第九章 统计（教师用书）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第九章|统　计 第一节 随机抽样与统计图表 明确目标 1.了解获取数据的基本途径. 2.会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本,了解分层随机抽样. 3.能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表,体会使用统计图表的重要性. 教材再回首 1.总体、个体、样本 调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体,组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体,在抽样调查中,从总体中抽取的那部分个体称为样本,样本中包含的个体数称为样本容量,简称样本量. 2.简单随机抽样 (1)简单随机抽样分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样(除非特殊声明,本章所指的简单随机抽样是指不放回简单随机抽样). (2)简单随机样本:通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. (3)简单随机抽样的常用方法:抽签法和随机数法. 3.分层随机抽样 (1)定义:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层. (2)特点: ①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体;②分成的各层互不重叠; ③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例,即,其中n为样本容量,N为总体容量; ④分层随机抽样使样本具有较强的代表性,而且在各层抽样时,又可灵活地选用不同的随机抽样方法. 4.统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等. (2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义 求极差 即一组数据中最大值与最小值的差 决定组距与组数 组数k=,若k∈Z,则组数为k,若k∉Z,则组数为不少于k的最小整数 将数据分组 各组均为左闭右开区间,最后一组是闭区间 列频率分布表 一般分四列:分组、频数累计、频数、频率,最后一行是合计,其中频数合计应是样本量,频率合计应是1 画频率分布直方图 在频率分布直方图中,纵轴表示,数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积来表示,各小长方形的面积的总和等于1 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修②P224T1改编)为了了解某地参加计算机水平测试的5 000名学生的成绩,从中抽取了200名学生的成绩进行调查分析,在这个问题中,被抽取的200名学生成绩是 (　　) A.总体 B.个体 C.样本 D.样本量 解析:选C　由题意可得200名学生成绩是样本. 2.(苏教必修②P233T2改编)某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2∶3∶5,现用分层随机抽样的方法抽出一个样本容量为80的样本,那么其中A种型号产品有　　　　件.  解析:因为A,B,C三种不同型号的产品的数量之比依次为2∶3∶5,所以样本中A种型号产品有80×=16件. 答案:16 3.(人A必修②P198T1改编)如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图,则月均用水量为[2,2.5)范围内的居民数为　　　　.  解析:由频率分布直方图可知,月均用水量为[2,2.5)范围内的居民所占频率为0.5×0.5=0.25,所以月均用水量为[2,2.5)范围内的居民数为100×0.25=25. 答案:25 二、易错小题的警醒训练 1.用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中,抽取一个样本量为2的样本,某一个个体a“第一次被抽到的概率”“第二次被抽到的概率”“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是　　　　、　　　　、　　　　.  解析:从6个个体中抽1个个体,每个个体被抽到的概率均为,与抽取的次数无关,第二次被抽到的概率仍为.但由于在整个抽样过程中是从6个个体中抽2个样本,故个体a被抽到的概率为.(易错点:不理解简单随机抽样中每个个体入样是等可能的,即简单随机抽样中,每个个体被抽到的机会一样,与先后无关) 答案:　　 2.某校高一年级共有学生200人,其中1班60人,2班50人,3班50人,4班40人.该校要了解高一学生对食堂菜品的看法,准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈,若采取按比例分配的分层随机抽样的方式,则应从高一2班抽取的人数是　　　　.  解析:由题意,从高一年级200人中抽取40人访谈,按照班级分层,则高一2班应该抽取×40=10人.(易错点:对分层随机抽样的抽取比例理解有误致错) 答案:10 题点一　简单随机抽样(自主练通) 1.下列抽样方法中,属于简单随机抽样的是 (　　) A.某社团为调查本校学生的环保知识水平,向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷,隔5分钟后回收 B.某次科普讲座之前,主持人抽取座位尾号为1的听众进行提问 C.一车间主任从堆放的100件产品中抽取了摆放在最上面的10件产品进行检查 D.销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后,从中抽取5个工号牌 解析:选D　对于A,人数较多,且图书馆的学生不能代表本校全体学生,故A错误;对于B,按照相同间隔抽取的方法,是系统抽样,不是简单随机抽样,故B错误;对于C,抽取的产品不具有代表性,故C错误;对于D,符合简单随机抽样的定义,故D正确. 2.总体由编号01,02,…,29,30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是从第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为 (　　) 第1行　78　16　62　32　08　02　62　42　62　52　53　69　97　28　01　98 第2行　32　04　92　34　49　35　82　00　36　23　48　69　69　38　74　81 A.19 B.25 C.26 D.27 解析:选B　由随机数法可知,样本的前5个个体的编号分别为23,20,26,24,25,因此,选出的第5个个体的编号为25. 3.用简单随机抽样的方法从含有n个个体的总体中,逐个抽取一个容量为3的样本,若个体a在第一次被抽到的可能性为,那么n=　　　　;在整个抽样中,每个个体被抽到的可能性为　　　　.  解析:简单随机抽样中第一次抽样可以理解为从n个个体中抽取一个个体,则每个个体被抽到的可能性是,因此n=8.在整个抽样过程中,每个个体被抽到的可能性是. 答案:8　 |思维建模| (1)简单随机抽样需满足:被抽取的样本总体的个体数有限;逐个抽取;等可能抽取. (2)简单随机抽样一般有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)和随机数法(适用于总体中个体数较多的情况). (3)简单随机抽样和分层随机抽样在抽样过程中每个个体被抽取的机会相等. 题点二　分层随机抽样(自主练通) 1.(2025·南通模拟)某学校高二年级选择“物化生”,“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240,90和120.现采用分层随机抽样的方法选出30位同学进行一项调查研究,则“史地政”组合中选出的同学人数为 (　　) A.8 B.12 C.16 D.6 解析:选A　由题意,可知30×=8,故“史地政”组合中选出的同学人数为8. 2.(2024·重庆三模)重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2 400人,除成渝外的西部地区2 000人,中部地区1 400人,东部地区1 800人,港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯,拟选取40人作样本调研,为保证调研结果的代表性,则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　为保证调研结果的代表性,设从该校去年招收的成渝地区学生中抽取n人,则=,解得n=12,即从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为. 3.一支田径队有男运动员48人,女运动员36人,用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为21的样本,抽出的男运动员平均身高为177.5 cm,抽出的女运动员平均身高为168.4 cm,则估计该田径队运动员的平均身高是 (　　) A.173.6 cm B.172.95 cm C.172.3 cm D.176 cm 解析:选A　由题意,田径队男、女队员的比例为48∶36=4∶3,用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为21的样本,设男运动员4x名,女运动员3x名,故4x+3x=21,解得x=3,即男运动员12名,女运动员9名,故该田径队运动员的平均身高大约为=173.6 cm. 4.[多选]某学校为了解学生视力健康状况,降低学生近视率,增强学生爱眼护眼意识,对三个年级的学生视力健康状况进行调研,已知高一、高二、高三的学生人数之比为4∶3∶3,现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 n的样本,样本中高一年级学生人数为200人,则 (　　) A.该校三个年级总的学生数为5 000人 B.样本容量n为500 C.该校高二年级总的学生数有1 500人 D.样本中高二年级学生数为150人 解析:选BD　设样本中高二、高三的学生人数分别为a,b,则200∶a∶b=4∶3∶3,则a=b=150,所以样本容量n=200+150+150=500,故B、D正确;无法确定该校三个年级总的学生数和该校高二年级总的学生数,故A、C错误. 5.