第2章 第七节 指数与指数函数（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第七节　指数与指数函数 明确目标 1.通过对有理数指数幂(a>0,m,n为正整数,且n>1)、实数指数幂ax(a>0,x∈R)含义的理解,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义,会画指数函数的图象,并能应用图象解决一些简单问题. 3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用. 教材再回首 1.根式 (1)概念 式子 叫做　　　,这里n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)性质 ①　　　没有偶次方根;  ②0的任何次方根都是0,记作=　　　;  ③()n=a(n∈N*,且n>1); ④ =a(n为大于1的奇数); ⑤ =|a|=(n为大于1的偶数). 2.分数指数幂 (1)正分数指数幂:= 　　　(a>0,m,n∈N*,n>1). (2)负分数指数幂:=　　　　=　　　　(a>0,m,n∈N*,n>1). (3)0的正分数指数幂等于　　　　,0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 (1)aras=　　　　(a>0,r,s∈R). (2)(ar)s=　　　　(a>0,r,s∈R). (3)(ab)r=　　　　(a>0,b>0,r∈R). 4.指数函数的定义 一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R. 5.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 定义域为　　　　;值域为　　　　　  图象过定点　　　　,即当x=　　　时,y=　　　  当x>0时,恒有　 　; 当x<0时,恒有　　 当x>0时,恒有　　　; 当x<0时,恒有　　 在R上为增函数 在R上为减函数 6.指数函数的常用技巧 (1)当指数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论. (2)指数函数的图象恒过点(0,1),(1,a),,依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象. (3)任意两个指数函数的图象都是相交的,过定点(0,1),底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. (4)指数函数在同一平面直角坐标系中图象的相对位置与底数的大小关系如图所示,其中0<c<d<1<a<b. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P109T1改编)下列运算正确的是 (　　) A.=2-π B.a= C.= D.(=x9 2.(人B必修②P13T1改编)已知指数函数y=f(x)的图象经过点(-1,2),那么这个函数也必定经过点 (　　) A.　　B.　　C.(1,2)　 　D. 3.(人A必修①P116“探究”结论的应用:指数函数的图象变换)函数y=2x+1的图象是 (　　) 4.(人A必修①P117例3改编)设a=1.70.3,b=0.93.1,c=0.91.7,则a,b,c的大小关系是 (　　) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 5.(北师大必修①P88例4改编)函数f(x)=3|x|+1的值域为　　　　. 二、易错小题的警醒训练 1.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[-2,2]上的最大值和最小值的和为,则a的值为 (　　) A. B. C. D.或 2.已知函数y=4x-3·2x+3,若其值域为[1,7],则x可能的取值范围是 (　　) A.[2,4] B.(-∞,0] C.(0,1]∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2] 题点一　指数幂的运算(自主练通) 1.(2025·盐城开学考试)[多选]下列选项正确的是 (　　) A.=a B.若a∈R,则(a2-a+1)0=1 C.=+y D.= 2.(2024·南平二模)对任意非零实数α,当|x|充分小时,(1+x)α≈1+αx.如==2≈2×=2.25,用这个方法计算 的近似值为 (　　) A.1.906 B.1.908 C.1.917 D.1.919 3.设实数a,b满足2a+41-b=8,则a-2b的最大值为 (　　) A.2 B.2+ C.2 D.3 4.已知a=-,b=,则÷=　　　　. |思维建模| 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一. 题点二　指数函数的图象及应用 [例1] (1)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图象如图所示,则g(x)=ax-b的图象可能是 (　　) (2)函数y=|2x-m|+m在(-∞,2]上的最大值为4,则m的取值范围是　　　　. |思维建模| 应用指数函数图象的技巧 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除. (2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时,应注意分类讨论. 自主空间: [即时训练] 1.[多选]已知实数a,b满足等式3a=6b,则下列可能成立的关系式为 (　　) A.a=b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b 2.