第二章 函 数（教师用书）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第二章|函　数 第一节 函数的概念及表示 明确目标 1.了解构成函数的要素,会求简单函数的定义域和值域. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用. 教材再回首 1.函数的概念 (1)一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A. (2)在函数的定义中,非空数集A,B,A即为函数的定义域,值域为B的子集. 2.构成函数的三要素 (1)函数的三要素:函数由定义域、值域和对应关系三个要素构成,在函数y=f(x),x∈A中,自变量的取值范围(即数集A)称为这个函数的定义域.所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)同一个函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. (2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(北师大必修①P59T3改编)函数y=2x-1(x∈{1,2,3})的值域为 (　　) A.[1,5] B.{1,3,5} C.[2,6] D.{2,4,6} 答案:B 2.(人A必修①P66例3改编)下列函数与函数y=x是同一个函数的是 (　　) A.y=()2　　B.u= 　　C.y= 　　D.m= 解析:选B　函数y=()2和函数m=与y=x的定义域不同,则不是同一个函数.函数y==|x|与y=x的解析式不同,也不是同一个函数,故选B. 3.(苏教必修①P115T7改编)已知函数f(x)=则f(f(2))= (　　) A.　　B.　　C.2　　D.-2 解析:选B　由题意得f(2)=-2,f(-2)=,故选B. 4.(人A必修①P67T1改编)函数f(x)=+-1的定义域为　　　　.  解析:由解得-3≤x≤1,所以f(x)的定义域为[-3,1]. 答案:[-3,1] 二、易错小题的警醒训练 1.下列图形可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域,N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是 (　　) 解析:选C　A中的值域不满足,B中的定义域不满足,D中不是函数的图象,由函数的定义可知C正确.(易错点:易忽视函数的值域) 2.已知f()=x-1,则f(x)=　　　　.  解析:令t=,则t≥0,故x=t2,则f(t)=t2-1,所以f(x)=x2-1(x≥0).(易错点:易忽视新元的范围) 答案:x2-1(x≥0) 题点一　函数的概念(自主练通) 1.函数f(x)=的定义域为 (　　) A.(1,2] B.(1,3] C.(0,1)∪(1,3] D.(0,1)∪(1,2] 解析:选C　f(x)=的定义域需满足解得0<x≤3且x≠1,故其定义域为(0,1)∪(1,3].故选C. 易错提醒:定义域是一个集合,要用集合或区间表示.若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接. 2.[多选]下列说法正确的有 (　　) A.f(x)=与g(x)=表示同一个函数 B.函数y=f(x)的图象与直线x=2 025的图象至多有一个交点 C.f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一个函数 D.若f(x)=|x-1|-x,则f=0 解析:选BC　对于A,函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),函数g(x)=的定义域为R,两函数的定义域不同,所以不是同一个函数,故A错误;根据函数的定义知B正确;对于C,函数f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1的定义域与对应关系都相同,所以两函数是同一个函数,故C正确;对于D,由f(x)=|x-1|-x,可得f=0,所以f=f(0)=1,故D错误. 3.(2025·惠州模拟)若函数f(x)=的定义域为[-2,+∞),则实数a=　　　　,实数b的取值范围是　　　　. 解析:由函数f(x)=,得即又函数f(x)=的定义域为[-2,+∞),故a=2,b<-2. 答案:2　(-∞,-2) 4.已知函数y=f(x-1)的定义域为[1,2],则函数y=f(2x-1)的定义域为　　　　.  解析:∵函数y=f(x-1)的定义域为[1,2],即1≤x≤2,可得0≤x-1≤1,∴函数y=f(x)的定义域为[0,1].令0≤2x-1≤1,解得≤x≤1,故函数y=f(2x-1)的定义域为. 答案: 习得方略:求函数定义域谨记两句话:定义域(永远)指的是x的取值范围,同一个“f”下括号内的范围是一样的. |思维建模|　与函数概念有关问题的解题策略 (1)判断两个函数是否为同一个函数关键有两点:定义域是否相同,对应关系即解析式是否相同. (2)求具体函数的定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合. (3)对于抽象函数,若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数y=f(g(x))的定义域由不等式组a≤g(x)≤b求出;若复合函数y=f(g(x))的定义域为[a,b],则函数f(x)的定义域为g(x)(x∈[a,b])的值域. 题点二　函数的解析式 [例1] (1)(待定系数法)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式; (2)(配凑法)已知f=x4+,求f(x)的解析式; (3)(换元法)已知f(1-sin x)=cos2x,求f(x)的解析式; (4)(方程组法)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,求f(x)的解析式. 解:(1)∵f(x)是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0),∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17,∴ 解得 ∴f(x)的解析式为f(x)=2x+7. (2)∵f=x4+=-2,又x2+≥2=2,当且仅当x2=,即x=±1时等号成立.设t=x2+,则t≥2,∴f(t)=t2-2(t≥2),∴f(x)=x2-2(x≥2). (易错提醒:对于复合函数f(g(x)),注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域,而是g(x)的值域) (3)设1-sin x=t,t∈[0,2],则sin x=1-t,∵f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x,∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2].∴f(x)=2x-x2,x∈[0,2]. (4)∵2f(x)+f(-x)=3x,　① ∴将x用-x替换,得2f(-x)+f(x)=-3x,　② 由①②解得f(x)=3x. |思维建模|　函数解析式的求法 待定 系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法 配凑法 由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式 换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围 方程 组法 已知关于f(x)与f或f(-x)等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x) [即时训练] 1.(1)已知f(+1)=x+2,求f(x); (2)已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x); (3)已知函数f(x)对于任意的x都有2f+f(x)=x(x≠0),求f(x); (4)已知函数f(x)满足f(x-y)=f(x)+f(y)-2xy,求f(x)的解析式. 解:(1)法一:换元法　令t=+1,则x=(t-1)2,t≥1, 所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). 法二:配凑法　因为f(+1)=x+2=x+2+1-1=(+1)2-1,又+1≥1, 所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). (2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c =2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x, 所以解得 所以f(x)=x2-2x-1. (3)由f(x)+2f=x, 令x=,得f+2f(x)=, 于是得到关于f(x)与f的方程组 解得f(x)=-(x≠0). (4)在f(x-y)=f(x)+f(y)-2xy中,令x=y=0,得f(0)=0;令y=x,得f(x-x)=f(x)+f(x)-2x2=0,故f(x)+f(x)=2x2,得f(x)=x2. 习得方略:在求抽象函数解析式时,可用“赋值法”求解,首先要对题设中的有关参数进行赋值(一般令参数等于0,-1,1),再得到关于函数解析式的某种递推关系,最后求得函数解析式. 题点三　分段函数 考法(一)　分段函数求值 [例2] (1)设函数f(x)=则f= (　　) A.　　B.　　C.　　D.-1 解析:选A　易知f=2=,所以f=f==. (2)设函数f(x)=则f(20)= (　　) A.3　　B.4　　C.5　　D.lo17 解析:选C　由题意得f(20)=f(17)+1=f(14)+2=…=f(-1)+7=lo[3-(-1)]+7=-2+7=5. |思维建模|　求函数值的方法 　　先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. 考法(二)　分段函数与方程 [例3]　(2024·泰安二模)已知函数f(x)=且f(m)=-12,则f(6-m)= (　　) A.-1　　B.-3　　C.-5　　D.-7 解析:选D　由题意知,当m≤1时,f(m)=2m+1-8=-12,得2m+1=-4,又2m+1>0,所以方程无解;当m>1时,f(m)=4lo(m+1)=-12,得(m+1)=-3,即m+1=8,解得m=7,所以f(6-m)=f(-1)=2-1+1-8=-7. |思维建模|　求分段函数中参数值或自变量值的方法 (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参. (2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值. 考法(三)　分段函数与不等式 [例4]　设函数f(x)=则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是　　　　.  解析:法一　当x<1时,由f(x)≤2,得2x-1≤2,所以x-1≤1,解得x≤2.又因为x<1,所以x<1;当x≥1时,由f(x)≤2,得≤2,所以x≤4.又因为x≥1,所以1≤x≤4.综上,满足f(x)≤2成立的x的取值范围为 (-∞,4]. 法二　画出f(x)的图象,由图象知f(x)是R上的增函数,又因为f(4)=2,所以f(x)≤2,可化为f(x)≤f(4),故x≤4. 答案:(-∞,4] |思维建模|　与分段函数有关的不等式问题的解题策略 (1)涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式,当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解. (2)解与分段函数不等式有关的问题时,有时数形结合更便捷,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏. [即时训练] 2.已知函数f(x)=满足f(π)=1,则实数m的值为 (　　) A. B. C.1 D.2 解析:选B　因为f(π)=f+m=f(0)+2m=sin 0+2m=1,所以m=. 3.[多选]已知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论正确的是 (　　) A.f(f(-1))=1 B.若f(x)=3,则x的值是 C.f(x)<1的解集为(-∞,1) D.f(x)的值域为(-∞,4) 解析:选ABD　由题意得f(-1)=-1+2=1,所以f(f(-1))=f(1)=12=1,故A正确;当x≤-1时,f(x)=x+2=3,解得x=1(舍去);当-1<x<2时,f(x)=x2=3,解得x=-(舍去)或x=.所以f(x)=3的解为x=, 故B正确;当x≤-1时,f(x)=x+2<1,解得x<-1;当-1<x<2时,f(x)=x2<1,解得-1<x<1,所以f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1),故C错误;当x≤-1时,f(x)=x+2≤-1+2=1;当-1<x<2时,f(x)=x2∈[0,4),所以f(x)的值域为(-∞,4),故D正确. 4．(2025年1月·八省高考适应性演练)已知函数f(x)＝x|x－a|－2a2.若当x>2时，f(x)>0，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1]　　　　 B．[－2,1] C．[－1,2]　　　　 D．[－1，＋∞) 解析：选B　当a>2，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝当2<x<a时，f(x)＝－x2＋ax－2a2，此时Δ＝a2－4×2a2＝－7a2<0，所以f(x)<0，不满足当x>2时，f(x)>0，故a>2不符合题意；当0<a≤2，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)·(x＋a)>0，解得x>2a，由于x>2时，f(x)>0，故2a≤2，解得0<a≤1；当a＝0，x>2时，f(x)＝x2>0恒成立，符合题意；当a<0，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>－a，由于x>2时，f(x)>0，故－a≤2，解得－2≤a<0.综上－2≤a≤1.故选B. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.函数f(x)=+lg(x-1)的定义域为 (　　) A.{x|x≥3} B.{x|x<1} C.{x|1≤x≤3} D.{x|1<x≤3} 解析:选D　由⇒所以函数f(x)=+lg(x-1)的定义域为{x|1<x≤3}. 规律方法:求函数的定义域常用的结论 (1)分式型要满足f(x)≠0; (2)偶次根式型(n∈N*)要满足f(x)≥0; (3)[f(x)]0要满足f(x)≠0; (4)对数型logaf(x)(a>0,且a≠1)要满足f(x)>0; (5)正切型tanf(x)要满足f(x)≠+kπ,k∈Z. 2.已知函数f(x)=则f(-3)= (　　) A.2　　B.3　　C.4　　D.8 解析:选A　依题意,得f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=21=2. 3.已知函数f(x)是一次函数,且f(f(x)-2x)=3,则f(5)= (　　) A.11　　B.9　　C.7　　D.5 解析:选A　设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x)-2x)=f(ax+b-2x)=a(ax+b-2x)+b=3,整理得(a2-2a)x+ab+b-3=0,所以解得所以f(x)=2x+1,所以f(5)=2×5+1=11. 4.设函数f(x)=若f(m)=18,则m= (　　) A.9 B.4 C.9或-4 D.9或4 解析:选C　因为f(x)=f(m)=18,所以或解得m=-4或m=9. 5.已知函数f(x2-x)的定义域为(0,2),则f的定义域是 (　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. 解析:选C　因为f(x2-x)的定义域为(0,2),所以-≤x2-x<2,对于函数f有-≤-1<2,解得x∈. 6.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)-2f(-x)=ex,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为 (　　) A.-1　　B.-　　C.　　D.1 解析:选C　因为f(x)=2f(-x)+ex,所以f(-x)=2f(x)+e-x,联立可解得f(x)=-,所以f'(x)=,f'(0)=. 7.已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,-1] B. C. D.(-∞,-1)∪ 解析:选C　当x≥1时,f(x)=ln x≥ln 1=0,又f(x)的值域为R,故当x<1时,f(x)的值域包含(-∞,0), 故解得-1≤a<. 8.已知f(x)=若f(a)<-3,则a的取值范围为 (　　) A.(-3,+∞) B.[-3,+∞) C.(-∞,-3) D.(-∞,-3] 解析:选C　由题意,得当a≤-2时,f(a)=a,由f(a)<-3,得a<-3,∴a<-3;当-2<a<4时,f(a)=a+1,由f(a)<-3,得a+1<-3,解得a<-4,此时不等式无解;当a≥4时,f(a)=3a,由f(a)<-3,得3a<-3,解得a<-1,此时不等式无解.综上所述,a的取值范围是(-∞,-3). 二、多选题 9.(2025·青岛模拟)存在函数f(x)满足对于任意的x∈R都有 (　　) A.f(sin x)=cos 2x 　B.f(cos 2x)=sin x C.f(x2+2x)=|x+1| 　D.f(x2+1)=|x+1| 快审准解:根据函数的性质,取特殊值推出矛盾排除B、D;对于A,令t=sin x,再化简即可;对于C,令t=x2+2x,再化简即可. 解析:选AC　对于A,因为f(sin x)=cos 2x=1-2sin2x ,令t=sin x,所以f(t)=1-2t2,-1≤t≤1,故A正确;对于B, f(cos 2x)=sin x,取x=和x=-,得f(0)=,f(0)=-,故B错误;对于C,令t=x2+2x,所以|x+1|== ,即f(t)=(t≥-1),符合题设,故C正确;对于D,取x=1,f(2)=2,取x=-1,f(2)=0,故D错误. 10.下列两个函数是相同函数的有 (　　) A.f(x)=x-1与g(x)= B.f(x)=与g(x)= C.f(x)=x0与g(x)=1 D.f(x)=|x|与g(x)= 解析:选BD　f(x)=x-1的定义域为R,g(x)=的定义域为{x|x≠-1},两函数定义域不同,故不是相同函数,故A错误;f(x)===1(x>0),g(x)===1(x>0),两函数定义域和对应法则相同,故为相同函数,故B正确;f(x)=x0,x∈(-∞,0)∪(0,+∞)与g(x)=1,x∈R定义域不同,故不是相同函数,故C错误;f(x)=|x|,g(x)==|x|,函数的定义域、对应法则均相同,所以两函数是相同函数,故D正确. 11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,是解析数论的创始人之一,以其命名的函数f(x)=称为狄利克雷函数,则关于f(x),下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的值域为[0,1] 　B.f(x)的定义域为R C.∀x∈R,f(f(x))=1 　D.f(x)为偶函数 解析:选BCD　因为函数f(x)=所以函数f(x)的定义域为R,值域为{0,1},故A错误,B正确;因为f(x)=0或f(x)=1,且0与1均为有理数,所以f(f(x))=f(0)=1或f(f(x))=f(1)=1,故C正确;因为函数f(-x)= ==f(x),所以f(x)为偶函数,故D正确. 12.(2025·广州模拟)给定数集A=R,B=(0,+∞),x,y满足方程2x-y=0,下列对应关系f为函数的是 (　　) A.f:A→B,y=f(x) B.f:B→A,y=f(x) C.f:A→B,x=f(y) D.f:B→A,x=f(y) 解析:选ABD　y=f(x)=2x,∀x∈A,均有唯一确定f(x)∈(0,+∞)=B,符合函数定义,A正确;y=f(x)=2x,∀x∈B,均有唯一确定f(x)∈(1,+∞)⊆A,符合函数定义,B正确;x=f(y)=log2y,取y=1∈A,x=0∉B,不符合函数定义,C错误;x=f(y)=log2y,∀y∈B,均有唯一确定f(y)∈R=A,符合函数定义,D正确. 易错提醒:函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应,即可以“多对一”,不能“一对多”,而B中有可能存在与A中不对应的元素. 三、填空题 13.(2025·烟台模拟)已知f(x)=则f=　　　　.  解析:因为f=f+1=f+2=f+3=log2+3=-1+3=2. 答案:2 14.若函数f=x2+,且f(a)=8,则实数a的值为　　　　 .  解析:∵函数f=x2+=+2,又y=x-的值域为R,∴f(x)=x2+2(x∈R),由f(a)=8,可得a2+2=8, 解得a=±. 答案:± 15.设函数f(x)=若f(1)=2f(0),则实数a可以为　　　　.(只需写出满足题意的一个数值即可)  解析:若a<0,则f(0)=1,f(1)=2,f(1)=2f(0)成立;若0≤a<1,则f(0)=1,f(1)=2,f(1)=2f(0)成立;若a≥1,则f(0)=1, f(1)=0,f(1)=2f(0)不成立.综上所述,实数a的取值范围是(-∞,1). 答案:0(答案不唯一,满足a∈(-∞,1)即可) 16．设函数f(x)＝若f(f(a))≤6，则实数a的取值范围是________． 解析：画出函数f(x)＝的图象，如图所示，易知由f(f(a))≤6可得f(a)≥－3；当a<0时，f(a)＝a2＋a≥－3，此时a2＋a＋3≥0恒成立，即a<0；当a≥0时，f(a)＝－a2≥－3，即a2≤3，解得0≤a≤.综上可得，实数a的取值范围是(－∞，]． 答案：(－∞，] 17.(2024·温州三模)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)-1,f(4)=2,则f=　　　　　.  解析:由题意,令x=y=2,得f(2×2)=f(2)+f(2)-1.又f(4)=2,所以f(2)=.令x=2,y=1,得f(2×1)=f(2)+f(1)-1,所以f(1)=1.令x=2,y=,得f=f(2)+f-1⇒f=. 答案: 第二节　函数的单调性与最大(小)值 明确目标 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，掌握求函数单调区间的基本方法. 2.理解函数最大值、最小值的概念，理解它们的作用和实际意义，会求简单函数的最值. 教材再回首 1.函数的单调性 (1)单调性 设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 ∀x∈D,都有f(x)≤M;∃x0∈D,使得f(x0)=M ∀x∈D,都有f(x)≥M;∃x0∈D,使得f(x0)=M 结论 M为最大值 M为最小值 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P77“思考”改编)下列函数是增函数的为 (　　) A.f(x)=|x| B.f(x)= C.f(x)=x2 D.f(x)= 解析:选D　对于A,f(x)=|x|在R上不具有单调性,不合题意.对于B,f(x)=为R上的减函数,不合题意.对于C,f(x)=x2在R上不具有单调性,不合题意.对于D,f(x)=为R上的增函数,符合题意,故选D. 2.(北师大必修①P65T3改编)已知函数f(x)在R上是减函数,a,b∈R,且a+b<0,则有 (　　) A.f(a)+f(b)<0 B.f(a)+f(b)>0 C.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) 解析:选D　∵f(x)是减函数,a+b<0,∴a<-b,b<-a,∴f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b). 3.(人A必修①P81例5改编)已知函数f(x)=(x∈[2,6]),则f(x)的最小值为　　　　,最大值为　　　　.  解析:由于f(x)=在[2,6]上单调递减,故f(x)的最大值为f(2)=2,最小值为f(6)=. 答案:　2 4.(苏教必修①P134T6)设m为实数,若函数f(x)=x2+mx-2在区间(-∞,2)上单调递减,则m的取值范围为　　　　.  解析:由题意得-≥2,解得m≤-4. 答案:(-∞,-4] 二、易错小题的警醒训练 1.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围是　 　　.  解析:由条件知解得-1≤a<1.(易错点:忽视参数的取值范围) 答案:[-1,1) 2.函数f(x)=的单调递增区间为　　　　.  解析:由x2-2x-3>0得x<-1或x>3,故f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞),由函数y=x2-2x-3在(-∞,-1)上单调递减,故f(x)的单调递增区间是(-∞,-1).(易错点:忽视函数的定义域) 答案:(-∞,-1) 题点一　确定函数的单调性 考法(一)　求函数的单调区间 [例1] (1)函数f(x)=(x-4)|x|的单调递增区间是 (　　) A.(-∞,0) B.(-∞,0)∪(2,+∞) C.(-∞,0)和(2,+∞) D.(2,+∞) 解析:选C　函数f(x)=(x-4)|x|=的图象如图所示,由图可知函数的单调递增区间为(-∞,0)和(2,+∞). 微点提醒:函数单调性关注的是整个区间上的性质,单独一点不存在单调性问题,故若单调区间的端点属于定义域,则区间可开可闭,若区间端点不属于定义域,则只能开. (2)(2025·唐山模拟)函数f(x)=lo(2x2-3x-2)的单调递增区间为　　　　.  解析:令t=2x2-3x-2>0,解得x>2或x<-,则f(x)的定义域为∪(2,+∞).(注意:求函数单调区间或讨论函数的单调性时,必须先求函数的定义域) 由g(t)=lot在(0,+∞)上单调递减,根据复合函数的单调性:同增异减,知函数t=2x2-3x-2的单调递减区间,即为f(x)的单调递增区间,再结合f(x)的定义域可知,f(x)的单调递增区间为. 答案: 考法(二)　判断或证明函数的单调性 [例2]　试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性. 解:法一:定义法　设-1<x1<x2<1,因为f(x)=a=a,所以f(x1)-f(x2)=a-a=. 因为-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 综上,当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增. 法二:导数法　f'(x)===-. 当a>0时,f'(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增. |思维建模| 求函数单调区间的方法 定义法 设元—作差—变形—判断符号—得出结论 图象法 根据图象的上升或下降确定单调性 导数法 利用导数值的正负确定函数的单调区间 性质法 增+增=增,增-减=增,减+减=减,减-增=减 复合法 将函数f(g(x))分解成f(t)和t=g(x),根据复合函数“同增异减”的规则进行判断 [即时训练] 1.若定义在R上的函数f(x)满足f(x)=3f(|x|)+x2-2x,则f(x)的单调递增区间为 (　　) A.(-∞,-10]和[0,1] 　B.(-∞,-5]和[0,1] C.[-10,0]和[1,+∞) 　D.[-5,0]和[1,+∞) 解析:选B　当x≥0时,f(x)=3f(x)+x2-2x,则f(x)=-x2+x,∴f(x)在[0,1]上单调递增;当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x2-x,∴f(x)=3f(-x)+x2-2x=-x2-3x+x2-2x=-x2-5x,∴f(x)在(-∞,-5]上单调递增.综上所述,f(x)的单调递增区间为(-∞,-5]和[0,1]. (注意:一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接) 2.已知a>0,函数f(x)=x+(x>0),求证:函数f(x)在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增. 证明:法一:定义法　设x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=x1-x2+=.∵x1>x2>0,∴x1-x2>0,x1x2>0,当x1,x2∈(0,]时,0<x1x2<a,∴x1x2-a<0,∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2),∴f(x)在(0,]上单调递减.当x1,x2∈[,+∞)时,x1x2>a,∴x1x2-a>0,∴f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2),∴f(x)在[,+∞)上单调递增. 故函数f(x)在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增. 法二:导数法　f'(x)=1-=(x>0),令f'(x)>0⇒x2-a>0⇒x>,令f'(x)<0⇒x2-a<0⇒0<x<,∴f(x)在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增. 题点二　函数单调性的应用 考法(一)　比较大小 [例3]　已知函数f(x)=,记a=f(),b=f(),c=f(),则 (　　) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a 解析:选B　函数f(x)=的定义域为R,f(4-x)==f(x),则函数f(x)的图象关于直线x=2对称,而函数t=(x-2)2在(2,+∞)上单调递增,函数y=et在定义域上单调递增,于是函数f(x)在(2,+∞)上单调递增.又a=f()=f(4-),2<<4-<,则f()<f(4-)<f(),所以b<a<c. 考法(二)　解不等式 [例4]　已知函数f(x)的定义域为R,对任意的x1,x2且x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0成立,若f(x2+1)>f(t2-t-1)对任意x∈R恒成立,则实数t的取值范围是　　　　. 解析:对任意的x1,x2且x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0成立,不妨设x1<x2,则f(x1)<f(x2),故函数f(x)在R上为增函数.