某校老年、中年和青年教师的人数如表所示,采用分层随机抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有32人,则该样本的老年教师人数为　　　.  类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 人数 36 72 64 172 解析:在抽取的样本中,青年教师有32人,而抽样的比例为=,设该样本的老年教师人数为x,则有=,∴x=18. 答案:18 |思维建模| 1.分层随机抽样问题类型及解题思路 (1)求某层应抽个体数量,按该层所占总体的比例计算. (2)已知某层个体数量,求总体容量或反之求解,根据分层随机抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算. (3)分层随机抽样的计算应根据抽样比例构造方程求解,其中“抽样比例==”. (4)分层随机抽样时,每层抽取的个体可以不一样多,但必须满足抽取ni=n·(i=1,2,…,k)个个体(其中i是层数,n是抽取的样本容量,Ni是第i层中个体的个数,N是总体容量). 2.平均数 　　在分层随机抽样中,如果层数分为2层,第1层和第2层包含的个体数分别为M和N,抽取的样本量分别为m和n,第1层和第2层样本的平均数分别为,,则样本的平均数=+=+. 题点三　统计图表 考法(一)　折线图、条形图与扇形图 [例1] (1)[多选]某中学组织三个年级的学生进行禁毒知识竞赛.经统计,得到成绩排在前200名学生分布的扇形图(图1)和其中的高一学生排名分布的频率条形图(图2).则下列命题正确的是 (　　) A.成绩排在前200名的200人中,高二人数比高三人数多10 B.成绩排在第1~50名的50人中,高一人数比高二人数多 C.成绩排在第51~150名的100人中,高三人数占比可能超过 D.成绩排在第51~100名的50人中,高二人数肯定多于23 解析:选AC　成绩排在前200名的200人中,高二人数比高三人数多200×(30%-25%)=10,故A正确;成绩排在第1~50名的50人中,高一人数为200×45%×20%=18,高二和高三的总人数为50-18=32,高二的具体人数不知道,故B错误;成绩排在第51~150名的100人中,高一人数为200×45%×(0.3+0.4)=63,高二和高三的总人数为100-63=37,所以高三人数占比有可能超过,故C正确;成绩排在第51~100名的50人中,高一学生人数为200×45%×0.3=27,高二人数最多有50-27=23,故D错误. (2)(2025·盐城模拟)在某市初三年级举行的一次体育考试中(满分100分),所有考生成绩均在[50,100]内,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成五组,甲、乙两班考生的成绩占比如图所示,则下列说法正确的是 (　　) A.成绩在[70,80)内的考生中,甲班人数多于乙班人数 B.甲班成绩在[80,90)内人数最多 C.乙班成绩在[70,80)内人数最多 D.甲班成绩的极差比乙班成绩的极差小 解析:选B　由题图知,每一组中的成绩占比都是以各自班级的总人数为基数的,所以每一组中的甲班、乙班人数不能从所占的百分比来判断,故A错误;由题图可知甲班成绩主要集中在[80,90)内,乙班成绩主要集中在[60,70)内,故B正确,C错误;由题图可知甲班成绩的极差和乙班成绩的极差的大小无法确定,故D错误. |思维建模|　扇形图、条形图、折线图的关注点 (1)扇形图能清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系. (2)条形图的长度表示各类别频数的多少,宽度是固定的类别,与频率分布直方图不同. (3)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据,因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势. 考法(二)　频率分布直方图 [例2]　(2025·包头模拟)某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图. 根据此频率分布直方图,下面结论不正确的是 (　　) A.对该公司产品满意度评分低于60分的用户比例估计为35% B.对该公司产品满意度评分不低于70分的用户比例估计为40% C.估计该公司用户对产品的满意度评分的平均值不超过60分 D.估计该公司有一半以上的用户,对产品的满意度评分介于50分至80分之间 解析:选C　对该公司产品满意度评分低于60分的用户比例估计为(0.015+0.020)×10×100%=35%,故A正确;对该公司产品满意度评分不低于70分的用户比例估计为(0.020+0.010+0.010)×10×100%=40%,故B正确;估计该公司用户对产品的满意度评分的平均值为=45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.2+85×0.1+95×0.1=67>60,故C错误;对产品的满意度评分介于50分至80分之间的用户比例为(0.020+0.025+0.020)×10×100%=65%,估计该公司有一半以上的用户,对产品的满意度评分介于50分至80分之间,故D正确.故选C. |思维建模|　频率分布直方图的数据特点 (1)频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果,不要误以为纵轴上的数据是各组的频率,不要和条形图混淆. (2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,这是解题的关键,常利用频率分布直方图估计总体分布. [即时训练] 1.(2025·云南联考)要调查某地区高中学生身体素质,从高中生中抽取100人进行跳远测试,根据测试成绩制作频率分布直方图如图,现从成绩在[120,140)之间的学生中用分层随机抽样的方法抽取5人,应从[120,130)间抽取人数为b,则 (　　) A.a=0.025,b=2 B.a=0.025,b=3 C.a=0.030,b=4 D.a=0.030,b=3 解析:选D　由题得10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,所以a=0.030.在[120,130)之间的学生有100×10×0.030=30人,在[130,140)之间的学生有100×10×0.020=20人,则在[120,140)之间的学生有50人,又用分层随机抽样的方法在[120,140)之间的学生中抽取5人,即抽样比为,所以成绩在[120,130)之间的学生中抽取的人数应为30×=3,即b=3.故选D. 2.[多选]如图所示是世界人口变化情况的三幅统计图. 下列结论正确的是 (　　) A.从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加 B.2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 C.2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平 D.1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢 解析:选ABC　从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加,故A正确;从扇形图中能够明显地看出2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多,故B正确;从条形图中能够明显地看出2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平,故C正确;由题中扇形图与条形图两幅统计图可以看得出北美洲人口数量最少,并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢,故D错误. 3.[多选]某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况,抽出了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图,其中支出在[50,60]元的学生有60人,则下列说法正确的是(　　) A.样本中支出在[50,60]元的频率为0.03 B.采用分层随机抽样从这n人中抽出10人,则在[30,50)中共需抽出6人 C.n的值为200 D.该校学生一周生活方面支出的中位数大约是44元(精确到个位数) 解析:选BCD　样本中支出在[50,60]元的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3,故A错误;样本中支出在[30,50)的频率为(0.024+0.036)×10=0.6,所以采用分层随机抽样从这n人中抽出10人,则在[30,50)中共需抽出的人数为10×0.6=6,故B正确;n==200,故C正确;前两个矩形的面积之和为(0.01+0.024)×10=0.34,前三个矩形的面积之和为0.34+0.036×10=0.7,设样本中支出的中位数为x,则40<x<50,且0.34+(x-40)×0.036=0.5,解得x≈44,所以该校学生一周生活方面支出的中位数大约是44元,故D正确. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.现要完成下列2项抽样调查:①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;②东方中学共有160名教职工,其中教师120名,行政人员16名,后勤人员24名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是 (　　) A.①抽签法,②分层随机抽样 B.①随机数法,②分层随机抽样 C.①随机数法,②抽签法 D.①抽签法,②随机数法 解析:选A　①总体较少,宜用抽签法;②各层间差异明显,宜用分层随机抽样.故选A. 2.(2025·邢台期末)某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1 200,1 000,800,按年级进行分层,用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为30的样本,调查全校学生的睡眠时间.