第2章 第五节 函数性质的综合应用（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第五节　函数性质的综合应用 题点一　函数的单调性与奇偶性 [例1] (1)设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x总有f(-x)=f(x),当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增, 则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 (　　) A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3) (2)已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(3)=0,则满足(x+1)f(x)≥0的x的取值范围是　　　　　　　. |思维建模|　奇偶性与单调性综合问题的解法 (1)比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小. (2)解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组). (3)解不等式时要注意函数的定义域. [即时训练] 1.(2025·榆林模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,且f(x),g(x)在[0,+∞)上单调递减,则 (　　) A.f(f(x))是偶函数 B.f(g(x))是奇函数 C.f(f(-1))<f(f(-2)) D.g(-f(-1))>g(f(-2)) 2.(2024·资阳二模)若定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,则不等式f(2x+1)-f(x-1)>-3x2-6x的解集为 (　　) A.(-∞,-2)∪(0,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-2,0) D.(-1,0) |谨记结论| 当函数f(x)为定义在R上的偶函数时, (1)若x≥0时,f(x)单调递增,则x<0时,f(x)单调递减,即f(m)>f(n)⇒|m|>|n|,f(x)+f(-x)>2f(m)⇒|x|>|m|. (2)若x≥0时,f(x)单调递减,则x<0时,f(x)单调递增,即f(m)>f(n)⇒|m|<|n|,f(x)+f(-x)>2f(m)⇒|x|<|m|. 题点二　函数的奇偶性与对称性相结合 [例2]　(2024·海口二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,函数g(x)=|x-2|f(x)的图象关于直线x=2对称,若f(-1)=-1,则g(3)= (　　) A.5 B.1 C.-1 D.-5 |思维建模| 解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时,要注意把已知函数的奇偶性按定义转化,再判断函数图象的对称轴或对称中心;也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性.总之,要充分利用已知条件进行适当转化. [即时训练] 3.设函数 f(x)=ax3-x-3+a,若函数f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,则a= (　　) A.-1　　B.0　　C.1　　D.2 4.(2025·抚顺模拟)函数y=f(2x-1)是R上的奇函数,函数y=f(x)图象与函数y=g(x)图象关于y=-x对称, 则g(x)+g(-x)= (　　) A.0　　B.-1　　C.2　　D.1 题点三　函数的周期性与对称性相结合 [例3]　已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称, g(2)=4,则f(k)= (　　) A.-21　　B.-22　　C.-23　　D.-24 |思维建模| 综合应用对称性与周期性解题的技巧 　　函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性.在使用这两个关系时不要混淆. [即时训练] 5.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6, 则f= (　　) A.- B.- C. D. |习得方略| (1)若奇函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则y=f(x)为周期函数,且4|a|是它的一个周期. (2)周期为T的奇函数一定关于点对称,周期为T的偶函数关于直线x=对称. 6.(2025·东北师大附中摸底)函数f(x)(x∈R)满足f(x+6)+f(x)=2f(3),函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称, 则f(2 034)= (　　) A.-16 B.-8 C.-4 D.0 题点四　函数性质的综合应用 [例4]　(多选)已知定义域为R的函数f(x)在(-1,0]上单调递增,f(1+x)=f(1-x),且f(x)的图象关于点(2,0)对称,则下列结论正确的是 (　　) A.f(0)=f(2) B.f(x)的最小正周期T=2 C.f(x)在(1,2]上单调递减 D.f(2 025)>f(2 026)>f(2 027) |思维建模| 　　对于函数性质结合的题目,函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到,函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题. [即时训练] 7.[多选]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,f(2)=4,则 (　　) A.f(5)=10　　　　　　　　 B.f(x)为奇函数 C.f(x)在R上单调递减 D.当x<-1时,f(x)-2>f(2x) 课下作业:请完成“课时跟踪检测(十)” 学科网（北京）股份有限公司 $$