由f(x2+1)>f(t2-t-1)对任意x∈R恒成立,得x2+1>t2-t-1对任意x∈R恒成立,所以t2-t-1<(x2+1)min(x∈R),即t2-t-1<1,t2-t-2<0,解得-1<t<2.所以实数t的取值范围是(-1,2). 答案:(-1,2) 借题发挥:若本题的题干中“(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(x1≠x2)”改为“x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)(x1≠x2)”,也能得到f(x)在给定区间上单调递增. 谨记结论:若∀x1,x2∈I(x1≠x2),则>0(<0)或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减). 考法(三)　求参数范围 [例5]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,0]　　 B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 解析:选B　若函数f(x)在R上单调递增,则需满足　(易忽视分界点处函数值大小的比较) 解得-1≤a≤0,即a的取值范围是[-1,0].故选B. |考|教|衔|接| 　 本题源自北师大版必修①P73T3:已知函数f(x)=在定义域R上是减函数,求实数a的取值范围. 两题均以分段函数为载体考查函数的单调性,虽然高考题把教材题中的一次函数变为对数函数(难度增加了),减函数变为了增函数,但是解题思路是一样的. |思维建模| (1)比较函数值的大小时,先转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决. (2)求解函数不等式时,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大小关系,应注意函数的定义域. (3)求参数的取值(范围)时.根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值. [即时训练] 3.(2025·扬州开学考试)已知函数f(x)在[1,+∞)上单调递减且对任意x∈R满足f(x)=f(2-x),则不等式f(2x-3)>f(x)的解集是 (　　) A.∪(3,+∞) 　　B. C. 　　D.(3,+∞) 解析:选B　因为对任意x∈R满足f(x)=f(2-x),所以f(x)的对称轴为直线x=1,又函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,所以f(2x-3)>f(x)⇔(2x-3-1)2<(x-1)2,解得x∈. 4.(2025·青岛模拟)已知函数f(x)=若f(x)在R上不具有单调性,则a的取值范围是　　　　　　　　.  快审准解:首先分析各段函数的单调性,要使f(x)在R上是增函数,则求出a的取值范围,则f(x)在R上不具有单调性,即为求出的a的范围的补集. 解析:因为y=x3在定义域R上单调递增,y=-x2+2a在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,又f(x)=所以要使f(x)在R上是增函数,则解得-2≤a≤0.若f(x)在R上不具有单调性,则a<-2或a>0,即a的取值范围是(-∞,-2)∪(0,+∞). 答案:(-∞,-2)∪(0,+∞) 题点三　函数的最值 [例6] (1)(单调性)函数f(x)=x-+1在[1,4]上的值域为 (　　) A. B.[0,1] C. D. 解析:选C　由y=x在[1,4]上单调递增,且y=在[1,4]上单调递减,可得f(x)=x-+1在[1,4]上单调递增.又f(1)=0,f(4)=,故函数f(x)在[1,4]上的值域为. (2)(图象法)记实数x1,x2,…,xn的最小值为min{x1,x2,…,xn},若f(x)=min{x+1,x2-2x+1,-x+8},则函数f(x)的最大值为 (　　) A.4　　B.　　C.1　　D.5 解析:选B　如图所示,在同一个平面直角坐标系中,分别作出函数y=x+1,y=x2-2x+1,y=-x+8的图象,而f(x)=min{x+1,x2-2x+1,-x+8}的图象即是图中勾勒出的实线部分,要求的函数f(x)的最大值即图中最高点A的纵坐标.由联立,解得故所求函数f(x)的最大值为. (3)(利用单调性和基本不等式)已知函数f(x)=则f(x)的最小值是　　　　.  解析:因为函数y=x2在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,所以当x≤1时,f(x)min=f(0)=0.当x>1时,y=x+≥2,当且仅当x=时,等号成立,此时f(x)min=2-6.又2-6<0,所以f(x)min=2-6. 答案:2-6 (4)(换元法)函数f(x)=2x2-的最小值为　　　　.  解析:令=t,t≥1,则x2=t2-1,∴y=2(t2-1)-t=2t2-t-2(t≥1).∵y=2t2-t-2的对称轴为t=,∴当t≥1时,ymin=2×12-1-2=-1,∴函数f(x)的最小值为-1. 答案:-1 |思维建模|　求函数最值的4种基本方法 单调性法 先确定函数的单调性,再由单调性求最值 图象法 先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值 基本不 等式法 先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 换元法 将解析式化归为熟悉的函数,进而解出最值(值域) [即时训练] 5.函数f(x)=3x-10+的值域为 (　　) A.[5,+∞) B.[6,+∞) C.[7,+∞) D.[10,+∞) 解析:选A　由x-5≥0,得x≥5,所以f(x)的定义域为[5,+∞).因为y=3x-10与y=在[5,+∞)上均单调递增,所以f(x)在[5,+∞)上为增函数,所以f(x)≥f(5)=5,即函数f(x)的值域为[5,+∞). 6.若函数f(x)=在区间[0,1]上的最大值为,则实数m= (　　) A.3　　B.　　C.2　　D.或3 解析:选B　f(x)==2+,当m=2时,f(x)=2,不符合题意;当m-2>0,即m>2时,f(x)在[0,1]上单调递减,可得f(0)为最大值,即f(0)==,解得m=;当m-2<0,即m<2时,f(x)在[0,1]上单调递增,可得f(1)为最大值,即f(1)==,解得m=3,不满足条件.综上可得m=. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.函数f(x)=-|x-2|的单调递减区间为 (　　) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(0,2) D.(0,+∞) 解析:选B　∵y=|x-2|=∴函数y=|x-2|的单调递增区间为(2,+∞),∴f(x)的单调递减区间为(2,+∞). 2.函数f(x)=-x+在上的最大值是 (　　) A.　　B.-　　C.-2　　D.2 解析:选A　因为函数y=-x和y=在上均单调递减,所以f(x)=-x+在上单调递减,所以f(x)max=f(-2)=2-=. 3.(2025·广州联考)函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不具有单调性,则a的取值范围是 (　　) A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1] 解析:选B　函数f(x)=2|x-a|+3的大致图象如图所示,其形状如一个“V”,开口向上,顶点坐标为(a,3),由于函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不具有单调性,因此需满足顶点在直线x=1的右侧,则a>1,故选B. 价值发掘:函数f(x)=a|x-b|+c(a≠0)的图象的形状如一个“V”,顶点为(b,c),若a>0,则开口向上,若a<0,则开口向下. 4.已知函数f(x)=+2x,若f(2a2-5a+4)<f(a2+a+4),则实数a的取值范围是 (　　) A.∪(2,+∞) 　　B.[2,6) C.∪[2,6) 　　D.(0,6) 解析:选C　由题意可知,函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,∵f(2a2-5a+4)<f(a2+a+4), ∴2≤2a2-5a+4<a2+a+4,(易错:没注意定义域,丢失2a2-5a+4≥2的情况)解得2≤a<6或0<a≤.故选C. 5.已知函数f(x)是R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,设a=f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系是 (　　) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.b<a<c 解析:选B　因为函数f(x)是R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以b=f<f(ln 2)=f= c<f(1)< f ()=f=a,即b<c<a. 6.已知函数f(x)=,若0<x1<x2<x3≤2,则,,的大小关系是 (　　) A.<< B.<< C.<< D.<< 解析:选C　当0<x≤2时,设g(x)===.由y=在[0,+∞)上单调递增,y=-1在(0,2]上单调递减,根据复合函数单调性得g(x)=在(0,2]上单调递减,若0<x1<x2<x3≤2,则<<. 二、多选题 7.下列函数在(0,+∞)上单调递减的是 (　　) A.f(x)=- B.f(x)=x2+1 C.f(x)=ln|x| D.f(x)= 解析:选AD　函数f(x)=-=-在(0,+∞)上单调递减,A正确;f(x)=x2+1在(0,+∞)上单调递增,B错误;f(x)=ln|x|,f(1)=ln 1=0,f(2)=ln 2>0,∵f(1)<f(2),∴f(x)在(0,+∞)上不单调递减,C错误;f(x)==x-2在(0,+∞)上单调递减,D正确. 8.已知函数f(x)=则下列结论正确的是 (　　) A.f(x)在R上为增函数 B.f(e)>f(2) C.若f(x)在(a,a+1)上单调递增,则a≤-1或a≥0 D.当x∈[-1,1]时,f(x)的值域为[1,2] 解析:选BC　因为f(-1)=1,f=-1+<-1+2=1,A错误;e>2,f(e)>f(2),B正确;若f(x)在(a,a+1)上单调递增,则a≥0或a+1≤0,即a≤-1或a≥0,C正确;当x∈[-1,0]时,f(x)∈[1,2],当x∈(0,1]时,f(x)∈(-∞,2],故x∈[-1,1]时,f(x)的值域为(-∞,2],D错误. 三、填空题 9.y=-的单调递增区间为　　　　. 解析:由x2+2x≥0,得x≤-2或x≥0,则函数的定义域为(-∞,-2]∪[0,+∞),令t=x2+2x,则y=-.因为t=x2+2x在(-∞,-2]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,y=-在定义域内为减函数,所以y=-在(-∞,-2]上单调递增,在[0,+∞)上单调递减,所以y=- 的单调递增区间为(-∞,-2]. 答案:(-∞,-2] 10.已知f(x)=2x+x,则不等式f(|2x-3|)<3的解集为　　　　.  解析:函数y=2x,y=x都是R上的增函数,则函数f(x)=2x+x是R上的增函数,不等式f(|2x-3|)<3⇔f(|2x-3|)<f(1)⇔|2x-3|<1,则-1<2x-3<1,解得1<x<2,所以不等式f(|2x-3|)<3的解集为(1,2). 答案:(1,2) 11.(2025·北京西城一模)已知函数f(x)=若f(x)存在最小值,则c的最大值为　　　　.  解析:当-2<x<0时,f(x)=x2+x=-,故当x=-时,f(x)有最小值-;当0≤x<c时,f(x)=-单调递减,所以-<f(x)≤0,由题意f(x)存在最小值,则-≥-,解得0<c≤,即c的最大值为. 答案: 12.已知f(x)=,g(x)=mx+1-2m,若对任意的x1∈[2,3],总存在x2∈[2,3],使f(x1)=g(x2)成立,则实数m的取值范围为　　　　.  解析:若对任意的x1∈[2,3],总存在x2∈[2,3],使f(x1)=g(x2)成立,则只需在区间[2,3]上函数f(x)的值域为函数g(x)的值域的子集.因为函数f(x)=1+,所以函数f(x)在[2,3]上单调递减,所以函数f(x)的值域为.对于函数g(x)=mx+1-2m,x∈[2,3],①当m=0时,g(x)=1,不符合题意;当m>0时,g(x)单调递增,则g(x)的值域为[1,m+1],此时只需m+1≥2,解得m≥1;③当m<0时,g(x)单调递减,则g(x)的值域[m+1,1],不符合题意.综上,m的取值范围为[1,+∞). 答案:[1,+∞) 四、解答题 13.已知函数f(x)=ax-(a,b∈R),图象经过点,且f(1)=. (1)求a,b的值; (2)用定义法证明函数y=f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增. 解:(1)由题意得解得 (2)证明:由(1)可知f(x)=x-,设∀x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=x1--x2+=x1-x2+-=x1-x2+=(x1-x2). 因为x1<x2,所以x1-x2<0, 又x1,x2∈(-1,+∞), 所以1+>0, 所以(x1-x2)<0, 即f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2), 所以函数y=f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增. 14.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)单调递增,f(1)=0,f(3)=1. (1)解不等式0<f(x2-1)<1; (2)若f(x)≤m2-2am+1对所有x∈(0,3],a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围. 解:(1)由题意得解得<x<2或-2<x<-.所以原不等式的解集为(-2,-)∪(,2). (2)因为函数f(x)在(0,3]上单调递增,所以f(x)在(0,3]上的最大值为f(3)=1,所以不等式f(x)≤m2-2am+1对所有x∈(0,3],a∈[-1,1]恒成立转化为1≤m2-2am+1对所有a∈[-1,1]恒成立,即m2-2am≥0对所有a∈[-1,1]恒成立. 设g(a)=-2ma+m2,a∈[-1,1], 所以需满足即 解得m≤-2或m≥2或m=0, 即实数m的取值范围为(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞). 第三节 　函数的奇偶性与周期性 明确目标 1.了解函数奇偶性的含义,了解函数的周期性及其几何意义. 2.会依据函数的奇偶性、周期性解决一些简单的问题. 教材再回首 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 解题结论拓展 1.函数奇偶性的3个性质 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0; (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|); (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 2.函数周期性的3个常用结论 对于f(x)定义域内任一自变量的值x, (1)若f(x+a)=-f(x),则2a(a>0)是f(x)的一个周期; (2)若f(x+a)=,则2a(a>0)是f(x)的一个周期; (3)若f(x+a)=-,则2a(a>0)是f(x)的一个周期. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P84例6改编)[多选]给出下列函数,其中为奇函数的是 (　　) A.f(x)=x4 B.f(x)=x5 C.f(x)=x+ D.f(x)= 解析:选BC　对于f(x)=x4,f(x)的定义域为R,由f(-x)=(-x)4=x4=f(x),可知f(x)=x4是偶函数,同理可知f(x)=x5,f(x)=x+是奇函数,f(x)=是偶函数. 2.(人B必修①P115T4改编)[多选]已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R,则 (　　) A.f(x)+g(x)是奇函数 　B.f(x)|g(x)|是奇函数 C.f(x)g(x)是偶函数 　D.f(g(x))是偶函数 解析:选BD　因为f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠f(x)+g(x)且f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠-[f(x)+g(x)],所以f(x)+g(x)既不是奇函数也不是偶函数,故A错误;因为f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故B正确;因为f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)≠f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,不是偶函数,故C错误;因为f(g(-x))=f(g(x)),所以f(g(x))是偶函数,故D正确. 3.(北师大必修②P4T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,且f(-1)=2f(10)+3,则f(2 023)=　　　　.  解析:由题意知f(2 023)=f(3×674+1)=f(1),而f(-1)=2f(10)+3,所以f(-1)=2f(3×3+1)+3=2f(1)+3=-2f(-1)+3,即3f(-1)=3,解得f(-1)=1,故f(2 023)=f(1)=-1. 答案:-1 二、易错小题的警醒训练 1.函数f(x)=|x+1| 是　　　　　　函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)  解析:因为f(x)有意义,则满足≥0,所以-1<x≤1,所以f(x)的定义域不关于原点对称,所以f(x)为非奇非偶函数.(易错点:忽视定义域) 答案:非奇非偶 2.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+x-1,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　　　　　.  解析:设x<0,则-x>0,由题意可知f(-x)=(-x)2-x-1=x2-x-1,因为f(x)是R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2+x+1,且f(0)=0.综上所述,f(x)=(易错点:忽视自变量0的函数值) 答案:f(x)= 题点一　判断函数的奇偶性(自主练通) 1.(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是 (　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 解析:选B　法一:通解　对于A,f(-x)==≠f(x),故f(x)不是偶函数;对于B,f(-x)== =f(x),故f(x)是偶函数;对于C,f(x)的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)不是偶函数;对于D,f(-x)===-=-f(x),故f(x)是奇函数.故选B. 法二:性质法　易知y=x2+1与y=e|x|均为偶函数,且恒为正.对于A,由于y=ex-x2是非奇非偶函数,所以f(x)也是非奇非偶函数;对于B,y=cos x+x2是偶函数,所以f(x)是偶函数;对于C,易知f(x)的定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数;对于D,y=sin x+4x是奇函数,所以f(x)是奇函数,故选B. 谨记结论:记住一些常见函数的奇偶性,对我们提高解题速度很有帮助.常见的偶函数有y=ax+a-x(a>0且a≠1),y=cos x,y=x2n(n∈Z),y=|x|等;常见的奇函数有y=ax-a-x,y=sin x,y=tan x,y=x2n+1(n∈Z),y=loga, y=loga(x+)等,其中a>0且a≠1. 2.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x3-; (2)f(x)=; (3)f(x)=+; (4)f(x)= 解:(1)原函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,并且对于定义域内的任意一个x都有f(-x)=(-x)3-=-=-f(x), 从而函数f(x)为奇函数. (2)由得-2<x<2, 即函数f(x)的定义域是{x|-2<x<2},关于原点对称. 因此f(x)==lg(4-x2), 所以f(-x)=f(x), 因此函数f(x)是偶函数. (3)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称. 又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0, 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (4)如图,作出函数f(x)的图象,由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数. |思维建模|　判断函数奇偶性的方法 定义法 先判断定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系:若f(-x)=f(x),则y=f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x),则y=f(x)是奇函数 数形结合 若函数图象关于原点对称,则函数是奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数是偶函数 性质法 在公共定义域内有奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇 题点二　函数奇偶性的应用 [例1] (1)设函数f(x)=x5+2x3+3x+1在区间[-2 025,2 025]上的最大值为M,最小值为m,则M+m等于 (　　) A.0　　　　　　　　 B.2 C.1 D.3 解析:选B　由题意知,函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,令g(x)=f(x)-1=x5+2x3+3x,则函数g(x)为奇函数,∴g(x)在区间[-2 025,2 025]上的最大值与最小值之和为0,即M-1+m-1=0,∴M+m=2. 谨记结论:若f(x)是定义在区间D上的奇函数,且有最值,则 ①f(x)max+f(x)min=0; ②若g(x)=f(x)+c,则必有g(-x)+g(x)=2c,g(x)max+g(x)min=2c. (2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a= (　　) A.-1　　　　　　　　　 B.0 C.　　　　　　　　　　D.1 解析:选B　法一　设g(x)=ln,易知g(x)的定义域为∪,且g(-x)=ln=ln=-ln=-g(x),所以g(x)为奇函数.若f(x)=(x+a)ln 为偶函数,则y=x+a也应为奇函数,所以a=0,故选B. 法二　因为f(x)=(x+a)ln 为偶函数,f(-1)=(a-1)·ln 3,f(1)=(a+1)ln=-(a+1)ln 3,所以(a-1)ln 3=-(a+1)ln 3,解得a=0,故选B. (3)(2024·景德镇三模)已知函数f(x)=是奇函数,则x>0时,g(x)的解析式为 (　　) A.-　　B.　　C.-2x　　D.2x 解析:选C　设x>0,则-x<0,所以f(-x)==2x.又函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-f(x)=2x⇒f(x)=-2x,x>0,即g(x)=-2x. |思维建模|　函数奇偶性可解决的问题及解题方法 求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上,再利用奇偶性的定义求出 求参数 根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而求出参数的值 [即时训练] 1.已知函数f(x)=a+是奇函数,则f(2)= (　　) A.-　　B.-　　C.　　D. 解析:选A　因为函数f(x)=a+是R上的奇函数,所以f(0)=0,即1+a=0,解得a=-1.当a=-1时,f(-x)=-1+=-1+==1-=-f(x),f(x)为奇函数,满足题意,所以f(x)=-1+,故f(2)=-. 2.设f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1,则使f(x)>0的x的取值范围是 (　　) A.{x|x>1} B.{x|-1<x<0} C.{x|x<-1,或x>1} D.{x|-1<x<0,或x>1} 解析:选C　∵当x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1单调递增,又∵f(x)为偶函数,故可以作出f(x)的大致图象如图所示.由图象可知,若f(x)>0,则x<-1或x>1. 3.已知函数f(x)的定义域为R.设函数g(x)=f(x)+e-x,函数h(x)=f(x)-5ex,若g(x)是偶函数,h(x)是奇函数,则f(x)的最小值为 (　　) A.e B.2 C.2 D.2e 解析:选C　由g(x)是偶函数,得g(-x)=f(-x)+ex=g(x)=f(x)+e-x,即f(-x)+ex=f(x)+e-x.由h(x)是奇函数,得h(-x)=f(-x)-5e-x=-h(x)=-f(x)+5ex,即f(-x)-5e-x=-f(x)+5ex,联立解得f(x)=2e-x+3ex≥2,当且仅当2e-x=3ex,即ex=时,等号成立. 习得方略:涉及两个奇、偶函数的和与差的函数,求其解析式时,需要用-x代替x后利用奇、偶函数的性质列方程组求解. 题点三　函数的周期性及应用 [例2] (1)(2024·榆林二模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-,当x∈(2,4)时,f(x)=1+log3x,则f(99)= (　　) A.1 B.2 C.- D.-2 解析:选B　因为f(x+2)=-,所以f(x+4)=-=-=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(99)=f(3+4×24)=f(3)=1+log33=2. (2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在[2,4]上的解析式为　　　　　　　　.  解析:根据题意,设x∈[2,4],则x-4∈[-2,0],则有4-x∈[0,2],又x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),则f(4-x)=log2[(4-x)+1]=log2(5-x).又f(x)是周期为4的偶函数,所以f(x)=f(x-4)=f(4-x)=log2(5-x),x∈[2,4]. 答案:f(x)=log2(5-x),x∈[2,4] |思维建模|　与周期性有关的解题策略 (1)求解与函数周期有关的问题,应根据题目特征及周期的定义,求出函数的周期. (2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题. [即时训练] 4.已知函数f(x)满足f(1)>0,f(2)=1,f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(50)= (　　) A.-1　　B.0　　C.1　　D.2 解析:选C　令y=2,可得f(x)=f(x+2)+f(x-2),则f(x+2)=f(x+4)+f(x)=f(x+4)+f(x+2)+f(x-2),即f(x+4)=-f(x-2),即f(x+6)=-f(x),所以f(x+12)=f(x),函数f(x)是周期为12的周期函数,则f(50)=f(2)=1.故选C. 5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=-f(-x),则f(1 000)=　　　　.  解析:函数f(x)是定义在R上的奇函数,有f(0)=0,又由f(x)=-f(-x)和f(x+2)=-f(-x),可得f(x+2)=f(x),可得函数f(x)的周期为2,则f(1 000)=f(0)=0. 答案:0 关键点拨:如果T是函数f(x)的周期,那么kT(k∈N*)也是函数的周期,一般求周期是指求最小正周期. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时f(x)=log3x,则f(-3)= (　　) A.-1　　B.0　　C.1　　D.2 解析:选A　因为f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log3x.所以f(-3)=-f(3)=-log33=-1. 2.设f(x)是定义在R上周期为2的函数,当x∈(-1,1)时,f(x)=则f等于 (　　) A.-7　　B.1　　C.　　D.7 解析:选B　∵f(x)在R上的周期为2,∴f=f=-4×+2=1. 3.(2024·宝鸡三模)已知函数f(x)=x·为偶函数,则a= (　　) A.-1　　B.-　　C.　　D.1 解析:选B　由f(x)为偶函数,得f(-x)=f(x)恒成立,则f(-1)=f(1),即-1·=a+,可得a=-,经验证满足f(-x)=f(x)恒成立. 4.(2024·重庆三模)已知f(x)是定义域为R的奇函数且满足f(x)+f(2-x)=0,则f(20)= (　　) A.-1 B.0 C.1 D.±1 解析:选B　由f(x)是定义域为R的奇函数,得f(-x)=-f(x),且f(0)=0.由f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,得f(2-x)=-f(x),则有f(2-x)=f(-x),可得f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为2的周期函数,故f(20)=f(0)=0. 5.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x+2).若f(3+m)+f(3m-7)>0,则m的取值范围为 (　　) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 解析:选D　当x≥0时,由函数y=x(x+2)图象的对称轴为x=-1,知f(x)在[0,+∞)上单调递增.又函数f(x)在x=0处连续,且f(x)是定义域为R的奇函数,故f(x)在R上单调递增.因为f(-x)=-f(x),由f(3+m)+f(3m-7)>0,可得f(3+m)>f(7-3m),又f(x)在R上单调递增,所以3+m>7-3m,解得m>1. 