若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个交点,则a的取值范围是　　　　. 题点三　指数函数的性质及应用 考法(一)　比较大小 [例2]　 (1)(2023·天津高考)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c (2)若ea+πb≥e-b+π-a,下列结论一定成立的是 (　　) A.a+b≤0 B.a-b≥0 C.a-b≤0 D.a+b≥0 |思维建模| 比较指数式大小的方法 (1)直接法:当指数式的底数相同时,直接运用指数函数的单调性比较. (2)转化法:当指数式的底数不同时,利用幂的运算法则将底数统一. (3)中间量法:当指数式的底数不同且不能化为同底时,可利用中间量“1”进行比较. 考法(二)　解简单的指数不等式 [例3]　(2025·苏州模拟)已知函数f(x)=-2+a,其图象无限接近直线y=1但又不与该直线相交,则f(x)>的解集为 (　　) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-2,2) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,1) |思维建模|　解指数不等式的常用方法 (1)性质法:解形如ax>ab的不等式,可借助函数y=ax的单调性求解.如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论. (2)隐含性质法:解形如ax>b的不等式,可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助函数y=ax的单调性求解. (3)图象法:解形如ax>bx的不等式,可利用对应的函数图象求解. 考法(三)　指数函数性质的综合应用 [例4]　(2025·肇庆一模)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常量,且a>0,a≠1,b≠0)的图象经过点A(1,10),B(2,50). (1)求a,b的值; (2)若关于x的不等式bx-≥m+3在[-2,2]上有解,求m的取值范围. |思维建模|　指数型函数的应用技巧 (1)函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性可根据复合函数“同增异减”的规律进行判断,其最值要结合单调性转化为f(x)的最值进行分析求解. (2)对于函数y=f(ax)(a>0,且a≠1),一般要通过换元,令ax=t,化为函数y=g(t),再研究其各种性质. 自主空间: |思维建模|　指数型函数的应用技巧 (1)函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性可根据复合函数“同增异减”的规律进行判断,其最值要结合单调性转化为f(x)的最值进行分析求解. (2)对于函数y=f(ax)(a>0,且a≠1),一般要通过换元,令ax=t,化为函数y=g(t),再研究其各种性质. [即时训练] 3.已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 (　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 4.若不等式<恒成立,则实数a的取值范围是 (　　) A.[0,+∞) B. C. D. 5.(2025·太原模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=a·3x-3-x,且f(-1)=. (1)求a的值,并求出f(x)的解析式; (2)若λf(x)-9x-9-x-14≤0在x∈(0,+∞)上恒成立,求λ的取值范围. 指数函数的综合问题 1.(指、对函数与充分、必要条件)“2a>1,log2b>1”是“2a+b>4”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(指、对函数与基本不等式)数学中,悬链线指的是一种曲线,是两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软(不能伸长)的链条,在重力的作用下所具有的曲线形状,它被广泛应用到现实生活中,比如计算山脉的形状、描述星系的形态、研究植物的生长等等.在合适的坐标系中,这类曲线可用函数f(x)=aex+be-x (其中a,b为非零常数,e=2.718 28…)来表示,当f(x)取到的最小值为2时,下列说法正确的是 (　　) A.此时x=ln a B.此时a+b的最小值为2 C.此时2a+2b的最小值为2 D.此时ln aln b的最小值为0 3.(指、对、幂函数与排列组合)已知集合A=,若a,b,c∈A且互不相等,则使得指数函数y=ax,对数函数y=logbx,幂函数y=xc中至少有两个函数在(0,+∞)上单调递增的有序数对(a,b,c)的个数是 (　　) A.16　　B.24　　C.32　　D.48 4.(指数函数的开放性问题)若对任意m,n∈R,函数f(x)满足f(m)f(n)=f(m+n),且当m>n时,都有f(m)<f(n),则函数f(x)的一个解析式是　　　　　　　　. 5.(新定义问题)华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混浊”的数学定义,由此发展的混浊理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用.在混浊理论中,函数的周期点是一个关键概念,定义如下:设f(x)是定义在R上的函数,对于x∈R,令xn=f(xn-1)(n=1,2,3,…),若存在正整数k使得xk=x0,且当0<j<k时,xj≠x0,则称x0是f(x)的一个周期为k的周期点.若f(x)=ex-1,写出一个f(x)周期为1的周期点　　 　. 课下作业:请完成“课时跟踪检测(十二)” 学科网（北京）股份有限公司 $$