第2章 第四节 函数的对称性（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第四节　函数的对称性 明确目标 　　能通过平移,分析得出一般的轴对称和中心对称的公式和推论. 　　会利用对称公式解决问题. 题点一　轴对称问题 [例1]　(2023·全国乙卷,节选)已知函数f(x)=ln(1+x),是否存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称?若存在,求a,b的值;若不存在,说明理由. |思维建模| (1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(a-x)=f(a+x); (2)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=对称. [即时训练] 1.[多选]已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且f(x)为奇函数,g(x)的图象关于直线x=1对称,则下列说法一定正确的是 (　　) A.f(0)=0　　　　　　 B.g(1)=0 C.y=g(f(x))为奇函数 D.y=f(g(x))的图象关于直线x=1对称 2.已知函数f(x)(x∈R)满足f(4+x)=f(-x),若函数y=|x2-4x-5|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则所有交点的横坐标之和为 (　　) A.0　　　　　B.m　　　　　C.2m　　　　　D.4m |谨记结论| (1)若f(x)与g(x)关于x=a对称,且它们有m个交点,则所有交点横坐标之和为am; (2)若f(x)与g(x)关于(a,b)对称,且它们有m个交点,则所有交点横坐标之和为am,纵坐标之和为bm. 题点二　中心对称问题 [例2]　(2024·新课标Ⅰ卷,节选)已知函数f(x)=ln +ax+b(x-1)3,证明:曲线y=f(x)是中心对称图形. [考教衔接] [例2]源自人教A版必修①P87T13:我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数. (1)求函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心; (2)类比上述推广结论,写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论. 只要掌握了教材题,例1,例2的解题思路就非常清晰了.由教材和高考题,我们不难发现,函数与导数中的解答题不再局限于导数问题,纯函数问题成为新的命题导向,这一变化趋势请关注. |思维建模| 函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔2b-f(x)=f(2a-x);若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点中心对称. [即时训练] 3.已知函数f(x)=的图象关于点(1,f(1))对称,则a= (　　) A.1 B.2 C.e D.e2 4.[多选]下列说法中,正确的是 (　　) A.函数f(x)=的图象关于点(-2,2)中心对称 B.函数f(x)满足f(2x-1)为奇函数,则函数f(x)关于点(-1,0)中心对称 C.若函数y=f(x)过定点(0,1),则函数y=f(x-1)+1过定点(1,2) D.函数y=的图象关于点(3,c)中心对称,则b+c=2 题点三　两个函数图象的对称 [例3]　已知函数y=f(x)是定义域为R的函数,则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象 (　　) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3,0)对称 |思维建模| 　　函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=对称. 自主空间: [即时训练] 5.下列函数中,其图象与函数y=f(2x-1)的图象关于直线x=1对称的是 (　　) A.y=f(-2x-1) B.y=f(-2x+1) C.y=f(-2x+3) D.y=2-f(2x-1) 课下作业:请完成“课时跟踪检测(九)” 学科网（北京）股份有限公司 $$