式求最值

熟练掌握基本不等式及其变形的应用．

(见学生用书P40)　　　　　　　

　　　　　　 　　　　　　　　　　

 

类型一　利用配凑法求最值

例1  (1)已知x>2，则函数y＝x＋的最小值是(　D　)

A．2    B．2＋2

C．2    D．＋2

(2)设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为____．

【解析】 (1)由题意可知，x－2>0，

∴y＝(x－2)＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝2＋时，等号成立，∴函数y＝x＋(x>2)的最小值为＋2.

(2)∵0<x<，∴3－2x>0，y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝，

当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．

∵∈，

∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.

活学活用

2024·温岭中学高一已知x>0，求y＝的最大值．

解：y＝＝，因为x>0，所以x＋≥2＝2，所以0<y≤＝1，

当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．故当x＝1时，y取得最大值1.

[题后感悟]

在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式求解．

类型二　常数代换法求最值

例2 (1)若正实数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值是(　C　)

A．6    B．8    C．9    D．10

(2)2024·湘潭一中高一已知x，y均为正实数，且＋＝，则x＋y的最小值为(　A　)

A．20    B．24    C．28    D．32