高一年级抽取的学生的平均睡眠时间为8.5小时,高二年级抽取的学生的平均睡眠时间为7.8小时,三个年级抽取的学生的总平均睡眠时间为8小时,则高三年级抽取的学生的平均睡眠时间为 (　　) A.7.2小时 B.7.3小时 C.7.5小时 D.7.6小时 解析:选C　由题意,得抽样比例为=,则高一、高二、高三年级抽取的学生人数分别为1 200×=12,1 000×=10,800×=8,设高三年级抽取的学生的平均睡眠时间为x小时,则8x+10×7.8+12×8.5=30×8,解得x=7.5.故选C. 3.某养猪场定购了一批仔猪,从中随机抽查了100头仔猪的体重(单位:斤),经数据处理得到如图的频率分布直方图,其中体重最轻的14头仔猪的体重的频数分布表如表,为了将这批仔猪分栏喂养,需计算频率分布直方图中的一些数据,其中a+b的值为 (　　) 体重 22 24 26 27 28 29 31 频数 1 1 2 3 3 2 2 A.0.144 B.0.152 C.0.76 D.0.076 解析:选B　由题意得c+d=×=0.024,且[2(c+d)+a+b]×5=1,所以2×0.024+a+b=0.2,所以a+b=0.152.故选B. 二、多选题 4.为了了解参加运动会的1 500名运动员的年龄情况,从中抽取了150名运动员的年龄进行调查,则下列说法正确的是 (　　) A.1 500名运动员的年龄是总体 B.抽取到的150名运动员是样本 C.这个抽样方法可以采取随机数法抽样 D.每个运动员被抽到的机会相等 解析:选AD　1 500名运动员的年龄是总体,故A正确;抽取到的150名运动员的年龄是样本,故B错误;随机数法常常用于总体的个体数较少时,当总体中的个体数较多时,编号复杂,将总体“搅拌均匀”也比较困难,用随机数法产生的代表性不合理,故C错误;在简单的随机抽样时,每个运动员被抽到的机会是相等的,故D正确. 5.为丰富优质旅游资源,释放旅游消费潜力,推动旅游业高质量发展,某地政府从2024年国庆期间到该地旅游的游客中,随机抽取部分游客进行调查,得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据,并绘制统计图如图所示,利用数据统计图估计,得到的结论正确的是 (　　) A.游客中,青年人是老年人的2倍多 B.老年人的满意人数是青年人的2倍 C.到该地旅游的游客中满意的中年人占总游客人数的24.5% D.到该地旅游的游客满意人数超过一半 解析:选ACD　由扇形统计图可知青年人占比45%是老年人占比20%的2倍多,故A正确;其中满意的青年人占总人数的0.45×0.4×100%=18%,满意的中年人占总人数的0.35×0.7×100%=24.5%,满意的老年人占总人数的0.2×0.8×100%=16%,故B错误,C正确;总满意率为18%+24.5%+16%=58.5%>50%,故D正确. 6.(2025·银川质检)某企业2024年12个月的收入与支出数据的折线图如图. 已知:利润=收入-支出,根据该折线图,下列说法正确的是 (　　) A.该企业2024年1月至6月的总利润低于2024年7月至12月的总利润 B.该企业2024年1月至6月的平均收入低于2024年7月至12月的平均收入 C.该企业2024年8月至12月的支出持续增长 D.该企业2024年11月份的月利润最大 解析:选ABC　因为图中的实线与虚线的相对高度表示当月利润.由折线统计图可知1月至6月的相对高度的总量要比7月至12月的相对高度总量少,故A正确;由折线统计图可知1月至6月的收入普遍低于7月至12月的收入,故B正确;由折线统计图可知2024年8月至12月的虚线是上升的,所以支出持续增长,故C正确;由折线统计图可知11月的相对高度比7月、8月都要小,故D错误. 7.某市为了解该地小微企业年收入的变化情况,对该地小微企业推行的年税收减免政策减免前和减免后的年收入进行了抽样调查.将数据整理,得到如图所示的频率分布直方图,则下列结论正确的是 (　　) A.推行减免政策后,该市小微企业的年收入都有了明显的提高 B.推行减免政策后,该市小微企业的平均年收入有了明显的提高 C.推行减免政策后,该市小微企业的年收入更加均衡 D.推行减免政策后,该市小微企业的年收入没有变化 解析:选BC　年收入在[65,70]万元的,减免前的频率为0.011×5=0.055,减免后的频率为0.008×5=0.040,故A错误;减免前占比最多的年收入为[45,50)万元,其次是[40,45)万元,减免后占比最多的为[50,55)万元,其次是[55,60)万元,所以平均年收入也明显提高,故B正确;减免前年收入在[25,30)万元的占比为0.055,而减免后年收入最少的[25,30)万元没有了,变成[35,40)万元,减免前[65,70]万元的占比为0.055,而减免后年收入最多的[65,70]万元的占比为0.040,即减少了,所以年收入更加均衡,故C正确;从题图上知年收入有所变化,如收入在[65,70]万元的减少了,而收入在[25,30)万元的减免后没有了,所以收入提高了,故D错误. 三、填空题 8.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如表所示(单位:辆): 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆,则z的值为　　　　　.  解析:设该厂这个月共生产轿车n辆,由题意得=,所以n=2 000,则z=2 000-100-300-150-450-600=400. 答案:400 9.在样本频率分布直方图中,共有9个小长方形,若中间一个小长方形面积等于其他8个小长方形的面积和的,且样本容量为140,则中间一组的频数为　　　　.  解析:设中间一个小长方形的面积为x,其他8个小长方形的面积和为x,根据频率分布直方图各小长方形的面积之和为1,得x+x=1,则x=,即中间一组的频率为,所以中间一组的频数为140×=40. 答案:40 10.为了了解某校高三学生的视力情况,随机抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如图所示,已知后5组数据的频数之和为62,设视力在4.6到4.8之间的学生人数为a,最大频率为0.32,则a的值为　　　　.  解析:前三组的人数之和为100-62=38,第三组的人数为38-(1.1+0.5)×0.1×100=22,则a=22+0.32×100=54. 答案:54 第二节 用样本估计总体 　　 明确目标 1.会用统计图表对总体进行估计,会求n个数据的第p百分位数. 　 2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度. 教材再回首 1.百分位数 (1)定义:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. (2)四分位数:第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数. 2.众数、中位数、平均数 (1)众数:一组数据中出现次数最多的那个数据,叫做这组数据的众数. (2)中位数:把n个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. (3)平均数:把称为a1,a2,…,an这n个数的平均数. 3.标准差与方差 设一组数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为,则这组数据的标准差和方差分别是 s=, s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]. 4.比例分配的分层随机抽样所获得样本的均值与方差 利用比例分配的分层(两层)随机抽样获得的样本中,第一层的样本量为n1,均值为,方差为;第二层的样本量为n2,均值为,方差为,则总的样本均值=+,总的样本方差s2=[+(-)2]+[+(-)2]. 解题结论拓展 (1)若x1,x2,…,xn的平均数为,那么mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数为m+a. (2)数据x1,x2,…,xn与数据x1'=x1+a,x2'=x2+a,…,xn'=xn+a的方差相等,即数据经过平移后方差不变. (3)若x1,x2,…,xn的方差为s2,那么ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为a2s2. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修②P181T1)为了合理调配电力资源,某市欲了解全市50 000户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查,得到其日用电量的平均数为5.5 K·h,则可以推测全市居民用户日用电量的平均数 (　　) A.一定为5.5 K·h B.高于5.5 K·h C.低于5.5 K·h D.约为5.5 K·h 解析:选D　由样本的数字特征与总体的数字特征的关系,可知全市居民用户日用电量的平均数约为5.5 K·h. 2.(人A必修②P216T3改编)[多选]在去年的足球联赛上,甲队每场比赛平均失球数是1.5,方差为1.1;乙队每场比赛平均失球数是2.1,方差是0.4,下列说法正确的有 (　　) A.平均来说甲队比乙队防守技术好 B.乙队比甲队的防守技术更稳定 C.每轮比赛甲队的失球数一定比乙队少 D.乙队可能有一半的场次不失球 答案:AB 3.(人B必修②P70T2改编)计算数据1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的40%分位数为　　　　　.  解析:将数据从小到大排列后可得1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,因为10×40%=4,所以这组数据的40%分位数是=4.5. 答案:4.5 4.(苏教必修②P271T10改编)已知数据x1,x2,…,x10的平均数为2,方差为3,那么数据2x1+3,2x2+3,…,2x10+3的平均数和方差分别为　　　　　.  答案:7,12 二、易错小题的警醒训练 1.有一组数据:-1,a,-2,3,4,2,它们的中位数是1,则这组数据的平均数是　　　　.  解析:数据-1,a,-2,3,4,2,已知除a以外的数据从小到大排序为-2,-1,2,3,4,要使得中位数为1,则a在第3位,即=1,a=0,经检验符合题意,所以这组数据的平均数是=1.(易错点:忽视中位数需先从小到大排序,而是直接找中间的数而致错) 答案:1 2.某高中学校为了减轻学生过重的课业负担,提高育人质量,在全校所有的1 000名高中学生中随机抽取了100名学生,了解他们完成作业所需要的时间(单位:h),将数据按照[0.5,1),[1,1.5),[1.5,2),[2,2.5),[2.5,3),[3,3.5]分成6组,并将所得的数据绘制成频率分布直方图(如图所示). 由图中数据可知a=　　　　　;估计全校高中学生中完成作业的平均时间为　　　　　　　.  