第2章 第九节 函数的图象（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第九节　函数的图象 明确目标 1.会画简单的函数图象,理解函数图象的作用,能准确识别函数的图象. 2.会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题. 教材再回首 1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线,具体步骤如下: (1)确定函数的　　　　; (2)化简　　　　　　; (3)讨论函数的　　　(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);  (4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线. 2.利用图象变换法作函数图象 y=f(x)的图象y=f(x+a)的图象 y=f(x)的图象y=f(x-a)的图象 y=f(x)的图象y=f(x)+h的图象 y=f(x)的图象y=f(x)-h的图象 y=f(x)的图象y=-f(x)的图象 y=f(x)的图象y=f(-x)的图象 y=f(x)的图象y=f(x)的反函数的图象 y=f(x)的图象y=-f(-x)的图象 y=f(x)的图象y=|f(x)|的图象 y=f(x)的图象y=f(|x|)的图象 y=f(x)的图象y=f(ax)的图象 y=f(x)的图象y=Af(x)的图象 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(北师大必修①P56例3改编)已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是 (　　) A.y=f(|x|) B.y=|f(x)| C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|) 2.(人A必修①P140T6)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中.在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是 (　　) 3.(苏教必修①P111T3改编)若函数f(x)=的图象如图所示,则f(-3)=　　　　. 二、易错小题的警醒训练 1.已知函数f(x)=则函数f(1+2x)的图象是 (　　) 2.将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到函数　　　　　　的图象. 题点一　作函数的图象(自主练通) 作出下列函数的图象: (1)y=; (2)y=|log2(x+1)|; (3)y=x2-2|x|-1; (4)y=. |思维建模|　函数图象的画法 (1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象; (2)转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象; (3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称、伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形.应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 题点二　函数图象的辨识 [例1] (1)(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8,2.8]的图象大致为 (　　) (2)(2025·滁州模拟)心形代表浪漫的爱情,人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型,呈现出优雅的弧度,心形木屋融入山川、河流、森林、草原,营造出一个精神和自然聚合的空间. 图2是由此抽象出来的一个“心形”图形,这个图形可看作由两个函数的图象构成,则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为 (　　) A.y=|x| B.y=x C.y= D.y= |思维建模| 1.函数图象识别的常用方法 (1)特殊点法:根据已知函数的解析式选取特殊的点,判断选项中的图象是否经过这些点; (2)函数性质法:根据选项中图象的特点,结合函数的奇偶性、单调性等来排除选项,有时需要借助导数工具求解; (3)极限思想:应用极限思想来处理,达到巧解妙算的效果,使解题过程费时少,准确率高; (4)图象变换法:熟练掌握图象的平移变换(左加右减,上加下减)、对称变换、伸缩变换等,便可破解此类问题. 2.由函数图象判断函数解析式的方法 若已知函数的图象,求解函数解析式,则根据函数图象的特征来判断函数的定义域和值域及函数的奇偶性和单调性、特殊点(特殊值)等. 自主空间: [即时训练] 1.已知函数f(x)=则下列图象错误的是 (　　) 2.如图所对应的函数的解析式可能是 (　　) A.f(x)=(x-1)ln|x| B.f(x)=xln|x| C.f(x)=(x-1)ln x D.f(x)=(x-1)ex(x≠0) 题点三　函数图象的应用 考法(一)　研究函数的性质 [例2]　(多选)已知函数f(x)=f(-x),且f(x)的对称中心为(1,0),当x∈[2,3]时,f(x)=3-x,则下列选项正确的是 (　　) A.f(x)的最小值是-1 B.f(x)在(-3,-2)上单调递减 C.f(x)的图象关于直线x=-2对称 D.f(x)在(3,4)上的函数值大于0 |思维建模| 1.利用函数图象研究函数性质的思路 对于已知解析式或易画出在给定区间上图象的函数,常借助图象研究其性质. (1)从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值. (2)从图象的对称性分析函数的奇偶性. (3)从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性. 考法(二)　解不等式 [例3]　已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为 (　　) A.(-,0)∪(,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(-,0)∪(,2) D.(-2,-)∪(0,)∪(2,+∞) 2.利用函数的图象解不等式的基本思路 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题,从而利用数形结合法求解. 考法(三)　求参数的取值范围 [例4]　(2024·北京昌平二模)已知函数f(x)=若对任意的x都有|f(x)|≥ax恒成立,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,0] B.[-4,0] C.[-3,0] D.(-∞,2] [即时训练] 3.把函数f(x)=ln|x-a|的图象向左平移2个单位长度,所得函数在(0,+∞)上单调递增,则a的最大值为 (　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 4.已知函数f(x)=则不等式f(2a2-1)>f(3a+4)的解集为 (　　) A.(-∞,-1)　　 B.　　C.　　D.(-∞,-1)∪ 5.[多选]设f(x)=则下列选项正确的是 (　　) A.若y=f(x)与y=a,a∈R的图象有两个交点,则a∈(1,+∞) B.若y=f(x)与y=a,a∈R的图象有三个交点,则a∈(0,1] C.0≤f(x)≤1的解集是[-2,0]∪[4,+∞) D.0≤f(f(x))≤1的解集是(-∞,-3]∪(0,1] 3.求解函数图象应用问题的思维流程 (1)画图:作函数的图象; (2)分析:准确分析函数图象的特征点,定性、定量分析; (3)转化:借助函数图象,把原问题转化为数量关系较明确的问题; (4)结论:解决问题,并回归题目的要求,得出正确结论. 课下作业:请完成“课时跟踪检测(十四)” 学科网（北京）股份有限公司 $$