2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(含误区13、14)-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）浙江专用

答案④. 易错探因若在应用不等式的性质解题时忽略其成立的 条件，就会得出错误的结果，如①中易由α<b错误推出 吕石，从面判断心是正确的：B中易忽略。与6的符 号（认为二者同为正），从而错误推出a>b 应用不等式的性质时，一定要注意“保序”时的条件，如 “非负乘才保序”，还要特别注意“乘负反序”“同号取倒 反序”的情况 误区11忽略基本不等式求最值的条件 易错题1（给误率3然0函数y=2x6-3)(0<x<) 的最大值为 正解 0<x<5, ,2x>0,5-3x>0, y=2x(5-3x)= /x6-a≤号(+9)） 2 25 61 当且仅当3z=5-3x,即x=号时，满足0<x<号且 5 等号成立， 故所求函数的最大值为 6 答案 易错探因本题易产生如下错解： y=2x(5-3x)=2[Vx(5-3m]≤2(c+5-3x)2 2 (5-2.x)2 2 当且仅当x=5一3x,即x=时，满足0<x<号且等 号成立， 此时5-容故)的最大值为 2 81 事实上，不等式右边的() 不是常数，不符合基 本不等式求最值的条件（和或积为定值）. 误区12忽略连续使用基本不等式时等号成立 的条件 易错题12（错误率43%）已知x>0,y>0,且x十2y= ,则士十的最小值为(》 A.1+√2 B.3+22 C.3√2 D.4N2 正解'x十2y=1,x>0,y>0, +-+(+=3+号+3+2 x'y y (当且仅当二=2义，即x=2y时，等号成立)， 反-1w1号 做当x=2-1y=1-%孙， ,工十1有最小值，最小 值为3+2√2. 答案B 易错探因本题易产生如下错解： x>0,y>0,.1=x+2y≥2√2xy,.8xy≤1， w分8 1 +2 1 +28=42 y 故上+的最小值为42。 上述求解过程中使用了两次基本不等式：x十2y≥ 2西，+≥写但这可改取等号的条件分 别为x=2y与x=y,不能同时成立，所以不能等号. 连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等 号的条件是否一致.若不能同时取等号，则连续用基本 不等式是无法求出最值的，此时应对原式进行适当的 拆分或合并，直到取等号的条件一致. 误区13忽略对二次项系数的讨论 易错题13（错误率42%）当a为何值时，不等式 (a2-1)x2+(a-1)x-1<0的獬集是R? 正解若a2-1=0,则a=土1. 当a=1时，原不等式化为-1<0恒成立， .a=1满足题意； 当a=-1时，原不等式化为-2x-1<0,即>之 ∴.a=一1不满足题意； |a2-1<0, 当a≠士1时，由题意得 (a-1)2+4(a2-1)<0, 心 解得-子<a<L 综上可知，实数a的取值范围是a-号<a<1小 易错探因对二次项系数a2一1应分其为0和不为0两 种情况进行讨论，不要认为它一定是二次不等式.因此 要对x2的系数a2一1进行讨论：当a=1时，原不等式 化为一1<0恒成立：当a=一1时，不满足题意：当a≠ a2-1<0, 士1时， 解不等式组即可得 (a-1)2+4(a2-1)<0, 出结果。 误区14忽略对分式中分母的讨论 易错题14（错沃幸38冷獬不等式：2 正解移项得+)一2≤0，左边通分并化简， x-2 得去0，即2 2=0, 1(x-2)(x-5)≥0， 此不等式等价于 x一2≠0， 解得x<2或x≥5. 不等式的解集为{xx<2或x≥5). 易错探因本题易错的地方是不等式两边同乘以x一2 这一式子，没注意到它是大于0还是小于0，不等号是 否改变方向.这里要分x一2>0和x一2<0两种情况 来讨论，若不讨论，肯定会出错.当然，求解这类问题时 最好是将不等号右边变为0的形式： 分式不等式的求解应注意两点：一是不要随意去分母 (除非知道分母是正或负)，而应移项，使其一边为0；二 是要将其等价转化为一元二次不等式，如本题中二 2≥ 1(x-5)(x-2)≥0， 0台 x-2≠0. 误区15混淆复合函数的定义域 易错题15（错误率33%）已知f(x十2)的定义域为 [1,2],则∫(2x+1)的定义域为 正解由于f(x十2)的定义域为[1,2]，即1≤x≤2， 所以3x+24,即f(x)的定义域为[3,4]， 所以3<2x+1<4,解得1<x<号， 4 故f2x+1D的定义城为[，]， 案1，引 易错探因本题易产生如下错解： 错解一：由1≤x+2≤2得-1≤x≤0，则-1≤2x+ 1≤1，因此f(2x+1)的定义域为[-1,1]， 错解二：因为f(x十2)与f(2x十1)含有同一字母“x”, 则取值必相同，所以f(2x+1)的定义域为[1,2]. 