解析:由0.5×(2a+0.3+0.4+0.5+0.6)=1可得a=0.1;由题图可知,全校高中学生完成作业的平均时间为0.75×0.05+1.25×0.2+1.75×0.25+2.25×0.3+2.75×0.15+3.25×0.05=1.975.(易错点:频率分布直方图中,平均数估计值中,高和面积混淆错误) 答案:0.1　1.975 题点一　样本数字特征的估计(自主练通) 1.(2025·广州模拟)[多选]已知样本数据7,3,5,3,10,8,则这组数据的 (　　) A.众数为3 B.平均数为6.5 C.上四分位数为8 D.方差为 解析:选ACD　首先,我们把数据从小到大排列,得到3,3,5,7,8,10,观察得数据3出现的次数最多,所以众数为3,故A正确;平均数为==6,故B错误;因为一共有6个数据,且6×75%=4.5,所以上四分位数为第5个数,故上四分位数为8,故C正确;方差为[(3-6)2+(3-6)2+(5-6)2+(7-6)2+(8-6)2+(10-6)2]=(9+9+1+1+4+16)=×40=,故D正确. 2.(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理下表: 亩产量 [900, 950) [950, 1 000) [1 000, 1 050) [1 050, 1 100) [1 100, 1 150) [1 150, 1 200] 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据,下列结论中正确的是 (　　) A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 解析:选C　根据频数分布表可知,6+12+18=36<50,所以亩产量的中位数不小于1 050 kg,故A错误; 亩产量不低于1 100 kg的频数为24+10=34,所以低于1 100 kg的稻田占比为=66%,故B错误; 稻田亩产量的极差最大约为1 200-900=300,最小约为1 150-950=200,故C正确; 由频数分布表可得,100块稻田亩产量的平均值为×(6×925+12×975+18×1 025+30×1 075+24×1 125+10×1 175)=1 067,故D错误. 3.(2023·新课标Ⅰ卷)[多选]有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则 (　　) A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数 B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数 C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差 D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差　 解析:选BD　取x1=1,x2=x3=x4=x5=2,x6=9,则x2,x3,x4,x5的平均数等于2,标准差为0,x1,x2,…,x6的平均数等于3,标准差为,故A、C均不正确;根据中位数的定义,将x1,x2,…,x6按从小到大的顺序进行排列,中位数是中间两个数的算术平均数,由于x1是最小值,x6是最大值,故x1,x2,…,x6的中位数是将x2,x3,x4,x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数,与x2,x3,x4,x5的中位数相等,故B正确;根据极差的定义,知x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差,故D正确.故选BD. 4.若数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,x,6.6的第65百分位数是4.5,则实数x的取值范围是　　　　　.  解析:因为8×65%=5.2,所以这组数据的第65百分位数是第6个数据为4.5, 所以应该有5个数据不大于4.5,则x≥4.5. 答案:[4.5,+∞) 5.学校为了解学生身高(单位:cm)情况,采用分层随机抽样的方法从4 000名学生(男、女生人数之比为3∶2)中抽取了一个容量为100的样本.其中,男生平均身高为175,方差为184,女生平均身高为160,方差为179,用样本估计总体,则该学校学生身高的方差为　　　　　　　　.  解析:根据题意,由于男、女生人数之比为3∶2,则样本中男女生人数之比为3∶2,其中,男生平均身高为175,方差为184,女生平均身高为160,方差为179, 则样本的平均数=×175+×160=169,样本的方差s2=×[184+(175-169)2]+×[179+(160-169)2]=236,用样本估计总体,则该学校学生身高的方差为236. 答案:236 |思维建模|　计算一组数据的第p百分位数的步骤 题点二　频率分布直方图中的数字特征 [例1]　为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下频率分布直方图. 记C为事件“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.30. (1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值; (2)求甲离子残留百分比的第75百分位数; (3)估计乙离子残留百分比的平均数.(同一组数据用该组区间的中点值为代表) 解:(1)由已知得0.30=0.05+b+0.15,解得b=0.10,所以a=1-0.20-0.15-0.30=0.35. (2)根据频率分布直方图,易知甲离子残留百分比的第75百分位数在区间[4.5,5.5),设为x,则0.15+0.20+0.30+(x-4.5)×0.20=0.75,解得x=5.0,所以甲离子残留百分比的第75百分位数为5.0. (3)乙离子残留百分比的平均数的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.0. |思维建模|　用频率分布直方图估计样本的数字特征 (1)平均数: (xi表示第i个小矩形底边中点的横坐标,Si表示第i个小矩形的面积). (2)方差: (3)众数:最高小矩形底边中点的横坐标. (4)中位数:把频率分布直方图划分为左、右两个面积相等的部分时,分界线与横轴交点的横坐标. (5)百分位数:类比中位数,百分位数所在垂直于x轴的直线把频率分布直方图划分为左、右两个部分,左边所有矩形的面积和为p%.中位数是第50百分位数. 求解公式:已知频率分布直方图的组距为d. ①找出百分位数所在的矩形区间[a,b); ②第p百分位数=a+d·. [即时训练] 1.随着时代不断地进步,人们的生活条件也越来越好,越来越多的人注重自己的身材,其中体脂率是一个很重要的衡量标准.根据一般的成人标准,女性体脂率的正常范围是20%至25%,男性的正常范围是15%至18%.这一范围适用于大多数成年人,可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计,抽取了1 000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图如图. (1)求a; (2)如果女性体脂率为25%至30%属“偏胖”,体脂率超过30%属“过胖”,那么全市女性“偏胖”,“过胖”各约有多少人? (3)小王说:“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说:“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低? 解:(1)由频率分布直方图可得5×2a+5×0.03+5×0.07+5×6a+5×2a=1,所以a=0.01. (2)由频率分布直方图可得样本中女性“偏胖”的频率为5×0.06=0.3, 样本中女性“过胖”的频率为5×0.02=0.1, 所以全市女性“偏胖”的人数约为 1 000 000×0.3=300 000, 全市女性“过胖”的人数约为 1 000 000×0.1=100 000. (3)调查所得数据的平均数为12.5×0.1+17.5×0.15+22.5×0.35+27.5×0.3+32.5×0.1=23.25,即小张的体脂率为23.25%. 设调查所得数据的中位数为x, 因为0.1+0.15=0.25<0.5,0.1+0.15+0.35=0.6>0.5, 所以20<x<25, 所以0.25+(x-20)×0.07=0.5, 所以x=≈23.57,即小王的体脂率为23.57%. 所以小张的体脂率更低. 题点三　总体离散程度的估计 [例2]　(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下: 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),z1,z2,…,z10的样本平均数为,样本方差为s2. (1)求,s2. (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高 . 解:(1)由题意,求出zi的值如表所示, 试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 zi 9 6 8 -8 15 11 19 18 20 12 则=×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,s2=×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=61. (2)因为2=2=,=11=>,所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. |思维建模|　总体离散程度的估计 　　标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方差)越大,数据的离散程度越大;标准差(方差)越小,数据的离散程度越小. [即时训练] 2.为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标,从两厂各随机选取了10个轮胎,将每个轮胎的宽度(单位:mm)记录下来并绘制出如下的折线图. (1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数; (2)若轮胎的宽度在[194,196]内,则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小,根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况,判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好? 