第2章 第八节 对数与对数函数（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第八节　对数与对数函数 明确目标 1.理解对数的概念与运算性质,用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数,能灵活转换对数与指数的关系. 2.了解对数函数的实际意义,会画对数函数的图象,理解对数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用. 3.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数. 教材再回首 1.对数的概念 定义 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作　　　　　,其中　 　叫做对数的底数,　 　叫做真数  性质 loga1=　　　　,logaa=　　　　,logaax=　　　　, 其中a>0,且a≠1;负数和0没有对数  2.对数的运算 运算 性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 loga(MN)=　　　　　　; loga=　 　　;logaMn=　 　　(n∈R) 换底 公式 logab=　　　,logab·logba=1,lobn=logab(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1,m>0,n>0)  对数恒 等式 =N(a>0且a≠1,N>0) 3.对数函数的定义 一般地,函数　　　　　　　　叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是　　　　　. 4.对数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 定义域 　　　　  值域 R 性质 过定点　　　　,即x=1时,y=0  当x>1时,　　　; 当0<x<1时,　 　 当x>1时,　　　; 当0<x<1时,　 　 在(0,+∞)上是　　　 在(0,+∞)上是　　　 5.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,图象关于直线　　　对称. 6.对数函数常用技巧 (1)底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. (2)对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)以y轴为渐近线;g(x)=logax+b恒过定点(1,b),仍以y轴为渐近线. (3)作对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象应抓住三个点,(1,0),(a,1). (4)在同一平面直角坐标系内,当a>1时,随a的增大,对数函数的图象愈靠近x轴;当0<a<1时,对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见下图)(对数函数在第一象限内从左到右底数逐渐增大. ) 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(湘教必修①P126T17(1))下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 (　　) A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y= 2.(北师大必修①P114例7改编)已知a=log0.90.8,b=log0.80.9,c=1.41.9,则 (　　) A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a 3.(人A必修①P127T7 lobn=logab结论的应用) 计算:log89×log2732=　　　　. 4.(人A必修①P132“探究”结论的应用:同一直角坐标系内函数图象在x轴上方部分越远离y轴的对数函数的底数越大) 对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的大致图象如图所示,已知a的取值为,,,,则曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次是　　　　　　　. 5.(人A必修①P140T1改编)函数y=的定义域为　　　　. 二、易错小题的警醒训练 1.若loga<1(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是　　　　. 2.已知log0.72m<log0.7(m-1),则实数m的取值范围是　　　　. 题点一　对数的运算(自主练通) 1.(2025·广州模拟)若log2m+log4n=2,则m2n= (　　) A.3　　B.4　　C.9　　D.16 2.(2024·北京高考)生物丰富度指数d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则 (　　) A.3N2=2N1 B.2N2=3N1 C.= D.= 3.若2x=6,y=log4,则x+2y的值是 (　　) A.3 B.log23 C.-3 D.4 4.(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-,则a=　　　　. |思维建模|　对数运算的一般思路 (1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再用对数的运算性质化简合并. (2)合:将对数式化为同底对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 自主空间: 题点二　对数函数的图象及应用 [例1] (1)在同一直角坐标系中,函数y=a-x,y=loga(a>0且a≠1)的图象可能是 (　　) (2)已知函数f(x)=|log3x|,若b>a>0,且a,b是f(x)的图象与直线y=m(m>0)的两个交点对应的横坐标, 则4a+b的最小值为 (　　) A.2　　B.4　　C.6　　D.8 |习得方略| 函数f(x)=|logax|(a>0且a≠1)的图象 若f(m)=f(n)(m<n),则①0<m<1<n;②mn=1. 