事实上，这里只不过是用同一个字母“x”来表示两个不 同的复合函数的自变量而已（函数的自变量用什么字 母表示与函数无关). 出现以上错解是因为对复合函数的定义域的概念理解 不清。 误区16忽略换元后参数的范围 易错题16（错误率38%）函数y=x十√2x十1的值域 为 正解令t=√2x+1,则≥0，且x=1, 21 故y-2+t=号c+1-1:e0,+o 1 画出t∈[0，+∞)时，函数y=2(t+1)2-1的图象， 如图中实线部分所示由图象知)≥一号，所以所求函 数的值域为 -,+∞. 2 答案[，+) 易错探因本题易错的地方是换元后忽略了参数t的取 值范围，误认为t为任意实数，从而得到错误答案。 因为y=+1D-1≥-1u∈R, 所以所求函数的值域为[一1，十∞). 误区17忽略去绝对值的定义域 易描颜”（婚灵来别为）画出函数y一产的菌时，等号成立，故λ≤2√2. 6公提示日+号-（公+号）a+20=5+ 2+会)）≥×5+0=号，当且仅当。=6=号时 等号成立（应用基本不等式时注意等号成立的条件）， 所以（公+号）+名≥号-10+名+号≥ 2,高+号-号当且仪当2- 2 名即c-号且a-6-号时，等号成立放最小值 为卧 7.3.提示：设此人应选第n层楼，此时的不满意程度为 y由题宫知y=n十只x+员≥2n,及-4。 当且仅当n=号，即n=2v2时取等号，但考虑到n N”,当m=2时，y=2+8=6,当m=3时，y=3+ 2 弩号即此人应选3楼，不满意度最低故答案为3 8.(1)因为x>2,y>0,xy=y+4, 所以x=1+4,所以1T少→2 解得0<y<4, y y>0, y=5, 所以x+y=1+号+≥1+2√号 当且仅当号-y即y=2,=3时取等号， 所以x十y的最小值为5. 四-1+y-9+≥2停-8当且a /16 当9-)，即y=2,x=3时取等号， 所以(x-1)2+y2的最小值为8. (8因为x=1计号>2且0<4，所以4-y>0, 所以x+高，=1+号十片) 4=1++42+ y yH42=1+1+号2+六+1≥3+ 4-y y 当且仅当号2-六即y=2=3时取等号， 所以x十产与的最小值为5， C拓展拔高练 12ab 1B提示：2=2a十64如十62白 2a+3b-1 2a+3b)21=2a+36+1,因为2×2a×36≤4a2+ 2a+3b-1 9b2,所以2×2a×3b十4a2+9b2≤2(4a2+9b2),即 (2a+3b)2≤2，所以2a+3b≤√2，当且仅当2a=3b= 等号，所以2a+36+1≤2 2a十物一的最大值是v2+1, 12ab 2.5v② 2 提示：已知正数a,b,c满足a十2b=4,c>1. 》(会+)x会品号， a+2b=4,a=42-4, 当且仅当b二a即 时取等号. 2a4b1 =4-2√2 所+-+2+--1叶 +号停-1x2+号-，当且收 2w2√2、 2 当c=3时取等号. 所以会+一台+>号， ,2√2、5W2 [a=42-4, 当且仅当6=4一22，时取等号.故答案为5y3 2· (c=3 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 变式训练答案 [变式1](1)解方程x2-5x-6=0,得x1=-1,x2=6. 结合二次函数y=x2一5x一6的图象知，原不等式的 解集为{xx<-1或x>6. (2)原不等式可化为x2-7x十6<0. 解方程x2-7x十6=0，得x1=1,x2=6. 结合二次函数y=x2一7x十6的图象知，原不等式的 解集为{x|1<x<6. (3)原不等式可化为8x2-8x十4>4x一x2, 即9x2-12x十4>0. 19 解方程92-12z+4=0,得1=，=号 结合二次函数y=9x2-12x十4的图象知，原不等式 的解集为女x≠号}： [变式2] {<x<a. 提示：原不等式可化成 x-a)(c-是）<0，因为-1<a<0所以a>日，故 原不等式的解集为女日<<a: [变式3]当a<2时，(a-2)x2+(2a-1)x十6>0→ [(2-a)x-3](x+2)<0, 故解架为+-2<22}： 当a=2时，3x十6>0，解得x>-2,故解集为 {xlx>-2}; 当a>号时，a-2)x2+(2a-1Dz+6>0→[a-2)x+ 1k+2>0,由于22.2 故解集为>23。或x<-2: 当2<a<号时，由于2。<-2， 故解集为女>-2或x<23a: 当a=弓时，(a-2》x2+(2a-1Dx+6>0r2+4z+ 4>0,故解集为{x|x≠一2} 综上所述，当a<2时，解集为{女-2<<23}： 当a=2时，解集为{xx>一2}； 当a>2时，解集为{女>23n或x<-2: 当2<a<名时，解集为女e>-2或x<23a}: 当a=子时，解架为zx≠-23。 [变式4]方程2x2+a.x+2=0的判别式△=a2-16= (a+4)(a-4). ①当a>4或a<-4时，△>0，方程2x2+ax+2=0 的两个根为x,=子(-a-Va-16),x:=}(一a+ √a2-16) 所以原不等式的解集为z<(-a-Va16), 20 或x>4(-a+√a-16. ②当a=4时，△=0，方程有两个相等实数根，x1= x2=-1, 所以原不等式的解集为{x|x≠一1. ③当a=一4时，△=0，方程有两个相等实数根，x1= x2=1, 所以原不等式的解集为{xx≠1}. ④当一4<a<4时，△<0，方程无实根， 所以原不等式的解集为R 综上所述，当a>4或a<-4时，原不等式的解集为 {zlk<(-a-a-i6),或x>子(-a+ √a2-16)}； 当a=4时，原不等式的解集为{x|x≠一1}； 当a=一4时，原不等式的解集为{x|x≠1}； 当-4<a<4时，原不等式的解集为R. [变式5]当a<0时，△>0，解得 x1=1--4 2a ,-1+0 如图1所示， 解集为：<1+0或之1--恤 2a 2a 当a=0时，解集为{xx>1. 图1 图2 当0<a<时，如图2所示， 集为1么<么} 2a 当a=4时，不等式可化为(3x-1)°<0，解集为心. 当a>时，4<0，解集为心， 综上所述，当a<0时，不等式的解集为 (x<+如咸>1o}； 2a 2a 当a=0时，不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<时，不等式的解集为 2a 当a≥}时，不等式的解集为心.， [度式D提示异≥1，是-1≥0， 37千0，即号0，等价于红-2+10 或x-2=0,故-1<x≤2. [变式7]B提示：由“3x∈R,(m-1)x2+2(1-m)x+ 3≤0是假命题”可得“Hx∈R,(m-1)x2+2(1一m)x十 3>0是真命题”. 当m一1=0，即m=1时，不等式3>0恒成立； m-1>0, 当m-1≠0，即m≠1时， [2(1-m)]2-4(m-1)×3<0, 解得1<m<4. 综上可得，1≤m<4.又“m>0”是“1≤m<4”的必要不 充分条件，所以“m>0”是“3x∈R,(m-1)x2+2(1一 m)x十3≤0是假命题”的必要不充分条件. [变式8]D提示：本题即mx2一m.x+m-5<0对于 任意的1≤x≤3恒成立. 令y=m.x2-mx十m-5,1≤x≤3， 若m=0,-5<0恒成立； 若m<0,当x=1时y最大，且ymax=m-5<0, 解得m<5,.m<0; 若m>0,当x=3时y最大，且ymax=7m-5<0, 解得m<号，∴0<n<号。 综上所述，实数m的取值范周为mm<号}。 [变式]{a-2<a≤2}.提示：命题“存在实数x,使 得(a-2)x2+2(a一2)x-4≥0成立”是假命题，则其 否定“H实数x,都能使得(a-2)x2+2(a-2)x-4< 0成立”是真命题. 当a=2时，原不等式化为一4<0恒成立； a-2<0, 当a≠2时， 4=4(a-2)2+16(a-2)<0, 解得-2<a<2. 综上，-2<a≤2.故答案为{a-2<a≤2. [变式10]ABC提示：不等式x2-4x-a-1≥0在 x∈{x|1≤x≤4}有解等价于a≤(x2-4x一1)m.设 y=x2-4x-1,1≤x≤4，即y=(x-2)2-5,而当x= 1时，y=-4;当x=4时，y=-1,故y=x2-4x-1 在x∈{x1≤x≤4}时的最大值为-1，故a≤-1. 真题演练答案 1.A提示：P={xx≤-1或x≥3}，故P∩Q={x|3≤ x<4} 2.{x|-4<x<1.提示：-x2-3x+4>0→(x+4)(x- 1)<0→-4<x<1. 3a百<a≤}.提示：不等式可化为4-a) 49 4x十1<0， ① 由原不等式的解集中的整数恰有3个， 得->0， 即0<a<4, 116-4(4-a)>0, 由①得1 <<。1,又<1< 2+√a 2-a 42+a2 所以解集中的3个整数必为1,2,3， 所以3<，<4，解得日<a≤银 2-√a 练习册答案 A学考过关练 1.C提示：△=1一8<0，该方程无解，解集为空集， 2.A提示：x2-4x<0→x(x-4)<0→0<x<4. 3.D提示：不等式x-只<0在1<x<2上恒成立，即 x2<a恒成立.1<x<2时，1<x2<4,所以a≥4. 4C提示：a<0,a(x+2)(x+是)<0， x+2(e+日）>0，又-2>0， 不等式的解集为x<-2或x>- a 5.(1)因为不等式ax2-3x十b>4的解集为{x|x<1或 x>2}, 所以x=1,x=2是方程a.x2-3x十b-4=0的根， 3=1十2， a=1, 根据韦达定理得 解得 b-4=1×2, b=6. a (2)由(1)可将不等式化为x2-(c+2)x+2c<0, 即(x-c)(x-2)<0. 