解:(1)甲厂10个轮胎宽度的平均数 =×(195+194+196+193+194+197+196+195+193+197)=195(mm), 乙厂10个轮胎宽度的平均数 =×(195+196+193+192+195+194+195+192+195+193)=194(mm). (2)甲厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,194,196,194,196,195, 平均数=×(195+194+196+194+196+195)=195, 方差=×[(195-195)2+(194-195)2+(196-195)2+(194-195)2+(196-195)2+(195-195)2]=, 乙厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,196,195,194,195,195, 平均数=×(195+196+195+194+195+195)=195, 方差=×[(195-195)2+(196-195)2+(195-195)2+(194-195)2+(195-195)2+(195-195)2]=. ∵两厂标准轮胎宽度的平均数相等,但乙厂的方差更小,∴乙厂的轮胎相对更好. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.10名工人某天生产同一零件,生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则 (　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 解析:选D　数据从小到大排列得10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.则有a=×(15+17+14+10+15+17+17+16+14+12)=14.7,b=×(15+15)=15,c=17.所以c>b>a.故选D. 2.(2025·贵阳模拟)为了了解某班学生数学成绩,利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本,统计如下: 学生数 平均分 方差 男生 6 80 7 女生 4 75 2 则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为 (　　) A.77.5,5　 B.77.5,11　 C.78,5　 D.78,11 解析:选D　可估计全班学生数学的平均分为80×+75×=78,方差为[7+(80-78)2]+[2+(75-78)2]=11.故选D. 3.已知一组数据1,2,3,4,x的下四分位数是x,则x的可能取值为 (　　) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:选D　一共有5个数据,5×25%=1.25,故数据的下四分位数为数据从小排到大的第2个数据,所以1≤x≤2. 4.某同学掷一枚正方体骰子5次,记录每次骰子出现的点数,统计出结果的平均数为2,方差为0.4,可判断这组数据的众数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　不妨设五个点数为x1≤x2≤x3≤x4≤x5,由题意知平均数为2,方差为0.4,则(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2+(x5-2)2=2,x1+x2+x3+x4+x5=10.可知五次的点数中最大点数不可能为4,5,6.五个点也不可能都是2,则五个点数情况可能是3,3,2,1,1,其方差为×[(3-2)2+(3-2)2+(2-2)2+(1-2)2+(1-2)2]==0.8,不合题意.若五个点数情况为3,2,2,2,1,其方差为×[(3-2)2+(2-2)2+(2-2)2+(2-2)2+(1-2)2]==0.4,符合题意,其众数为2. 5.在践行“乡村振兴”战略的过程中,某地大力发展特色花卉种植业.某农户种植一种观赏花卉,为了解花卉的长势,随机测量了100枝花卉的高度(单位:cm),得到花卉高度的频率分布直方图,如图所示,则下列说法正确的是 (　　) A.样本花卉高度的极差不超过20 cm B.样本花卉高度的中位数不小于众数 C.样本花卉高度的平均数不小于中位数 D.样本花卉高度小于60 cm的占比不超过70% 解析:选D　对于A,由频率分布直方图可知,样本花卉高度的极差为70-40=30(cm),A错误;对于B,样本花卉高度的众数为=57.5(cm),设样本花卉高度的中位数为a cm,前三个矩形的面积和为(0.012+0.028+0.036)×5=0.38,前四个矩形的面积和为0.38+0.056×5=0.66,故a∈(55,60),由中位数的定义可得0.38+(a-55)×0.056=0.5,解得a≈57.14(cm),则a<57.5,所以样本花卉高度的中位数小于众数,B错误;对于C,由频率分布直方图可知,样本花卉高度的平均数为=42.5×0.06+47.5×0.14+52.5×0.18+57.5×0.28+62.5×0.24+67.5×0.1=56.5(cm),则<a,所以样本花卉高度的平均数小于中位数,C错误;对于D,由B可知,样本花卉高度小于60 cm的占比为66%,D正确. 二、多选题 6.下列说法正确的是 (　　) A.一组样本数据的方差s2=[(x1-3)2+(x2-3)2+…+(x20-3)2],则这组样本数据的总和为60 B.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23 C.若一个样本容量为8的样本的平均数是5,方差为2.现样本中又加入一个新数据5,此时样本的平均数不变,方差变大 D.若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为16 解析:选AD　对于A,由方差的公式可知,该组数据的平均数是3,这组样本数据的总和为3×20=60,A正确;对于B,数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23,共10个数,从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30,由于10×0.7=7,故第7和第8个数的平均数为第70百分位数,即=23.5,所以第70百分位数是23.5,故B错误;对于C,某8个数的平均数为5,方差为2,现又加入一个新数据5,设此时这9个数的平均数为,方差为s2,则==5,s2==<2,故C错误;对于D,样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,故数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为=16,故D正确. 7.(2025·大庆一模)为弘扬奥运精神,某学校组织高一年级学生进行奥运专题的答题活动.为了调查男生和女生对奥运会的关注程度,在高一年级随机抽取10名男生和10名女生的竞赛成绩(满分100分),按从低到高的顺序排列,得到下表中的样本数据: 男生 82 85 86 87 88 90 90 92 94 96 女生 82 84 85 87 87 87 88 88 90 92 则下列说法正确的是 (　　) A.男生样本数据的25%分位数是86 B.男生样本数据的中位数小于男生样本数据的众数 C.女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变 D.女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变 解析:选ABC　10×25%=2.5,所以男生样本数据的25%分位数是86,故A正确;男生样本数据的中位数为=89,男生样本数据的众数为90,故B正确;女生样本数据的平均数为×(82+84+85+87×3+88×2+90+92)=87,女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数为×(84+85+87×3+88×2+90)=87,故C正确;女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变,但是极差变小,所以方差变小,故D错误. 8.(2024·济南二模)某景点工作人员记录了国庆假期七天该景点接待的旅游团数量.已知这组数据均为整数,中位数为18,唯一众数为20,极差为5,则 (　　) A.该组数据的第80百分位数是20 B.该组数据的平均数大于18 C.该组数据中最大数字为20 D.将该组数据从小到大排列,第二个数字是17 解析:选AC　设该组数据从小到大为a,b,c,d,e,f,g,由中位数为18,故d=18,由唯一众数为20,故e=f=20或f=g=20,即可确定f=20,由7×0.8=5.6,则该组数据的第80百分位数是f,即为20,故A正确;该组数据可能为15,15,16,18,20,20,20, 此时=×(15+15+16+18+20+20+20) =18-<18,故B错误;由题可知g≥20,若g≥21,则a=g-5≥16,此时只有e=f=20,故a<b<c<d=18,从而有b≥17,c≥18,d≥19,与d=18矛盾,故g=20,故C正确;该组数据可能为15,15,16,18,20,20,20,故D错误. 9.已知一组样本数据:-1,5,a,b.其中a≤0,b≥0,将该组数据排列,下列关于该组数据结论正确的是 (　　) A.数列不可能既是等比数列又是等差数列 B.若成等比数列,a和b有3组可能取值 C.若成等差数列,a和b有3组可能取值 D.若该数据平均数是1,则方差最小值为 解析:选AB　由-1,5可知若成等比数列,则公比小于0,正负交替,而等差数列具有单调性,相互矛盾,故不可能既是等比数列又是等差数列,故A正确;若排列后成等比数列,设公比绝对值大于1有①公比为-5,数列为a,b,-1,5⇒a=-,b=, 数列为-1,5,a,b⇒a=-25,b=125. ②公比为,数列为-1,b,a,5⇒a=-,b=,公比绝对值小于1,对应同解,故a,b有3组可能取值,故B正确;由a≤0,b≥0,若-1,5,a,b排序后成等差数列,设公差大于0有 ①公差d=6,数列为a,-1,5,b⇒a=-7,b=11; ②公差d=3,数列为-1,a,5,b⇒a=2,b=8,不符; ③公差d=2,数列为-1,a,b,5⇒a=1,b=3,不符. 公差小于0,对应上述倒序排列,同解,故a,b有1组可能取值,故C错误;数据平均数是1,=×(-1+5+a+b)=1⇒a+b=0, 方差s2=[(-1-1)2+(5-1)2+(a-1)2+(b-1)2]=≥.