6.(2025·贵阳阶段练习)已知函数f(x)=,且满足f(m2)+f(m-2)>0,则实数m的取值范围是 (　　) A.(1,+∞) 　　　B.(-∞,-2) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) 　　　D.(-2,1) 快审准解:先用定义法证明f(x)为奇函数,化简f(x)解析式可知f(x)为增函数,然后结合函数的奇偶性与单调性解不等式即可. 解析:选C　易知f(x)的定义域为R.因为f(-x)===-f(x),所以f(x)为奇函数,又因为f(x)==1-,所以f(x)为R上的增函数.因为f(m2)+f(m-2)>0,f(x)为奇函数,所以f(m2)>-f(m-2)=f(2-m).又f(x)为R上的增函数,所以m2>2-m,即m2+m-2>0,解得m<-2或m>1,所以实数m的取值范围为(-∞,-2)∪(1,+∞). 二、多选题 7.下列函数是偶函数的是 (　　) A.y=x+sin 2x B.y=x2-cos x C.y=2x+ D.y=x2+sin x 解析:选BC　由题意,四个函数定义域都是R,在f(x)=x+sin 2x中,f(-x)=-x+sin(-2x)=-x-sin 2x=-f(x),是奇函数;在g(x)=x2-cos x中,g(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cos x=g(x),是偶函数;在h(x)=2x+中,h(-x)=2-x+=2x+=h(x),是偶函数;在w(x)=x2+sin x中,w(-x)=(-x)2+sin(-x)=x2-sin x≠±w(x),∴y=x2+sin x既不是奇函数,也不是偶函数. 8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)=f(x+2),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是周期函数 C.f(2 026)=0 D.x∈[-1,0)时,f(x)=x 解析:选ABC　因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,故A正确;又f(x)=f(x+2),所以f(x)是以2为周期的周期函数,故B正确;f(2 026)=f(2×1 013)=f(0)=0,故C正确;设x∈[-1,0),则-x∈(0,1],所以f(-x)=-x,又f(x)是偶函数,则f(x)=-x,即当x∈[-1,0)时f(x)=-x,故D错误.故选ABC. 9.(2025·重庆模拟)函数f(x)=,g(x)=ln(-3x),那么 (　　) A.f(x)+g(x)是偶函数 　B.f(x)·g(x)是奇函数 C.是奇函数 　D.g(f(x))是奇函数 解析:选BC　因为f(x)的定义域为R,且f(-x)==f(x),所以f(x)为偶函数.因为g(x)的定义域为R,且g(-x)+g(x)=ln(+3x)+ln(-3x)=ln[(+3x)·(-3x)]=ln 1=0,即g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数,所以f(x)+g(x)为非奇非偶函数,A错误;f(-x)·g(-x)=-[f(x)·g(x)],所以f(x)·g(x)为奇函数,B正确;==-,所以是奇函数,C正确;令H(x)=g(f(x)),H(-x)=g(f(-x))=g(f(x))=H(x),H(x)为偶函数,D错误. 三、填空题 10.已知f(x)=是奇函数,则a=　　　　.  解析:由题意得f(-x)=-f(x),即=-,所以=-,故eax-x=ex,所以ax-x=x,解得a=2. 答案:2 11.(2025·安康模拟)已知奇函数f(x)满足f(x-1)=f(-x+3),当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x,则f(23)=　　　　.  解析:由题意,得f(-x)=-f(x),在f(x-1)=f(-x+3)中,以x+1替换x,得f(x)=f(-x+2)(*),以x+2替换(*)式中的x,得f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=f(x),故4为函数f(x)的一个周期.所以f(23)=f(4×6-1)=f(-1)=-f(1)=-(1-2×1)=1. 答案:1 12.黎曼函数是一个特殊的函数,由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出,在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上,其解析式为R(x)= 若函数f(x)是定义在实数集上的偶函数,且对任意x都有f+f(x)=0,当x∈[0,1]时,f(x)=R(x),则f-f=　　　.  解析:由f(2+x)+f(x)=0,得f=-f(x),则f=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为4,因为函数f(x)是定义在实数集上的偶函数,所以f(-ln 2)=f(ln 2), 因为ln 2∈(0,1)为无理数,所以f=0, 又f=f=R=, 所以f-f=0-=-. 答案:- 四、解答题 13.已知定义在N上的函数f(n)满足f(n+2)=f(n+1)-f(n). (1)求证:f(n)是周期函数,并求出其周期; (2)若f(1)=1,f(2)=3,求f(800)的值. 解:(1)证明:∵f(n+2)=f(n+1)-f(n), ∴f(n+3)=f(n+2)-f(n+1)=[f(n+1)-f(n)]-f(n+1)=-f(n), ∴f(n+6)=-f(n+3)=-[-f(n)]=f(n), ∴f(n)是周期函数,周期为6. (2)∵f(n)是周期为6的函数,且f(1)=1,f(2)=3,∴f(800)=f(133×6+2)=f(2)=3. 14.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,求x的取值范围. 解:(1)因为对于任意x1,x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0. (2)f(x)为偶函数.证明如下: 令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x, 有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数. (3)依题意有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知,f(x)是偶函数,所以f(x-1)<2⇔f(|x-1|)<f(16). (注意:如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|)) 又f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1.所以x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}. 第四节 　函数的对称性 明确目标 能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称的公式和推论. 会利用对称公式解决问题. 题点一　轴对称问题 [例1]　(2023·全国乙卷,节选)已知函数f(x)=ln(1+x),是否存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称?若存在,求a,b的值;若不存在,说明理由. 解:假设存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称. 令g(x)=f=(x+a)ln=(x+a)·ln , 因为曲线y=g(x)关于直线x=b对称, 所以g(x)=g(2b-x),即(x+a)ln=(2b-x+a)ln=(x-2b-a)ln, 于是解得 当a=,b=-时,g(x)=ln,g(-1-x)=ln=ln=ln=ln=g(x), 所以曲线y=g(x)关于直线x=-对称,满足题意. 故存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称,且a=,b=-. |思维建模| (1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(a-x)=f(a+x); (2)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=对称. [即时训练] 1.[多选]已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且f(x)为奇函数,g(x)的图象关于直线x=1对称,则下列说法一定正确的是 (　　) A.f(0)=0 B.g(1)=0 C.y=g(f(x))为奇函数 D.y=f(g(x))的图象关于直线x=1对称 解析:选AD　因为f(x)是定义在R上的函数,且f(x)为奇函数,所以f(0)=0,故A正确;因为g(x)是定义在R上的函数,且g(x)的图象关于直线x=1对称,所以g(1-x)=g(1+x),g(1)不一定为0,故B错误;因为g(f(-x))=g(-f(x))≠-g(f(x)),故C错误;因为g(1-x)=g(1+x),则f(g(1-x))=f(g(1+x)),所以y=f(g(x))的图象关于直线x=1对称,故D正确. 2.已知函数f(x)(x∈R)满足f(4+x)=f(-x),若函数y=|x2-4x-5|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则所有交点的横坐标之和为 (　　) A.0 B.m C.2m D.4m 解析:选C　依题意函数f(x)(x∈R)满足f(4+x)=f(-x),得y=f(x)的图象关于直线x=2对称.因为函数y=|x2-4x-5|的图象也关于直线x=2对称,所以若函数y=|x2-4x-5|与y=f(x)图象的交点分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则x1+x2+…+xm=4×=2m. 谨记结论:(1)若f(x)与g(x)关于x=a对称,且它们有m个交点,则所有交点横坐标之和为am; (2)若f(x)与g(x)关于(a,b)对称,且它们有m个交点,则所有交点横坐标之和为am,纵坐标之和为bm. 题点二　中心对称问题 [例2]　(2024·新课标Ⅰ卷,节选)已知函数f(x)=ln +ax+b(x-1)3,证明:曲线y=f(x)是中心对称图形. 证明:法一　 (没给对称中心,需要自己找到对称中心,再证明,怎么找?由于对称函数定义域必定也对称,故不妨先求定义域,从定义域出发寻找对称中心) 由>0,可得x(2-x)>0,所以x(x-2)<0, 解得0<x<2,故f(x)的定义域是(0,2). (定义域关于x=1对称,那么曲线y=f(x)的对称中心的横坐标只能是1,故要证结论成立,接下来只需计算f(2-x)+f(x),得出其为与x无关的常数) 因为f(2-x)+f(x)=ln+a(2-x)+b(2-x-1)3+ln+ax+b(x-1)3=ln+a(2-x)+b(1-x)3+ln+ax+b(x-1)3=ln+2a=ln 1+2a=2a, 所以曲线y=f(x)关于点(1,a)中心对称. 法二　因为f(x)=ln +ax+b(x-1)3, 所以f(x+1)=ln+a(x+1)+bx3=ln+ax+bx3+a.因为y=ln+ax+bx3是奇函数,其图象关于原点对称, 所以曲线f(x+1)关于点(0,a)中心对称, 所以曲线f(x)关于点(1,a)中心对称. |考|教|衔|接| 　 本题源自人教A版必修①P87T13:我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数. (1)求函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心; (2)类比上述推广结论,写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个 推广结论. 只要掌握了教材题,例1,例2的解题思路就非常清晰了.由教材和高考题,我们不难发现,函数与导数中的解答题不再局限于导数问题,纯函数问题成为新的命题导向,这一变化趋势请关注. |思维建模| 　　函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔2b-f(x)=f(2a-x);若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点中心对称. [即时训练] 3.已知函数f(x)=的图象关于点(1,f(1))对称,则a= (　　) A.1　　B.2　　C.e　　D.e2 解析:选C　由对称中心性质可知函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=2f(1),即+=,整理可得e3-x+ex+1-2e2=aex+ae2-x-2ae,即e(e2-x+ex-2e)=a(ex+e2-x-2e),解得a=e. 4.[多选]下列说法中,正确的是 (　　) A.函数f(x)=的图象关于点(-2,2)中心对称 B.函数f(x)满足f(2x-1)为奇函数,则函数f(x)关于点(-1,0)中心对称 C.若函数y=f(x)过定点(0,1),则函数y=f(x-1)+1过定点(1,2) D.函数y=的图象关于点(3,c)中心对称,则b+c=2 解析:选ABC　f(x)===2-,其图象可以由y=-的图象向左平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,且y=-的图象关于原点对称,故f(x)=的图象关于点(-2,2)中心对称,A正确;因为f(2x-1)为奇函数,所以f(2x-1)=-f(-2x-1),所以f(x-1)=-f(-x-1),f(x)=-f(-x-2),所以函数f(x)关于点(-1,0)中心对称,B正确;函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到函数y=f(x-1)+1的图象,由于y=f(x)过定点(0,1),故函数y=f(x-1)+1过定点(1,2),C正确;函数y===1+的图象关于点(3,c)中心对称,所以解得b=3,c=1,所以b+c=4,D不正确. 习得方略:f(mx+a)+b是偶函数⇒f(x)的图象关于x=a对称,f(mx+a)+b是奇函数⇒f(x)的图象关于(a,b)对称. 题点三　两个函数图象的对称 [例3]　已知函数y=f(x)是定义域为R的函数,则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象 (　　) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3,0)对称 解析:选A　设P(x0,y0)为y=f(x+2)图象上任意一点,则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0)),所以点Q(2-x0,y0)在函数y=f(4-x)的图象上.而点P(x0,y0)与点Q(2-x0,y0)关于直线x=1对称,所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称. |思维建模| 　　函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=对称. [即时训练] 5.下列函数中,其图象与函数y=f(2x-1)的图象关于直线x=1对称的是 (　　) A.y=f(-2x-1) B.y=f(-2x+1) C.y=f(-2x+3) D.y=2-f(2x-1) 解析:选C　设函数y=f(2x-1)的图象为曲线C1,该曲线关于x=1对称的曲线为C2,设曲线C1上任意一点的坐标为(x0,y0),该点关于直线x=1对称的点的坐标为(x,y),则有y0=f(2x0-1),因此有⇒代入y0=f(2x0-1)中,得y=f(2(2-x)-1)⇒y=f(3-2x).故选C. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.已知函数f(x)=,则函数f(x)图象的对称中心的坐标为 (　　) A.(-1,-3) B.(-1,3) C.(-1,-2) D.(-1,2) 解析:选C　因为f(-1+x)+f(-1-x)=+=-=-4,所以函数f(x)的图象关于点(-1,-2)对称. 2.设函数y=f(3x+1)是偶函数,则下列直线中,一定是函数y=f(3x)图象的对称轴的是 (　　) A.x=0 B.x= C.x=- D.x=-1 解析:选B　由y=f(3x+1)是偶函数,得y=f(3x+1)的图象关于y轴对称,而函数y=f(3x)的图象可由y=f(3x+1)的图象向右平移个单位长度得到,所以函数y=f(3x)图象的对称轴是x=. 3.已知函数f(x)=x3+ax2+x+b的图象关于点(1,0)对称,则b= (　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析:选C　法一　∵函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,∴f(x)+f(2-x)=0,即x3+ax2+x+b+(2-x)3+a(2-x)2+2-x+b=(2a+6)x2-(4a+12)x+10+4a+2b=0,∴解得故选C. 法二　由题意可得, 解得 习得方略:三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称中心为点. 4.已知函数f(1-x)的图象与函数f(2+x)的图象关于直线x=m对称,则m等于 (　　) A.3　　B.　　C.-1　　D.- 解析:选D　设点P(x,y)在函数y=f(1-x)的图象上,点P关于直线x=m的对称点Q(x',y'),则(中点坐标公式)所以则y'=f(1-2m+x'),即y=f(1-2m+x)与y=f(1-x)的图象关于直线x=m对称,则1-2m=2,解得m=-. 5.已知函数f(x)的定义域为R,其图象与直线y=k(k∈R)至多有两个不同的交点,且f(1)=f(5),函数f(ax-1)的图象关于直线x=2对称,则a= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 快审准解:利用函数图象对称得到f(ax-1)=f(4a-ax-1),从而结合题设条件得到关于a,x的方程组,解之即可得解. 解析:选B　令g(x)=f(ax-1),则由题意可知g(x)的图象关于直线x=2对称,所以g(x)=g(4-x),即f(ax-1)=f(a(4-x)-1)=f(4a-ax-1),故f(x-1)=f(4a-1-x),故f(x)的图象关于x==2a-1对称.又因为f(1)=f(5),且函数f(x)的图象与直线y=k至多有两个不同的交点,则或解得或则a=2.故选B. 6.已知定义在R上的函数f(x),对∀x∈R,都有f(x+4)=-f(x)+4,若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称, 则f(4 050)= (　　) A.-2 B.-1 C.2 D.1 解析:选C　因为函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,又f(x)的图象由f(x-1)的图象向左平移一个单位长度得到,所以f(x)的图象关于直线x=0对称,故f(x)为偶函数.因为f(x+4)=-f(x)+4,所以f(x+8)=-f(x+4)+4=-[-f(x)+4]+4=f(x),故f(x)是以8为一个周期的偶函数,所以f(4 050)=f(8×506+2)=f(2).由f(2)=f(-2+4)=-f(-2)+4=-f(2)+4,得f(2)=2,则f(4 050)=2. 二、多选题 7.已知函数f(x)的图象的对称轴方程为x=3,则函数f(x)的解析式可以是 (　　) A.f(x)=x+ B.f(x)=ex-3+e3-x C.f(x)=x4-18x2 D.f(x)=|x2-6x| 解析:选BD　若f(x)的图象的对称轴方程为x=3,则f(6-x)=f(x),f(6-x)=6-x+≠f(x),故A错误;f(6-x)=e3-x+ex-3=f(x),故B正确;∵f(0)=0,f(6)=64-18×62=648,∴f(0)≠f(6),即f(6-x)=f(x)不恒成立,故C错误;f(6-x)=|(6-x)2-6(6-x)|=|x2-6x|=f(x),故D正确. 8.已知定义在R上的函数f(x)在(-∞,2)上单调递增,且f(x+2)=f(2-x)对任意x∈R恒成立,则 (　　) A.f(-1)<f(3) B.f(0)>f(3) C.f(-1)=f(3) D.f(0)<f(3) 解析:选AD　因为f(x+2)=f(2-x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(3)=f(1).因为f(x)在(-∞,2)上单调递增,所以f(-1)<f(1)=f(3),f(0)<f(1)=f(3). 9.若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),在区间(0,1)上,有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(x1≠x2),则下列说法正确的是 (　　) A.函数f(x)的图象关于点(2,0)中心对称 B.函数f(x)的图象关于直线x=2轴对称 C.在区间(2,3)上,f(x)单调递减 D.f>f 快审准解:根据对称性、周期性的定义可得f(x)的图象关于x=1轴对称,关于(2,0)中心对称,是以4为周期的周期函数,再由题意可得函数在区间(0,1)上单调递增,即可判断. 解析:选AC　因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),又f(2-x)=f(x),所以f(x)的图象关于x=1对称,f(2-x)=-f(-x),即f(2+x)=-f(x),所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.因为在区间(0,1)上,有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(x1≠x2),所以f(x)在(0,1)上单调递增.因为f(4-x)=f[2-(x-2)]=f(x-2)=-f(2-x)=-f(x),即f(4-x)+f(x)=0,所以f(x)的图象关于点(2,0)中心对称,故A正确,B错误;因为f(x)的图象关于x=1轴对称,关于(2,0)中心对称,且在(0,1)上单调递增,所以f(x)在(2,3)上单调递减,故C正确;f=f=f<f,故D错误. 三、填空题 10.函数f(x)=|2x-1|+2图象的对称轴方程为　　　　.  解析:∵f(x)=|2x-1|+2=2+2,∴f(1-x)=2+2=2+2=f(x),所以f(x)图象的对称轴方程为x=. 答案:x= 11.已知函数y=(a,b∈R)的图象关于点(1,1)对称,则a+b=　　　　.  解析:因为y===b+,所以函数y=的图象关于点(a,b)对称,因为函数y=(a,b∈R)的图象关于点(1,1)对称,所以a=1,b=1,所以a+b=2. 答案:2 12.若函数f(x)=(x2-2x)(x2+ax+b)的图象关于x=-2对称,则f(x)的最小值为　　　　.  快审准解:根据函数图象的对称性,令f(x)=0,由对称性可知,方程x2+ax+b=0的两根分别为x1=-4,x2=-6,结合根与系数的关系可得a,b,得到解析式,再结合换元和二次函数性质得解. 解析:因为函数f(x)=(x2-2x)(x2+ax+b)的图象关于x=-2对称,令f(x)=0,可得x2-2x=0,可得x=0或x=2,由对称性可知,方程x2+ax+b=0的两根分别为x1=-4,x2=-6,由根与系数的关系可得可得则f(x)=x(x-2)(x2+10x+24)=x(x-2)(x+4)(x+6),f(x)=(x2+4x)(x2+4x-12),令t=x2+4x=(x+2)2-4≥-4,h(t)=t(t-12)=t2-12t=(t-6)2-36,所以h(t)min=h(6)=-36. 答案:-36 四、解答题 13.已知函数f(x)=log2|x-2|+x2-4x. (1)判断并证明函数f(x)的对称性; (2)求f(x)的单调区间. 解:(1)f(x)的图象关于直线x=2对称.证明如下: 由|x-2|>0,得x≠2,所以f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞).因为f(2-x)=log2|x|+(2-x)2-4(2-x)=log2|x|+x2-4,f(2+x)=log2|x|+(2+x)2-4(2+x)=log2|x|+x2-4, 所以f(2+x)=f(2-x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称. (2)设y1=log2|x-2|,y2=x2-4x,当x>2时,y1=log2|x-2|=log2(x-2)单调递增,y2=x2-4x也单调递增,故f(x)=log2|x-2|+x2-4x在(2,+∞)上单调递增.又f(x)的图象关于直线x=2对称,故f(x)的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(-∞,2). 14.给定函数f(x)=x-. (1)求函数f(x)图象的对称中心; (2)用定义证明f(x)在区间(-1,+∞)上的单调性,并求f(x)在[1,5]上的值域; (3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称,且当x∈[0,1]时,g(x)=x2.若对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[1,5],使得g(x1)=f(x2)+m,求实数m的取值范围. 快审准解:(1)设函数f(x)图象的对称中心为(a,b),根据函数图象关于点对称的性质得到f(a+x)+f(a-x)-2b=0,代入求解即可得到a,b的值,从而得到对称中心; (2)根据单调性定义证明,再根据所得单调性结合定义域求f(x)值域即可; (3)由题意可知函数g(x)的值域是f(x)+m值域的子集,由(2)可知f(x)的值域,g(x)的值域可对二次函数分析得到,最终整合得到实数m的取值范围. 解:(1)设函数f(x)图象的对称中心为(a,b),则f(a+x)+f(a-x)-2b=0, 即(x+a)-+(-x+a)--2b=0,整理得(a-b)x2=(a-b)(a+1)2-6(a+1), 于是a-b=(a-b)(a+1)2-6(a+1)=0,解得a=b=-1, 所以f(x)图象的对称中心为(-1,-1). (2)任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x1--=(x1-x2), 因为x1-x2<0且1+>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)=x-在(-1,+∞)上单调递增. 所以f(x)在[1,5]上单调递增,故f(x)的值域为[-2,4]. (3)由于对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[1,5],使得g(x1)=f(x2)+m, 于是问题转化为g(x)在[0,2]上的值域是f(x)+m在[1,5]上值域的子集, 由g(x)在[0,1]上单调递增,图象又关于点(1,1)对称且经过点(1,1), 可知g(x)在(1,2]上也单调递增,故g(x)在[0,2]上单调递增,又g(0)=0,g(2)=2, 所以g(x)在[0,2]上的值域为[0,2]. 又f(x)+m在[1,5]上的值域为[-2+m,4+m], 所以[0,2]⊆[-2+m,4+m],所以解得-2≤m≤2,则m的取值范围是[-2,2]. 第五节　函数性质的综合应用 题点一　函数的单调性与奇偶性 [例1] (1)设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x总有f(-x)=f(x),当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 (　　) A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3) 解析:选A　∵函数f(x)的定义域为R且f(-x)=f(x),∴f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),又∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,且2<3<π,∴f(2)<f(3)<f(π),即f(π)>f(-3)>f(-2). (2)已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(3)=0,则满足(x+1)f(x)≥0的x的取值范围是　　　　. 解析:因为定义域为R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(3)=0,所以f(x)在(0,+∞)上也单调递减,且f(-3)=0,f(0)=0,所以当x∈(-∞,-3)∪(0,3)时,f(x)>0,当x∈(-3,0)∪(3,+∞)时,f(x)<0,所以由(x+1)f(x)≥0,可得或或x=0,解得0≤x≤3或-3≤x≤-1,所以满足(x+1)f(x)≥0的x的取值范围是[-3,-1]∪[0,3]. 答案:[-3,-1]∪[0,3] |思维建模|　奇偶性与单调性综合问题的解法 (1)比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小. (2)解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组). (3)解不等式时要注意函数的定义域. [即时训练] 1.(2025·榆林模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,且f(x),g(x)在[0,+∞)上单调递减,则 (　　) A.f(f(x))是偶函数 B.f(g(x))是奇函数 C.f(f(-1))<f(f(-2)) D.g(-f(-1))>g(f(-2)) 解析:选D　由f(f(-x))=f(-f(x))=-f(f(x)),且定义域(全体实数)关于原点对称,得f(f(x))是奇函数,由f(g(-x))=f(g(x)),且定义域(全体实数)关于原点对称,得f(g(x))为偶函数,故A、B错误.由题易知函数f(x)在R上单调递减,函数g(x)在(-∞,0)上单调递增,由-1>-2,得f(-1)<f(-2),从而f(f(-1))>f(f(-2)),故C错误.由0=f(0)<f(-1)<f(-2),得|-f(-1)|<f(-2),从而g(-f(-1))>g(f(-2)),故D正确. 2.(2024·资阳二模)若定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,则不等式f(2x+1)-f(x-1)>-3x2-6x的解集为 (　　) A.(-∞,-2)∪(0,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-2,0) D.