当c>2时，不等式的解集为{x2<x<c}； 当c=2时，不等式的解集为☑； 当c<2时，不等式的解集为{xc<x<2}. B高考提能练 1.A提示：关于x的不等式mx2十x十m>0在R上恒 21第二章一元二次函教、方程和不等式么出 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 重点和难点 课标要求 1.理解二次函数与一元二次方程、不等式的关系. 重难点：二次函数与一元二次方程、不等式的联 2.掌握一元二次不等式的解法 系，借助二次函数求解一元二次不等式. 3.初步掌握一元二次不等式的应用。 口01一必备知识梳理。 基础梳理 知识点1一元二次不等式的相关概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式， 同敲黑板 称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bzx十 对一元二次不等式概念的理解 c>0(≥0)或ax2+bx十c<0(≤0)，其中a≠0且a,b,c为常数. 1.一元二次不等式中的 使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不 “一元”是指不等式中所要求解 的未知数，并且这个未知数是 等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元 唯一的.但这并不意味着不等 二次不等式的解集.将一个不等式转化为另一个与它解集相同的 式中不能含有其他字母，若含 不等式，叫作不等式的同解变形 有其他字母时，则应把其他字 知识点2二次函数与一元二次方程、不等式的关系 母看成常数 1.二次函数的零点 2.一元二次不等式中的 般地，对于二次函数y=ax2十bx十c,我们把使a.x2+bx “二次”是指所要求解的未知数 十c=0的实数x叫作二次函数y=ax2十bx十c的零点.二次函 的最高次数必须是2，且最高次 数的零点个数可以为2,1或0. 项的系数不为0. 2.三个“二次”之间的关系 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表： △>0 △=0 △<0 同敲黑板 y=ax2+bx+c 1从函数的观点来看，一 (a>0)的图象 x2 元二次不等式ax2+bx+c>0 Ox=x2x 2 (a>0)的解集，就是一元二次 有两个不相等的实 ax2+bx+c= 有两个相等的实数 函数y=a.x2+bx十c(a>0)的 数根x1,x2（x1< b 没有实数根 图象在x轴上方部分的，点的横 0(a>0)的根 x2） 根x1=x2= 2a 坐标x的集合；ax2十bx十c<0 ax2+bx+c>0 {xx<x1,或x>x2} xx≠ 6 (a>0)的解集，就是一元二次 2a R (a>0)的解集 函数y=ax2十bx十c(a>0)的 53 重避点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 续表 图象在x轴下方部分的点的横 △>0 △<0 坐标x的集合 △=0 2.从方程的观点来看，一 ax2+bx+c<0 xx<x<x2) 0 0 (a>0)的解集 元二次方程的根是一元二次函 数的图象与x轴交点的横坐 重难拓展 标，一元二次不等式ax2十bx十 重难点1分式不等式与高次不等式的解法 c>0(a>0)的解集就是大于大 1.分式不等式的解法 根或者小于小根的实数的集合； a.x2十bx十c<0(a>0)的解集就 解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式： 是大于小根，且小于大根的实 设A,B均为含x的多项式 数的集合 (1)A>0=AB>0. (2 因此，利用一元二次函数的 B B <0台AB<0. 图象和一元二次方程的两个根 3), AB≥0， AB≤0， B≥09 就可以解一元二次不等式. B≠0. (4)B≤09 B≠0. 3.三个“二次”的关系如图 2.高次不等式的解法 所示 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于 二次函数 点 函 2,一般使用“穿针引线法”，具体思路如下： 根 函数的 值的 (1)标准化.通过移项、通分等方法将不等式左侧化为关于未 一元二次 根的讨论 元二次 知数的整式，右侧化为0的形式、 方程 求解集 不等式 (2)分解因式.将标准化的不等式的左侧化为若干个因式（一 次因式或高次不可约因式)的乘积，如(x一x1)(x一x2)…(x一xn)> 0的形式，其中各因式中未知数的系数为正. (3)求根.求(x一x1)(x一x2)…(x一xn)=0的根，并在数轴 上表示出来（按从小到大的顺序标出）. (4)穿线.