自主空间: |思维建模|　对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)对于较复杂的指数或对数不等式有解或恒成立问题,可借助函数图象解决,具体步骤如下: ①对不等式变形,使不等号两边对应两函数f(x),g(x); ②在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)及函数y=g(x)的图象. [即时训练] 1.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是 (　　) A.0<a-1<b<1 B.0<b<a-1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 2.若方程4x=logax在上有解,则实数a的取值范围为　　　　. 题点三　对数函数的性质及应用 考法(一)　比较大小 [例2] (1)已知a=log36,b=log510,c=log714,则 (　　) A.b<a<c B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b (2)设a=log2 0242 026,b=log2 0232 026,2 024c=2 025,则 (　　) A.a>c>b B.a>b>c C.b>c>a D.b>a>c |思维建模| 比较对数函数值大小的方法 (1)单调性法:在同底的情况下直接得到大小关系,若不同底,先化为同底. (2)中间量过渡法:寻找中间数联系要比较的两个数,一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”. (3)图象法:根据图象观察得出大小关系. 考法(二)　解不等式 [例3]　(2025·绵阳阶段练习)设函数f(x)=x3|x|,则不等式f(2log3x)+f(3-log3x)<0的解集是 (　　) A.　　　　　　　 B. C.(0,27) D.(27,+∞) |思维建模| 解对数不等式的类型及方法 (1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解.如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论. (2)形如logax>b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解. 考法(三)　对数函数性质的综合应用 [例4]　已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的最小值为0,求a的值. |思维建模| 解决对数函数性质综合问题的策略 　　利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用. 自主空间: [即时训练] 3.(2025·泰安模拟)已知a=log0.20.3,b=ln a,c=2a,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c>b>a B.a>b>c C.b>a>c D.c>a>b 4.[多选]已知函数f(x)=lo(x2-2ax+2),则以下说法正确的是 (　　) A.∃a∈R,使得f(x)为偶函数 B.若f(x)的定义域为R,则a∈(-,) C.若f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,则a的取值范围是[1,+∞) D.若f(x)的值域是(-∞,2],则a∈ 5.已知对数函数y=logax(a>0,且a≠1),且loga<loga,则关于x的不等式loga(2x-3)>0的解集为　　　　. 指、对、幂比较大小的方法 方法1　作差法、作商法 (1)作差法:A-B>0⇔A>B;A-B=0⇔A=B;A-B<0⇔A<B. (2)作商法:当A>0,B>0时,>1⇔A>B;=1⇔A=B;<1⇔A<B. 1.若a=lg 0.2,b=log32,c=log64,则关于a,b,c的大小关系,下列说法正确的是 (　　) A.c>b>a B.b>c>a C.c>a>b D.a>b>c 2.已知20a=22,22b=23,ac=b,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c>a>b B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c 　　方法2　中间值法 　　当比较A,B的大小时,若能找到一个值t0,满足A<t0且t0<B,则A<B;或满足A>t0且t0>B,则A>B. 在指、对数中,通常可优先选择0,1对所比较的数进行划分,然后再进行比较.也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如log23,可知1=log22<log23<log24=2,进而可估计1<log23<2,从而便于比较. 3.(2025·遂宁零诊)已知a=,b=log32,c=sin ,则 (　　) A.b<c<a B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 　　方法3　性质法 (1)若底数相同,指数或真数不同:可通过函数的单调性,判断出指数或对数的大小关系; (2)若底数不同,指数或真数相同:可以利用相应函数图象的变化规律来判断; (3)若底数不同,指数或真数也不同:需要利用中间值来比较. 4.(2025·宝鸡实验高级中学联考)已知a=,b=,c=,则 (　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 　　方法4　构造新函数 无法一眼找到题干中的数或式子的关联时,观察所给式子的结构,通过结构的特点构造相应的函数,构造没有固定模式,且所构造函数大多需要借助导数研究其单调性,赋值比较大小. 5.已知x3-y3<2-x-2-y,则下列结论正确的是 (　　) A.ln>0 B.ln(y-x+1)>0 C.ln|y+x|>0 D.ln|y-x|>0 课下作业:请完成“课时跟踪检测(十三)” 学科网（北京）股份有限公司 $$