(-1,0) 解析:选A　由f(2x+1)-f(x-1)>-3x2-6x,可得f(2x+1)+(2x+1)2>f(x-1)+(x-1)2. (此处不能直接去“f”,观察式子结构构造函数求解) 令g(x)=f(x)+x2,因为f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以g(x)也是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,从而|2x+1|>|x-1|,解得x<-2或x>0. 谨记结论: 当函数f(x)为定义在R上的偶函数时, ①若x≥0时,f(x)单调递增,则x<0时,f(x)单调递减,即f(m)>f(n)⇒|m|>|n|,f(x)+f(-x)>2f(m)⇒|x|>|m|. ②若x≥0时,f(x)单调递减,则x<0时,f(x)单调递增,即f(m)>f(n)⇒|m|<|n|,f(x)+f(-x)>2f(m)⇒|x|<|m|. 题点二　函数的奇偶性与对称性相结合 [例2]　(2024·海口二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,函数g(x)=|x-2|f(x)的图象关于直线x=2对称,若f(-1)=-1,则g(3)= (　　) A.5 B.1 C.-1 D.-5 解析:选B　因为g(x)的图象关于x=2对称,则g(x+2)=|x|f(x+2)是偶函数,g(2-x)=|-x|f(2-x)=|x|f(2-x),且g(x+2)=|x|f(x+2),所以|x|f(2-x)=|x|f(2+x)对任意的x∈R恒成立,所以f(2-x)=f(2+x),因为f(-1)=-1且f(x)为奇函数,所以f(3)=f(2+1)=f(2-1)=-f(-1)=1,因此g(3)=|3-2|f(3)=f(1)=1. |思维建模| 　　解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时,要注意把已知函数的奇偶性按定义转化,再判断函数图象的对称轴或对称中心;也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性.总之,要充分利用已知条件进行适当转化. [即时训练] 3.设函数 f(x)=ax3-x-3+a,若函数f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,则a= (　　) A.-1　　B.0　　C.1　　D.2 解析:选B　因为函数f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,故函数f(x)的图象关于点(0,0)对称,即f(x)为奇函数,故f(-x)+f(x)=a(-x)3-(-x)-3+a+ax3-x-3+a=2a=0,所以a=0. 4.(2025·抚顺模拟)函数y=f(2x-1)是R上的奇函数,函数y=f(x)图象与函数y=g(x)图象关于y=-x对称,则g(x)+g(-x)= (　　) A.0　　B.-1　　C.2　　D.1 解析:选C　函数y=f(2x-1)是R上的奇函数,则-f(-2x-1)=f(2x-1),设2x-1=t,则f(t)=-f(-2-t),则函数y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称,函数y=f(x)图象与函数y=g(x)图象关于y=-x对称,所以函数y=g(x)的图象关于(0,1)对称,所以g(x)+g(-x)=2. 题点三　函数的周期性与对称性相结合 [例3]　已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)= (　　) A.-21　　B.-22　　C.-23　　D.-24 解析:选D　由f(x)+g(2-x)=5得f(x)=5-g(2-x)①.由g(x)-f(x-4)=7得f(x-4)=g(x)-7,所以f(x)=g(x+4)-7②.由①②得5-g(2-x)=g(x+4)-7,即g(x+4)+g(2-x)=12,所以y=g(x)的图象关于点(3,6)对称,g(3)=6,又y=g(x)的图象关于直线x=2对称,所以函数g(x)是周期为4的函数,且g(1)=g(3)=6,f(x)=g(x)-7.因为g(4)+g(2)=12,所以g(4)=12-g(2)=12-4=8,所以f(1)=g(1)-7=-1,f(2)=g(2)-7=-3,f(3)=g(3)-7=-1,f(4)=g(4)-7=1,所以f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(22)=5×(-4)+(-1)+(-3)=-24.故选D. |思维建模|　综合应用对称性与周期性解题的技巧 　　函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性.在使用这两个关系时不要混淆. [即时训练] 5.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f= (　　) A.- B.- C. D. 解析:选D　因为f(x+1)为奇函数, 所以f(-x+1)=-f(x+1)　①. 因为f(x+2)为偶函数, 所以f(x+2)=f(-x+2)　②. 令x=1,由①得f(0)=-f(2)=-(4a+b), 由②得f(3)=f(1)=a+b, 因为f(0)+f(3)=6, 所以-(4a+b)+a+b=6⇒a=-2. 令x=0,由①得f(1)=-f(1)⇒f(1)=0⇒b=2, 所以当x∈[1,2]时,f(x)=-2x2+2. 法一:从定义入手 f=f=f=f =f=-f=-f =-f=-f=-f=. 法二:从周期性入手 由两个对称性可知,函数f(x)的周期T=4. 所以f=f=-f=.故选D. 习得方略:(1)若奇函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则y=f(x)为周期函数,且4|a|是它的一个周期. (2)周期为T的奇函数一定关于点对称,周期为T的偶函数关于直线x=对称. 6.(2025·东北师大附中摸底)函数f(x)(x∈R)满足f(x+6)+f(x)=2f(3),函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,则f(2 034)= (　　) A.-16 B.-8 C.-4 D.0 解析:选D　根据题意,由f(x+6)+f(x)=2f(3),知f(x+12)+f(x+6)=2f(3),两式相减,得f(x+12)=f(x),即f(x)是周期为12的周期函数.由y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且y=f(x)的图象是由y=f(x-1)的图象向左平移一个单位长度得到的,则y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,y=f(x)是奇函数.所以f(2 034)=f(12×169+6)=f(6).又由f(x+12)=f(x),令x=-6可得f(-6)=f(6),而f(x)为奇函数,则f(-6)=-f(6)=f(6),所以f(6)=0,故f(2 034)=f(6)=0,故选D. 题点四　函数性质的综合应用 [例4]　(多选)已知定义域为R的函数f(x)在(-1,0]上单调递增,f(1+x)=f(1-x),且f(x)的图象关于点(2,0)对称,则下列结论正确的是 (　　) A.f(0)=f(2) B.f(x)的最小正周期T=2 C.f(x)在(1,2]上单调递减 D.f(2 025)>f(2 026)>f(2 027) 解析:选AC　由f(1+x)=f(1-x)知,f(x)图象的对称轴为直线x=1,所以f(0)=f(2),故A正确;由f(1+x)=f(1-x)知,f(2+x)=f(-x),又f(x)的图象关于点(2,0)对称,即f(2+x)=-f(2-x),故f(4+x)=-f(-x),所以-f(2+x)=f(4+x),即-f(x)=f(2+x),所以f(x)=f(x+4),f(x)的最小正周期为4,故B错误;因为f(x)在(-1,0]上单调递增,且T=4,所以f(x)在(3,4]上单调递增.又f(x)的图象关于点(2,0)对称,所以f(x)在[0,1)上单调递增,因为f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)在(1,2]上单调递减,故C正确;根据f(x)的周期为4,可得f(2 025)=f(1),f(2 026)=f(2),f(2 027)=f(-1),由A知f(2)=f(0),由C的分析可知,函数f(x)在[0,1)上单调递增,在(-1,0]上单调递增,确定的单调区间内均不包含x=±1,若f(-1)=f(1)=0,则f(2 025)>f(2 026)>f(2 027)不成立,故D错误. |思维建模| 对于函数性质结合的题目,函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到,函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题. [即时训练] 7.[多选]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,f(2)=4,则 (　　) A.f(5)=10 B.f(x)为奇函数 C.f(x)在R上单调递减 D.当x<-1时,f(x)-2>f(2x) 解析:选ABD　在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=1,得f(2)=f(1)+f(1),又f(2)=4,故f(1)=2,令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=8,令x=4,y=1,得f(4+1)=f(4)+f(1)=8+2=10,即f(5)=10,A正确;令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0,令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,故f(x)为奇函数,B正确;令x=x1,y=x2-x1,且x2>x1,故f(x1+x2-x1)-f(x1)=f(x2-x1),即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1),当x>0时,f(x)>0,故f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0,即f(x2)>f(x1),故f(x)在R上单调递增,C错误;f(1)=2,f(x)-2=f(x)-f(1)=f(x-1),又x<-1,故x-1>2x,又f(x)在R上单调递增,所以f(x)-2>f(2x),D正确.故选ABD. 数智赋能:电子版随堂训练（函数中的创新应用问题）,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=ex+x2+x,则不等式f(2-a)+f(2a-3)>0的解集为 (　　) A.(-1,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,1) 解析:选B　当x>0时,f(x)=ex+x2+x,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(x)为R上的奇函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,而f(0)=0,当x>0时,f(x)>f(0)=1,当x<0时,f(x)<-1,故f(x)在R上单调递增.原不等式可化为f(2-a)>-f(2a-3),即f(2-a)>f(3-2a),所以2-a>3-2a,故a>1.故选B. 2.已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x+2)=f(x),且f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系是 (　　) A.f(-1)<f(0)<f(-6.5) B.f(-6.5)<f(0)<f(-1) C.f(-1)<f(-6.5)<f(0) D.f(0)<f(-6.5)<f(-1) 解析:选D　∵f(x)对于任意x∈R都有f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期为2,∵偶函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,f(-6.5)=f(6.5)=f(0.5),f(-1)=f(1),∴f(0)<f(0.5)<f(1),即f(0)<f(-6.5)<f(-1). 3.已知函数f(x)的定义域为R,且f(2x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当x∈[-1,1]时,f(x)=ax+1,则f(2 025)= (　　) A.0 B.1 C.2 D.2 025 解析:选C　∵f(2x-1)为奇函数,∴f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称,又f(x+1)为偶函数,∴f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(x)为周期函数且周期T=4×|1-(-1)|=8,∴f(2 025)=f(8×253+1)=f(1)=a+1.∵f(-1)=-a+1=0,∴a=1,∴f(2 025)=a+1=2. 4.(2025·大连期末)已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且f(x)在[-2,0]上单调递增.若f(2t-1)+f(t)<0,则实数t的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　因为f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且f(x)在[-2,0]上单调递增, 所以f(x)在[-2,2]上单调递增. (提示:奇函数在对称区间上的单调性相同) 又f(2t-1)+f(t)<0,则f(2t-1)<-f(t),所以f(2t-1)<f(-t),所以解得-≤t<,故实数t的取值范围为. 特别提醒:在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号“f”时,需转化为含符号“f”的形式,如0=f(1),f(x-1)<0,则f(x-1)<f(1). 5.(2025·绍兴诊断)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(a-x),则对所有这样的函数f(x),由下列条件一定能得到f(1)=f(3)=f(9)的是 (　　) A.a=2 B.a=3 C.a=4 D.a=5 解析:选C　由题意知f(-x)=-f(x)=-f(a-x),即f(x)=-f(x+a)=f(x+2a),所以f(x)是以2a为周期的奇函数,且直线x=是f(x)图象的一条对称轴.当a=2时,f(1)=-f(1+2)=-f(3),f(1)=f(1+2×4)=f(9),不符合题意;当a=3时,f(1)= f(1+6n)且n∈Z,不符合题意;当a=4时,f(1)=f(4-1)=f(3),f(1)=f(1+8)=f(9),故f(1)=f(3)=f(9),符合题意;当a=5时,f(1)=f(1+10n)且n∈Z,不符合题意.故选C. 6.已知函数f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x),对任意x1,x2∈(-∞,-2],且x1≠x2,都有>0成立,且f(0)=0,则f(x)>0的解集是 (　　) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) 　　　B.(-2,2) C.(-∞,-4)∪(0,+∞) 　　　D.(-4,0) 解析:选D　因为函数f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x),所以f(x)的图象关于x=-2对称.因为函数f(x)对任意x1,x2∈(-∞,-2],且x1≠x2,都有>0成立,所以f(x)在(-∞,-2]上单调递增. 又因为f(x)的图象关于x=-2对称,f(0)=0,所以f(x)在(-2,+∞)单调递减,且f(-4)=0.用折线图表示函数f(x)的单调性,如图所示,由图知f(x)>0⇒-4<x<0. 7.(2024·日照二模)已知f(x)是定义域为R的偶函数,f(5.5)=4,g(x)=(x-1)f(x),若g(x+1)是偶函数,则g(-0.5)= (　　) A.-6 B.-4 C.4 D.6 解析:选D　因为g(x+1)是偶函数,所以g(x)的图象关于直线x=1对称,故g(x)=g(2-x),即(x-1)f(x)=(1-x)f(2-x),所以f(x)+f(2-x)=0.所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称.又f(x)是定义域为R的偶函数,所以f(x)=-f(2-x)=-f(x-2),所以f(x-4)=f((x-2)-2)=-f(x-2)=f(x),即f(x-4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4.所以f(5.5)=f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5)=4,所以g(-0.5)=g(2.5)=1.5×f(2.5)=6. 规律方法:函数双对称出周期结论 (1)若函数y=f(x)的相邻两条对称轴方程分别为x=a,x=b,则函数的一个周期为T=2|a-b|; (2)若函数y=f(x)的相邻两个对称中心分别为(a,0),(b,0),则函数的一个周期为T=2|a-b|; (3)若函数y=f(x)的相邻一条对称轴方程为x=a,一个对称中心为(b,0),则函数的一个周期为T=4|a-b|. 8.(2024·镇江三模)已知f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x),g(5.5)=2,若f(x+1)关于x=-1对称,g(2x+1)是偶函数,则g(-0.5)= (　　) A.-2 B.2 C.3 D.-3 解析:选A　若f(x+1)关于x=-1对称,则f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)=f(-x),两边求导得g(x)=f'(x)=-f'(-x)=-g(-x).因为g(2x+1)是偶函数,所以g(-2x+1)=g(2x+1),令t=2x,就有g(-t+1)=g(t+1),即有g(-x+1)=g(x+1),所以g(x)=g(2-x)=-g(x-2)=g(x-4),所以g(-0.5)=-g(0.5)=-g(1.5)=-g(5.5)=-2. 二、多选题 9.若函数f(2x+1)(x∈R)是周期为2的奇函数,则下列选项一定正确的是 (　　) A.函数f(x)的图象关于点(1,0)对称 B.2是函数f(x)的一个周期 C.f(2 025)=0 D.f(2 026)=0 解析:选AC　因为函数f(2x+1)(x∈R)是奇函数①,所以f(2x+1)=-f(-2x+1),所以f(2x+1)+f(-2x+1)=0,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,且f(1)=0,故A正确;因为函数f(2x+1)(x∈R)的周期为2,所以f(x)的周期为4②,故B不一定正确;因为函数f(x)的周期为4,所以f(2 025)=f(4×506+1)=f(1)=0,故C正确;f(2 026)=f(4×506+2)=f(2),无法判断f(2)的值,故D不一定正确.故选AC. 习得方略:①处,f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x),f(2x+1)是奇函数⇔f(-2x+1)=-f(2x+1); ②处,f(x)是周期为T的函数⇔f(x+T)=f(x),f(2x+1)是周期为T的函数⇔f(2(x+T)+1)=f(2x+1+2T)=f(2x+1).注意二者的区别. 10.(2024·南京二模)若f(x)的定义域为R,满足对任意x,y∈R,都有f(x)+f(y)=-ff,且f(2)=2,则下列说法正确的是 (　　) A.f(0)=0 B.f(x)为偶函数 C.f(x+1)为奇函数 D. f(i)=0 解析:选BCD　令x=y=2,(特殊值法的应用)得f(2)+f(2)=-f(2)f(0),又f(2)=2≠0,所以f(0)=-2,故A错误;令y=-x,得f(x)+f(-x)=-f(x)f(0)=2f(x),所以f(-x)=f(x),而f(x)的定义域是全体实数,所以f(x)为偶函数,故B正确;令x=2,y=0,得f(2)+f(0)=-[f(1)]2=0,所以f(1)=0,又f(1-x)+f(1+x)=-f(1)f(-x)=0,而f(x+1)的定义域是全体实数,所以f(x+1)为奇函数,故C正确;因为f(x+2)+f(x)=-f(x+1)f(1)=0,所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x),故4是f(x)的周期,又f(4)=f(0)=-2,f(1)=0,f(2)=2,所以f(3)=f(-1)=f(1)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,所以f(i)=506×[f(1)+f(2)+f(3)+ f(4)]=0.故D正确. 11.对于定义在R上的函数f(x),若f(x+1)是奇函数,f(x+2)是偶函数,且f(x)在[1,2]上单调递减,则 (　　) A.f(3)=0 B.f(0)=f(4) C.f=-f D.f(x)在[3,4]上单调递减 解析:选ABC　令g(x)=f(x+1),因为f(x+1)是奇函数,所以g(-x)=f(-x+1)=-g(x)=-f(x+1),即f(-x+1)=-f(x+1),f(x)的图象关于点(1,0)对称.令h(x)=f(x+2),因为f(x+2)是偶函数,所以h(-x)=f(-x+2)=h(x)=f(x+2),即f(-x+2)=f(x+2),f(x)的图象关于直线x=2对称.由f(-x+1)=-f(x+1),令x=0,可得f(1)=-f(1)⇒f(1)=0,由f(-x+2)=f(x+2),令x=1,可得f(1)=f(3)=0,故A正确;由f(-x+2)=f(x+2),令x=2,可得f(0)=f(4),故B正确;由f(-x+1)=-f(x+1),令x=,可得f=-f,故C正确;由f(x)在[1,2]上单调递减,结合f(x)的图象关于点(1,0)对称,可知f(x)在[0,1]上单调递减,由f(1)=0可知f(x)在[0,2]上单调递减.又f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)在[2,4]上单调递增,故D错误. 三、填空题 12.(2025·六安模拟)若偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=-f(1-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=4x,则f(2 024)= 　　　　.  解析:由f(x+2)=-f(1-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=4x,f(x)=f(-x),得f(1)=4,f(2)=-4,f(3)=0,f(4)=-4,f(5)=4,f(6)=0, f(7)=4,f(8)=-4,…,则f(x)是以6为周期的函数,所以f(2 024)=f(6×337+2)=f(2)=-4. 答案:-4 13.(2024·佛山二模)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(1)=2,则满足f(x)+f(-x)>4的实数x的取值范围为　　　　.  解析:由f(x)为偶函数且在[0,+∞)上单调递减,得f(x)在(-∞,0)上单调递增,又f(1)=2,故当f(x)>2时,x∈(-1,1).又f(-x)=f(x),故f(x)+f(-x)>4等价于f(x)>2,即f(x)>f(1),所以|x|<1,故x的取值范围为(-1,1). 答案:(-1,1) 14.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)=　　　　. 快审准解:根据f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7得到f(-1)=-1,根据y=g(x)的图象关于直线x=2对称得到g(2-x)=g(2+x),然后通过替换得到f(x)是周期为4的周期函数,最后通过赋值和周期性求函数值即可. 解析:由f(x)+g(2-x)=5,得f(2-x)+g(x)=5,由g(x)-f(x-4)=7,得f(2-x)+f(x-4)=-2,令x=3,得f(-1)=-1.因为y=g(x)的图象关于直线x=2对称,所以g(2-x)=g(2+x),由f(x)+g(2-x)=5,得f(x)+g(2+x)=5,由g(x)-f(x-4)=7,得g(2+x)-f(x-2)=7,则f(x)+f(x-2)=-2,f(x-2)+f(x-4)=-2,所以f(x)=f(x-4),f(x)是周期为4的周期函数,f(3)=f(-1)=-1.在f(x)+g(2-x)=5中,令x=0,得f(0)+g(2)=5,则f(4)=f(0)=1,在f(x)+f(x-2)=-2中,令x=2,得f(2)+f(0)=-2,则f(2)=-3,令x=3,得f(3)+f(1)=-2,则f(1)=-1,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-4,故f(k)=f(1)+f(2)+5×(-4)=-24. 答案:-24 习得方略:解答抽象函数问题的方法较多,其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.赋值时主要从以下方面考虑:①令x=…,-2,-1,0,1,2,…,利用这些特殊值求抽象函数的函数值;②令y=-x,判断抽象函数的奇偶性;③换x为x+T,确定抽象函数的周期;④用x=+等来解决有关抽象函数的问题. 第六节 　幂函数与二次函数 明确目标 1. 结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 2.理解二次函数的图象和性质（单调性、对称性、最值、顶点等），能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 教材再回首 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 ①幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限. ②幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. ③在直线x=1右侧,幂函数的指数由下向上逐渐增大. (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n) 零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点 (2)二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+ c(a>0) y=ax2+bx+ c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x=- 顶点坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减; 在上单调递增 在上单调递增; 在上单调递减 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P91T1改编)已知幂函数f(x)的图象过点,则f(4)的值是 (　　) A.64 B.4 C. D. 解析:选D　设幂函数f(x)=xα,则由f(x)的图象过点,得f(2)=2α=,即α=-1,所以f(x)=x-1,则f(4)=. 2.(人B必修①P98T7改编)函数f(x)=-2x2+4x,x∈[-1,2]的值域为 (　　) A.[-6,2] B.[-6,1] C.[0,2] D.[0,1] 答案:A 3.(人A必修①P58T6改编)已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由题意知即解得a>. 4.(苏教必修①P140例2改编)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,则a,b,c的大小关系是　　 　.(用“<”连接)  解析:由指数函数、幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3,0.40.3>0.30.3,即c<b<a. 答案:c<b<a 二、易错小题的警醒训练 1.若函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　当a=0时,f(x)=2x-3,在(-∞,4)上是单调递增的.当a≠0时,二次函数f(x)的对称轴为x=-,因为f(x)在(-∞,4)上单调递增,所以a<0,且-≥4,解得-≤a<0.综上,-≤a≤0.故选D.(易错点:忽视对二次项系数a的讨论) 2.已知幂函数f(x)=,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围为 (　　) A.(-1,5) B.(3,5) C.(5,+∞) D.(3,+∞) 解析:选B　∵f(x)==(x>0),且在(0,+∞)上是减函数,∴解得3<a<5.(易错点:忽视幂函数的定义域) 题点一　幂函数的图象与性质(自主练通) 1.[多选]幂函数f(x)=(m2-5m+7)在(0,+∞)上单调递增,则以下说法正确的是 (　　) A.m=3 B.函数f(x)在(-∞,0)上单调递增 C.函数f(x)是偶函数 D.函数f(x)的图象关于原点对称 解析:选ABD　因为幂函数f(x)=(m2-5m+7)在(0,+∞)上单调递增,所以解得m=3,所以f(x)=x3.所以f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),故f(x)=x3为奇函数,函数图象关于原点对称,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增.故选ABD. 2.若幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则m与n的取值情况为 (　　) A.-1<m<0<n<1 B.-1<n<0<m C.-1<m<0<n D.-1<n<0<m<1 解析:选D　幂函数y=xα,当α>0时,y=xα在(0,+∞)上为增函数,且0<α<1时,图象上凸,所以0<m<1;当α<0时,y=xα在(0,+∞)上为减函数,不妨令x=2,根据图象可得2-1<2n,所以-1<n<0,综上所述,选D. 3.已知幂函数f(x)的图象过点,P(x1,y1),Q(x2,y2)(0<x1<x2)是函数图象上的任意不同两点,则下列结论正确的是 (　　) A.x1f(x1)>x2f(x2) B.x1f(x2)<x2f(x1) C.> D.< 解析:选D　设幂函数f(x)=xα,因为f(x)的图象经过点,则=,解得α=,所以f(x)=.因为函数f(x)=在定义域(0,+∞)内单调递增,则当0<x1<x2时,0<f(x1)<f(x2),所以x1f(x1)<x2f(x2),且<,故A、C错误;因为函数=单调递增,所以当0<x1<x2时,<,且x2f(x1)<x1f(x2),故D正确,B错误. 4.