第2章 第二节 函数的单调性与最大(小)值（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第二节　函数的单调性与最大(小)值 明确目标 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法. 2.理解函数最大值、最小值的概念,理解它们的作用和实际意义,会求简单函数的最值. 教材再回首 1.函数的单调性 (1)单调性 设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I 当x1<x2时,都有　　　　　　,那么就称函数f(x)在区间I上单调递增  当x1<x2时,都有　　　　　　,那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上　　　　　或　　　　　　,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 ∀x∈D,都有　　　;∃x0∈D,使得　　　 ∀x∈D,都有　　　;∃x0∈D,使得　　　 结论 M为最大值 M为最小值 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P77“思考”改编)下列函数是增函数的为 (　　) A.f(x)=|x| B.f(x)= C.f(x)=x2 D.f(x)= 2.(北师大必修①P65T3改编)已知函数f(x)在R上是减函数,a,b∈R,且a+b<0,则有 (　　) A.f(a)+f(b)<0 B.f(a)+f(b)>0 C.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) 3.(人A必修①P81例5改编)已知函数f(x)=(x∈[2,6]),则f(x)的最小值为　　　　　,最大值为　　　　. 4.(苏教必修①P134T6)设m为实数,若函数f(x)=x2+mx-2在区间(-∞,2)上单调递减,则m的取值范围为　　　　. 二、易错小题的警醒训练 1.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围是　　　　. 2.函数f(x)=的单调递增区间为　　　　. 题点一　确定函数的单调性 考法(一)　求函数的单调区间 [例1] (1)函数f(x)=(x-4)|x|的单调递增区间是 (　　) A.(-∞,0) B.(-∞,0)∪(2,+∞) C.(-∞,0)和(2,+∞) D.(2,+∞) (2)(2025·唐山模拟)函数f(x)=lo(2x2-3x-2)的单调递增区间为　　　　. 考法(二)　判断或证明函数的单调性 [例2]　试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性. |思维建模|　求函数单调区间的方法 (1)定义法:设元→作差→变形→判断符号→得出结论; (2)图象法:根据图象的上升或下降确定单调性; (3)导数法:利用导数值的正负确定函数的单调区间; (4)性质法:增+增=增,增-减=增,减+减=减,减-增=减; (5)复合法:将函数f(g(x))分解成f(t)和t=g(x),根据复合函数“同增异减”的规则进行判断. 自主空间: [即时训练] 1.若定义在R上的函数f(x)满足f(x)=3f(|x|)+x2-2x,则f(x)的单调递增区间为 (　　) A.(-∞,-10]和[0,1] B.(-∞,-5]和[0,1] C.[-10,0]和[1,+∞) D.[-5,0]和[1,+∞) 2.已知a>0,函数f(x)=x+(x>0),求证:函数f(x)在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增. |微点提醒| 　　函数单调性关注的是整个区间上的性质,单独一点不存在单调性问题,故若单调区间的端点属于定义域,则区间可开可闭,若区间端点不属于定义域,则只能开. 自主空间: 题点二　函数单调性的应用 考法(一)　比较大小 [例3]　已知函数f(x)=,记a=f(),b=f(),c=f(),则 (　　) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a 考法(二)　解不等式 [例4]　已知函数f(x)的定义域为R,对任意的x1,x2且x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0成立, 若f(x2+1)>f(t2-t-1)对任意x∈R恒成立,则实数t的取值范围是　　　　　. |谨记结论| 若∀x1,x2∈I(x1≠x2),则>0(<0)或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减). 考法(三)　求参数范围 [例5]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) |考教衔接| [例5]源自北师大版必修①P73T3:已知函数f(x)=在定义域R上是减函数,求实数a的取值范围. 两题均以分段函数为载体考查函数的单调性,虽然高考题把教材题中的一次函数变为对数函数(难度增加了),减函数变为了增函数,但是解题思路是一样的. |思维建模| (1)比较函数值的大小时,先转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决. (2)求解函数不等式时,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大小关系,应注意函数的定义域. (3)求参数的取值(范围)时,根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值. [即时训练] 3.(2025·扬州开学考试)已知函数f(x)在[1,+∞)上单调递减且对任意x∈R满足f(x)=f(2-x),则不等式f(2x-3)>f(x)的解集是 (　　) A.∪(3,+∞) B. C. D.(3,+∞) 4.(2025·青岛模拟)已知函数f(x)=若f(x)在R上不具有单调性,则a的取值范围是　　　　　　　　. 自主空间: 题点三　函数的最值 [例6] (1)(单调性)函数f(x)=x-+1在[1,4]上的值域为 (　　) A. B.[0,1] C. D. (2)(图象法)记实数x1,x2,…,xn的最小值为min{x1,x2,…,xn},若f(x)=min{x+1,x2-2x+1,-x+8},则函数f(x)的最大值为 (　　) A.4 B. C.1 D.5 (3)(利用单调性和基本不等式)已知函数f(x)=则f(x)的最小值是　　　　. (4)(换元法)函数f(x)=2x2-的最小值为　　　　. |思维建模| 求函数最值的4种基本方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值; (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值; (3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值; (4)换元法:将解析式化归为熟悉的函数,进而解出最值(值域). 自主空间: [即时训练] 5.函数f(x)=3x-10+的值域为 (　　) A.[5,+∞) B.[6,+∞) C.[7,+∞) D.[10,+∞) 6.若函数f(x)=在区间[0,1]上的最大值为,则实数m= (　　) A.3 B. C.2 D.或3 课下作业:请完成“课时跟踪检测(七)” 学科网（北京）股份有限公司 $$