从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但是要 注意经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇次根时 应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧。 (5)得解集.若不等式（未知数的系数均为正）是“>0”，则找 “线”在数轴上方的区间；若不等式（未知数的系数均为正）是“< 0”,则找“线”在数轴下方的区间. 例日1不等式十>0的解集是 (2)不等式2 'x十12(x一D的解集是 图面0不等式号年行0等价于红一2x十0，每得-42。 54 第二章一元二次函数、方程和不等式么出9 即解集为{x一4<x<2}. (2)将原不等式移项、通分、整理化简为 -5x2-x-4 2(x+1Dx1D≥0，即(x+1)(x-)0 2+红+4=e++8o, ∴.原不等式等价于(x+1)(x一1)<0，易知-1<x<1. 故原不等式的解集是{x一1<x<1} 答案(1){x-4<x<2.(2){x-1<x<1}. 例B解不等式一1 解析将原不等式移项、通分、整理得 =3+1≥0%x-3x+16-1D≥0， () x-1 x-1≠0. 令y=(x-3)(x+1)(x-1)=0, 得x1=一1，x2=1,x3=3,它们将R分成四个子区间，分别在各子区 间赋值，判断y的符号，如图所示 由图可知不等式组()（原不等式）的解集为{x一1≤x<1或x≥3}. ☑02-关健能力提。 题型方法 方程有两个不等实根1=一3，x:=司》 题型1解一元二次不等式 又二次函数y=2x2+7x十3的图象开口向上， 1.解不含参数的一元二次不等式 例③解下列不等式： 所以原不等式的解集为z>2或x<-3}。 (1)2x2+7x十3>0. (2)因为△=82-4×(-1)×(-3)=52>0， (2)-x2+8x-3>0. 所以方程有两个不等实根x1=4一√13，x2=4 (3)x2-4x-5≤0. +√13. ④-4虹+18x4≥0 又二次函数y=一x2十8x一3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x|4一√13<x<4 (6)号r2+3z-5>0 +√13} (6)-2x2+3x-2<0. (3)原不等式可化为(x-5)(x十1)≤0， [解析(1)因为△=72一4×2×3=25>0，所以 所以原不等式的解集为{x|一1≤x≤5} 55 重滩点手册高中数学必修第一册（上）UA(浙江专用) （④原不孝式可化为2x-》°<0， -3十4=- a, b=-a, 根.由根与系数的关系得 所以原不等式的解集为女=是} (-3)X4=￡ c=-12a. a (5)原不等式可化为x2-6x+10<0, ∴.不等式bx2+2ax-c-3b<0,即-ax2+2a.x+ 因为△=(-6)2-40=-4<0， 15a<0,即x2-2x-15<0,易知其解集为{x|-3< 所以方程x2一6x十10=0无实根， x<5. 故所求不等式的解集为{x|一3<x<5} 又二次函数y=x2-6x十10的图象开口向上， 所以原不等式的解集为财. 答案{x-3<x<5. (6)原不等式可化为2x2-3x十2>0， 题型2解含参数的一元二次不等式 因为△=9-4×2X2=-7<0, 1.二次项系数不含参数且能因式分解 所以方程2x2一3x十2=0无实根， 例5设a>1,则关于x的不等式(1一a)· 又二次函数y=2x2-3x十2的图象开口向上， (x-a)(x-)<0的解集是(). 所以原不等式的解集为R. 用方法 Ae<a或x> 解一元二次不等式的步骤 B.{xlx>a》 变形 通过变形将不等式化成一元二次不等 式的一般形式 Cla<z 求出相应的一元二次方程的根，有三 种情况：△=0（此时所求一元二次方程 的两根相同，x=x),△<0此时所求 Dr<或x>a 、求根 元二次方程无实数根)和△>0（此时所 求一元二次方程有两个不相等的实数 根x1,x) 解析当a>1时，1-a<0,且a> 。,则关于x <画图> 画出对应二次函数的草图 的不等式1-a)(x-a)(x-）<0可化为(x-a)· 、求解 结合图形求不等式的解集 (女-）>0，解得x<或x>a,所以不等式的解集 ◆变式1解下列不等式： 为女x<2或x>a: (1)x2-5.x-6>0. (2)-x2+7x>6. 答案D (3)4(2x2-2x+1)>x(4-x). 例6(2026·湖北省武昌实验中学检测)解 关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R). 2.已知一元二次不等式的解集，求参数问题 例④若不等式ax2+bx十c>0的解集为 解析桐原不等式可化为(x一a)(x一a)>0, {x|-3<x<4},则不等式bx2+2ax-c-3b< ①当a2>a,即a>1或a<0时， 原不等式的解集为{xx>a2或x<a}. 