第1章 第二节 常用逻辑用语（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第二节　常用逻辑用语 明确目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义,能正确从集合角度理解充分条件与必要条件的判断方法. 理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系、数学定义与充要条件的关系. 2.理解全称量词命题与存在量词命题的意义,能正确对两种命题进行否定. 教材再回首 1.充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果　　　,则p是q的充分条件;  (2)如果　　　,则p是q的必要条件;  (3)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作　　　　　,则p是q的充要条件. 2.充分、必要条件与对应集合间的关系 设A={x|p(x)},B={x|q(x)}, (1)若A⊆B,则p是q的　　　　条件,q是p的　　　　条件. (2)若AB,则p是q的　　　　　　　条件,q是p的　　　　　条件. (3)若A=B,则p是q的　　　　　条件. 3.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有的、一切、任意一个、每一个、任给等 　　 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、对某些等 　　 4.全称(存在)量词命题及含一个量词的命题的否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x,p(x)成立 存在M中的元素x,p(x)成立 简记 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 否定 ∃x∈M,綈p(x) ∀x∈M,綈p(x) 命题的否定与原命题的真假性相反. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P22T2改编)命题“三角形是等腰三角形”是命题“三角形是等边三角形”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(人A必修①P23T2(5)改编)设x>0,y>0,则“x2>y2”是“x>y”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(苏教必修①P47T10)若命题“∀x∈R,x2+1>m”是真命题,则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞,1] B.(-∞,1) C.[1,+∞) D.(1,+∞) 4.(人A必修①P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是　　　　　　　　　　　　. 二、易错小题的警醒训练 1.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≤x2”的否定是 (　　) A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n>x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n>x2 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n>x2 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n>x2 2.若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件,则m的取值范围是　　　　. 题点一　充分、必要条件的判断 [例1] (1)(2024·天津高考)设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知x∈R,则“0<ln x≤”是“≤1”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 |思维建模| 判断充分、必要条件的2种方法 (1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. [即时训练] 1.(2025·重庆一模)已知集合A={x|-1≤x≤2},B={x|-a≤x≤a+1},则“a=1”是“A⊆B”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2024·和平二模)若x∈R,下列选项中,使“x2<1”成立的一个必要不充分条件为 (　　) A.-2<x<1 B.-1<x<1 C.0<x<2 D.-1<x<0 3.(2024·北京西城三模)对于无穷数列{an},定义dn=an+1-an(n=1,2,3,…),则“{an}为递增数列”是“{dn}为递增数列”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 |深化认知| (1)区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA),与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同. (2)当命题可以用集合表示时,小集合推出大集合,小集合是大集合的充分不必要条件,大集合是小集合的必要不充分条件;若两集合范围一样,就是充要条件的关系. 题点二　充分、必要条件的应用 [例2]　已知集合A={x|log2 x<m},B=,若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数m的取值范围是　　　　. |思维建模| 由充分、必要条件求参数范围的策略 (1)巧用转化求参数:把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系,然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解,注意条件的等价变形. (2)端点值慎取舍:在求参数范围时,要注意区间端点值的检验,从而确定取舍. [即时训练] 4.已知集合A=,或x>2},B={x|2a≤x≤a+3},若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　　. 5.已知命题p:2<x<3,命题q:|2x-a|<2,若命题綈q是命题綈p的充分不必要条件,则实数a的取值范围是　　　　　　　. 题点三　全称量词与存在量词 [例3] (1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x,则 (　　) A.p和q都是真命题 B.綈p和q都是真命题 C.p和綈q都是真命题 D.綈p和綈q都是真命题 (2)若命题“∀x<2,2x<a”为真命题,则实数a的取值范围为 (　　) A.(-∞,4] B.(-∞,4) C.[4,+∞) D.(4,+∞) |思维建模| 含量词命题的解题策略 (1)要判定全称量词命题是真命题,需证明都成立;要判定存在量词命题是真命题,只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时,可以先判断其否定的真假. (2)由命题真假求参数的范围,一是直接由命题的真假求参数的范围;二是可利用等价命题. [即时训练] 6.(2025·长春模拟)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则 (　　) A.∀x∈R,f(-x)+f(x)≠0 B.∀x∈R,f(-x)-f(x)≠0 C.∃x∈R,f(-x)+f(x)≠0 D.∃x∈R,f(-x)-f(x)≠0 7.若命题“∃x∈R,x2+4x+t<0”是假命题,则实数t的最小值为 (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 8.[多选]下列四个命题是假命题的为 (　　) A.∃x∈Z使1<4x<3 B.∃x∈N使5x+1=0 C.∀x∈R,x2-1=0 D.∀x∈R,x2+x+2>0 自主空间: 课下作业:请完成“课时跟踪检测(二)” 学科网（北京）股份有限公司 $$