第1章 第四节 基本不等式（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第四节　基本不等式 明确目标 1.掌握基本不等式≤(a,b>0),了解其推导过程. 2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 教材再回首 1.基本不等式:≤ (1)基本不等式成立的条件:　　　　　. (2)等号成立的条件:当且仅当　　　时取等号. 2.算术平均数与几何平均数 设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为　 　　,几何平均数为　　　　,基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值P,那么当且仅当　　　　时,x+y有最小值　　　.(简记:积定和最小) (2)如果和x+y是定值S,那么当且仅当　　　时,xy有最大值　　　.(简记:和定积最大) 4.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥　　　,a,b∈R; (2)+≥2,ab>0; (3)ab≤,a,b∈R; (4)≥ ≥≥(a>0,b>0), 当且仅当a=b时,上面不等式的“=”成立. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P58T5改编)若正实数a,b满足a+4b=ab,则ab的最小值为 (　　) A.16 B.8 C.4 D.2 2.(苏教必修①P61T1)若m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是 (　　) A.4 B.4 C.9 D.18 3.(人A必修①P48T1(1)改编)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取得最小值,则a等于 (　　) A.1+ B.1+ C.3 D.4 4.(人A必修①P48T1(2)改编)函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是　　　　. 二、易错小题的警醒训练 1.当x<0时,函数y=x+ (　　) A.有最大值-4 B.有最小值-4 C.有最大值4 D.有最小值4 2.已知a>0,b>0,则++2的最小值是 (　　) A.2 B.2 C.4 D.5 题点一　利用基本不等式求最值 考法(一)　配凑法求最值 [例1] (1)设实数x满足x>0,则函数y=2+3x+的最小值为 (　　) A.4-1 B.4+2 C.4+1 D.6 (2)若x>1,则4x+的最小值为　　　　. |思维建模|　配凑法的运用技巧 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项、配系数、凑常数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式,如凑成x+(a>0),+的形式等,然后利用基本不等式求解最值.拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件. 考法(二)　常值代换法求最值 [例2] (1)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则的最小值为　　　　. (2)若0<x<,则+的最小值是　　　　. |思维建模| 常值代换法的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数). (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式. (4)利用基本不等式求解最值. 考法(三)　消元法求最值 [例3]　已知正实数a,b满足ab+2a+3b=9,则a+3b的最小值是　　　　. |思维建模| 消元法求最值的技巧 　　消元法,即先根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式,再进行最值的求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解,但同时应注意转化的等价上各个元的范围. [即时训练] 1.已知x>1,则的最小值为 (　　) A.6 B.8 C.10 D.12 2.[多选]若a>0,b>0,a+b=8,则下列不等式恒成立的是 (　　) A.≤4 B.+≥4 C.a2+b2≥32 D.+≥ 3.(2025·重庆部分学校联考)已知a>b>0,则a++的最小值为 (　　) A.2 B. C.3 D.3 4.若正实数a,b满足ab=2a+b,则a+2b的最小值是　　　. 拓展与建模:基本不等式的推广 (1)三元基本不等式 a3+b3+c3≥3abc(a,b,c均为正实数)⇒ 当且仅当a=b=c时等号成立. (2)推广到n元的基本不等式为≥(a1,a2,…,an均为正实数), 当且仅当a1=a2=…=an时等号成立. (3)利用三元基本不等式求最值需满足的条件和方法与基本不等式求最值完全一致. [针对训练] 1.若x>0,则4x+的最小值是 (　　) A.9 B.3 C.13 D.不存在 2.若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,则(1-a)(1-b)·(1-c)的最大值为 (　　) A. B. C. D. 题点二　基本不等式的实际应用 [例4]　某公园有如图所示一块直角三角形空地,直角边AB=8 m,AC=6 m.现欲建一个如图的内接矩形花园ADEF,点E在斜边BC上(不包括端点),则花园ADEF的面积的最大值为 (　　) A.2 m2 B.12 m2 C.16 m2 D.24 m2 |思维建模| 实际应用问题的解题技巧 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值. (2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围. (3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解. 自主空间: [即时训练] 5.某厂家拟在2025年举办某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)之间满足x=3-.已知2025年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入9万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).则该厂家2025年的利润最大值为　　　　 万元. 题点三　基本不等式的综合应用 [例5] (1)函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,若点P在直线mx+ny+1=0上,其中m>0,n>0,则+的最小值为 (　　) A.4 B.9 C.3+2 D.8 (2)已知a>0,b>0,且ab=,不等式++≥4恒成立,则正实数m的取值范围是 (　　) A.{m|m≥1} B.{m|m≥2} C.{m|m≥3} D.{m|m≥4} |思维建模| (1)当基本不等式与其他知识相结合时,往往是提供一个应用基本不等式的条件,然后利用常数代换法求最值. (2)求参数的值或取值范围时,一般需要结合题目特征,分离参数,利用基本不等式确定等号成立的条件,从而得到参数的值或取值范围. 自主空间: [即时训练] 6.(2025·赣州模拟)已知平面向量a=(2λ2+1,λ),b=(μ,1),其中λ>0,若a∥b,则实数μ的取值范围是 (　　) A.[2,+∞) B.[2,+∞) C.[,+∞) D.[1,+∞) 7.已知x,y∈(0,+∞),且x+y=1,若不等式x2+y2+xy>m2+m恒成立,则实数m的取值范围是 (　　) A. B. C.(-2,1) D.∪(1,+∞) 课下作业:请完成“课时跟踪检测(四)” 学科网（北京）股份有限公司 $$