素养微专题 不等式“恒成立”“能成立”问题-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

素养微专题　 不等式“恒成立”“能成立”问题

(见学生用书P47)　　　　　　　

类型一　在R上的恒成立问题

例1 (1)2024·丽水中学高一若不等式(a－2)·x2＋4(a－2)x＋3＞0的解集为R，则实数a的取值范围是__2≤a<__．

【解析】 当a－2＝0，即a＝2时，不等式为3＞0恒成立，故a＝2符合题意；

当a－2≠0，即a≠2时，

不等式(a－2)x2＋4(a－2)x＋3＞0的解集为R，

则解得2＜a＜.

综上可得，实数a的取值范围是2≤a<.

(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．

解：原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，

∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，

即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，解得a≤－1或a≥4，

∴实数a的取值范围是{a|a≤－1或a≥4}．

活学活用

若对任意实数x，关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0恒成立，则实数a的取值范围为____．

【解析】 ①若a2－1＝0，则a＝±1.

当a＝1时，原不等式为－1<0，解集为R，满足题意；

当a＝－1时，原不等式为2x－1<0，解集为，与题意不符．

②若a≠±1，则当时，不等式的解集为R，解得－<a<1.

综上，实数a的取值范围是.

[题后感悟]

(1)如图1，关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方

(2)如图2，关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴

下方

类型二　在给定范围上恒成立的问题

例2  2024·邢台一中高一当－2≤x≤2时，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围为(　A　)

A．－2＜m＜2　　　　　　B．m＜－2

C．－2≤m≤2    D．m＞2

【解析】 设y＝x2－mx＋1，其中－2≤x≤2.

①当≤－2，即m≤－4时，函数y在－2≤x≤2上随x的增大而增大，

则当x＝－2时，y取最小值，ymin＝2m＋5＞0，

解得m＞－，此时m不存在；

②当－2＜＜2，即－4＜m＜4时，

当x＝时，y取最小值，ymin＝1－＞0，解得－2＜m＜2；

③当≥2，即m≥4时，函数y在－2≤x≤2上随x的增大而减小，

则当x＝2时，y取最小值，ymin＝－2m＋5＞0，

解得m＜，此时m不存在．

综上所述，实数m的取值范围是－2＜m＜2.

活学活用

(1)已知函数y＝4ax2＋4x－1，x∈，y<0恒成立，则实数a的取值范围是(　B　)

A．a≤－    B．a<－1

C．－1<a≤    D．a≤－1

【解析】 y＝4ax2＋4x－1<0，即4ax2<－4x＋1，

当x＝0时，不等式恒成立，a∈R；

当x≠0时，x2>0，则4a<.

令t＝，则t<－1或t>1，则－4t＋t2＝－4≥－4，

即4a<－4，解得a<－1.

综上，实数a的取值范围是a＜－1.

(2)当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围．

解：令y＝x2＋mx＋4.

∵y<0在1≤x≤2上恒成立．

∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.

如图，可得