第2章 第一节 函数的概念及表示（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第二章|函　数 第一节　函数的概念及表示 明确目标 1.了解构成函数的要素,会求简单函数的定义域和值域. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法 (如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用. 教材再回首 1.函数的概念 (1)一般地,设A,B是　　　　　　　,如果对于集合A中的　　　一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有　　　　　的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A. (2)在函数的定义中,非空数集A,B,A即为函数的定义域,值域为B的子集. 2.构成函数的三要素 (1)函数的三要素:函数由　　 　　、　　　　和对应关系三个要素构成,在函数y=f(x),x∈A中,　　　　 　　　　　　(即数集A)称为这个函数的定义域.　　　　　　组成的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)同一个函数:如果两个函数的　　　　相同,并且　　　　　　完全一致,即相同的自变量对应的函数值也　　　,那么这两个函数是同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有　　　、图象法和　　　. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. (2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的　　　. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(北师大必修①P59T3改编)函数y=2x-1(x∈{1,2,3})的值域为 (　　) A.[1,5] B.{1,3,5} C.[2,6] D.{2,4,6} 2.(人A必修①P66例3改编)下列函数与函数y=x是同一个函数的是 (　　) A.y=()2 B.u= C.y= D.m= 3.(苏教必修①P115T7改编)已知函数f(x)=则f(f(2))= (　　) A. B. C.2 D.-2 4.(人A必修①P67T1改编)函数f(x)=+-1的定义域为　　　　. 二、易错小题的警醒训练 1.下列图形可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域,N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是 (　　) 2.已知f()=x-1,则f(x)=　　　　. 题点一　函数的概念(自主练通) 1.函数f(x)=的定义域为 (　　) A.(1,2] B.(1,3] C.(0,1)∪(1,3] D.(0,1)∪(1,2] 2.[多选]下列说法正确的有 (　　) A.f(x)=与g(x)=表示同一个函数 B.函数y=f(x)的图象与直线x=2 025的图象至多有一个交点 C.f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一个函数 D.若f(x)=|x-1|-x,则f=0 3.(2025·惠州模拟)若函数f(x)=的定义域为[-2,+∞),则实数a=　　　　,实数b的取值范围是　　　　. 4.已知函数y=f(x-1)的定义域为[1,2],则函数y=f(2x-1)的定义域为　　　　. |思维建模| 与函数概念有关问题的解题策略 (1)判断两个函数是否为同一个函数关键有两点:定义域是否相同,对应关系即解析式是否相同. (2)求具体函数的定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合. (3)对于抽象函数,若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数y=f(g(x))的定义域由不等式组a≤g(x)≤b求出;若复合函数y=f(g(x))的定义域为[a,b],则函数f(x)的定义域为g(x)(x∈[a,b])的值域. 题点二　函数的解析式 [例1] (1)(待定系数法)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式; (2)(配凑法)已知f=x4+,求f(x)的解析式; (3)(换元法)已知f(1-sin x)=cos2x,求f(x)的解析式; (4)(方程组法)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,求f(x)的解析式. |思维建模|　函数解析式的求法 (1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法; (2)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式; (3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; (4)方程组法:已知关于f(x)与f或f(-x)等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). [即时训练] 1.(1)已知f(+1)=x+2,求f(x); (2)已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x); (3)已知函数f(x)对于任意的x都有2f+f(x)=x(x≠0),求f(x); (4)已知函数f(x)满足f(x-y)=f(x)+f(y)-2xy,求f(x)的解析式. |习得方略| 　　在求抽象函数解析式时,可用“赋值法”求解,首先要对题设中的有关参数进行赋值(一般令参数等于0,-1,1),再得到关于函数解析式的某种递推关系,最后求得函数解析式. 自主空间: 题点三　分段函数 考法(一)　分段函数求值 [例2] (1)设函数f(x)=则f= (　　) A. B. C. D.-1 (2)设函数f(x)=则f(20)= (　　) A.3 B.4 C.5 D.lo17 |思维建模|　求函数值的方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. 考法(二)　分段函数与方程 [例3]　(2024·泰安二模)已知函数f(x)=且f(m)=-12,则f(6-m)= (　　) A.-1 B.-3 C.-5 D.-7 |思维建模|　求分段函数中参数值或自变量值的方法 (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参. (2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值. 考法(三)　分段函数与不等式 [例4]　设函数f(x)=则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是　　　　. |思维建模|　与分段函数有关的不等式问题的解题策略 (1)涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式,当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解. (2)解与分段函数不等式有关的问题时,有时数形结合更便捷,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏. [即时训练] 2.已知函数f(x)=满足f(π)=1,则实数m的值为 (　　) A. B. C.1 D.2 3.[多选]已知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论正确的是 (　　) A.f(f(-1))=1 B.若f(x)=3,则x的值是 C.f(x)<1的解集为(-∞,1) D.f(x)的值域为(-∞,4) 4.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[-1,+∞) 课下作业:请完成“课时跟踪检测(六)” 学科网（北京）股份有限公司 $$