0的解集为 ②当a2<a,即0<a<1时， [解析，ax2十bx十c>0的解集为{x|-3< 原不等式的解集为{xx<a2或x>a). x<4}, ③当a2=a,即a=0或a=1时， ∴.a<0且-3和4是方程ax2+bx十c=0的两 原不等式的解集为{xx≠a}. 56 第二章一元二次函数、方程和不等式么出型 综上所述，当0<a<1时， 原不等式的解集为{xx<a2或x>a}; 当a=0或a=1时， 图5 原不等式的解集为{xx≠a}; 例8解关于x的不等式(a一2)x2十(3 当a>1或a<0时， a)x-1≤0. 原不等式的解集为{xx>a2或x<a. ●变式2(2026·江苏苏州一中检测)若 解析标因式分解，得(x一1)[(a-2)x十1]≤0， -1<a<0,则关于x的不等式(a一x)· 当a<1时（如图1所示）， 女日》>0的解集是足 郎集为≤2a文刘， 2.二次项系数含参数且能因式分解 当a=1时（如图2所示）， 例7解关于x的不等式ax2+(a一1)x 解集为R 1>0. 点拨因为二次项系数含有参数，故a=0是 图1 图2 个“临界值”.当a≠0时，有两个根x1=一1，x2=a 1 当1<a<2时（如图3所示）， 若两个根相等，即x1=x2时，a=一1，故a=一1又是 一个“临界值”，故可分a<-l,a=-1,-1<a<0, 解集为女成？ a=0,a>0五种情况进行分类讨论. 当a=2时（如图4所示）， [解析将a.x2+(a-1)x一1>0分解因式， 解集为{xx≤1. 得(a.x-1)(x+1)>0. 当a<一1时（如图1所示）， 2-a 解集为x-1<x<》 图3 图4 当a>2时（如图5所示）， 图 图2 解集为2。≤x≤， 当a=一1时（如图2所示），解集为心. 当一1<a<0时（如图3所示）， 2-a 图5 解为女日<x<-1 点评解含参数的一元二次不等式的一般思路： 首先看是否能因式分解，若能因式分解，则根据以上 几个方面得出分类讨论的“临界值”，然后分情况写出 图3 图4 解集 ◆变式3解关于x的不等式(a一2)x2十 当a=0时（如图4所示），解集为{x|x<一1). 当a>0时（如图5所示）， (2a-1)x+6>0. 3.二次项系数不含参数且不能因式分解 解集为xx<-1或x> a 例9解关于x的不等式x2一x十a>0. 57 重避点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 点拨本题不能因式分解，二次项系数是常数 解析若a=0,则原不等式为一2x<0, 14=1-a,得-个“临界位”a=故可分三升情 故解集为{x|x>0). 若a≠0，△=4-4a2 况加以讨论 ①若a>0, 解析△=1-4a. 当△>0，即0<a<1时，方程ax2-2x十a=0的两 当。>时，4<0，如图1所示，解桌为R 根为x,=1-个-a a-1h1a a 1 当a=4时，△=0，如图2所示，得x1=x2=2, 所以原不等式的解桑为x一口<r< a 解袋为女≠∈R 1+√1-a2 a 当a<子时，4>0，知图3所示， 当△=0，即a=1时，原不等式的解集为☑； 1=1=a,,=1+a 当△<0，即a>1时，原不等式的解集为心. 2 2 ②若a<0, 当△>0，即-1<a<0时，原不等式的解集为 2 2 {女k<+a成>1-@： a a 当△=0，即a=一1时，原不等式可化为(x十 1)2>0, 图1 图2 所以原不等式的解集为{xx≠一1}： 当△<0，即a<-1时，原不等式的解集为R. 综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为心； 图3 当0<a<1时，原不等式的解集为 综上所述，当a>时，不等式的解集为R: 1--a<x<1+-a 当a=时，不等式的解集为zz≠分x∈R: a 当a=0时，原不等式的解集为{x|x>0; 当a<时，不等式的解集为<1a 2 当-1<a<0时，原不等式的解集为xx< 或x>1十-4a 2 1h-a或x心1a a [点评润注意分△<0，△=0，△>0三种情况进行 当a=一1时，原不等式的解集为{x|x≠一1}； 分类讨论， 当a<一1时，原不等式的解集为R. ●变式4解关于x的不等式2x2十ax十 [点评若与不等式对应的方程的根的大小不确 2>0. 定，则必须讨论根的大小；若一元二次方程根的判 4.二次项系数含参数且不能因式分解 别式符号不确定，则应分△>0，△<0，△=0三种情况 例10解关于x的不等式ax2-2x+a< 讨论. 0(a∈R). 在解答含有参数的一元二次不等式时，能分解因 58 第二章一元二次函教、方程和不等式么出9 式的尽量分解因式，不能分解因式的，要对参数进行 或t<-1(舍去)， 分类讨论.在对参数进行分类讨论时，为了做到不重 ∴.x>3,.x>3或x<-3. 