[多选]已知实数a,b满足等式=,则下列五个关系式中可能成立的是 (　　) A.0<b<a<1 B.-1<a<b<0 C.1<a<b D.-1<b<a<0 解析:选AC　 画出y=与y=的图象(如图),设==m,作直线y=m.从图象知,若m=0或m=1,则a=b;若0<m<1,则0<b<a<1;若m>1,则1<a<b.故其中可能成立的是A、C. |思维建模| (1)幂函数图象的特点:掌握幂函数的图象,首先确定定义域,然后抓住三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分的区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定. (2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 题点二　二次函数的解析式 [例1]　已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,求f(x)的解析式. 解:法一:利用二次函数的一般式 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得 故所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 法二:利用二次函数的顶点式 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ∵f(2)=f(-1), ∴抛物线的对称轴为x==. ∴m=,又根据题意函数有最大值8, ∴n=8,∴f(x)=a+8. ∵f(2)=-1,∴a+8=-1,解得a=-4,∴f(x)=-4+8=-4x2+4x+7. 法三:利用二次函数的零点式 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数f(x)有最大值8,所以=8. 解得a=-4或a=0(舍去),故所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. |思维建模|　求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标,宜选用一般式; (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式; (3)已知图象与x轴的两交点的坐标,宜选用零点式. [即时训练] 1.已知函数f(x)为二次函数,f(x)的图象过点(0,2),对称轴为x=-,函数f(x)在R上的最小值为,则f(x)的解析式为　　　　　　　　.  解析:因为f(x)图象的对称轴为x=-,函数f(x)在R上的最小值为,所以可设f(x)=a+,a>0,将(0,2)代入f(x),得a+=2,解得a=1,故f(x)=+. 答案:f(x)=+ 2.已知二次函数f(x)=x2+bx+c的图象经过点(1,13),且函数y=f是偶函数,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　.  解析:∵y=f是偶函数,有f=f,∴f(x)关于x=-对称,即-=-,故b=1.又图象经过点(1,13), ∴f(1)=13,可得c=11.故f(x)=x2+x+11. 答案:f(x)=x2+x+11 题点三　二次函数的图象与性质 考法(一)　二次函数的图象 [例2]　(多选)如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴是直线x=-1,则下列四个结论中,错误的是 (　　) A.abc>0 B.2a-b≠0 C.4ac-b2<0 D.4a+c<2b 解析:选BD　∵抛物线的开口向下,∴a<0,∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∵抛物线的对称轴为直线x=-1,∴-=-1,∴b=2a<0,∴abc>0,2a-b=0,故A正确,B错误;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴4ac-b2<0,故C正确;∵抛物线的对称轴为直线x=-1,∴x=-2和x=0时,y的值相等,∴当x=-2时,y>0,∴4a-2b+c>0,即4a+c>2b,故D错误. 考法(二)　二次函数的单调性与最值 [例3] (1)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]时,有最大值2,则a的值为　　　　.  解析:函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,对称轴方程为x=a. 当a<0时,f(x)max=f(0)=1-a=2,所以a=-1. 当0≤a≤1时,f(x)max=a2-a+1=2, 所以a2-a-1=0,所以a=(舍去). 当a>1时,f(x)max=f(1)=a,所以a=2. 综上可知,a=-1或a=2. 答案:-1或2 (2)设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是　　　　.  解析:依题意a≠0,二次函数f(x)=ax2-2ax+c图象的对称轴是直线x=1,因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,所以a>0,即函数图象的开口向上,所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2. 答案:[0,2] |思维建模|　二次函数单调性与最值问题的解题策略 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系.当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. (2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解. [即时训练] 3.已知函数f(x)=ax2+bx+c,若a<b<c,且a+b+c=0,则f(x)的图象可能是 (　　) 解析:选A　若a<b<c,且a+b+c=0,则a<0<c,故f(x)=ax2+bx+c开口向下,故B、D错误;又f(0)=c>0,故C错误,A正确. 4.已知函数f(x)=x2+2x-4. (1)若f(x)在区间[a,a+1]上不具有单调性,求实数a的取值范围; (2)若t>-2,求f(x)在区间[-2,t]上的最小值g(t). 解:(1)因为函数f(x)=x2+2x-4在[a,a+1]上不具有单调性,对称轴为x=-1, 所以a<-1<a+1,即解得-2<a<-1,故实数a的取值范围为(-2,-1). (2)因为f(x)=x2+2x-4的图象开口向上,对称轴为x=-1,当-2<t≤-1时,函数f(x)在[-2,t]上单调递减,所以f(x)min=f(t)=t2+2t-4; 当t>-1时,函数f(x)在[-2,-1)上单调递减,在(-1,t]上单调递增, 所以f(x)min=f(-1)=-5. 综上,g(t)= 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则g(x)的解析式为 (　　) A.g(x)=2x2-3x B.g(x)=3x2-2x C.g(x)=3x2+2x D.g(x)=-3x2-2x 解析:选B　由题意,设二次函数为g(x)=ax2+bx(a≠0),则解得a=3,b=-2,故所求的二次函数为g(x)=3x2-2x. 2.已知函数f(x)=x-3,若a=f(0.60.6),b=f(0.60.4),c=f(0.40.6),则a,b,c的大小关系是 (　　) A.a<c<b B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 解析:选B　∵0.40.6<0.60.6<0.60.4,又f(x)=x-3在(0,+∞)上单调递减,∴b<a<c. 3.已知幂函数f(x)=(m2-6m+9)在(0,+∞)上单调递增,若f(2x-1)≥1,则x的取值范围是 (　　) A.(-∞,0] B.[1,+∞) C.[0,1] D.(-∞,0]∪[1,+∞) 解析:选D　因为f(x)=(m2-6m+9)是幂函数,所以m2-6m+9=1,解得m=2或m=4.当m=2时,f(x)=x-4,在(0,+∞)上单调递减,不满足题意;当m=4时,f(x)=x2,在(0,+∞)上单调递增,满足题意,所以f(x)=x2,且f(x)是偶函数.因为f(2x-1)≥1=f(1),所以|2x-1|≥1,解得x≤0或x≥1,故选D. 4.已知幂函数y=(p,q∈Z且p,q互质)的图象关于y轴对称,如图所示,则 (　　) A.p,q均为奇数,且>0 B.q为偶数,p为奇数,且<0 C.q为奇数,p为偶数,且>0 D.q为奇数,p为偶数,且<0 解析:选D　因为函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递减,所以<0.因为函数y=的图象关于y轴对称,所以函数y=为偶函数,即p为偶数,又p,q互质,所以q为奇数,所以D正确. 5.已知函数f(x)=x2-2(a-1)x+a,若对于区间[-1,2]上的任意两个不相等的实数x1,x2,都有f(x1)≠f(x2),则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,0] 　B.[0,3] C.(-∞,0]∪[3,+∞) 　D.[3,+∞) 解析:选C　二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+a图象的对称轴为直线x=a-1,∵对于任意x1,x2∈[-1,2]且x1≠x2,都有f(x1)≠f(x2),即f(x)在区间[-1,2]上具有单调性,∴a-1≤-1或a-1≥2,∴a≤0或a≥3,即实数a的取值范围为(-∞,0]∪[3,+∞). 6.“a<2”是“函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在(-∞,-3]上单调递增”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A　f(x)=-x2-2(a+1)x+3的图象开口向下,对称轴为x=-=-a-1,要想f(x)=-x2-2(a+1)x+3在(-∞,-3]上单调递增,则-a-1≥-3,解得a≤2.由于{a|a<2}是{a|a≤2}的真子集,故“a<2”是“函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在(-∞,-3]上单调递增”的充分不必要条件. 7.已知幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2是R上的偶函数,且函数g(x)=f(x)-(2a-6)x在区间[1,3]上单调递减,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,4) B.(-∞,4] C.[6,+∞) D.(-∞,4]∪[6,+∞) 解析:选C　因为幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2是R上的偶函数,所以m2-5m+5=1,解得m=1或m=4.当m=1时,f(x)=x-1,该函数是定义域为{x|x≠0}的奇函数,不符合题意;当m=4时,f(x)=x2,该函数是定义域为R的偶函数,符合题意.所以f(x)=x2,则g(x)=x2-(2a-6)x,其对称轴方程为x=a-3,由g(x)在区间[1,3]上单调递减,得a-3≥3,解得a≥6. 二、多选题 8.已知幂函数f(x)=(2m2+m-2)xm-3,m∈N*,则下列结论正确的是 (　　) A.m=1 B.函数f(x)在定义域内单调递减 C.f(-2)<f(3) D.函数f(x)的值域为(0,+∞) 解析:选AD　由f(x)=(2m2+m-2)xm-3为幂函数可得2m2+m-2=1,解得m=1或m=-,又m∈N*,所以m=1.所以f(x)=x-2=,故A正确;因为函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,由f(-x)===f(x),知函数f(x)为偶函数,由于-2<0,故f(x)=x-2在区间(0,+∞)上单调递减,根据偶函数性质知f(x)=x-2在区间(-∞,0)上单调递增,故B错误;f(-2)==>==f(3),故C错误;因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),则x2>0,所以f(x)=的值域为(0,+∞),故D正确. 9.已知f(x)=x2-2x+a(a>0),若f(t)<0,则 (　　) A.f(t-2)>0 B.f(t-1)<0 C.f(2-t)<0 D.f(4-t)>f(2) 解析:选ACD　函数f(x)的图象关于x=1对称,在(-∞,1)上单调递减,(1,+∞)上单调递增.由f(t)<0,f(0)=f(2)=a>0可得,存在x1∈(0,1),x2∈(1,2),使得f(x1)=f(x2)=0,其中t∈(x1,x2).t∈(x1,x2),则t-2<0,所以f(t-2)>f(0)>0,故A正确;t∈(x1,x2),则t-1可能小于0,也可能属于(x1,x2),故f(t-1)的符号不确定,故B错误;根据对称性可得f(2-t)=f(t)<0,故C正确;由于t∈(x1,x2),且x2∈(1,2),所以4-t>2,又f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f(4-t)>f(2),故D正确. 三、填空题 10.已知幂函数f(x)=(p∈N*)的图象关于y轴对称,且f(x)在(0,+∞)上单调递减,实数a满足(a2-1<(3a+3,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:∵幂函数f(x)=(p∈N*)在(0,+∞)上单调递减,∴p2-2p-3<0,解得-1<p<3. (对于幂函数f(x)=xα,当α>0时,f(x)=xα在(0,+∞)上单调递增,当α<0时,f(x)=xα在(0,+∞)上单调递减) ∵p∈N*,∴p=1或p=2.当p=1时,f(x)=x-4为偶函数,满足条件,当p=2时,f(x)=x-3为奇函数,不满足条件,则p=1.∴不等式(a2-1<(3a+3,即为(a2-1<(3a+3.∵y=在R上为增函数,∴a2-1<3a+3,解得-1<a<4. 答案:(-1,4) 11.已知函数f(x)=x2-ax+2,x∈[1,3],图象上任意两点连线都不与x轴平行,则实数a的取值范围是　　　　　　　.  解析:由题意知,f(x)=x2-ax+2在[1,3]上具有单调性.因为二次函数f(x)图象开口向上,对称轴为x=-=.当f(x)在[1,3]上单调递增时,有≤1,解得a≤2;当f(x)在[1,3]上单调递减时,有≥3,解得a≥6.综上可知,实数a的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞). 答案:(-∞,2]∪[6,+∞) 12.已知f(x)=4x-x2+2,则g(x)=f(f(x))的单调递增区间为　　　　　　.  解析:令t=f(x)=4x-x2+2=-(x-2)2+6,故t=f(x)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减.令4x-x2+2=2,得x=0或x=4,当x∈(0,4)时,f(x)>2,当x∈(-∞,0)∪(4,+∞)时,f(x)<2.当x∈(-∞,0)时,t<2,且t=f(x)单调递增,又f(t)在(-∞,2)上单调递增,由复合函数的单调性满足同增异减可知,g(x)=f(f(x))单调递增;当x∈(2,4)时,t>2,且t=f(x)单调递减,又f(t)在(2,+∞)上单调递减,由复合函数的单调性满足同增异减可知,g(x)=f(f(x))单调递增,其他区间不满足要求. 答案:(-∞,0),(2,4) 四、解答题 13.已知幂函数f(x)=(m2+m-1)xm+1(m∈Z)的图象关于y轴对称. (1)求m的值及函数f(x)的解析式; (2)设函数g(x)=f(x)-4x+5,求g(x)在区间[1,4]上的值域. 解:(1)因为f(x)=(m2+m-1)xm+1(m∈Z)为幂函数,所以m2+m-1=1,解得m=1或m=-2. 当m=1时,f(x)=x2,函数图象关于y轴对称,符合题意; 当m=-2时,f(x)=x-1,函数图象关于原点对称,不符合题意. 综上,m=1,f(x)=x2. (2)由(1)得g(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1, 所以g(x)在[1,2]上单调递减,在[2,4]上单调递增.又g(2)=1,g(1)=2,g(4)=5,所以g(x)∈[1,5], 即g(x)在区间[1,4]上的值域为[1,5]. 14.设函数f(x)=x2-2tx+2,其中t∈R. (1)若t=1,且对任意的x∈[0,a+2],都有f(x)≤5,求实数a的取值范围; (2)若对任意的x1,x2∈[0,4],都有|f(x1)-f(x2)|≤8,求实数t的取值范围. 快审准解:(1)先求出f(x)max,根据函数的对称性知t=1时,f(0)=f(2),故分类为a+2≥2和0<a+2<2,分别得到f(x)max,再根据f(x)max≤5即可得解; (2)“对任意的x1,x2∈[0,4],都有|f(x1)-f(x2)|≤8”等价于最大值与最小值之差不大于8,根据二次函数的性质对t进行分类计算最大值、最小值即可. 解:(1)因为f(x)=x2-2tx+2=(x-t)2+2-t2,所以f(x)在区间(-∞,t]上单调递减,在区间[t,+∞)上单调递增, 且对任意的x∈R,都有f(t+x)=f(t-x). 若t=1,则f(x)=(x-1)2+1, f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增. 对任意的x∈[0,a+2],都有f(x)≤5等价于在区间[0,a+2]上,f(x)max≤5. 当a+2≥2,即a≥0时,f(a+2)≥f(0), f(x)max=f(a+2)=(a+1)2+1≤5,解得-3≤a≤1,所以0≤a≤1; 当0<a+2<2,即-2<a<0时,f(x)max=f(0)=2≤5恒成立,故-2<a<0. 综上所述,实数a的取值范围为(-2,1]. (2)设函数f(x)在区间[0,4]上的最大值为M,最小值为m,则对任意的x1,x2∈[0,4],都有|f(x1)-f(x2)|≤8等价于M-m≤8. ①当t≤0时,M=f(4)=18-8t,m=f(0)=2,由M-m=18-8t-2=16-8t≤8,得t≥1,无解; ②当0<t≤2时,M=f(4)=18-8t,m=f(t)=2-t2, 由M-m=18-8t-(2-t2)=t2-8t+16=(t-4)2≤8,得4-2≤t≤4+2,因此4-2≤t≤2; ③当2<t≤4时,M=f(0)=2,m=f(t)=2-t2, 由M-m=2-(2-t2)=t2≤8,得-2≤t≤2,因此2<t≤2; ④当t>4时,M=f(0)=2,m=f(4)=18-8t, 由M-m=2-(18-8t)=8t-16≤8,得t≤3,无解. 综上所述,实数t的取值范围为[4-2,2]. 第七节　指数与指数函数 明确目标 1.通过对有理数指数幂（a>0,m,n为正整数，且n>1）、实数指数幂ax（a>0,x∈R）含义的理解，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象，并能应用图象解决一些简单问题. 3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. 教材再回首 1.根式 (1)概念 式子 叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)性质 ①负数没有偶次方根; ②0的任何次方根都是0,记作=0; ③()n=a(n∈N*,且n>1); ④ =a(n为大于1的奇数); ⑤=|a|=(n为大于1的偶数). 2.分数指数幂 (1)正分数指数幂:=(a>0,m,n∈N*,n>1). (2)负分数指数幂:==(a>0,m,n∈N*,n>1). (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 (1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R). (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R). (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R). 4.指数函数的定义 一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R. 5.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 定义域为R;值域为(0,+∞) 图象过定点(0,1),即当x=0时,y=1 当x>0时,恒有y>1; 当x<0时,恒有0<y<1 当x>0时,恒有0<y<1; 当x<0时,恒有y>1 在R上为增函数 在R上为减函数 6.指数函数的常用技巧 (1)当指数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论. (2)指数函数的图象恒过点(0,1),(1,a),,依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象. (3)任意两个指数函数的图象都是相交的,过定点(0,1),底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. (4)指数函数在同一平面直角坐标系中图象的相对位置与底数的大小关系如图所示,其中0<c<d<1<a<b. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P109T1改编)下列运算正确的是 (　　) A.=2-π B.a= C.= D.(=x9 解析:选C　对于A,2-π<0,所以 =π-2,错误;对于B,因为->0,所以a<0,则a=-(-a)·=-,错误;对于C,==,正确;对于D,(=x9-2=x7,错误. 2.(人B必修②P13T1改编)已知指数函数y=f(x)的图象经过点(-1,2),那么这个函数也必定经过点 (　　) A. B. C.(1,2) D. 解析:选D　由题意设f(x)=ax,则f(-1)=a-1=2,所以a=,f(x)=,故f(3)=. 3.(人A必修①P116“探究”结论的应用:指数函数的图象变换)函数y=2x+1的图象是 (　　) 解析:选A　易知函数y=2x+1是增函数,可排除B、D;又当x=0时,y=2,故选A. 4.(人A必修①P117例3改编)设a=1.70.3,b=0.93.1,c=0.91.7,则a,b,c的大小关系是 (　　) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 解析:选C　易得1.70.3>1,y=0.9x在定义域内是减函数,则b<c<1,故a>c>b. 5.(北师大必修①P88例4改编)函数f(x)=3|x|+1的值域为　　　　.  解析:因为|x|≥0,所以3|x|≥1,所以f(x)≥2. 答案:[2,+∞) 二、易错小题的警醒训练 1.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[-2,2]上的最大值和最小值的和为,则a的值为 (　　) A. B. C. D.或 解析:选D　当0<a<1时,函数f(x)=ax在[-2,2]上单调递减,则f(x)max+f(x)min=f(-2)+f(2)=+a2=,解得a=;当a>1时,函数f(x)=ax在[-2,2]上单调递增,则f(x)max+f(x)min=f(2)+f(-2)=a2+=,解得a=.综上,a=或a=.故选D.(易错点:忽略对底数分类讨论) 2.已知函数y=4x-3·2x+3,若其值域为[1,7],则x可能的取值范围是 (　　) A.[2,4] B.(-∞,0] C.(0,1]∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2] 解析:选D　令t=2x(t>0),则y=t2-3t+3=+,其图象的对称轴为直线t=.当x∈[2,4]时,t∈[4,16],此时y∈[7,211],不满足题意;当x∈(-∞,0]时,t∈(0,1],此时y∈[1,3),不满足题意;当x∈(0,1]∪[2,4]时,t∈(1,2]∪[4,16],此时y∈∪[7,211],不满足题意;当x∈(-∞,0]∪[1,2]时,t∈(0,1]∪[2,4],此时y∈[1,7],满足题意.故选D.(易错点:忽视函数值域的隐含条件) 题点一　指数幂的运算(自主练通) 1.(2025·盐城开学考试)[多选]下列选项正确的是 (　　) A.=a B.若a∈R,则(a2-a+1)0=1 C.=+y D.= 解析:选BD　当n为偶数时,=|a|,故=a不一定成立,故A错误;a2-a+1=+≠0,故(a2-a+1)0=1,故B正确;C显然不成立,如当x=y=1时,左边为,右边为2,故C错误;==,故D正确. 2.(2024·南平二模)对任意非零实数α,当|x|充分小时,(1+x)α≈1+αx.如==2≈2×=2.25,用这个方法计算 的近似值为 (　　) A.1.906　　B.1.908　　C.1.917　　D.1.919 解析:选C　===2=2=2≈2≈1.917. 3.设实数a,b满足2a+41-b=8,则a-2b的最大值为 (　　) A.2 B.2+ C.2 D.3 快审准解:利用换元法,结合基本不等式进行求解即可. 解析:选A　令a-2b=t⇒a=2b+t,则有8=2a+41-b=22b+t+22-2b≥2⇒16≥22+t⇒2+t≤4⇒t≤2,当且仅当22b+t=22-2b,即a=2,b=0时取等号. 4.已知a=-,b=,则÷=　　　　.  解析:因为÷=×=×=,又a=-,所以原式===. 答案: |思维建模|　指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一. 题点二　指数函数的图象及应用 [例1] (1)已知函数f(x)=(x-a)·(x-b)(a>b)的图象如图所示,则g(x)=ax-b的图象可能是 (　　) 解析:选C　根据函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图象可知a>1>b>0,再由指数函数的图象及性质可知,g(x)=ax-b单调递增,可排除A、B;且与y轴交点为(0,1-b),又1>b>0,所以1-b∈(0,1),即交于y轴正半轴上,排除D.故选C. (2)函数y=|2x-m|+m在(-∞,2]上的最大值为4,则m的取值范围是　　　　. 快审准解:分m≤0,0<m≤2,m>2,利用图象平移的性质结合指数函数计算即可. 解析:如图①,当m≤0时,函数y=|2x-m|+m的图象是由y=2x的图象向上平移|m|个单位长度后,再向下平移|m|个单位长度得到的,函数图象还是y=2x的图象,满足题意;如图②,当0<m≤2时,函数y=|2x-m|+m图象是由y=2x的图象向下平移m个单位长度后,再把x轴下方的图象对称到上方,再向上平移m个单位长度,根据图象可知0<m≤2满足题意;如图③,当m>2时,不合题意. 答案:(-∞,2] |思维建模|　应用指数函数图象的技巧 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除. (2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时,应注意分类讨论. [即时训练] 1.[多选]已知实数a,b满足等式3a=6b,则下列可能成立的关系式为 (　　) A.a=b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b 解析:选ABC　由题意,在同一平面直角坐标系内分别画出函数y=3x和y=6x的图象,如图所示,由图象知,当a=b=0时,3a=6b=1,故A正确;作出直线y=k,当k>1时,若3a=6b=k,则0<b<a,故B正确;作出直线y=m,当0<m<1时,若3a=6b=m,则a<b<0,故C正确;当0<a<b时,易得2b>1,则3a<3b<2b·3b=6b,故D错误. 2.若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个交点,则a的取值范围是　　　　.  解析:y=|ax-1|的图象是由y=ax的图象先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方,保持x轴上及其上方的图象不变得到的.当a>1时,如图1,两图象只有一个交点,不符合题意;当0<a<1时,如图2,要使两个图象有两个交点,则0<2a<1,即0<a<. 综上可知,a的取值范围是. 答案: 题点三　指数函数的性质及应用 考法(一)　比较大小 [例2]　 (1)(2023·天津高考)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 解析:选D　法一　因为函数f(x)=1.01x是增函数,且0.6>0.5>0,所以1.010.6>1.010.5>1,即b>a>1.因为函数g(x)=0.6x是减函数,且0.5>0,所以0.60.5<0.60=1,即c<1.综上,b>a>c.故选D. 法二　因为函数f(x)=1.01x是增函数,且0.6>0.5,所以1.010.6>1.010.5,即b>a.因为函数h(x)=x0.5在(0,+∞)上单调递增,且1.01>0.6>0,所以1.010.5>0.60.5,即a>c.综上,b>a>c.故选D. (2)若ea+πb≥e-b+π-a,下列结论一定成立的是 (　　) A.a+b≤0 B.a-b≥0 C.a-b≤0 D.a+b≥0 解析:选D　因为ea+πb≥e-b+π-a,所以ea-π-a≥e-b-πb(*),令f(x)=ex-π-x, 则f(x)是R上的增函数,(*)式即为f(a)≥f(-b),所以a≥-b,即a+b≥0. |思维建模|　比较指数式大小的方法 (1)直接法:当指数式的底数相同时,直接运用指数函数的单调性比较. (2)转化法:当指数式的底数不同时,利用幂的运算法则将底数统一. (3)中间量法:当指数式的底数不同且不能化为同底时,可利用中间量“1”进行比较. 考法(二)　解简单的指数不等式 [例3]　(2025·苏州模拟)已知函数f(x)=-2+a,其图象无限接近直线y=1但又不与该直线相交,则f(x)>的解集为 (　　) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-2,2) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,1) 解析:选A　根据题意知a=1,则函数f(x)=-2+1=-21-|x|+1,所以f(x)=-21-|x|+1>⇒2-1>21-|x|,当x>0时,2-1> 21-x,又因为y=2x单调递增,所以可得x>2;当x<0时,2-1>21+x,又因为y=2x单调递增,所以可得x<-2.综上可得f(x)>的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞). |思维建模|　解指数不等式的常用方法 (1)性质法:解形如ax>ab的不等式,可借助函数y=ax的单调性求解.