故D错误. 三、填空题 10.(2025·贵阳开学考试)已知一组样本数据1,2,m,6的极差为6,若m>0,则m=　　　　,这组数据的方差为　　　　.  解析:因为一组样本数据1,2,m,6的极差为6,且m>0,所以m-1=6,解得m=7,则==4,所以方差为s2=[(1-4)2+(2-4)2+(6-4)2+(7-4)2]=(9+4+4+9)=. 答案:7　 11.互不相等的4个正整数从小到大排序为a1,a2,a3,a4,若它们的平均数为4,且这4个数据的极差是中位数的2倍,则这4个数据的中位数为　　　　　.  快审准解:利用平均数、极差和中位数的定义求解. 解析:由题意可知,a1+a2+a3+a4=16,a4-a1=2×=a2+a3, 所以a4=a1+a2+a3=16-a4,解得a4=8, 所以a1+a2+a3=8. 又因为a1,a2,a3,a4是互不相等的4个正整数从小到大排序的,所以a1=1,a2=2,a3=5或a1=1,a2=3,a3=4, 所以这4个数据的中位数为=. 答案: 12.已知a,b,c是正整数,且a∈[10,20],b∈(20,30],c∈(30,40].当a,b,c方差最小时,写出满足条件的一组a,b,c的值　　　　.  快审准解:根据方差定义计算方差,再由方差最小,确定a,c后转化为关于b的二次函数,利用二次函数求最小值即可得解. 解析:设=, 则s2=[(a-)2+(b-)2+(c-)2] =[a2+b2+c2+3-2(a+b+c)] = =[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]. 要使方差最小,三个数据应尽量接近, 故a=20,c=31, 则s2=[(20-b)2+(b-31)2+(31-20)2] =(b2-51b+741). 关于b的二次函数的对称轴为b=, 又b∈(20,30]且b为正整数,所以当b=25或b=26时,方差s2最小,最小值为. 故满足条件的a,b,c为20,25,31或20,26,31. 答案:20,25,31或20,26,31(写出其中一组即可) 四、解答题 13.(2025·济宁模拟)甲、乙两名学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下: 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)求两名学生预赛成绩的平均数和方差; (2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪名学生参加合适?请说明理由. 解:(1)=×(82+81+79+78+95+88+93+84)=85, =×(92+95+80+75+83+80+90+85)=85, =×[(82-85)2+(81-85)2+(79-85)2+(78-85)2+(95-85)2+(88-85)2+(93-85)2+(84-85)2]=35.5, =×[(92-85)2+(95-85)2+(80-85)2+(75-85)2+(83-85)2+(80-85)2+(90-85)2+(85-85)2]=41. (2)由(1)知=,<, 甲的成绩较稳定,所以派甲参赛比较合适. 14.(2025·孝感模拟)某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值; (2)求样本成绩的第75百分位数; (3)已知落在[50,60)的平均成绩是56,方差是7,落在[60,70)的平均成绩为65,方差是4,求两组成绩的总平均数和总方差s2. 解:(1)每组小矩形的面积之和为1, ∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1,∴a=0.030. (2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65, 落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9, 设第75百分位数为m,由0.65+(m-80)×0.025=0.75,得m=84,故第75百分位数为84. (3)由频率分布直方图知,成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10, 成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20, 所以==62; 由样本方差计算总体方差公式,得总方差为 s2=×{10×[7+(56-62)2]+20×[4+(65-62)2]}=23. 第三节 成对数据的统计分析 　　 明确目标 1.了解样本相关系数的统计含义,会通过样本相关系数比较多组成对数据的相关性. 2.掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法,会使用相关的统计软件. 3.针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测. 4.理解2×2列联表的统计意义.了解2×2列联表独立性检验及其应用. 教材再回首 1.变量的相关关系 (1)正相关和负相关:从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量正相关;当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减小的趋势,则称这两个变量负相关. (2)线性相关:一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关. (3)非线性相关或曲线相关:一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 2.样本相关系数 (1)样本相关系数 (2)样本相关系数r的性质 ①当r>0时,称成对样本数据正相关;当r<0时,称成对样本数据负相关;当r=0时,只表明成对样本数据间没有线性相关关系,但不排除它们之间有其他相关关系. ②|r|≤1.当|r|越接近于1,成对样本数据的线性相关程度越强;|r|越接近于0,成对样本数据线性相关程度越弱. 3.一元线性回归模型 (1)一元线性回归模型 我们称为Y关于x的一元线性回归模型.其中,Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量;a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的随机误差. (2)经验回归方程与最小二乘估计 ①经验回归方程:=x+. ②最小二乘估计: 说明:经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形称为经验回归直线.经验回归直线过点(,). (3)残差 对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的称为预测值,观测值减去预测值所得到的差称为残差. (4)决定系数 决定系数R2用来比较两个模型的拟合效果,R2= 是残差平方和,R2越大(越接近1),表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好;R2越小,表示残差平方和越大,即模型的拟合效果越差. 4.列联表与独立性检验 (1)2×2列联表:一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的取值为{0,1},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d (2)独立性检验 χ2=.利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验,读作“卡方独立性检验”,简称独立性检验. (3)临界值:对于任何小概率值α,可以找到相应的正实数xα,使得P(χ2≥xα)=α成立,我们称xα为α的临界值,这个临界值可作为判断χ2大小的标准.概率值α越小,临界值xα越大. 下表给出了χ2独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (4)基于小概率值α的检验规则 当χ2≥xα时,我们就推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α; 当χ2<xα时,我们没有充分证据推断H0不成立,可以认为X和Y独立. 解题结论拓展 (1)求解经验回归方程的关键是确定回归系数,,应充分利用经验回归直线过样本点的中心(,). (2)根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度,若χ2越大,则两个分类变量有关的把握越大. (3)回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断,得出的结论都可能犯错误. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(苏教选必修②P153“思考”改编)下列四个散点图中,变量x与y之间具有负的线性相关关系的是 (　　) 答案:D 2.(人A选必修③P139T3)根据分类变量x与y的样本数据,计算得到χ2=2.974.依据α=0.05的独立性检验,结论为 (　　) α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.变量x与y不独立 B.变量x与y不独立,这个结论犯错误的概率不超过0.05 C.变量x与y相互独立 D.变量x与y相互独立,这个结论犯错误的概率不超过0.05 解析:选C　由题表可知当α=0.05时,xα=3.841,因为χ2=2.974<xα=3.841,所以分类变量x与y相互独立,但不能推出“这个结论犯错误的概率不超过0.05”. 3.(苏教选必修②P187T6改编)已知x,y的取值如下表,从散点图可以看出y与x具有线性相关关系,且经验回归方程为=0.95x+,则=　　　　.  x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 解析:∵经验回归直线必过样本点的中心(,),又=2,=4.5,代入经验回归方程,得=2.6. 答案:2.6 二、易错小题的警醒训练 1.某医疗机构通过抽样调查(样本容量n=1 000),利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺病是否与吸烟有关.计算得χ2=4.453,经查阅临界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05,现给出四个结论,其中正确的是 (　　) A.