不漏，一般从以下三个方面进行考虑. 故原不等式的解集为{x|x<-3或x>3. (I)关于不等式二次项的系数a的讨论：a>0, 2.分式不等式和高次不等式的解法 a=0,a<0; 例12解下列不等式： (2)关于不等式对应的方程的根的讨论：两根 (1)(x+1)(1-x)(x-2)>0. (△>0)，一根（△=0），无根（△<0）； (3)关于不等式对应的方程的根x1,x2的大小的 （2)2-3x4≤0. x2-1 讨论：x1>x2,x1=x2,x1<x2 解析(1)原不等式等价于(x一1)(x一2)(x十 [注意]当a<0,4>0时，有两根，=1十-Q e 1)<0. ,1一口，此时，<，这是同学们易错的 令y=(x一1)(x一2)(x十1)，各因式对应的根 a 分别为1,2，-1. 地方 结合图1可得不等式的解集为{x|x<-1或1< ●变式5解关于x的不等式ax2一x十 x<2} 1<0. 题型3可转化为一元二次不等式（组）的 不等式的解法 图1 图2 1.利用换元法转化为一元二次不等式 (2)原不等式可化为(x2-3x-4)(x2一1)<0或 例11解下列不等式： x2-3x-4=0, (1)x4+3x2-10<0. x2-1≠0， (2)x+√x<6. 即(x-1)(x+1)2(x-4)<0或x-4=0. 令(x-1)(x+1)2(x-4)=0,可得x=1或x= (3)x2-2x-3>0. 4或x=一1（二重根） 解析(1)原不等式可化为(x2)2+3x2-10< 结合图2可得原不等式的解集为{x1<x≤4) 0,令t=x2(t≥0)，则不等式可化为t2+3t一10<0， 解得-5<t<2. ◆变式6不等式的解集是( 又t≥0，.0≤t<2,即0≤x2<2, A.{x|x≤2且x≠-1} ∴.-√2<x<√2 B.{x|-1≤x≤2} 故原不等式的解集为{x|一√2<x<√2} C.{x|x≤2} (2)原不等式可化为（√元）2十√元-6<0，令t D.{x|-1<x≤2} √x(t≥0)，则不等式可化为t2十t一6<0， 题型4一元二次不等式恒成立问题 解得-3<t<2. 1.在实数集上恒成立问题 又t≥0，.0≤t<2,即0≤E<2, (1)一元二次不等式a.x2十bx十c>0对任 ∴.0≤x<4. 故原不等式的解集为{x0≤x<4). a>0, 意x∈R恒成立的条件是 (3)原不等式可化为1x|2-21x|-3>0,令t △<0； |x|(t≥0)，则不等式可化为t2-2t-3>0,解得t>3 (2)一元二次不等式a.x2+bx十c≥0对任 59 重难点手册高中数学必修第一册（上）尺UA(浙江专用) a>0, 恒成立，则实数a的取值范围为 意x∈R恒成立的条件是 A≤0； 解析方法一，当x>1时，不等式x2十ax (3)一元二次不等式a.x2+bx十c<0对任 十9>0恒成立， a<0, .只需求出函数y=x2十ax十9(x>1)的最小 意x∈R恒成立的条件是 △<0； 值，令最小值大于0即可 (4)一元二次不等式ax2+bx十c≤0对任 二次函数y=x2十ax十9的图象的对称轴为x 意x∈R恒成立的条件是 fa<0, Γ2 △≤0 例13若对任意实数x,关于x的不等式 当一号<1，即a>≥-2时，函数在x=1处取得最 (a2-1)x2-(a-1)x-1<0恒成立，则实数 小值a+10,则a+10>0,a>-10, a的取值范围为 ∴a≥-2. 解析若a2-1=0,则a=士1. 当一受>1，即a<一2时，函数在x=一号处取 当a=1时，原不等式为-1<0，解集为R,满足 得小准(-》广-号-9-9受， 题意；当a=一1时，原不等式为2x一1<0，解集为 {女<引与题意不特。 9->0,解得-6<a<6, 1=(a-1)2+4(a2-1)0, .-6<a<-2. 若a≠士1，则当 时，不等 a2-1<0 综上，实数a的取值范围为a>一6， 方法二（分离参数法）x>1, 式的解集为R,解得多<a< ∴由x2+ax+9>0得a>-(x+是)， 综上，实戴a的取位花同足e一子a≤1小。 =6,当且仅当工=9 鉴案{a-是<a≤： 即x=3时等号成立， 变式7“m>0”是“3x∈R,(m-1)x2 ·-(e+2）的最大值为一6， 十2(1一m)x十3≤0是假命题”的(). ∴.a>-6,故a的取值范围为a>-6. A.充分不必要条件 [答案a>-6. B.必要不充分条件 记方法 C.充要条件 设y=ax2+bx十c(a≠0). D.既不充分也不必要条件 (1)当a>0时，y<0在{xa≤x≤B}上恒成 提个醒 [aa2+ba+c<0, 当未说明不等式ax2+bx十c>0为一元二次 立台 a82+b3+c<0: 不等式时，对任意x∈R恒成立时满足的条件为 (2)当a<0时，y>0在{x|a≤x≤β}上恒成 fa>0,.|a=b=0, (aa2+ba+c>0, 或 △<0 立台 c>0. a82+b3+c>0; 2.