第2章 第十节 函数与方程（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第十节　函数与方程 明确目标 1.理解函数的零点与方程解的关系.了解函数零点存在定理,并能简单应用. 2.能借用工具用二分法求方程的近似解,了解二分法求方程的近似解具有一般性. 教材再回首 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y=f(x),我们把使　　　　　的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图象与　　　有公共点⇔函数y=f(x)有　　　. (3)函数零点的判定(函数零点存在定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有　　　　　　,那么,函数y=f(x)在区间　　　　　内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得　　　　　,这个c也就是方程f(x)=0的解. 2.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且　　　　的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.  3.二次函数图象与零点的关系 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 与x轴 的交点 (x1,0), (x2,0) 　　　　  无 零点个数 　　  　　  　　  典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P155T2改编)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,部分对应关系如表所示,则该函数的零点个数至少为 (　　) x 1 2 3 4 5 6 y 126.1 15.15 -3.92 16.78 -45.6 -232.64 A.2 B.3 C.4 D.5 2.(人B必修①P126T3改编)若函数f(x)=+a的零点为1,则实数a的值为 (　　) A.-2 B.- C. D.2 3.(苏教必修①P253T8改编)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为 (　　) A.2 B.-2,0 C. D.0 二、易错小题的警醒训练 1.函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,则实数a的值为 (　　) A.- B.0 C. D.0或- 2.设f(x)=lg x+x-3,用二分法求方程lg x+x-3=0在(2,3)内近似解的过程中得到f(2.25)<0,f(2.75)>0,f(2.5)<0,f(3)>0,则方程的根所在区间为 (　　) A.(2,2.25) B.(2.25,2.5) C.(2.5,2.75) D.(2.75,3) 题点一　对函数零点存在定理的理解(自主练通) 1.已知函数f(x)在区间[a,b]上具有单调性,且图象是连续不断的,若f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上 (　　) A.至少有一个实数解 B.至多有一个实数解 C.没有实数解 D.必有唯一的实数解 2.若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同时在区间(1,5),(1,3),(2,3),内,则与f(1)符号相同的是 (　　) A.f(5) B.f(3) C.f D.f(2) 3.(2025·蚌埠监测)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,则“f(a)f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 |深化理解| 几个“不一定”与“一定”(假设f(x)在区间(a,b)连续) (1)若f(a)·f(b)<0,则f(x)“一定”存在零点,但“不一定”只有一个零点.要分析f(x)的性质与图象,如果f(x)具有单调性,则“一定”只有一个零点. (2)若f(a)·f(b)>0,则f(x)“不一定”存在零点,也“不一定”没有零点.如果f(x)具有单调性,那么“一定”没有零点. (3)如果f(x)在区间(a,b)内存在零点,则f(a)·f(b)的符号是“不确定”的,受函数性质与图象的影响.如果f(x)具有单调性,那么f(a)·f(b)“一定”小于0. 题点二　函数零点所在区间的判定 [例1]　(多选)函数f(x)=2x2-4ln x-3,则 (　　) A.f(x)在内有零点 B.f(x)在内有零点 C.f(x)在内有零点 D.f(x)在(e,e2)内有零点 [即时训练] 1.已知函数f(x)=x+2x的零点在区间(n,n+1)内,n∈Z,则n的值为 (　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 2.函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的区间是 (　　) A.(0,1) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2) |思维建模| 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)<0,若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点; (2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 题点三　函数零点个数的判定 [例2] (1)函数f(x)=2x|log2x|-1的零点个数为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.4 (2)(2024·湛江二模)已知函数f(x)=|2x-1|-a,g(x)=x2-4|x|+2-a,则 (　　) A.当g(x)有2个零点时,f(x)只有1个零点 B.当g(x)有3个零点时,f(x)有2个零点 C.当f(x)有2个零点时,g(x)有2个零点 D.当f(x)有2个零点时,g(x)有4个零点 |思维建模|　函数零点个数的判定方法 (1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点; (2)利用函数零点存在定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点; (3)图象法:画两个函数的图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点. [即时训练] 3.已知函数f(x)=则当k>0时,函数y=f(x)的零点个数为 (　　) A.8 B.6 C.4 D.2 4.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 课下作业:请完成“课时跟踪检测(十五)” 学科网（北京）股份有限公司 $$