在100个吸烟的人中约有95个人患肺病 B.若某人吸烟,那么他有95%的可能性患肺病 C.有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关” D.只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关” 解析:选C　由已知数据可得,有1-0.05=95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”.(易错点:求解独立性检验问题对χ2的值理解不准确而错选B) 2.[多选]在统计中,由一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),利用最小二乘估计得到两个变量的经验回归方程为=x+,那么下列说法正确的是 (　　) A.直线=x+必经过点(,) B.直线=x+表示最接近y与x之间真实关系的一条直线 C.样本相关系数为r,且|r|越接近于1,相关程度越大;|r|越接近于0,相关程度越小 D.用决定系数R2来刻画回归效果,R2越小说明拟合效果越好 解析:选ABC　直线=x+必过样本点中心即点(,),故A正确;直线=x+是采用最小二乘估计求解出的直线方程,接近真实关系,故B正确;样本相关系数r的绝对值越接近于1,表示相关程度越强,越接近于0,相关程度越弱,故C正确;用决定系数R2来刻画回归效果,R2越大,说明模型的拟合效果越好,故D错误.(易错点:本题若对经验回归方程的概念理解不清,容易错选) 题点一　成对数据的相关性(自主练通) 1.(2024·南昌三模)如图对两组数据x,y和v,u分别进行回归分析,得到散点图如图,并求得经验回归方程分别是=x+和=v+,并对变量x,y进行线性相关检验,得到样本相关系数r1,对变量v,u进行线性相关检验,得到样本相关系数r2,则下列判断正确的是 (　　) A.b1>0 B.b2<0 C.|r1|<|r2| D.r1+r2<0 解析:选D　由散点图可知,x与y负相关,v与u正相关,则<0,>0,故A、B错误;且图形中点(x,y)比(v,u)更加集中在一条直线附近,则|r1|>|r2|.又r1<0,r2>0,得r1+r2<0,故C错误,D正确. 2.(2024·长沙二模)对两个变量x和y进行回归分析,得到一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是 (　　) A.平均数 B.样本相关系数r C.决定系数R2 D.方差 解析:选C　平均数与方差是用来反馈数据集中趋势与波动程度大小的统计量;变量y和x之间的样本相关系数r的绝对值越大,则变量y和x之间线性相关关系越强;用决定系数R2来刻画回归效果,R2越大说明拟合效果越好. 3.(2024·广安二模)某公司收集了某商品销售收入y(万元)与相应的广告支出x(万元)共10组数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,10),绘制出如下散点图,并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中10个点中去掉A点后再重新进行线性回归分析,则下列说法正确的是 (　　) A.决定系数R2变小 B.残差平方和变小 C.样本相关系数r的值变小 D.解释变量x与响应变量y的相关性变弱 解析:选B　从题图中可以看出A点较其他点偏离直线远,故去掉A点后,回归效果更好,故决定系数R2会变大,更接近于1,残差平方和变小,样本相关系数r的绝对值,即|r|会更接近于1,由题图可得x与y正相关,故r会更接近于1,即样本相关系数r的值变大,解释变量x与响应变量y的相关性变强,故A、C、D错误,B正确. |思维建模|　判定两个变量相关性的方法 (1)画散点图:点的分布从左下角到右上角,两个变量正相关;点的分布从左上角到右下角,两个变量负相关. (2)样本相关系数:当r>0时,正相关;当r<0时,负相关;|r|越接近于1,相关性越强. (3)决定系数法:利用决定系数判定,R2越接近1,模型的拟合效果越好,相关性越强. 题点二　回归模型 考法(一)　一元线性回归模型 [例1]　为实施乡村振兴,科技兴农,某村建起了田园综合体,并从省城请来专家进行技术指导.根据统计,该田园综合体西红柿亩产量的增加量y(千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据如下. x/千克 2 4 5 6 8 y/千克 300 400 400 400 500 (1)由上表数据可知,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请计算样本相关系数r并加以说明;(若|r|>0.75,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合) (2)求y关于x的经验回归方程,并预测当液体肥料每亩使用量为20千克时,西红柿亩产量的增加量约为多少千克? 参考数据:≈3.16. 解:(1)由已知数据可得 ∴样本相关系数r==≈0.95. ∵|r|>0.75,∴可用线性回归模型拟合y与x的关系. =-=400-30×5=250, ∴经验回归方程为=30x+250. 当x=20时,=30×20+250=850. 即当液体肥料每亩使用量为20千克时,西红柿亩产量的增加量约为850千克. |思维建模|　回归分析问题的类型及解题方法 (1)求经验回归方程 ①当两个系数均未知时,可利用公式法求解; ②当两个系数已知一个求另一个时,可利用经验回归直线过样本点的中心求解. (2)利用经验回归方程进行预测,把经验回归方程看作一次函数,求函数值. (3)经验回归方程的拟合效果可以利用样本相关系数判断,当|r|越趋近于1时,两变量的线性相关性越强. 考法(二)　非线性回归模型 [例2]　(2025·广州模拟)一企业生产某种产品,通过加大技术创新投入降低了每件产品成本,为了调查年技术创新投入x(单位:千万元)对每件产品成本y(单位:元)的影响,对近10年的年技术创新投入xi和每件产品成本yi(i=1,2,3,…,10)的数据进行分析,得到如下散点图,并计算得 (1)根据散点图可知,可用函数模型=+拟合y与x的关系,试建立y关于x的回归方程; (2)已知该产品的年销售额m(单位:千万元)与每件产品成本y的关系为m=-+++100.该企业的年投入成本除了年技术创新投入,还要投入其他成本10千万元,根据(1)的结果回答:当年技术创新投入x为何值时,年利润的预报值最大?(注:年利润=年销售额-年投入成本) 解:(1)令u=,则=0.3. 则y关于u的经验回归方程为=+u, =-=70-200×0.3=10,则=10+200u, 所以y关于x的回归方程为y=10+. (2)由y=10+可得x=, 年利润M=m-x-10=-+++100--10=-(y-20)2+90.8, 当y=20时,年利润M取得最大值,此时x===20,所以当年技术创新投入为20千万元时,年利润的预报值最大. |思维建模|　(1)非线性回归分析问题的解题方法:借助散点图,确定合适的非线性回归模型,再通过变换,转化为求线性经验回归方程,最后还原. (2)常见非线性经验回归方程的变换: ①=+(x-c)2→=+t(令t=(x-c)2); ②=+ln(x-c)→=+t(令t=ln(x-c)); ③=+→=+t(令t=); ④=+→=+t; ⑤=·→ln =ln +xln →=+x, 其中 [即时训练] 1.[多选]某厂近几年陆续购买了几台A型机床,该型机床已投入生产的时间x(单位:年)与当年所需要支出的维修费用y(单位:万元)有如下统计资料: x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7 根据表中的数据可得到经验回归方程为y=1.23x+,则 (　　) A.y与x的样本相关系数r≥0 B.=0.08 C.表中维修费用的第60百分位数为6 D.该型机床已投入生产的时间为10年时,当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元 解析:选BC　根据题意可得 =4,=×(2.2+3.8+5.5+6.5+7)=5, 所以样本中心点为(4,5),由表中数据可得y随着x的增大而增大,x与y正相关,所以样本相关系数r>0,r=0时x与y不线性相关,故A错误;将样本中心点(4,5)代入经验回归方程y=1.23x+,解得=0.08,故B正确;维修费用从小到大依次为2.2,3.8,5.5,6.5,7,第60百分位数为=6,故C正确;根据回归分析的概念,机床投入生产的时间为10年时,所需要支出的维修费用大概是12.38万元,故D错误. 2.某企业为响应国家号召,汇聚科研力量,加强科技创新,准备加大研发资金投入,为了解年研发资金投入额x(单位:亿元)对年盈利额y(单位:亿元)的影响,通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额xi和年盈利额yi(i=1,2,…,10)数据进行分析,建立了两个函数模型:y=α+βx2;y=eλx+t,其中α,β,λ,t均为常数,e为自然对数的底数,令ui=,vi=ln yi(i=1,2,…,10),经计算得如下数据: (1)请从样本相关系数的角度,分析哪一个模型拟合度更好? (2)根据(1)的选择及表中数据,建立y关于x的回归方程.(系数精确到0.01) 参考公式:样本相关系数 解:(1)设模型y=α+βx2的样本相关系数为r1,模型y=eλx+t的样本相关系数为r2, 对于模型y=α+βx2,令u=x2,即y=α+βu, 所以= ≈0.87. 对于模型y=eλx+t,有ln y=ln eλx+t=λx+t, 令v=ln y,即v=λx+t, 所以==0.9. 因为r1<r2,所以模型y=eλx+t拟合度更好. (2)因为 =-=5.36-0.18×26=0.68, 所以y关于x的回归方程为=e0.18x+0.68. 反思领悟:第二问中,需要对y=eλx+t取对数得ln y=λx+t,求得v关于x的线性回归方程,再转化为y关于x的回归方程,是处理本题的难点和关键点. 题点三　独立性检验 [例3]　(2024·上海高考)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29 000名学生中随机抽取580人,得到日均体育锻炼时长(单位:小时)与学业成绩的数据如表所示: 学业 成绩 日均体育锻炼时长/小时 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5] 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29 000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为多少? (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼时长.