如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论. (2)隐含性质法:解形如ax>b的不等式,可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助函数y=ax的单调性求解. (3)图象法:解形如ax>bx的不等式,可利用对应的函数图象求解. 考法(三)　指数函数性质的综合应用 [例4]　(2025·肇庆一模)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常量,且a>0,a≠1,b≠0)的图象经过点A(1,10),B(2,50). (1)求a,b的值; (2)若关于x的不等式bx-≥m+3在[-2,2]上有解,求m的取值范围. 快审准解:(1)把A,B两点坐标代入函数解析式,求a,b的值; (2)证明函数g(x)=bx-在[-2,2]上单调递增,有g(2)≥m+3,可求m的取值范围. 解:(1)由函数f(x)=b·ax的图象经过点A(1,10),B(2,50),得解得 (2)由(1)得a=5,b=2. 令g(x)=bx-=2x-,因为函数y=2x在[-2,2]上单调递增,函数y=在[-2,2]上单调递减, 所以g(x)在[-2,2]上单调递增, 所以g(x)在[-2,2]上的最大值为g(2)=22-=. 因为关于x的不等式bx-≥m+3在[-2,2]上有解,所以m+3≤,解得m≤, 即m的取值范围为. |思维建模|　指数型函数的应用技巧 (1)函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性可根据复合函数“同增异减”的规律进行判断,其最值要结合单调性转化为f(x)的最值进行分析求解. (2)对于函数y=f(ax)(a>0,且a≠1),一般要通过换元,令ax=t,化为函数y=g(t),再研究其各种性质. [即时训练] 3.已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 (　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 解析:选A　易知c===,又y=在定义域上单调递减,<1<,所以b>>c.易知y=(x>0)单调递增,>>,则a=>>=b.综上a>b>c. 4.若不等式<恒成立,则实数a的取值范围是 (　　) A.[0,+∞) 　　B. 　　C. 　　D. 解析:选B　因为不等式<恒成立,即<恒成立,所以x2-2ax>-(3x+a2)恒成立,即x2-(2a-3)x+a2>0恒成立,所以Δ=(2a-3)2-4a2<0,即(2a-3+2a)(2a-3-2a)<0,解得a>,所以实数a的取值范围是. 5.(2025·太原模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=a·3x-3-x,且f(-1)=. (1)求a的值,并求出f(x)的解析式; (2)若λf(x)-9x-9-x-14≤0在x∈(0,+∞)上恒成立,求λ的取值范围. 解:(1)因为f(x)是偶函数,所以f(-1)=f(1)=3a-=,解得a=1. 当x<0时,-x>0,所以f(x)=f(-x)=3-x-3-(-x)=3-x-3x, 所以函数f(x)的解析式为f(x)= (2)由(1)知,当x>0时,f(x)=3x-3-x>0, 因为λf(x)-9x-9-x-14≤0在x∈(0,+∞)上恒成立, 所以λ≤==3x-3-x+. 又3x-3-x+≥2=8, 当且仅当3x-3-x=,即x=log3(+2)时等号成立, 所以λ≤8,即λ的取值范围是(-∞,8]. 指数函数的综合问题 1.(指、对函数与充分、必要条件)“2a>1,log2b>1”是“2a+b>4”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A　由2a>1可得a>0,由log2b>1可得b>2,由2a+b>4可得a+b>2,所以由“2a>1,log2b>1”推得出“2a+b>4”,故充分性成立;由“2a+b>4”推不出“2a>1,log2b>1”,如a=0,b=3,满足2a+b>4,但是2a=1,故必要性不成立.所以“2a>1,log2b>1”是“2a+b>4”的充分不必要条件. 2.(指、对函数与基本不等式)数学中,悬链线指的是一种曲线,是两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软(不能伸长)的链条,在重力的作用下所具有的曲线形状,它被广泛应用到现实生活中,比如计算山脉的形状、描述星系的形态、研究植物的生长等等.在合适的坐标系中,这类曲线可用函数f(x)=aex+be-x(其中a,b为非零常数,e=2.718 28…)来表示,当f(x)取到的最小值为2时,下列说法正确的是 (　　) A.此时x=ln a B.此时a+b的最小值为2 C.此时2a+2b的最小值为2 D.此时ln aln b的最小值为0 解析:选B　函数f(x)=aex+be-x,a,b为非零常数,ex>0,e-x>0,由f(x)取到的最小值为2,得a>0,b>0.对于A,aex+be-x≥2=2=2,则ab=1,当且仅当aex=be-x,即e2x==时取等号,此时ex=,x=-ln a,A错误;对于B,a+b≥2=2,当且仅当a=b=1时取等号,B正确;对于C,2a+2b≥2=2≥4,当且仅当a=b=1时取等号,C错误;对于D,ln aln b≤==0,当且仅当a=b=1时取等号,D错误. 3.(指、对、幂函数与排列组合)已知集合A=,若a,b,c∈A且互不相等,则使得指数函数y=ax,对数函数y=logbx,幂函数y=xc中至少有两个函数在(0,+∞)上单调递增的有序数对(a,b,c)的个数是 (　　) A.16　　B.24　　C.32　　D.48 解析:选B　若y=ax和y=logbx在(0,+∞)上单调递增,y=xc在(0,+∞)上单调递减,则有=4个;若y=ax和y=xc在(0,+∞)上单调递增,y=logbx在(0,+∞)上单调递减,则有=8个;若y=logbx和y=xc在(0,+∞)上单调递增,y=ax在(0,+∞)上单调递减,则有=8个;若y=ax,y=logbx和y=xc在(0,+∞)上单调递增,则有=4个.综上所述,共有4+8+8+4=24个. 4.(指数函数的开放性问题)若对任意m,n∈R,函数f(x)满足f(m)f(n)=f(m+n),且当m>n时,都有f(m)<f(n),则函数f(x)的一个解析式是　　　　　　　　.  解析:由题意,可取f(x)=.函数f(x)=是减函数,满足当m>n时,都有f(m)<f(n),因为f(m)f(n)=·==f(m+n),所以函数f(x)=满足题意. 答案:f(x)=(答案不唯一) 5.(新定义问题)华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混浊”的数学定义,由此发展的混浊理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用.在混浊理论中,函数的周期点是一个关键概念,定义如下:设f(x)是定义在R上的函数,对于x∈R,令xn=f(xn-1)(n=1,2,3,…),若存在正整数k使得xk=x0,且当0<j<k时,xj≠x0,则称x0是f(x)的一个周期为k的周期点.若f(x)=ex-1,写出一个f(x)周期为1的周期点　　　　.  解析:若f(x)=ex-1,x∈R,当k=1时,x1=f(x0)==x0,因为直线y=x与y=f(x)的图象只有一个交点(1,1),所以x0=1是f(x)的一个周期为1的周期点. 答案:1 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.函数f(x)=ax-2+1(其中a>0,a≠1)的图象恒过的定点是 (　　) A.(2,1) B.(2,2) C.(1,1) D.(1,2) 解析:选B　令x-2=0,得x=2,f(2)=2,故选B. 2.已知a=1.050.6,b=0.60.8,c=0.60.4,则a,b,c的大小关系是 (　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 解析:选B　依题意,得a=1.050.6>1.050=1,b=0.60.8<0.60.4=c,又c=0.60.4<0.60=1,所以a>c>b. 3.已知函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 (　　) A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 解析:选D　由图象可知,函数f(x)为减函数,从而有0<a<1. 法一　由f(x)=ax-b的图象,知函数与y轴交点的纵坐标y∈(0,1),令x=0,得y=a-b,由0<a-b<1,即0<a-b<a0,解得b<0. 法二　函数f(x)的图象可看作是由y=ax(0<a<1)的图象向左平移得到的,则-b>0,即b<0. 4.设函数f(x)=在区间(0,1)上单调递增,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 解析:选D　y=在R上单调递减,由复合函数单调性可知,t=x(x-a)=x2-ax=-在(0,1)上单调递减,则≥1,解得a≥2. 5.(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)=则不等式f(2-x)>f(x)的解集为 (　　) A.(-∞,-1) B.(-∞,1) C.(-1,+∞) D.(1,+∞) 解析:选B　当x≥0时,y=21+x单调递增,当x<0时,y=-21-x单调递增,且在分界点处-21-0<21+0,所以函数f(x)在定义域上单调递增,所以f(2-x)>f(x)⇔2-x>x,解得x<1,所以不等式的解集为(-∞,1). 6.已知函数f(x)=在区间(2,3)上单调递减,则正实数a的取值范围为 (　　) A.(0,1) B. C. D. 解析:选C　根据题意,令t=,由正实数a知,函数t=单调递减,因为f(x)在区间(2,3)上单调递减,则f(x)=单调递增,且t= ≥0,所以解得0<a≤,故a的取值范围是. 7.(2025·安康模拟)已知正数a,b满足aea=bln b=2,则 (　　) A.a<1<b B.a<b<1 C.a>1>b D.a>b>1 快审准解:由已知可得ea=且ln b=,分别作出相关的函数图象即可求解. 解析:选A　由aea=bln b=2,得方程ex=的实根为a,方程ln x=的实根为b,在同一平面直角坐标系下画出y=ex,y=ln x,y=的图象,显然a<1<b. 8.(2024·北京西城三模)已知函数f(x)=2x,若∀x1,x2∈R,且x1<x2,则下列结论错误的是 (　　) A.f(x1)<f(x2) B.f< C.f(x1x2)=f(x1)+f(x2) D.f(x1+x2)=f(x1)f(x2) 解析:选C　由指数函数的单调性可知f(x)在R上单调递增,又x1<x2,所以f(x1)<f(x2),故A正确;因为>0,>0,所以=≥ ==f,又x1<x2,所以上式取不到等号,所以>f,故B正确;f(x1x2)=,f(x1)+f(x2)=+,∀x1,x2∈R,x1<x2,f(x1x2)≠f(x1)+f(x2),故C错误;f(x1+x2)=,f(x1)f(x2)=·==f(x1+x2),故D正确. 9.(2024·岳阳三模)已知函数f(x)=不存在最小值,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-1,0) 　B. C.(-1,0)∪ 　D.∪(1,+∞) 解析:选C　当a<0时,若x<a,则f(x)=ex+a在(-∞,a)上单调递增,所以a<f(x)<ea+a.若x≥a,则f(x)=x2+2ax=(x+a)2-a2≥-a2,当且仅当x=-a时取等号,因为f(x)不存在最小值,所以-a2>a,所以-1<a<0;当a≥0时,若x<a,则f(x)=ex+a在(-∞,a)上单调递增,所以a<f(x)<ea+a.若x≥a,则f(x)=x2+2ax=(x+a)2-a2≥f(a)=3a2,当且仅当x=a时取等号,因为f(x)不存在最小值,所以3a2>a,所以a>.综上,实数a的取值范围是(-1,0)∪,故选C. 二、多选题 10.已知函数f(x)=,下列关于函数f(x)的说法正确的是 (　　) A.函数f(x)的图象关于原点对称 B.函数f(x)的值域为(0,1) C.不等式f(x)>的解集是(0,+∞) D.f(x)是增函数 快审准解:根据f(0)=≠0即可判断A;根据e-x+1>1即可判断B;解不等式e-x<1即可判断C;根据函数y=1+e-x的单调性判断D. 解析:选BCD　因为函数f(x)的定义域为R,且f(0)=≠0,所以函数f(x)的图象不关于原点对称,故A错误;因为e-x+1>1,所以f(x)=∈(0,1),故B正确;由f(x)=>,可得e-x<1,则-x<0,解得x>0,故C正确;对任意的x∈R,y=1+e-x>1,且函数y=1+e-x在R上单调递减,故函数f(x)是增函数,故D正确.故选BCD. 11.已知函数f(x)=,则 (　　) A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为(0,2] C.函数f(x)在[-2,+∞)上单调递增 D.f()>f(4) 解析:选ABD　令u=x2+4x+3=(x+2)2-1,则u∈[-1,+∞).f(x)的定义域为R,故A正确;因为y=,u∈[-1,+∞)的值域为(0,2],所以函数f(x)的值域为(0,2],故B正确;因为u=x2+4x+3=(x+2)2-1在[-2,+∞)上单调递增,且y=在[-1,+∞)上单调递减,所以根据复合函数单调性法则,得函数f(x)在[-2,+∞)上单调递减,故C不正确;由于函数f(x)在[-2,+∞)上单调递减,所以f()>f(4),故D正确. 三、填空题 12.已知实数a满足a+a-1=3,则a3+a-3=　　　　.  解析:a3+a-3=(a+a-1)(a2-a·a-1+a-2)=(a+a-1)[(a+a-1)2-3]=18. 答案:18 13.若函数f(x)=的图象与平行线y=m,y=n,m≠n有且仅有三个交点,则实数m+n的取值范围是　　　　.  解析:f(x)=的图象如图所示,不妨设m>n,因为f(x)=的图象与平行线y=m,y=n,m≠n有且仅有三个交点,所以由图可知m=1,0<n<1,所以1<m+n<2,即实数m+n的取值范围是(1,2). 答案:(1,2) 四、解答题 14.如果函数y=+2ax-1(a>0,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,求a的值. 解:令ax=t,则y=t2+2t-1=(t+1)2-2. 当a>1时,因为x∈[-1,1],所以t∈,又函数y=(t+1)2-2在上单调递增,所以ymax=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍去); 当0<a<1时,因为x∈[-1,1],所以t∈,又函数y=(t+1)2-2在上单调递增, 所以ymax=-2=14,解得a=或a=-(舍去). 综上,a=3或a=. 15.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求a,b的值; (2)求该函数的值域; (3)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围. 解:(1)因为定义域为R的函数f(x)=是奇函数, 所以f(0)==0,解得b=1,即f(x)=. 又由f(-1)=-f(1),可得=-,解得a=1,所以f(x)=. 经检验a=1,b=1符合题意,所以a=1,b=1. (2)由(1)知,f(x)==-1,可得函数f(x)为减函数. 又因为2x∈(0,+∞),可得2x+1∈(1,+∞), 所以∈(0,2),所以f(x)∈(-1,1), 所以函数f(x)的值域为(-1,1). (3)对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,因为函数f(x)为奇函数,所以f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2). 又因为函数f(x)为减函数,所以t2-2t>k-2t2,即k<3t2-2t恒成立, 又由3t2-2t=3-≥-,得k<-, 所以实数k的取值范围为. 第八节 　对数与对数函数 明确目标 1.理解对数的概念与运算性质,用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数,能灵活转换对数与指数的关系. 2.了解对数函数的实际意义,会画对数函数的图象,理解对数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用. 3.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数. 教材再回首 1.对数的概念 定义 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数 性质 loga1=0,logaa=1,logaax=x,其中a>0,且a≠1;负数和0没有对数 2.对数的运算 运算 性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 loga(MN)=logaM+logaN; loga=logaM-logaN; logaMn=nlogaM(n∈R) 换底 公式 logab=,logab·logba=1,lobn=logab(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1,m>0,n>0) 对数恒 等式 =N(a>0且a≠1,N>0) 3.对数函数的定义 一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞). 4.对数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 定义域 (0,+∞) 值域 R 性质 过定点(1,0),即x=1时,y=0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 在(0,+∞)上是减函数 在(0,+∞)上是增函数 5.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,图象关于直线y=x对称. 6.对数函数常用技巧 (1)底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. (2)对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)以y轴为渐近线;g(x)=logax+b恒过定点(1,b),仍以y轴为渐近线. (3)作对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象应抓住三个点,(1,0),(a,1). (4)在同一平面直角坐标系内,当a>1时,随a的增大,对数函数的图象愈靠近x轴;当0<a<1时,对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见下图)(对数函数在第一象限内从左到右底数逐渐增大. ) 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(湘教必修①P126T17(1))下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 (　　) A.y=x　　B.y=lg x　　C.y=2x　　D.y= 解析:选D　函数y=10lg x的定义域和值域都为(0,+∞),只有D符合题意. 2.(北师大必修①P114例7改编)已知a=log0.90.8,b=log0.80.9,c=1.41.9,则 (　　) A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a 解析:选D　因为a=log0.90.8>log0.90.81=2,b=log0.80.9<log0.80.8=1,所以a>2>1>b.因为c=1.41.9<1.42=1.96<2,故1<c<2.故选D. 3.(人A必修①P127T7 lobn=logab结论的应用) 计算:log89×log2732=　　　　. 解析:原式=lo32×lo25=log23×log32=. 答案: 4.(人A必修①P132“探究”结论的应用:同一直角坐标系内函数图象在x轴上方部分越远离y轴的对数函数的底数越大) 对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的大致图象如图所示,已知a的取值为,,,,则曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次是　　　　　　　. 解析:当a>1时,对数函数y=logax的图象是上升的;当0<a<1时,对数函数y=logax的图象是下降的.对数的底数越大,对数函数的图象在x轴上方的部分越远离y轴的正方向,故曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次是,,,. 答案:,,, 5.(人A必修①P140T1改编)函数y=的定义域为　　　　.  解析:要使函数有意义,则需满足解得<x≤1. 答案: 二、易错小题的警醒训练 1.若loga<1(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是　　　　. 解析:当0<a<1时,loga<logaa=1,所以0<a<;当a>1时,loga<logaa=1,所以a>1. 综上所述,实数a的取值范围是∪(1,+∞).(易错点:忽视对底数的讨论) 答案:∪(1,+∞) 2.已知log0.72m<log0.7(m-1),则实数m的取值范围是　　　　.  解析:∵log0.72m<log0.7(m-1),∴解得m>1.(易错点:忽略对数函数的定义域) 答案:(1,+∞) 题点一　对数的运算(自主练通) 1.(2025·广州模拟)若log2m+log4n=2,则m2n= (　　) A.3 B.4 C.9 D.16 解析:选D　因为log2m+log4n=2,所以log2m+log2n=2,故log2m+log2=log24,化简得log2=log24,所以m=4,故m2n=16. 2.(2024·北京高考)生物丰富度指数d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则 (　　) A.3N2=2N1 B.2N2=3N1 C.= D.= 解析:选D　由题意,得=2.1,=3.15.若S不变,则2.1ln N1=3.15ln N2,即2ln N1=3ln N2,所以=. 3.若2x=6,y=log4,则x+2y的值是 (　　) A.3 B.log23 C.-3 D.4 解析:选D　由2x=6,得x=log26,由y=log4=lo=log2,得2y=log2,所以x+2y=log26+log2=log2=log224=4. 4.(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-,则a=　　　　.  解析:根据题意有-=-,即3loga2-=-.设t=loga2(a>1),则t>0,故3t-=-,解得t=(舍负),所以loga2=,所以=2,解得a=64. 答案:64 |思维建模|　对数运算的一般思路 (1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再用对数的运算性质化简合并. (2)合:将对数式化为同底对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 题点二　对数函数的图象及应用 [例1] (1)在同一直角坐标系中,函数y=a-x,y=loga(a>0且a≠1)的图象可能是 (　　) 解析:选D　当0<a<1时,y=a-x是增函数,图象恒过点(0,1),y=loga是减函数,图象恒过点;当a>1时,y=a-x是减函数,图象恒过点(0,1),y=loga是增函数,图象恒过点.所以满足条件的图象为D. (2)已知函数f(x)=|log3x|,若b>a>0,且a,b是f(x)的图象与直线y=m(m>0)的两个交点对应的横坐标,则4a+b的最小值为 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 快审准解:画出函数f(x)=|log3x|的图象,得出a,b关系式后,利用基本不等式得出结果. 解析:选B　根据题意画出f(x)=|log3x|的图象如图所示,易知|log3a|=|log3b|=m,又b>a>0,可知b>1>a>0,所以-log3a=log3b,即log3a+log3b=0,所以ab=1,所以4a+b=+b≥2=4, 当且仅当b=2时,等号成立,即4a+b的最小值为4. 习得方略:函数f(x)=|logax|(a>0且a≠1)的图象 若f(m)=f(n)(m<n),则①0<m<1<n;②mn=1. |思维建模|　对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)对于较复杂的指数或对数不等式有解或恒成立问题,可借助函数图象解决,具体步骤如下: ①对不等式变形,使不等号两边对应两函数f(x),g(x); ②在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)及函数y=g(x)的图象. [即时训练] 1.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是 (　　) A.0<a-1<b<1 B.0<b<a-1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 解析:选A　由题图可知,f(x)为增函数,故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0,logab),由题图可知-1<logab<0,解得<b<1.综上,0<a-1<b<1. 2.若方程4x=logax在上有解,则实数a的取值范围为　　　　.  解析:若方程4x=logax在上有解,则函数y=4x和函数y=logax的图象在上有交点,由图象知解得0<a≤. 答案: 题点三　对数函数的性质及应用 考法(一)　比较大小 [例2] (1)已知a=log36,b=log510,c=log714,则 (　　) A.b<a<c B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b 解析:选B　因为a=log36=1+log32=1+,b=log510=1+log52=1+,c=log714=1+log72=1+,且log27>log25>log23>0,所以a>b>c. (2)设a=log2 0242 026,b=log2 0232 026,2 024c=2 025,则 (　　) A.a>c>b B.a>b>c C.b>c>a D.b>a>c 解析:选D　因为2 024c=2 025,所以c=log2 0242 025,又因为函数f(x)=log2 024x在(0,+∞)上单调递增, 所以log2 0242 025<log2 0242 026,即c<a.因为函数g(x)=log2 026x在(0,+∞)上单调递增,所以0=log2 0261< log2 0262 023<log2 0262 024<log2 0262 026=1,则>,即log2 0232 026>log2 0242 026,即b>a. 综上可得,b>a>c.故选D. |思维建模|　比较对数函数值大小的方法 (1)单调性法:在同底的情况下直接得到大小关系,若不同底,先化为同底. (2)中间量过渡法:寻找中间数联系要比较的两个数,一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”. (3)图象法:根据图象观察得出大小关系. 考法(二)　解不等式 [例3]　(2025·绵阳阶段练习)设函数f(x)=x3|x|,则不等式f(2log3x)+f(3-log3x)<0的解集是 (　　) A.　　　 B. C.(0,27) D.(27,+∞) 解析:选B　由题意可知,f(x)的定义域为R,且f(-x)=(-x)3|-x|=-x3|x|=-f(x),所以f(x)为定义在R上的奇函数,且当x≥0,f(x)=x4在[0,+∞)上单调递增,则f(x)在(-∞,0]上单调递增,所以f(x)在R上单调递增.因为f(2log3x)+ f(3-log3x)<0,所以f(2log3x)<-f(3-log3x)=f(log3x-3),可得2log3x<log3x-3,即log3x<-3=log3,解得0<x<,所以原不等式的解集为. |思维建模|　解对数不等式的类型及方法 (1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解.如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论. (2)形如logax>b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解. 考法(三)　对数函数性质的综合应用 [例4]　已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的最小值为0,求a的值. 解:(1)因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,解得a=-1.所以f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0,得-1<x<3,即函数f(x)的定义域为(-1,3). 令g(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,x∈(-1,3), 则g(x)在(-1,1]上单调递增,在[1,3)上单调递减. 又y=log4x在(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)的单调递增区间是(-1,1],单调递减区间是[1,3). (2)若f(x)的最小值为0,则y=ax2+2x+3有最小值,且最小值为1,因此有 解得a=.故a的值为. |思维建模|　解决对数函数性质综合问题的策略 利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用. [即时训练] 3.(2025·泰安模拟)已知a=log0.20.3,b=ln a,c=2a,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c>b>a　B.a>b>c　C.b>a>c　D.c>a>b 解析:选D　因为y=log0.2x在(0,+∞)上单调递减,所以log0.21<log0.20.3<log0.20.2,即0<a<1.因为y=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以ln a<ln 1,即b<0.因为y=2x在R上单调递增,所以2a>20,即c>1.综上,c>a>b. 4.[多选]已知函数f(x)=lo(x2-2ax+2),则以下说法正确的是 (　　) A.∃a∈R,使得f(x)为偶函数 B.若f(x)的定义域为R,则a∈(-,) C.若f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,则a的取值范围是[1,+∞) D.