第2章 第五节 函数性质的综合应用（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第五节　函数性质的综合应用

题点一　函数的单调性与奇偶性

 [例1]

(1)设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x总有f(-x)=f(x),当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,

则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 (　　)

A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3)

C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3)

(2)已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(3)=0,则满足(x+1)f(x)≥0的x的取值范围是　　　　　　　.

 

 

|思维建模|　奇偶性与单调性综合问题的解法

(1)比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小.

(2)解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组).

(3)解不等式时要注意函数的定义域.

 

[即时训练]

1.(2025·榆林模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,且f(x),g(x)在[0,+∞)上单调递减,则              (　　)

A.f(f(x))是偶函数 B.f(g(x))是奇函数

C.f(f(-1))<f(f(-2)) D.g(-f(-1))>g(f(-2))

2.(2024·资阳二模)若定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,则不等式f(2x+1)-f(x-1)>-3x2-6x的解集为              (　　)

A.(-∞,-2)∪(0,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,+∞)

C.(-2,0) D.(-1,0)

 

 

|谨记结论|

当函数f(x)为定义在R上的偶函数时,

(1)若x≥0时,f(x)单调递增,则x<0时,f(x)单调递减,即f(m)>f(n)⇒|m|>|n|,f(x)+f(-x)>2f(m)⇒|x|>|m|.

(2)若x≥0时,f(x)单调递减,则x<0时,f(x)单调递增,即f(m)>f(n)⇒|m|<|n|,f(x)+f(-x)>2f(m)⇒|x|<|m|.

 

题点二　函数的奇偶性与对称性相结合

[例2]　(2024·海口二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,函数g(x)=|x-2|f(x)的图象关于直线x=2对称,若f(-1)=-1,则g(3)=              (　　)

A.5 B.1 

C.-1 D.-5

 

 

|思维建模|

解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时,要注意把已知函数的奇偶性按定义转化,再判断函数图象的对称轴或对称中心;也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性.总之,要充分利用已知条件进行适当转化.

 

[即时训练]

3.设函数 f(x)=ax3-x-3+a,若函数f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,则a= (　　)

A.-1　　B.0　　C.1　　D.2

4.(2025·抚顺模拟)函数y=f(2x-1)是R上的奇函数,函数y=f(x)图象与函数y=g(x)图象关于y=-x对称,

则g(x)+g(-x)= (　　)

A.0　　B.-1　　C.2　　D.1