第1章 第五节 二次函数与一元二次方程、不等式（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第五节　二次函数与一元二次方程、不等式 明确目标 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式,了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 2.了解一元二次函数的图象、一元二次不等式与相应方程的联系. 教材再回首 1.三个“二次”间的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异 实根x1,x2 (x1<x2) 有两相等 实根x1= x2=- 没有 实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 　　　　　　　　  　　　  　　  ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 　　　　　　  　　　  　　  2.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a=b a>b (x-a)· (x-b)>0 {x|x<a,或x>b} 　　　  　　　　　　  (x-a)· (x-b)<0 {x|a<x<b} 　　　  　　　　　  3.分式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P55T1改编)不等式-x2+3x+10>0的解集为 (　　) A.{x|-2<x<5} B.{x|x<-2,或x>5} C.{x|-5<x<2} D.{x|x<-5,或x>2} 2.(人B必修①P75T5改编)设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 (　　) A.{x|x<-n,或x>m} B.{x|-n<x<m} C.{x|x<-m,或x>n} D.{x|-m<x<n} 3.(人A必修①P50“思考”:一元二次方程的根与不等式解集端点值的关系)二次函数y=ax2+bx+2,使函数值大于0的x的取值范围是,则a+b=　　　　. 4.(湘教必修①P55例9改编)甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得利润100元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,则x的最小值是　　　 . 二、易错小题的警醒训练 1.不等式≤0的解集为　　　　. 2.已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为[-2,3],则不等式cx2-bx+a≤0的解集为　　　　. 题点一　一元二次不等式的解法 考法(一)　不含参一元二次不等式的解法 [例1]　(多选)下列选项正确的是 (　　) A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2,或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R,则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件 |思维建模| 解一元二次不等式的4个步骤 (1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)计算对应方程的判别式. (3)求出对应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有没有实根. (4)利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集. 考法(二)　含参一元二次不等式的解法 [例2]　解关于x的不等式x2-(a-2)x-2a>0(a∈R). |思维建模| 含参数不等式的分类讨论的关键点 　　含有参数的不等式的求解,往往需要比较(相应方程)根的大小,对参数进行分类讨论. (1)若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论;若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论. (2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式Δ的正负,以便确定解集的形式. (3)对相应方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集. [即时训练] 1.不等式3+5x-2x2≤0的解集为 (　　) A. B. C. D.R 2.求下列关于x的不等式的解集: (1)≥1; (2)2ax2-(a+2)x+1≤0. 题点二　三个“二次”之间的关系 [例3] (1)(2025·邯郸模拟)某同学解关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)时,因弄错了常数c的符号,解得其解集为(-∞,-3)∪(-2,+∞),则不等式bx2+cx+a>0的解集为 (　　) A. B.(-∞,-1)∪ C. D.∪(1,+∞) |谨记结论| 对于不等式ax2+bx+c>0,若其解集为(-∞,m)∪(n,+∞),则a>0且方程ax2+bx+c=0的两根为m,n,且m<n;若其解集为(m,n),则a<0且方程ax2+ax+c=0的两根为m,n,且m<n. (2)若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2},且x2-x1=15,则a的值为　　　　. |思维建模| (1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值. (2)给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点坐标,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. [即时训练] 3.[多选]若不等式ax2-bx+c>0的解集是(-1,2),则下列选项正确的是 (　　) A.a+b+c>0 B.b<0且c>0 C.a<0 D.不等式ax2-cx+b<0的解集是R 4.[多选]已知关于x的不等式(x+2)(x-4)+a<0(a<0)的解集是(x1,x2)(x1<x2),则下列结论正确的是 (　　) A.x1+x2=2 B.x1x2<-8 C.-2<x1<x2<4 D.x2-x1>6 题点三　一元二次不等式恒成立问题 考法(一)　在R上的恒成立问题 [例4]　若不等式kx2+(k-6)x+2>0的解为全体实数,则实数k的取值范围是 (　　) A.[2,18] B.(-18,-2) C.(2,18) D.(0,2) |思维建模|　不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定 (1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或 考法(二)　在给定区间上的恒成立问题 [例5]　设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围. |易错提醒| 在解决含参的不等式问题时,易忽视对二次项系数等于0这种特殊情况的讨论而漏解. |思维建模| 在给定区间上恒成立问题的求解策略 策略一:若f(x)>0在给定区间上恒成立,可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围. 策略二:转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a, 即n≤a. 考法(三)　变换主元解决恒成立问题 [例6]　已知a∈[-1,1]时,不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为 (　　) A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3) |思维建模| 　　给定参数范围的恒成立问题,常采用变更主元的方法,即交换主元与参数的位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解.常见的是转化为一次函数f(x)=ax+b(a≠0)在[m,n]上恒成立问题,若f(x)>0恒成立⇔即直线上两点的函数值均大于零,则由直线的特点可知,两点之间的所有点的函数值均大于零.同理,若f(x)<0恒成立⇔ [即时训练] 5.关于x的不等式mx2+2mx+1<0的解集为空集,则m的取值范围为 (　　) A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1] D.[0,1) 6.若∀x∈,使得3x2-λx+1≥0成立是真命题,则实数λ的最大值为 (　　) A. B.2 C.4 D. 7.若命题“∃-1≤a≤3,ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则实数x的取值范围为 (　　) A.{x|-1≤x≤4} B. C. D. 自主空间: 课下作业:请完成“课时跟踪检测(五)” 学科网（北京）股份有限公司 $$