第2章 第十一节 函数与方程的综合应用（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第十一节　函数与方程的综合应用 明确目标 函数与方程的综合应用是高考的重点内容,要求能通过分析函数的性质,结合图象,研究函数的零点或方程的根等. 题点一　根据函数零点存在情况求参数 [例1] (1)若函数f(x)=-m有零点,则实数m的取值范围是　　　. (2)设c∈R,函数f(x)= 若f(x)恰有一个零点,则c的取值范围是　　　　. |思维建模| 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围; (2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解. [即时训练] 1.(2024·阳泉三模)若函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1,2)存在零点,则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞,-5)　　 B.(-5,-1)　　 C.(1,5)　　 D.(5,+∞) 2.(2025·珠海一模)已知函数f(x)=(a∈R)在R上没有零点,则实数a的取值范围是　　　　. 题点二　函数零点的和、积问题 [例2]　(多选)已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),且x1<x2<x3<x4,则下列结论正确的是 (　　) A.x1+x2=2 B.x3x4=1 C.0<x1+x2+x3+x4< D.0<x1x2x3x4<1 [即时训练] 3.(2024·烟台二模)已知函数f(x)=若f(x)=m存在四个不相等的实根x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),则4x3+x1x2x4的最小值是　　　　. |思维建模| 求解有关函数的零点之和(积)问题的3个关键点 (1)判断两零点是否“轴对称”,一旦满足了对称性,两零点之和为定值; (2)判断两零点之积是否为定值; (3)以数形结合的方法确定零点的取值范围. 题点三　嵌套函数的零点问题 [例3] (1)已知f(x)=|ex-1|-1,若函数g(x)=[f(x)]2-af(x)-1有三个零点,则a的取值范围为 (　　) A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(0,+∞) C.(-1,0)∪(0,1) D.(1,+∞) (2)(2025·青岛模拟)已知f(x)=则函数y=4[f(x)]2-8f(x)+3的零点个数是　　　　. |思维建模| 对于一般的y=f(g(x))的函数零点问题的解答步骤 (1)换元解套,令t=g(x),则y=f(t),从而将一个复合函数的零点问题拆解为两个相对简单的函数t=g(x)和y=f(t)的零点问题; (2)依次解方程,令f(t)=0解出t的值,然后代入方程g(x)=t中解出x的值. 而由含参嵌套函数方程引起的参数范围问题,在上述解题要诀的基础上,让含参的值动起来,动静结合、数形结合,抓住临界位置进行求解. [即时训练] 4.(2024·合肥三模)设a∈R,函数f(x)=若函数y=f(f(x))恰有5个零点,则实数a的取值范围为 (　　) A.(-2,2) B.(0,2) C.[-1,0) D.(-∞,-2) 5.(2025·常州阶段质检)[多选]已知f(x)=(a>1),g(x)=[f(x)]2-mf(x),则下列结论正确的是 (　　) A.函数f(x)有唯一零点 B.存在实数m使得函数g(x)有三个以上不同的零点 C.当m∈[1,+∞)时,函数g(x)恰有三个不同的零点 D.当m∈(-∞,0)∪(0,1)时,函数g(x)恰有两个不同的零点 课下作业:请完成“课时跟踪检测(十六)” 学科网（北京）股份有限公司 $$