若f(x)的值域是(-∞,2],则a∈ 解析:选ABD　在f(x)=lo(x2-2ax+2)中,取a=0,则f(x)=lo(x2+2),此时函数的定义域为R,且f(-x)=lo(x2+2)=f(x),即f(x)=lo(x2+2)为偶函数,故A正确;因为f(x)的定义域为R,所以x2-2ax+2>0恒成立,即Δ=(-2a)2-8<0,解得-<a<,故B正确;令g(x)=x2-2ax+2,因为y=lox在定义域上单调递减,故要使函数f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,则需使g(x)=x2-2ax+2在(-∞,1)上单调递减且恒大于0,故有解得1≤a≤,故C错误;因为f(x)的值域是(-∞,2],即f(x)max=2,由复合函数的单调性可知,g(x)min==,由g(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2,知g(x)min=g(a)=2-a2=,解得a=±,即a∈,故D正确. 5.已知对数函数y=logax(a>0,且a≠1),且loga<loga,则关于x的不等式loga(2x-3)>0的解集为　　　　.  解析:由loga<loga,知当0<a<1时,>,无解;当a>1时,<,解得a>1.所以a>1,则对数函数y=logax在(0,+∞)上单调递增,又关于x的不等式loga(2x-3)>0,所以2x-3>1,解得x>2.所以关于x的不等式loga(2x-3)>0的解集为(2,+∞). 答案:(2,+∞) 指、对、幂比较大小的方法 方法1　作差法、作商法 (1)作差法:A-B>0⇔A>B;A-B=0⇔A=B;A-B<0⇔A<B. (2)作商法:当A>0,B>0时,>1⇔A>B;=1⇔A=B;<1⇔A<B. 1.若a=lg 0.2,b=log32,c=log64,则关于a,b,c的大小关系,下列说法正确的是 (　　) A.c>b>a B.b>c>a C.c>a>b D.a>b>c 解析:选A　∵a=lg 0.2<lg 1=0,b=log32>0,c=log64>0,===×=<1,∴b<c,即c>b>a. 2.已知20a=22,22b=23,ac=b,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c>a>b B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c 解析:选D　分别对20a=22,22b=23,ac=b两边取对数,得a=log2022,b=log2223,c=logab.a-b= log20 22-log22 23=-=. 由基本不等式,得lg 20·lg 23<=<==(lg 22)2, 所以(lg 22)2-lg 20·lg 23>0,即a-b>0,所以a>b>1. 又c=logab<logaa=1,所以a>b>c.故选D. 方法2　中间值法 　　当比较A,B的大小时,若能找到一个值t0,满足A<t0且t0<B,则A<B;或满足A>t0且t0>B,则A>B. 在指、对数中,通常可优先选择0,1对所比较的数进行划分,然后再进行比较.也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如log23,可知1=log22<log23<log24=2,进而可估计1<log23<2,从而便于比较. 3.(2025·遂宁零诊)已知a=,b=log32,c=sin,则 (　　) A.b<c<a B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 解析:选D　由=3.375>e,可知>,所以<.由=log3=log3,8<9,得2<,所以log32<log3=.由=log3=log3,4>3,得2>,所以log32>log3=.由=sin,≈0.52>,函数y=sin x在上单调递增,可知sin<sin=.综上可得,>>log32>>sin,所以a>b>c.故选D. 方法3　性质法 (1)若底数相同,指数或真数不同:可通过函数的单调性,判断出指数或对数的大小关系; (2)若底数不同,指数或真数相同:可以利用相应函数图象的变化规律来判断; (3)若底数不同,指数或真数也不同:需要利用中间值来比较. 4.(2025·宝鸡实验高级中学联考)已知a=,b=,c=,则 (　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 解析:选C　因为log23.4>log22=1=log44>log43.6,log30.3-1=log3>log33=1,且log23.4>log22==log3=log33>log3=-log30.3,所以log23.4>-log30.3>log43.6,所以>=>,即a>c>b. 方法4　构造新函数 　　无法一眼找到题干中的数或式子的关联时,观察所给式子的结构,通过结构的特点构造相应的函数,构造没有固定模式,且所构造函数大多需要借助导数研究其单调性,赋值比较大小. 5.已知x3-y3<2-x-2-y,则下列结论正确的是 (　　) A.ln>0 B.ln(y-x+1)>0 C.ln|y+x|>0 D.ln|y-x|>0 解析:选B　由x3-y3<2-x-2-y,得x3-2-x<y3-2-y,令f(x)=x3-2-x,即f(x)<f(y),因为y=x3在R上为增函数,y=2-x在R上为减函数,故f(x)=x3-2-x在R上为增函数,所以y>x.取y=1,x=-2,则ln<0,故A错误;由y>x,得y-x+1>1,所以ln(y-x+1)>0,故B正确;取y=1,x=-2,则ln|y+x|=0,故C错误;取y=1.1,x=1,则ln|y-x|<0,故D错误.故选B. 数智赋能:电子版随堂训练（对数函数的创新应用）,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.已知函数f(x)=1+loga(2x-3)(a>0,且a≠1)恒过定点(m,n),则m+n= (　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 解析:选C　令2x-3=1,解得x=2,此时f(2)=1+loga1=1,所以f(x)恒过定点(2,1),则m=2,n=1,所以m+n=3. 2.已知a=log23,b=log46,c=log49,则 (　　) A.a=b<c　　B.a<b<c　　C.a=c>b　　D.a>c>b 解析:选C　因为a=log23=lo32=log49=c,又y=log4x在(0,+∞)上单调递增,6<9,所以log46<log49,所以a=c>b. 3.(2024·深圳二模)已知a>0,且a≠1,则函数y=loga的图象一定经过 (　　) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 快审准解:由函数y=loga过点(0,-1),分类可解. 解析:选D　当x=0时,y=loga=-1,则当0<a<1时,函数图象过第二、三、四象限,如图①; 当a>1时,函数图象过第一、三、四象限,如图②. 所以函数y=loga的图象一定经过第三、四象限. 4.(2025·南通模拟)已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,0) B.[-1,0) C.(-1,0) D.[-1,+∞) 解析:选B　令t=ax+2,y=ln t,因为函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减,且y=ln t在定义域内单调递增,所以解得-1≤a<0,故选B. 5.若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是 (　　) A.(1,+∞)　　B.(2,+∞)　　C.(1,2]　　D.(,2] 解析:选D　由题意,得当x≤2时,0<2x≤4,4≤8-2x<8,所以f(x)∈[4,8)①. 当x>2时,分以下两种情况讨论: 若0<a<1②,则f(x)=3+logax单调递减, 所以f(x)∈(-∞,3+loga2),不满足f(x)的值域是[4,+∞). 若a>1②,则f(x)=3+logax单调递增,所以f(x)∈(3+loga2,+∞).要使f(x)的值域是[4,+∞),则有4≤3+loga2<8,解得<a≤2.综上,实数a的取值范围为(,2].故选D. 习得方略:①处注意区间端点值的取舍; ②处要对底数a实施分类讨论,注意挖掘隐含条件,a>0,且a≠1;注意最后的结果“<a≤2”是在“a>1”的前提下得出的,将两个取值范围取交集. 6.(2025·南宁模拟)若3a+log3a=27b+3log27b,则 (　　) A.a<3b　　B.a>3b　　C.a>b2　　D.a<b2 解析:选A　设f(x)=3x+log3x(x>0),则f(x)为增函数.因为3a+log3a=27b+3log27b=33b+log3b,所以f(a)-f(3b)=3a+log3a-33b-log3(3b)=33b+log3b-(33b+log3b)-log33=-1<0①,所以f(a)<f(3b),故a<3b,所以A正确,B错误.f(a)-f(b2)=3a+log3a-(+log3b2)=33b+log3b-(+log3b2)=33b--log3b②,当b=1时,f(a)-f(b2)=24>0,此时f(a)>f(b2),有a>b2;当b=3时,f(a)-f(b2)=-1<0,此时f(a)<f(b2),有a<b2,所以C、D错误.故选A. 习得方略:①处,作差比较大小,注意对数性质的灵活应用,即log3(3b)=log3b+log33; ②处,很难直接判断该式与0的大小,故可对b取特殊值进行判断,为保证准确性,可多取几个. 7.(2024·南昌三模)若=log2a,=b2,=2-c,则正数a,b,c的大小关系是 (　　) A.c<a<b　　B.c<b<a　　C.a<c<b　　D.a<b<c 解析:选B　由=log2a,知a为y=与y=log2x交点的横坐标,由=b2,知b为y=与y=x2交点的横坐标,由=2-c,即=,知c为y=与y=交点的横坐标,在同一平面直角坐标系中作出y=,y=log2x,y=x2,y=的图象如图所示.由图可知,c<b<a. 二、多选题 8.关于函数f(x)=ln(ex+e-x-2),以下说法正确的是 (　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)在区间(0,+∞)单调递增 D.f(x)在区间(0,+∞)单调递减 解析:选BC　由e-x>0,ex>0,得e-x+ex≥2,当且仅当x=0时,等号成立,则f(x)的定义域为{x|x≠0},∵f(-x)= ln(e-x+ex-2)=f(x),∴f(x)为偶函数,故A错误,B正确;当x>0时,函数t=ex>1且单调递增,函数u=t+-2>0且 单调递增,函数y=ln u单调递增,∴函数f(x)在(0,+∞)单调递增,故C正确,D错误. 9.(2025·重庆模拟)若b>c>1,0<a<1,则下列结论正确的是 (　　) A.ba<ca B.logba>logca C.cba<bca D.blogca>clogba 解析:选BC　∵0<a<1,幂函数y=xa在(0,+∞)上单调递增,且b>c>1,∴ba>ca,故A错误;∵0<a<1,∴函数y=logax在(0,+∞)上单调递减,又∵b>c>1,∴logab<logac<loga1=0,∴0>>,即0>logba>logca,故B正确;∵0<a<1,则a-1<0,∵幂函数y=xa-1在(0,+∞)上单调递减,且b>c>1,∴ba-1<ca-1,∴cba<bca,故C正确;由B可知,0>logba>logca,∴0<-logba<-logca,∵b>c>1,∴c(-logba)<b(-logca),∴blogca<clogba,故D错误. 三、填空题 10.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=　　　　.  解析:由f(ln 2)f(ln 4)=8,得aln 2·aln 4=8,即aln 2+ln 4=a3ln 2=8,也即(aln 2)3=23,∵a>0且a≠1,∴aln 2=2,两边取对数得ln 2·ln a=ln 2,解得a=e. 答案:e 11.不等式lo(x2-x-2)>lo(x-1)-1的解集为　　　　.  解析:由对数函数的性质可得 解得x>2.∵lo(x2-x-2)>lo(x-1)-1=lo[2(x-1)],且y=lox为减函数, ∴解得2<x<3, 综上所述,不等式的解集为(2,3). 答案:(2,3) 12.设a=log23,b=log4x,c=log865,若a,b,c中b既不是最小的也不是最大的,则x的取值范围是　　　　.  解析:∵a=log23=log827<log865=c,∴a<b<c,∴log23<log4x<log865,∴log23<log2<log26,∴3<<6, 得9<x<6,即x的取值范围是(9,6). 答案:(9,6) 四、解答题 13.已知函数f(x)=ln(x+2)+ln(x-2). (1)求f(x)的定义域; (2)求关于x的不等式f(x)≥ln(3x)的解集. 解:(1)由解得x>2, 所以f(x)的定义域为(2,+∞). (2)由f(x)=ln(x+2)+ln(x-2)=ln(x2-4),x∈(2,+∞),得不等式f(x)≥ln(3x)可化为ln(x2-4)≥ln(3x). 因为y=ln x是增函数,所以 解得故x≥4. 故不等式f(x)≥ln(3x)的解集为{x|x≥4}. 14.已知函数f(x)=log2[4x+(a+2)2x+a+1]. (1)若a=0,求满足2<f(x)<4的x的取值范围; (2)若对任意x≥1,f(x)≥x恒成立,求a的取值范围. 解:(1)当a=0时,f(x)=log2(4x+2·2x+1)=2log2(2x+1).易知f(x)的定义域为R. 由不等式2<f(x)<4,得1<log2(2x+1)<2,即2<2x+1<4,解得0<x<log23, 所以不等式2<f(x)<4的解集为(0,log23). (2)由不等式f(x)≥x,得log2[4x+(a+2)2x+a+1]≥log2(2x), 等价于4x+(a+2)2x+a+1≥2x对任意x∈[1,+∞)恒成立. 设t=2x≥2,则t2+(a+1)t+a+1≥0对任意t≥2恒成立, 设g(t)=t2+(a+1)t+a+1, 当-≤2,即a≥-5时,g(2)=4+2(a+1)+a+1≥0,解得a≥-; 当->2,即a<-5时,Δ=(a+1)2-4(a+1)≤0,无解. 综上,a的取值范围是. 第九节 　函数的图象 明确目标 1.会画简单的函数图象,理解函数图象的作用,能准确识别函数的图象. 2.会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题. 教材再回首 1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线,具体步骤如下: (1)确定函数的定义域; (2)化简函数解析式; (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等); (4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线. 2.利用图象变换法作函数图象 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(北师大必修①P56例3改编)已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是 (　　) A.y=f(|x|) B.y=|f(x)| C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|) 解析:选C　题图②中的图象是在题图①的基础上,去掉函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分,然后将y轴左侧部分翻折到y轴右侧,y轴左侧部分不变得来的,∴题图②中的图象对应的函数可能是y=f(-|x|). 2.(人A必修①P140T6)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中.在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加; 停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是 (　　) 解析:选B　依题意知,在2 h内血液中药物含量Q持续增加,停止注射后,Q呈指数衰减,图象B符合. 3.(苏教必修①P111T3改编)若函数f(x)=的图象如图所示,则f(-3)=　　　　. 解析:由f(-1)=ln(-1+a)=0,得a=2.又直线y=ax+b过点(-1,3),所以2×(-1)+b=3,得b=5.故当x<-1时, f(x)=2x+5,则f(-3)=2×(-3)+5=-1. 答案:-1 二、易错小题的警醒训练 1.已知函数f(x)=则函数f(1+2x)的图象是 (　　) 解析:选B　由题意得,当1+2x≥0,即x≥-时,f(1+2x)=2+2x;当1+2x<0,即x<-时,f(1+2x)=-2x-1,所以f(1+2x)=故选B. (易错点:混淆分段函数的分类标准) 2.将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到函数　　　　　　的图象. 解析:y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度,是将f(-x)中的x变成x-1,即得到y=f(-x+1)的图象. (易错点:函数图象平移法则理解不清) 答案:y=f(-x+1) 题点一　作函数的图象(自主练通) 作出下列函数的图象: (1)y=;(2)y=|log2(x+1)|; (3)y=x2-2|x|-1;(4)y=. 解:(1)先作出y=的图象,保留图象中x≥0的部分,再作出y=的图象中x>0的部分关于y轴的对称部分,即得y=的图象,如图①实线部分. (2)将函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图②. (3)因为y=且函数为偶函数,所以先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,如图③. (4)原函数解析式可化为y=2+,故函数图象可由函数y=的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,如图④. |思维建模|　函数图象的画法 直接法 当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象 转化法 含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象 图象变换法 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称、伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形.应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响 题点二　函数图象的辨识 [例1] (1)(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)·sin x在区间[-2.8,2.8]的图象大致为 (　　) 解析:选B　由题知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=-(-x)2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,函数图象关于y轴对称,排除A、C;f(1)=-1+sin 1>-1+sin=-1+->0,排除D.故选B. (2)(2025·滁州模拟)心形代表浪漫的爱情,人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型,呈现出优雅的弧度,心形木屋融入山川、河流、森林、草原,营造出一个精神和自然聚合的空间.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形,这个图形可看作由两个函数的图象构成,则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为 (　　) A.y=|x| B.y=x C.y= D.y= 解析:选C　y|x=1=>1,故A错误;记f(x)=x,则f(-x)=-x=-f(x),故f(x)为奇函数,不符合题意,故B错误;记h(x)=,则h(-x)==h(x),故y=为偶函数,当x≥0时,y===,此函数在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,且h(0)=0,h(1)=1,h(2)=0,故C正确;记g(x)=,则g(-x)=≠-g(x),故g(x)既不是奇函数也不是偶函数,不符合题意,故D错误. |思维建模| 1.函数图象识别的常用方法 (1)特殊点法:根据已知函数的解析式选取特殊的点,判断选项中的图象是否经过这些点; (2)函数性质法:根据选项中图象的特点,结合函数的奇偶性、单调性等来排除选项,有时需要借助导数工具求解; (3)极限思想:应用极限思想来处理,达到巧解妙算的效果,使解题过程费时少,准确率高; (4)图象变换法:熟练掌握图象的平移变换(左加右减,上加下减)、对称变换、伸缩变换等,便可破解此类问题. 2.由函数图象判断函数解析式的方法 若已知函数的图象,求解函数解析式,则根据函数图象的特征来判断函数的定义域和值域及函数的奇偶性和单调性、特殊点(特殊值)等. [即时训练] 1.已知函数f(x)=则下列图象错误的是 (　　) 解析:选D　法一　当-1≤x≤0时,f(x)=-2x,表示一条线段,且线段经过(-1,2)和(0,0)两点.当0<x≤1时,f(x)=,表示一段曲线,函数f(x)的图象如图所示.f(x-1)的图象可由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到,故A正确;f(-x)的图象可由f(x)的图象关于y轴对称后得到,故B正确;由于f(x)的值域为[0,2],故f(x)=|f(x)|,故|f(x)|的图象与f(x)的图象完全相同,故C正确;很明显D中f(|x|)的图象不正确. 法二　因为f(1)=1,所以f(|1|)=f(1)=1,所以y=f(|x|)的图象过点(1,1),但D中的图象不过(1,1),故D错误. 2.如图所对应的函数的解析式可能是 (　　) A.f(x)=(x-1)ln|x| B.f(x)=xln|x| C.f(x)=(x-1)ln x D.f(x)=(x-1)ex(x≠0) 解析:选A　由题图可知,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),而C选项中函数的定义域为(0,+∞),故排除C;对于B,由f(x)=xln|x|,f(-x)=-xln|x|,所以f(-x)=-f(x),即函数为奇函数,排除B;对于D,当0<x<1时,x-1<0,ex>0,所以f(x)=(x-1)ex<0,排除D. 题点三　函数图象的应用 考法(一)　研究函数的性质 [例2]　(多选)已知函数f(x)=f(-x),且f(x)的对称中心为(1,0),当x∈[2,3]时,f(x)=3-x,则下列选项正确的是 (　　) A.f(x)的最小值是-1 B.f(x)在(-3,-2)上单调递减 C.f(x)的图象关于直线x=-2对称 D.f(x)在(3,4)上的函数值大于0 快审准解:根据函数的性质以及x∈[2,3]时,f(x)=3-x可得函数的部分图象,进而结合图象即可求解. 解析:选AC　根据f(x)=f(-x)可得f(x)为偶函数,由f(x)的对称中心为(1,0),可知f(x)的图象关于(1,0)对称,结合当x∈[2,3]时,f(x)=3-x,可画出f(x)的部分图象如图所示. 由图象可知f(x)的最小值是-1,f(x)在(-3,-2)上单调递增,f(x)的图象关于直线x=-2对称,f(x)在(3,4)上的函数值小于0,故A、C正确,B、D错误.故选AC. |思维建模|　利用函数图象研究函数性质的思路 　　对于已知解析式或易画出在给定区间上图象的函数,常借助图象研究其性质. (1)从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值. (2)从图象的对称性分析函数的奇偶性. (3)从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性. 考法(二)　解不等式 [例3]　已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为 (　　) A.(-,0)∪(,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(-,0)∪(,2) D.(-2,-)∪(0,)∪(2,+∞) 解析:选C　根据奇函数的图象特征,作出f(x)在(-∞,0)上的图象如图所示,由x2f(x)>2f(x),得(x2-2)f(x)>0,等价于或解得x<-2或<x<2或-<x<0.故不等式的解集为(-∞,-2)∪(-,0)∪(,2). |思维建模|　利用函数的图象解不等式的基本思路 　　当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题,从而利用数形结合法求解. 考法(三)　求参数的取值范围 [例4]　(2024·北京昌平二模)已知函数f(x)=若对任意的x都有|f(x)|≥ax恒成立,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,0]　　B.[-4,0]　　C.[-3,0]　　D.(-∞,2] 解析:选B　由f(x)=令g(x)=|f(x)|,作出g(x)图象,如图所示,令h(x)=ax,由图知,要使对任意的x都有|f(x)|≥ax恒成立,则必有a≤0,当x≤0时,令y1=x2-4x,由消去y,得x2-(4+a)x=0, 由Δ=0,得(4+a)2=0,即a=-4,由图可知-4≤a≤0,故选B. |思维建模|　求解函数图象应用问题的思维流程 [即时训练] 3.把函数f(x)=ln|x-a|的图象向左平移2个单位长度,所得函数在(0,+∞)上单调递增,则a的最大值为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　把函数f(x)=ln|x-a|的图象向左平移2个单位长度,得到函数g(x)=ln|x+2-a|的图象,则函数g(x)在(a-2,+∞)上单调递增,又因为所得函数在(0,+∞)上单调递增,所以a-2≤0,即a≤2.所以a的最大值为2. 4.已知函数f(x)=则不等式f(2a2-1)>f(3a+4)的解集为 (　　) A.(-∞,-1) B. C. D.(-∞,-1)∪ 解析:选C　作出函数y=f(x)的图象,如图所示.由图象可知,y=f(x)在R上单调递减,由f(2a2-1)>f(3a+4),可得2a2-1<3a+4,解得-1<a<,所以不等式f(2a2-1)>f(3a+4)的解集为. 5.[多选]设f(x)=则下列选项正确的是 (　　) A.若y=f(x)与y=a,a∈R的图象有两个交点,则a∈(1,+∞) B.若y=f(x)与y=a,a∈R的图象有三个交点,则a∈(0,1] C.0≤f(x)≤1的解集是[-2,0]∪[4,+∞) D.0≤f(f(x))≤1的解集是(-∞,-3]∪(0,1] 解析:选ABC　函数f(x)的图象如图所示.由图可知,若y=a与f(x)有两个交点,则a∈(1,+∞),故A正确;若y=a与f(x)有三个交点,则a∈(0,1],故B正确;若0≤f(x)≤1,则x∈[-2,0]∪[4,+∞),故C正确;由C知,若0≤f(f(x))≤1,则f(x)∈[-2,0]∪[4,+∞),所以x∈(-∞,-3]∪{-1}∪(0,1],故D错误. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.要得到函数y=22x-1的图象,只需将指数函数y=4x的图象 (　　) A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析:选D　因为y=4x=22x,22x-1=,所以为了得到函数y=22x-1的图象,只需将指数函数y=4x的图象向右平移个单位长度,故选D. 2.函数f(x)=1-的图象大致为 (　　) 解析:选C　函数f(x)=1-的图象是将函数y=-的图象先向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到;又由于函数y=-的图象关于原点中心对称,所以f(x)=1-的图象关于(-1,1)中心对称,所以C正确. 3.函数f(x)=的大致图象是 (　　) 解析:选B　易知函数f(x)的定义域为{x|x≠0且x≠±1}.因为f(-x)==-,所以函数f(x)为非奇非偶函数,排除A;易知当x>1时,f(x)>0,排除C;因为f=,f=,所以f<f,排除D.故选B. 反思领悟:观察B、D,发现它们的主要区别是当x∈(-1,0)∪(0,1)时,f(x)的图象在y轴两侧的变化趋势不同,故联想到利用特殊值进行检验. 4.已知函数f(x)=则函数y=f(1-x)的图象大致为 (　　) 解析:选B　法一　作出函数y=f(x)的图象,如图1所示. 作函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图形,可得到y=f(-x)的图象,如图2所示. 再将y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度①, 即可得到y=f(1-x)的图象,故选B. 法二　作出函数y=f(x)的图象,如法一中图1所示.将函数y=f(x)的图象关于直线x=作对称图形,即可得到y=f(1-x)的图象②,故选B. 法三　由f(x)=得g(x)=f(1-x)=g(0)=e0-1=0,即函数g(x)的图象经过原点,排除A、C.当x≥0时,g(x)=e-x-1单调递减,排除D③.故选B. 习得方略:①处,注意不要误以为是向左平移1个单位长度,把y=f(1-x)中x的系数提出来,变为y=f(-(x-1)),利用口诀“左加右减”,即可知应当向右平移1个单位长度; ②处,注意y=f(x)与y=f(a-x)的图象关于直线x=对称的应用; ③处,也可以利用当x≥0时,g(x)=e-x-1≤0排除D. 5.已知函数f(x)=log2(x+1)-|x|,则不等式f(x)>0的解集是 (　　) A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0) D.⌀ 解析:选B　不等式f(x)>0⇔log2(x+1)>|x|,分别画出函数y=log2(x+1)和y=|x|的图象,如图所示.由图象可知y=log2(x+1)和y=|x|有两个交点,分别是(0,0)和(1,1),由图象可知log2(x+1)>|x|的解集是(0,1),即不等式f(x)>0的解集是(0,1). 6.若·x3=ln x2·x3=1,则下列不等关系一定不成立的是 (　　) A.x3>x2>x1 B.x3>x1>x2 C.x2>x1=x3 D.x2>x1>x3 快审准解:由·x3=ln x2·x3=1,可得=ln x2=,作出函数y=ex,y=ln x(x>1),y=(x>0)的图象,作出直线y=m(m>0),变换m的值即可得出答案. 解析:选B　因为·x3=ln x2·x3=1,所以=ln x2=.由>0,得x2>1,x3>0,作出函数y=ex,y=ln x(x>1), y=(x>0)的图象,同时作出直线y=m(m>0),如图所示,变换m的值可以发现x3>x2>x1,x2>x1=x3,x2>x1>x3均能够成立,x3>x1>x2不可能成立. 7.