第1章 第三节 不等式及其性质（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第三节　不等式及其性质 明确目标 1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据,会比较两个数的大小. 2.理解不等式的概念与性质,并掌握不等式性质的简单应用. 教材再回首 1.比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a>b a-b>0 >1(a,b>0)或<1(a,b<0) a=b a-b=0 =1(b≠0) a<b a-b<0 <1(a,b>0)或>1(a,b<0) 2.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔　　　;a<b⇔　　　 可逆 传递性 a>b,b>c⇒　　　　; a<b,b<c⇒　　　 同向 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 可乘性 a>b,c>0⇒　　　　; a>b,c<0⇒　　　 c的 符号 同向 可加性 a>b,c>d⇒　　　 同向 同向同正 可乘性 a>b>0,c>d>0⇒　　　 同向, 同正 可乘方性 a>b>0,n∈N*⇒an>bn 同正 可开方性 a>b>0,n∈N,n≥2⇒> 同正 解题结论拓展 1.倒数性质 (1)a>b,ab>0⇒<;(2)a<0<b⇒<; (3)a>b>0,0<c<d⇒>; (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2.分数性质 若a>b>0,m>0,则 (1)<;>(b-m>0); (2)>;<(b-m>0). 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P43T8改编)[多选]下列命题是真命题的是 (　　) A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b>0,则a2>b2 C.若a<b<0,则a2<ab<b2 D.若a<b<0,则> 2.(人B必修①P66“尝试与发现”改编)已知a=+,b=2+2,则a,b的大小关系是 (　　) A.a>b B.a=b C.a<b D.无法确定 3.(苏教必修①P76T8改编)已知a-1>0,则下列结论正确的是 (　　) A.-1<-a<a<1 B.-a<-1<1<a C.-a<-1<a<1 D.-1<-a<1<a 4.(人A必修①P43T5改编)已知2<a<3,-2<b<-1,则a+2b的取值范围为 (　　) A.(-2,1) B.(0,2) C.(-4,-2) D.(0,1) 二、易错小题的警醒训练 [多选]下列不等式关系成立的是 (　　) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b,<,则ab>0 C.若a>b,>,则a>0>b D.若a>b,a2>b2,则a>b>0 题点一　比较数(式)的大小(自主练通) 1.若a<0,b<0,则p=+与q=a+b的大小关系为 (　　) A.p<q B.p≤q C.p>q D.p≥q 2.若a=4d+,b=4d2++1,则 (　　) A.a≥b B.a>b C.a=b D.a<b 3.若实数m,n,p满足m=4,n=5,p=,则 (　　) A.p<m<n B.p<n<m C.m<p<n D.n<p<m 4.已知a>0,b>0,a≠b,则aabb与(ab的大小关系是　　　　　. |思维建模| 1.作差法的步骤和关注点 (1)步骤:作差并变形⇒判断差与0的大小⇒得结论. (2)关注点:利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形. 2.作商法的步骤和关注点 (1)步骤:作商并变形⇒判断商与1的大小⇒得结论. (2)关注点:作商时各式的符号应相同,如果a,b均小于0,所得结果与“原理”中的结论相反.变形方法有分母(或分子)有理化,指、对数恒等变形等. 拓展与建模:糖水不等式 (1)教材母题:(人教A版必修①P43T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立. 本题得到的不等式称为糖水不等式: ①设a>b>0,m>0,则有<. ②糖水不等式的倒数形式:设a>b>0,m>0,则有>. (2)对数型糖水不等式 ①设n∈N*,且n>1,则有logn+1n<logn+2(n+1). ②设a>b>1,m>0,则有logab<loga+m(b+m). ③上式的倒数形式:设a>b>1,m>0,则有logba>logb+m(a+m). [示例] 比较大小:log74　　　　log96. 解题观摩: 法一:log74-log96=(log74-1)-(log96-1)=log7 -log9<log9 -log9 <0. 法二:普通型糖水不等式 log74=<=<=log96. 法三:对数型糖水不等式 由对数型糖水不等式直接可得log74<log96. 题点二　不等式的基本性质 [例1]　(多选)已知a>b,c∈R,则下列不等式不一定成立的是 (　　) A.a(c-1)2>b(c-1)2 B.> C.a(c2+2)>b(c2+1) D.ab2>a2b |思维建模| 判断命题真假的2种方法 (1)直接法:直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件. (2)特殊值法:注意取值要遵守三个原则:①满足题设条件;②取值要简单,便于验证计算;③所取的值要有代表性. 自主空间: [即时训练] 1.[多选]若m>n>0>p,m+p≠0,则 (　　) A.> B.m2-p2>0 C.> D.m2-n>n2-m 2.[多选]若a<b<-1,c>0,则下列不等式一定成立的是 (　　) A.a->b- B.a-<b- C.ln(b-a)>0 D.> 题点三　不等式性质的综合应用 [例2] (1)已知1≤a-b≤2,3≤a+b≤4,则ab的最大值为　　　　. (2)记max{x1,x2,x3}表示x1,x2,x3这3个数中最大的数.已知a,b,c都是正实数,M=max,则M的最小值为　　　　. |思维建模| 求代数式取值范围的注意点 (1)同向不等式具有可加性与正值可乘性,但是不能相减或相除,应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围,注意变形的等价性. (2)多次运用不等式的性质有可能扩大变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求解. [即时训练] 3.[多选]已知实数x,y满足1<x<6,2<y<3,则下列结论正确的是 (　　) A.3<x+y<9 B.-1<x-y<3 C.2<xy<18 D.<<6 4.设x,y为实数,满足2≤xy2≤3,3≤≤4,则的最大值是　　　　. 课下作业:请完成“课时跟踪检测(三)” 学科网（北京）股份有限公司 $$