(精确到0.1小时) (3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关? 附:χ2=,n=a+b+c+d.P(χ2≥3.841)≈0.05. 解:(1)抽取的样本中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数为42+3+1+137+40+27=250. 设该地区29 000名学生中有x人的日均体育锻炼时长不小于1小时,则=,解得x=12 500. 故该地区29 000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为12 500. (2)依题意,得该地区初中学生日均体育锻炼时长为(0.25×139+0.75×191+1.25×179+1.75×43+2.25×28)÷580=540÷580≈0.9. 所以该地区初中学生日均体育锻炼时长约为0.9小时. (3)对数据重新组合,得到2×2列联表 学业成绩 日均体育锻炼时长/小时 合计 [1,2) 其他 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 零假设H0:学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关. 由列联表得χ2=≈3.976>3.841,根据小概率值α=0.05的独立性检验可以推断H0不成立. 所以有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关. |思维建模|　独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表. (2)根据公式χ2=计算. (3)比较χ2与临界值的大小关系,作统计推断. [即时训练] 3.(2025·绵阳阶段练习)2021年8月,义务教育阶段“双减”政策出台,某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程.为了进一步了解学生选课的情况,随机选取了400人进行调查问卷,整理后获得如下统计表: 喜欢奥数 不喜欢奥数 合计 已选奥数课(A组) 150 50 200 未选奥数课(B组) 90 110 200 合计 240 160 400 (1)若从样本内喜欢奥数的240人中用分层随机抽样的方法随机抽取32人,则应在A组、B组各抽取多少人? (2)依据小概率值α=0.005的独立性检验,能否认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关? 附: α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式:χ2=, 其中n=a+b+c+d. 解:(1)应在A组抽取×150=20人,应在B组抽取×90=12人. (2)零假设为H0:选报奥数延时课与喜欢奥数无关联,根据列联表中的数据,经计算可得 χ2==37.5>7.879, 根据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断零假设不成立, 即认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两个变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得样本相关系数r与残差平方和m,如下表: 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则哪位同学的试验结果体现A,B两个变量有更强的线性相关性? (　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析:选D　r的绝对值越大,m越小,线性相关性越强. 2.根据分类变量X和Y的样本观察数据的计算结果,有不少于99.5%的把握认为X和Y有关,则χ2的一个可能取值为 (　　) α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A.3.971 B.5.872 C.6.775 D.9.698 解析:选D　因为有不少于99.5%的把握认为X和Y有关,所以χ2≥7.879,9.698>7.879,满足题意,故选D. 二、多选题 3.(2025·杭州阶段练习)某地区5家超市销售额y(单位:万元)与广告支出x(单位:万元)有如下一组数据: 超市 A B C D E 广告支出/万元 1 4 6 10 14 销售额/万元 6 20 36 40 48 下列说法正确的是 (　　) A.根据表中数据计算得到x与y之间的经验回归方程为=x+8.3,则=3.1 B.x与y之间的样本相关系数r=3.1 C.若残差的平方和越小,则模型的拟合效果越好 D.若该地区某超市的广告支出是3万元,则该超市的销售额一定是17.6万元 解析:选AC　由题意,=×(1+4+6+10+14)=7,=×(6+20+36+40+48)=30,样本中心点为(7,30),代入=x+8.3中,可得=3.1,故A正确; 所以r=≈0.943,故B错误;由残差的计算可知,若残差的平方和越小,则模型的拟合效果越好,故C正确;若该地区某超市的广告支出是3万元,则该超市的销售额估计值为=3.1x+8.3=3.1×3+8.3=17.6(万元),但不一定是17.6万元,故D错误. 4.为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系,一个调查机构根据所得到的数据,绘制了如下所示的2×2列联表(个别数据暂用字母表示): 幸福感强 幸福感弱 合计 阅读量多 m 18 72 阅读量少 36 n 78 合计 90 60 150 计算得χ2≈12.981,参照第2题表格: 对于下面的选项,正确的是 (　　) A.根据小概率值α=0.010的独立性检验,可以认为“阅读量多少与幸福感强弱无关” B.m=54 C.根据小概率值α=0.005的独立性检验,可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关” D.n=52 解析:选BC　∵χ2≈12.981>7.879>6.635,∴根据小概率值α=0.010的独立性检验,可以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”,根据小概率值α=0.005的独立性检验,可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”,∴A错误,C正确.∵m+36=90,18+n=60,∴m=54,n=42,∴B正确,D错误. 三、解答题 5.为了解温度对物质A参与的某种化学反应的影响,研究小组在不同温度条件下做了四次实验,实验中测得的温度x(单位:℃)与A的转化率y% 的数据如下表所示: x 45 55 65 75 y 23 38 65 74 (1)求y与x的样本相关系数(结果精确到0.01); (2)该研究小组随后又进行了一次该实验,其中A的起始量为50 g,反应结束时还剩余2.5 g,若已知y关于x的经验回归方程为=x-58,估计这次实验是在多少摄氏度的温度条件下进行的. 参考数据: =11 674,≈91.5. 解:(1)==60, ==50, (2)根据经验回归方程的性质,=-58,即50=60-58,得=1.8. 由条件可知=×100=95, 令1.8x-58=95,得x=85,因此估计这次实验是在85 ℃的温度条件下进行的. 6.某市开展“安全随我行”活动,交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼,并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数y与天数x的情况,对统计得到的样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,10)作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值. (1)依据散点图推断,y=bx+a与y=ebx+a哪一个更适合作为未佩戴头盔人数y与天数x的回归模型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)依据(1)的结果和上表中的数据求出y关于x的经验回归方程. 解:(1)依据散点图可以判断,y=ebx+a更适合作为未佩戴头盔人数y与天数x的回归模型. (2)由Yi=ln yi,得Y=ln(ebx+a)=bx+a, 依题意得 =-=-0.3, =-=1.9-(-0.3)×5.5=3.55, 所以Y=-0.3x+3.55,即y=e-0.3x+3.55. 7.近年来随着科技发展,智能小家电市场规模呈持续发展趋势,下表为连续5年中国智能小家电市场规模(单位:千亿元),其中年份对应的代码依次为1~5. 年份代码/x 1 2 3 4 5 市场规模/y 0.9 1.2 1.5 1.4 1.6 (1)由上表数据可知,可用经验回归模型拟合y与x的关系,请用样本相关系数加以说明; (2)建立y关于x的经验回归方程;(系数精确到0.01) (3)某传媒公司为了了解中国智能小家电消费者年龄分布,随机调查了200名消费者,统计这200名消费者年龄,按照青少年与中老年分为两组,得到如下2×2列联表: 青少年 中老年 合计 喜欢购买智能小家电 80 不喜欢购买智能小家电 60 合计 110 200 依据小概率值α=0.001的χ2独立性检验,能否认为是否喜欢购买智能小家电与年龄有关? 解:(1)由已知得=×(1+2+3+4+5)=3,=1.32, =10, ≈0.55, (xi-)·(yi-)= xiyi-5=21.4-5×3×1.32=1.6,所以r≈≈0.92. 因为y与x的样本相关系数近似为0.92,说明y与x的线性相关程度较高,从而可以用经验回归模型拟合y与x的关系. (2)由题可得, =12+22+32+42+52=55,===0.16,=-=1.32-0.16×3=0.84, 故y关于x的经验回归方程为=0.16x+0.84. (3)由题意可得如下2×2列联表: 青少年 中老年 合计 喜欢购买智能小家电 80 30 110 不喜欢购买智能小家电 30 60 90 合计 110 90 200 零假设为H0:是否喜欢购买智能小家电与年龄无关. 所以χ2=≈31.038>10.828,所以依据小概率值α=0.001的χ2独立性检验,推断H0不成立,即认为是否喜欢购买智能小家电与年龄有关,此推断犯错误的概率不大于0.001 39 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $$