第2章 第三节 函数的奇偶性与周期性（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第三节　函数的奇偶性与周期性 明确目标 1.了解函数奇偶性的含义,了解函数的周期性及其几何意义. 2.会依据函数的奇偶性、周期性解决一些简单的问题. 教材再回首 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且　　　　　　　,那么函数f(x)就叫做偶函数  关于　　　对称  奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且　　　　　　　,那么函数f(x)就叫做奇函数  关于　　　对称  2.函数的周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且　　　　　　　,那么函数y=f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　　　的正数,那么这个　　　　　就叫做f(x)的最小正周期. 解题结论拓展 1.函数奇偶性的3个性质 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0; (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|); (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 2.函数周期性的3个常用结论 对于f(x)定义域内任一自变量的值x, (1)若f(x+a)=-f(x),则2a(a>0)是f(x)的一个周期; (2)若f(x+a)=,则2a(a>0)是f(x)的一个周期; (3)若f(x+a)=-,则2a(a>0)是f(x)的一个周期. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P84例6改编)[多选]给出下列函数,其中为奇函数的是 (　　) A.f(x)=x4 B.f(x)=x5 C.f(x)=x+ D.f(x)= 2.(人B必修①P115T4改编)[多选]已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R,则 (　　) A.f(x)+g(x)是奇函数 B.f(x)|g(x)|是奇函数 C.f(x)g(x)是偶函数 D.f(g(x))是偶函数 3.(北师大必修②P4T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,且f(-1)=2f(10)+3,则f(2 023)= 　　　　. 二、易错小题的警醒训练 1.函数f(x)=|x+1| 是　　　　　函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)  2.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+x-1,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　　　　　. 题点一　判断函数的奇偶性(自主练通) 1.(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是 (　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 2.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x3-; (2)f(x)=; (3)f(x)=+; (4)f(x)= |思维建模|　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法:先判断定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系:若f(-x)=f(x),则y=f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x),则y=f(x)是奇函数; (2)数形结合:若函数图象关于原点对称,则函数是奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数是偶函数; (3)性质法:在公共定义域内有奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 题点二　函数奇偶性的应用 [例1] (1)设函数f(x)=x5+2x3+3x+1在区间[-2 025,2 025]上的最大值为M,最小值为m,则M+m等于 (　　) A.0 B.2 C.1 D.3 |谨记结论| 　　若f(x)是定义在区间D上的奇函数,且有最值,则 ①f(x)max+f(x)min=0; ②若g(x)=f(x)+c,则必有g(-x)+g(x)=2c,g(x)max+g(x)min=2c. (2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)ln 为偶函数,则a= (　　) A.-1 B.0 C. D.1 (3)(2024·景德镇三模)已知函数f(x)=是奇函数,则x>0时,g(x)的解析式为 (　　) A.- B. C.-2x D.2x |思维建模| 函数奇偶性可解决的问题及解题方法 (1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解; (2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上,再利用奇偶性的定义求出; (3)求参数:根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而求出参数的值. [即时训练] 1.已知函数f(x)=a+是奇函数,则f(2)= (　　) A.- B.- C. D. 2.设f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1,则使f(x)>0的x的取值范围是 (　　) A.{x|x>1} B.{x|-1<x<0} C.{x|x<-1,或x>1} D.{x|-1<x<0,或x>1} 3.已知函数f(x)的定义域为R.设函数g(x)=f(x)+e-x,函数h(x)=f(x)-5ex,若g(x)是偶函数,h(x)是奇函数,则f(x)的最小值为 (　　) A.e B.2 C.2 D.2e |习得方略|(左栏T3拓展) 　　涉及两个奇、偶函数的和与差的函数,求其解析式时,需要用-x代替x后利用奇、偶函数的性质列方程组求解. 自主空间: 题点三　函数的周期性及应用 [例2] (1)(2024·榆林二模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-,当x∈(2,4)时,f(x)=1+log3x,则f(99)= (　　) A.1 B.2 C.- D.-2 (2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在[2,4]上的解析式为　　　　　　. [即时训练] 4.已知函数f(x)满足f(1)>0,f(2)=1,f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(50)= (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=-f(-x),则f(1 000)=　　　　. |思维建模| 与周期性有关的解题策略 (1)求解与函数周期有关的问题,应根据题目特征及周期的定义,求出函数的周期. (2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题. |关键点拨| 　　如果T是函数f(x)的周期,那么kT(k∈N*)也是函数的周期,一般求周期是指求最小正周期. 课下作业:请完成“课时跟踪检测(八)” 学科网（北京）股份有限公司 $$