第2章 第四节 函数的对称性（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第四节　函数的对称性

明确目标

　　能通过平移,分析得出一般的轴对称和中心对称的公式和推论.

　　会利用对称公式解决问题.

 

题点一　轴对称问题

[例1]　(2023·全国乙卷,节选)已知函数f(x)=ln(1+x),是否存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称?若存在,求a,b的值;若不存在,说明理由.

 

 

 

 

 

|思维建模|

(1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(a-x)=f(a+x);

(2)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=对称.

 

[即时训练]

1.[多选]已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且f(x)为奇函数,g(x)的图象关于直线x=1对称,则下列说法一定正确的是              (　　)

A.f(0)=0　　　　　　 B.g(1)=0

C.y=g(f(x))为奇函数 D.y=f(g(x))的图象关于直线x=1对称

2.已知函数f(x)(x∈R)满足f(4+x)=f(-x),若函数y=|x2-4x-5|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则所有交点的横坐标之和为              (　　)

A.0　　　　　B.m　　　　　C.2m　　　　　D.4m

 

 

 

|谨记结论|

(1)若f(x)与g(x)关于x=a对称,且它们有m个交点,则所有交点横坐标之和为am;

(2)若f(x)与g(x)关于(a,b)对称,且它们有m个交点,则所有交点横坐标之和为am,纵坐标之和为bm.

 

题点二　中心对称问题

[例2]　(2024·新课标Ⅰ卷,节选)已知函数f(x)=ln +ax+b(x-1)3,证明:曲线y=f(x)是中心对称图形.

 

 

 

 

 

[考教衔接]

[例2]源自人教A版必修①P87T13:我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.

(1)求函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心;

(2)类比上述推广结论,写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.

只要掌握了教材题,例1,例2的解题思路就非常清晰了.由教材和高考题,我们不难发现,函数与导数中的解答题不再局限于导数问题,纯函数问题成为新的命题导向,这一变化趋势请关注.