在某取值范围上恒成立问题 (3)y>0在{xa≤x≤3}上恒成立台{x|a≤x≤ B}二A,其中A是y>0的解集。 例14当x>1时，不等式x2+a.x十9>0 60 第二章一元二次函教、方程和不等式么出 例15(2025·天津卷)若a,b∈R,对Hx∈ plu [-2,2],均有(2a+b)x2+bx一a-1≤0恒成 立，则2a+b的最小值为 ●变式9若命题“存在实数x,使得(a [点拨先设t=2a十b,根据不等式的形式，为了 2)x2+2(a-2)x一4≥0成立”是假命题，则实 消a可以取x=一号得到≥-一4，验证1=一4时， 数a的取值范围是 题型5一元二次不等式能成立问题 a,b是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可 例16]x∈R,使ax2-4x十a>0成立， 得到答案 求实数a的取值范围. 解析设t=2a十b,原题转化为求t的最小值， 解析当a=0时，原式变为一4x>0,解得x< 原不等式可化为对任意的-2≤x≤2，tx2十(t 0,满足条件； 2a)x-a-1≤0， 当a>0时，显然3x∈R,使ax2-4x十a>0成立； 不代入x=号得号4u-2a)a-1 当a<0时，要使ax2-4x十a>0有解，则需要 0,得t≥-4， △=(-4)2-4a×a=-4(a2-4)>0, 当t=一4时，原不等式可化为一4x2+(-4 解得-2<a<2.又a<0,所以-2<a<0. 2a)z-a-1≤0，即-2zx+(2a+1)°+a2<0, 综上所述，实数a的取值范围是a>一2. ●变式10(2026·江苏江浦高级中学高 观察可知，当a=0时，-(2.x+1)2≤0对-2≤ 一阶段练习)（多选）已知关于x的不等式x2一 x≤2一定成立，当且仅当x=- 时取等号， 4x一a一1≥0在1≤x≤4上有解，则a的取值 此时，a=0,b=一4，说明t=一4时，a,b均可取 可以是(). 到，满足题意，故t=2a十b的最小值为一4. A.-6 B.-5 C.-1 D.0 [答案一4. 易错警示 ◆变式8若对于任意的1≤x≤3，mx2一 ●易错题13（错误率42%）当a为何值 mx十m<5恒成立，则实数m的取值范围为 时，不等式(a2-1)x2+(a-1)x-1<0的 (). 解集是R? A.{mm≤0}》 ●易错题14（错误率38%）解不等式： <哥} x+1 2-22. Cmlm<0或o<m< 参考答案见《全书易错题集》第3页 口03-核心泰养聚焦一。 考向分类 (2)(2023·全国I卷)已知集合M={-2, 考向1解一元二次不等式 -1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0}，则M∩ 例17(1)(2024·上海卷)已知x∈R,则 N= 不等式x2-2x-3<0的解集为 解析(1)：x2-2x一3=(x一3)(x十1)<0， 61 重难点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) ∴.解集为{x-1<x<3}. 又因为ab≠0，所以b<0: (2),N={x|x2-x-6≥0}={x|x≥3或x≤ fa≥0， -2}, 若a=2a+b,则a=2a十b,时，原不等式在x≥ .M∩N={-2. b≤0 答案(1){x-1<x<3.(2){-2}. 0时恒成立，又因为ab≠0，所以b<0: 若b=2a十b,则a=0,与已知矛盾； 回归教材教材P55习题2.3第3、5题属于同一题型 若a=b=2a十b,则a=b=0,与已知矛盾. 常考题型 选填题难度系数0.6高考热度★★★ 综上，b<0. 核心素养 数学运算 素养水平水平二 [答案C 考向2解高次不等式 回归教材教材P53例4的拓展 例18（经典·浙江卷）已知a,b∈R且 常考题型 解答题难度系数0.7 高考热度 ★★ ab≠0，对于任意x≥0，均有(x-a)(x一b)(x 核心素养 数学建模、数学运算 素养水平水平二 -2a-b)≥0，则(). 真题演练 A.a<0 B.a>0 C.b<0 1.(经典·浙江卷，考向1)已知集合P= D.b>0 {xx2-2x≥3}，Q={x2<x<4},则P∩Q 解析若a,b,2a十b互不相等， =(). fa≤0， 则当b≤0， A.{x|3≤x<4} B.{x|2<x≤3} 时，原不等式在x≥0时恒成立， 2a+b≤0 C.{x|-1<x<2} D.{x|-1<x≤3} 又因为ab≠0，所以b<0; 2.(经典·广东卷，考向1)不等式一x2 a≤0， 3x十4>0的解集为 若a=b,则当a=b, 时，原不等式在x≥0时 3.(经典·天津卷，考向1)若关于x的不 2a+b≤0 等式(2x一1)2<ax2的解集中的整数恰有 恒成立， 3个，则实数a的取值范围是 62