第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习课-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

第二章　章末复习课

知识辨析

(1)同向不等式具有可加性和可乘性．(　×　)

(2)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母.(　√　)

(3)函数y＝x2＋2＋的最小值是2.(　×　)

(4)“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件．(　×　)

(5)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0 .(　×　)

(6)不等式x2≤a的解集为{x|－≤x≤}．(　×　)

(7)二次函数y＝ax2＋bx＋c(m≤x≤n)的最值一定是.(　×　)

核心题型一　不等式性质的应用

1．利用不等式的性质可以比较两个数或式的大小，可以证明不等式等．另外，作差法、作商法也是常用的比较大小和证明不等式的一种方法．

2．通过对不等式性质的考查，提升学生的逻辑推理素养．

例1  (1)[多选题]下列说法错误的是(　ABD　)

A．若a＞b，则ac2＞bc2

B．若－2＜a＜3，1＜b＜2，则－3＜a－b＜1

C．若a＞b＞0，m＞0，则＜

D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd

【解析】 对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，故A中说法错误；对于B，因为1<b<2，所以－2<－b<－1，同向不等式相加得－4<a－b<2，故B中说法错误；对于C，因为a>b>0，所以<.又因为m>0，所以<，故C中说法正确；对于D，只有当a>b>0，c>d>0时，才有ac>bd，故D中说法错误．故选ABD.

(2)已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求ab，的取值范围．

解：因为－2<b<－1，所以1<－b<2.又因为2<a<3，

所以2<－ab<6，所以－6<ab<－2.

因为－2<b<－1，所以1<b2<4.

因为2<a<3，所以<<，所以<<2.

跟踪训练

(1)设a，b，c，d，x均为实数，且b＞a＞0，c＞d，则下列不等式正确的是(　D　)

A．d－a＜c－b　　　　　B．≥

C．bc＜ad    D．≤

(2)已知a＜b＜c，试比较a2b＋b2c＋c2a与ab2＋bc2＋ca2的大小．

【解析】 (1)取a＝2，b＝4，c＝3，d＝2，d－a＝0，c－b＝－1，此时d－a>c－b，A错误；取a＝2，b＝3，x＝－1，则＝，＝2，此时<，B错误；取b＝3，a＝，c＝1，d＝－3，则ad＝－，bc＝3，此时ad<bc，C错误；∵a－b<0，b>0，∴－＝≤0，D正确．

(2)解：a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)

＝(a2b－ab2)＋(b2c－bc2)＋(c2a－ca2)

＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)

＝ab(a－b)＋bc[(b－a)＋(a－c)]＋ca(c－a)

＝ab(a－b)＋bc(b－a)＋bc(a－c)＋ca(c－a)

＝b(a－b)(a－c)＋c(a－c)(b－a)

＝(a－b)(a－c)(b－c).

∵a<b<c，

∴a－b<0，a－c<0，b－c<0，

∴(a－b)(a－c)(b－c)<0.

∴a2b＋b2c＋c2a<ab2＋bc2＋ca2.

核心题型二　一元二次不等式的解法

1．对于实系数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集．

2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏．

3．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养．

例2  (1)2024·开化中学高一设集合A＝，B＝{x2－ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　B　)

A．0<a<    B．≤a＜

C．a≥    D．≤a≤

(2)解关于x的不等式ax2－3x＋2＞5－ax(a∈R).

【解析】 (1)A＝＝，因为函数y＝x2－ax－1图象的对称轴为直线x＝>0，当x＝－3时，y＝3a＋8>0，根据对称性可知，要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数为3，所以有当x＝3时，y≤0且当x＝4时，y>0，即