第2章 第十一节 函数与方程的综合应用（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第十一节　函数与方程的综合应用

明确目标

函数与方程的综合应用是高考的重点内容,要求能通过分析函数的性质,结合图象,研究函数的零点或方程的根等.

 

题点一　根据函数零点存在情况求参数

[例1]

(1)若函数f(x)=-m有零点,则实数m的取值范围是　　　.

 

 

 

 

 

(2)设c∈R,函数f(x)= 若f(x)恰有一个零点,则c的取值范围是　　　　.

 

 

 

 

 

|思维建模|

已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路

(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围;

(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决;

(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.

 

[即时训练]

1.(2024·阳泉三模)若函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1,2)存在零点,则实数m的取值范围是 (　　)

A.(-∞,-5)　　 B.(-5,-1)　　 C.(1,5)　　 D.(5,+∞)

2.(2025·珠海一模)已知函数f(x)=(a∈R)在R上没有零点,则实数a的取值范围是　　　　.

 

题点二　函数零点的和、积问题

[例2]　(多选)已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),且x1<x2<x3<x4,则下列结论正确的是 (　　)

A.x1+x2=2 B.x3x4=1

C.0<x1+x2+x3+x4< D.0<x1x2x3x4<1

 

[即时训练]

3.(2024·烟台二模)已知函数f(x)=若f(x)=m存在四个不相等的实根x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),则4x3+x1x2x4的最小值是　　　　.

 

 

 

|思维建模|

求解有关函数的零点之和(积)问题的3个关键点

(1)判断两零点是否“轴对称”,一旦满足了对称性,两零点之和为定值;

(2)判断两零点之积是否为定值;

(3)以数形结合的方法确定零点的取值范围.

 

题点三　嵌套函数的零点问题

[例3]

(1)已知f(x)=|ex-1|-1,若函数g(x)=[f(x)]2-af(x)-1有三个零点,则a的取值范围为 (　　)