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=(x+a)·ln(x+b),若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为 (　　) A.　　B.　　C.　　D.1 解析:选C　法一:分类讨论法① 易知函数f(x)的定义域为(-b,+∞),令x+a=0,得x=-a,令ln(x+b)=0得x=1-b.有以下两种情况: 当x∈(-b,1-b]时,ln(x+b)≤0,要满足题意,需使x+a≤0,故1-b+a≤0;当x∈[1-b,+∞)时,ln(x+b)≥0,要满足题意,需使x+a≥0,故1-b+a≥0.从而-a=1-b②,则a2+b2=2b2-2b+1=2+≥. 法二:数形结合法　分别作出y=x+a与y=ln(x+b)的图象,如图(1),图(2)所示. 若要(x+a)ln(x+b)≥0,只有-a=1-b时符合,则a2+b2=2b2-2b+1=2+≥. 习得方略:①处,由于f(x)=x+a与f(x)=ln(x+b)同是增函数,且x+a与ln(x+b)乘积不小于0,所以采用分类讨论的策略解题; ②处,两个各自仅有一个变号零点的函数,若乘积都大于等于0或小于等于0,则两个函数的零点一定相等. 二、多选题 8.若函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)可能是 (　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 解析:选BC　由函数f(x)的部分图象可知,f(x)为偶函数,故排除A、D;当0<x<1时,f(x)>x,当x>1时,f(x)<x,故B、C符合题意. 9.已知函数y=f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,当x>0时,f(x)=x(x-1),则下列说法正确的是 (　　) A.函数y=f(x)与x轴有2个交点 B.当x<0时,f(x)=-x(x+1) C.不等式f(x)<0的解集是(0,1) D.∀x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤ 解析:选BCD　作出函数f(x)的图象如图所示,由图可知,函数y=f(x)与x轴有三个交点-1,0,1,A错误;当x<0时,-x>0,f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1),∴f(x)=-f(-x)=-x(x+1),B正确;由图可知,不等式f(x)<0的解集是(0,1),C正确;当x∈[-1,1]时,f(x)max=f=,f(x)min=f=-,所以∀x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=,D正确.故选BCD. 三、填空题 10.已知f(x)为R上的增函数,且其部分图象如图所示,那么|f(x)|<1的解集是　　　　. 解析:因为f(x)为R上的增函数且f(0)=-1,f(3)=1,不等式|f(x)|<1,即-1<f(x)<1,所以0<x<3,即|f(x)|<1的解集是(0,3). 答案:(0,3) 11.已知函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是　　　　. 解析:y==作出函数y=与y=kx-2的图象如图所示, ∵函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,∴0<k<1或1<k<4. 答案:(0,1)∪(1,4) 12.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知曲线C:y=x3-,两条直线l1,l2均过坐标原点O,l1和C交于M,N两点.l2和C交于P,Q两点.若△OPM的面积为,则△MNQ的面积为　　　　　.  解析:由于点(x,y)和点(-x,-y)都在曲线y=x3-,x≠0上, 所以曲线C的图象关于原点对称,当x>0时,函数y=x3-单调递增,由此画出曲线C的大致图象如图所示,两条直线l1,l2均过坐标原点O,所以M,N两点关于原点对称,P,Q两点关于原点对称,根据对称性,不妨设M,N,P,Q位置如图,可知|OP|=|OQ|,|OM|=|ON|,∠POM=∠QON,所以△OPM≌△OQN,所以S△OQN=S△OPM=,而△OQM和△OQN等底等高,面积相同,所以S△OQM=,所以S△MNQ=2. 答案:2 四、解答题 13.已知函数f(x)=2x-ax+1(a∈R). (1)若a∈Z,且f(4)>0,求a的最大值; (2)当a=3时,求函数f(x)的零点; (3)若对任意x∈(-∞,1)都有f(x)>0,求a的取值范围. 解:(1)因为函数f(x)=2x-ax+1(a∈R), 所以f(4)=24-4a+1>0,即a<, 又a∈Z,所以a的最大值为4. (2)当a=3时,f(x)=2x-3x+1,由f(x)=2x-3x+1=0,可得2x=3x-1. 作出函数y=2x与y=3x-1的图象,如图1所示. 由图可知y=2x与y=3x-1的图象有两个交点, 即函数f(x)有两个零点.又因为f(1)=2-3+1=0,f(3)=23-3×3+1=0, 故函数f(x)的零点为1,3. (3)因为对任意x∈(-∞,1)都有f(x)>0, 所以2x>ax-1在(-∞,1)上恒成立, 即当x∈(-∞,1)时,函数y=2x的图象恒在直线y=ax-1的上方, 作出函数y=2x,x∈(-∞,1)与y=ax-1的大致图象,如图2所示. 则a≥0,且a-1≤2,所以0≤a≤3, 即a的取值范围为[0,3]. 14.已知函数f(x)=. (1)证明:当0<a<b且f(a)=f(b)时,ab>1; (2)若存在实数a,b,使得函数f(x)在[a,b]上的值域为[ma,mb](m≠0),求实数m的取值范围. 解:(1)证明:函数f(x)=的图象可由y=-的图象向上平移1个单位长度, 然后保留x轴上交点以及其上方部分不变,将x轴下方部分翻折到x轴上方得到,其图象如图所示.由0<a<b且f(a)=f(b)知,0<a<1,b>1,f(a)==-1,f(b)==1-,则由f(a)=f(b),得+=2. 由于a+b>2,(因为0<a<b,故等号不成立) 故2=+=>=,∴>1,即ab>1. (2)由题意可知m>0. 由f(1)=0,可知当a=1或b=1时,必有ma=0,不合题意; 当a∈(0,1),b∈(1,+∞)时,1∈[a,b],而f(1)=0∈[ma,mb],与ma>0矛盾, ∴a,b∈(0,1)或a,b∈(1,+∞). 当a,b∈(0,1)时,由f(x)单调递减知,f(a)=mb,f(b)=ma,即-1=mb,-1=ma,得a=b,不合题意; 当a,b∈(1,+∞)时,由f(x)单调递增知,f(a)=ma,f(b)=mb, 即1-=ma,1-=mb, 即ma2-a+1=0,mb2-b+1=0, ∴a,b是方程mx2-x+1=0的两个不相等实根,且这两根均大于1, ∴Δ=1-4m>0且m-1+1>0,>1, 解得0<m<. 综上,实数m的取值范围是. 第十节 　 函数与方程 明确目标 1.理解函数的零点与方程解的关系.了解函数零点存在定理,并能简单应用. 2.能借用工具用二分法求方程的近似解,了解二分法求方程的近似解具有一般性. 教材再回首 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y=f(x)有零点. (3)函数零点的判定(函数零点存在定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解. 2.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 3.二次函数图象与零点的关系 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 与x轴 的交点 (x1,0), (x2,0) (x1,0) 无 零点个数 2 1 0 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P155T2改编)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,部分对应关系如表所示,则该函数的零点个数至少为 (　　) x 1 2 3 4 5 6 y 126.1 15.15 -3.92 16.78 -45.6 -232.64 A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选B　由题表可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,所以函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点. 2.(人B必修①P126T3改编)若函数f(x)=+a的零点为1,则实数a的值为 (　　) A.-2 B.- C. D.2 解析:选B　由题意知,f(1)=+a=0,解得a=-. 3.(苏教必修①P253T8改编)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为 (　　) A.2 B.-2,0 C. D.0 解析:选D　当x≤1时,令f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,令f(x)=1+log2x=0,解得x=(舍去).综上,函数f(x)的零点为0. 二、易错小题的警醒训练 1.函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,则实数a的值为 (　　) A.-　　　B.0　　　C.　　　D.0或- 解析:选D　当a=0时,f(x)=-x-1,令f(x)=0,得x=-1,故f(x)只有一个零点-1.当a≠0时,Δ=1+4a=0,解得a=-.综上,a=0或a=-.(易错点:忽略二次项系数为零) 2.设f(x)=lg x+x-3,用二分法求方程lg x+x-3=0在(2,3)内近似解的过程中得到f(2.25)<0,f(2.75)>0,f(2.5)<0, f(3)>0,则方程的根所在区间为 (　　) A.(2,2.25) B.(2.25,2.5) C.(2.5,2.75) D.(2.75,3) 解析:选C　因为f(2.5)<0,f(2.75)>0,由函数零点存在定理知,方程的根所在区间为(2.5,2.75).(易错点:忽略函数零点存在定理的条件) 题点一　对函数零点存在定理的理解(自主练通) 1.已知函数f(x)在区间[a,b]上具有单调性,且图象是连续不断的,若f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上 (　　) A.至少有一个实数解 B.至多有一个实数解 C.没有实数解 D.必有唯一的实数解 解析:选D　因为函数f(x)在区间[a,b]上具有单调性且连续,所以f(a)f(b)<0⇒f(a)<0<f(b)或f(b)<0<f(a).由函数零点存在定理,知必有唯一的实数解c∈(a,b),使得f(c)=0,故D正确. (当y=f(x)在[a,b]上具有单调性时,它仅有一个零点) 2.若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同时在区间(1,5),(1,3),(2,3),内,则与f(1)符号相同的是 (　　) A.f(5) B.f(3) C.f D.f(2) 解析:选D　因为函数f(x)有唯一零点,在区间内,所以零点左侧的函数值同号,零点右侧的函数值同号,所以与f(1)符号相同的是f(2). 3.(2025·蚌埠监测)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,则“f(a)f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A　函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,由函数零点存在定理,可知f(a)f(b)<0时,函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点,充分性成立;函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点时,f(a)f(b)<0不一定成立,如函数y=x2,在开区间(-1,1)内有零点x=0,但f(-1)f(1)>0,必要性不成立.故“f(a)f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点”的充分不必要条件.故选A. 习得方略:由函数y=f(x)(图象是一条连续不断的曲线)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0,所以f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 深化理解: 几个“不一定”“一定”（假设f(x)在区间(a,b)连续） (1)若f(a)·f(b)<0,则f(x)“一定”存在零点,但“不一定”只有一个零点.要分析f(x)的性质与图象,如果f(x)具有单调性,则“一定”只有一个零点. (2)若f(a)·f(b)>0,则f(x)“不一定”存在零点,也“不一定”没有零点.如果f(x)具有单调性,那么“一定”没有零点. (3)如果f(x)在区间(a,b)内存在零点,则f(a)·f(b)的符号是“不确定”的,受函数性质与图象的影响.如果f(x)具有单调性,那么f(a)·f(b)“一定”小于0. 题点二　函数零点所在区间的判定 [例1]　(多选)函数f(x)=2x2-4ln x-3,则 (　　) A.f(x)在内有零点 B.f(x)在内有零点 C.f(x)在内有零点 D.f(x)在(e,e2)内有零点 解析:选AC　作出函数y=2x2-3和y=4ln x的图象,如图所示,由图象可知,f(x)最多有两个零点,因为f=+ 4-3>0,f()=2e-2-3>0,f(1)=2-3<0,f(e)=2e2-4-3>0,f(e2)=2e4-8-3>0,所以ff(1)<0,f(1)f()<0,由函数零点存在定理可知f(x)在内有零点,在(1,)内有零点. |思维建模|　确定函数零点所在区间的常用方法 利用函数 零点存在定理 首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)<0,若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点 数形结合法 通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 [即时训练] 1.已知函数f(x)=x+2x的零点在区间(n,n+1)内,n∈Z,则n的值为 (　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 解析:选B　因为函数f(x)=x+2x定义域为R,且f(x)在R上单调递增,f(0)=1>0,f(-1)=-1+=-<0,即f(0)·f(-1)<0,由函数零点存在定理可得,f(x)的零点所在区间为(-1,0),所以n=-1. 2.函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的区间是 (　　) A.(0,1) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2) 解析:选D　易知函数f(x)=ln(x+1)-的定义域为(-1,0)∪(0,+∞),且函数在(0,+∞)上是连续不断的.因为f(1)=ln(1+1)-=ln 2-2<0,f(2)=ln(2+1)-1=ln 3-1>0,由函数零点存在定理,可知f(x)在区间(1,2)上有零点,又f(x)=ln(x+1)-在区间(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上只有一个零点.故选D. 题点三　函数零点个数的判定 [例2] (1)函数f(x)=2x|log2x|-1的零点个数为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.4 解析:选C　令f(x)=0,得|log2x|=,在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=|log2x|与y=的图象如图所示, 由图可知,函数y=|log2x|与y=的图象有2个交点,即函数f(x)有2个零点,故选C. (2)(2024·湛江二模)已知函数f(x)=|2x-1|-a,g(x)=x2-4|x|+2-a,则 (　　) A.当g(x)有2个零点时,f(x)只有1个零点 B.当g(x)有3个零点时,f(x)有2个零点 C.当f(x)有2个零点时,g(x)有2个零点 D.当f(x)有2个零点时,g(x)有4个零点 解析:选D　作出y=|2x-1|,y=x2-4|x|+2的大致图象,如图所示.两个函数的零点个数转化为图象与y=a的图象公共点的个数. 由图可知,当g(x)有2个零点时,f(x)无零点或只有1个零点;当g(x)有3个零点时,f(x)只有1个零点;当f(x)有2个零点时,g(x)有4个零点. |思维建模|　函数零点个数的判定方法 直接求 零点 令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点 利用函数 零点存在 定理 利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点 图象法 画两个函数的图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点 [即时训练] 3.已知函数f(x)=则当k>0时,函数y=f(x)的零点个数为 (　　) A.8　　　　　　　 B.6 C.4 D.2 解析:选D　当x>0时,由f(x)=0,可得ln x=0,解得x=1,符合题意;当x≤0时,由于k>0,由f(x)=0,可得kx+1=0,解得x=-<0,符合题意.因此,函数y=f(x)的零点个数为2. 4.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数为 (　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 解析:选D　由题意知,f(x)是周期为2的偶函数.在同一平面直角坐标系内,分别作出函数y=f(x)及y=log3|x|的图象,如图所示,观察图象可知它们有4个交点,即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点,故选D. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.下列函数图象与x轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是 (　　) 解析:选B　由题意知,利用二分法求函数的零点时,该函数的零点必须是变号零点,所以根据这个条件可知,不宜用二分法求函数零点的是B. 2.函数y=4x-2x+1的零点为 (　　) A.x=1 B.2 C.1 D.x=2 解析:选C　令4x-2x+1=0,整理得2x(2x-2)=0,解得x=1,所以函数y=4x-2x+1的零点为1. 3.函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是 (　　) A. B.(1,2) C.(2,3) D.(3,5) 解析:选B　易知f(x)在(0,+∞)上单调递增.又f(2)=ln 2->ln -=>0,f(1)=ln 1-=-1<0,故函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是(1,2). 4.已知实数a<b<c,则方程(x-a)(x-b)+(x-b)·(x-c)+(x-c)(x-a)=0的两个实根分别属于区间 (　　) A.(-∞,a)和(a,b) B.(b,c)和(c,+∞) C.(a,b)和(b,c) D.(-∞,a)和(c,+∞) 解析:选C　设f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a),由a<b<c,则f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函数零点存在定理,知f(x)的零点分别位于区间(a,b)和(b,c),故方程(x-a)·(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0的两个实根分别属于区间(a,b)和(b,c). 5.已知函数f(x)=则方程f(x)-2|x|=0的解的个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选B　由f(x)-2|x|=0可得f(x)=2|x|,则方程f(x)-2|x|=0的解的个数等于函数y=2|x|与函数y=f(x)的图象交点的个数,作出函数y=2|x|与函数y=f(x)的图象如图所示,由图可知,函数y=2|x|与函数y=f(x)的图象有且只有一个交点,即方程f(x)-2|x|=0的解的个数为1. 6.已知x0是函数f(x)=-x+4的一个零点,若x1∈(2,x0),x2∈(x0,+∞),则 (　　) A.x0∈(2,4) 　B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)<0,f(x2)<0 　D.f(x1)>0,f(x2)>0 解析:选B　因为函数y=在区间(2,+∞)上单调递减,函数y=-x+4在区间(2,+∞)上单调递减,所以函数f(x)=-x+4在区间(2,+∞)上单调递减.又f(2)>0,f(3)>0,f(4)>0,f(5)<0,所以x0∈(4,5),因为f(x0)=0, x1∈(2,x0),x2∈(x0,+∞),所以由单调性知f(x1)>0,f(x2)<0,即f(x1)>f(x2). 习得方略:若f(x)在(a,b)内单调递减,x0是f(x)的零点且x0∈(a,b),则当x∈(a,x0)时,f(x)>0,当x∈(x0,b)时,f(x)<0. 7.函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点-1,1,x0,若c∈(2,3),则零点x0所在区间为 (　　) A.(2,3) B.(3,4) C.(4,5) D.(5,6) 快审准解:首先可得a+c=0,b=-1,从而得到f(x)=x3-cx2-x+c,再由函数零点存在定理判断即可. 解析:选A　依题意可得则所以f(x)=x3-cx2-x+c,显然f(x)为连续函数,又c∈(2,3),所以f(2)=6-3c<0,f(3)=24-8c>0,f(4)=60-15c>0,f(5)=120-24c>0,f(6)=210-35c>0,根据函数零点存在定理可知f(x)的第三个零点x0∈(2,3). 8.已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=2sin x+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为 (　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 解析:选D　由h(x)=2sin x+x=0得x=0,∴c=0,由f(x)=0得2x=-x,由g(x)=0得log2x=-x.如图,在同一平面直角坐标系中画出y=2x,y=log2x,y=-x的图象,由图象知a<0,b>0,∴a<c<b. 习得方略:与函数零点有关的函数值比较大小,可以通过函数性质结合函数零点存在定理确定,也可考虑在同一平面直角坐标系中画出图象,根据交点及图象位置关系确定. 9.(2025·四川江油中学段考)函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1),且当x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2.已知函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6,6]内的零点个数为 (　　) A.14 B.13 C.12 D.11 解析:选C　易知函数y=f(x)的定义域为R,因为f(x+1)=f(x-1),所以f(x)是周期为2的周期函数.易知当x∈(-∞,0)时,g(x)单调递增,且0<g(x)<1;当x∈(0,1]时,g(x)单调递减,且g(x)≥0;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增,且g(x)≥0.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x),y=g(x)的大致图象,如图所示①. 由h(x)=0得f(x)=g(x),即函数h(x)在[-6,6]内的零点个数就是函数y=f(x),y=g(x)的图象在[-6,6]内的交点个数.观察图象知,函数y=f(x),y=g(x)的图象在[-6,6]内有12个交点②,所以函数h(x)在[-6,6]内有12个零点.故选C. 习得方略:①处,要求函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6,6]内的零点个数,也就是求函数f(x),g(x)的图象在区间[-6,6]内的交点个数,因此,准确作出两个函数的图象是求解本题的关键.准确作图的准备工作:研究函数图象的走势(通过判断单调性、周期性等),确定函数图象所过的关键点(观察函数解析式确定)等; ②处,函数g(x)是分段函数,作图时一定要注意分界点处图象是实心点还是空心点,这个一旦出错,会影响最终的答案. 二、多选题 10.某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示: f(2)≈-1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈-0.084 f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066 则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度为0.1)可取为 (　　) A.2.62 B.2.56 C.2.531 D.2.75 快审准解:利用函数的性质及函数零点存在定理,结合精确度的理解就可以确定答案. 解析:选BC　因为函数f(x)=ln x+2x-6在其定义域内单调递增,结合题表中数据可知方程ln x+2x-6=0的近似解所在区间可以是(2,3),(2.5,3),(2.5,2.75),(2.5,2.625),(2.5,2.562 5),根据区间的长度计算分别为1,0.5,0.25,0.125,0.062 5,根据精确度为0.1,可知方程ln x+2x-6=0的近似解在区间(2.5,2.562 5)上,根据精确度为0.1的要求,可在区间(2.5,2.562 5)上任选一个值作为该方程的近似解,故选BC. 11.已知a是函数f(x)=ex+2x-3的零点,则下列各数为正数的是 (　　) A.ea-1 B.a2-a C.ln a D.a2-a3 解析:选AD　易得f(x)=ex+2x-3是R上的增函数,因为f(0)=-2<0,f(1)=e-1>0,所以a∈(0,1),则ea-1>0,a2-a=a(a-1)<0,ln a<0,a2-a3=a2(1-a)>0,故选AD. 12.下列函数在区间(-1,3)内存在唯一零点的是 (　　) A.f(x)=x2-2x-8 B.f(x)=(x+1-2 C.f(x)=-1 D.f(x)=1-ln(x+2) 解析:选BCD　∵x2-2x-8=0的解为x1=-2,x2=4,∴f(x)在区间(-1,3)内没有零点,故A错误;∵f(x)=(x+1-2在[-1,+∞)上为增函数,且f(-1)=-2<0,f(3)=8-2=6>0,即f(-1)f(3)<0,∴f(x)在区间(-1,3)内存在唯一零点,故B正确;∵f(x)=2x-1-1在R上为增函数,且f(-1)=-<0,f(3)=3>0,即f(-1)f(3)<0,∴f(x)在区间(-1,3)内存在唯一零点,故C正确;∵f(x)=1-ln(x+2)在(-2,+∞)上为减函数,且f(-1)=1>0,f(3)=1-ln 5<0,即f(-1)f(3)<0,∴f(x)在区间(-1,3)内存在唯一零点,故D正确. 三、填空题 13.函数f(x)=的零点是　　　　.  解析:由已知可得,当x≥0时,f(x)≥3;当x<0时,由f(x)=x+7=0,得x=-7,故f(x)的零点是-7. 答案:-7 14.定义开区间(a,b)的长度为b-a.经过估算,函数f(x)=-的零点属于开区间　　　　. 解析:因为y=,y=-都是减函数,所以f(x)=-是减函数.又f(1)=-1=-<0,f=-<0,f=->0,即f·f<0,所以函数f(x)在上有零点,且-=. 答案:（答案不唯一） 15.(2024·金华二模)函数f(x)=至多有　　　　个零点.  解析:当x>a时,令x2-a=0,解得x=±,但x>a,所以只有x=可能是零点,且a>0,>a.当x≤a时,令x-2a=0,解得x=2a,又x≤a,所以只有2a≤a,即a≤0时,x=2a可能是零点.综上,当a>0时,至多1个零点;当a≤0时,至多1个零点.即函数f(x)=至多1个零点. 答案:1 16.(2024·西宁二模)记τ(x)是不小于x的最小整数,例如τ(1.2)=2,τ(2)=2,τ(-1.3)=-1,则函数f(x)=τ(x)-x-2-x+ 的零点个数为　　　　.  解析:令f(x)=0,则τ(x)-x=2-x-,令g(x)=τ(x)-x,h(x)=2-x-,则g(x)与h(x)的交点个数即为f(x)的零点个数.当-1<x≤0时,g(x)=0-x=-x∈[0,1),又g(x+1)=τ(x+1)-(x+1)=τ(x)-x=g(x),所以g(x)是周期为1的周期函数.又h(x)在R上单调递减,且h(-1)>1,h(0)=,h(3)=0,所以可作出y=g(x)与y=h(x)的图象如图所示, 所以y=g(x)与y=h(x)有3个交点,故f(x)的零点个数为3. 答案:3 第十一节 函数与方程的综合应用 明确目标 函数与方程的综合应用是高考的重点内容,要求能通过分析函数的性质,结合图象,研究函数的零点或方程的根等. 题点一　根据函数零点存在情况求参数 [例1] (1)若函数f(x)=-m有零点,则实数m的取值范围是　　　　.  快审准解:将题目转化为函数y=与y=m的图象有交点,再作出函数图象即可得到实数m的取值范围. 解析:函数f(x)=-m有零点,即函数y=与y=m的图象有交点,作出y=与y=m的大致图象如图所示,由图可知0<m≤1,故实数m的取值范围是(0,1]. 答案:(0,1] (2)设c∈R,函数f(x)= 若f(x)恰有一个零点,则c的取值范围是　　　　.  解析:画出函数g(x)=的图象如图所示,函数f(x)=可由g(x)=分段平移得到,易知当c=0时,函数f(x)恰有一个零点,满足题意; 当c<0时,代表图象向上平移,显然没有零点,不符合题意; 当c>0时,图象向下平移,当0<2c<1时,函数有两个零点; 当2c≥1时,f(x)恰有一个零点,满足题意,即c≥.综上,c的取值范围是{0}∪. 答案:{0}∪ |思维建模| 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围 分离 参数法 将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决 数形 结合法 先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解 [即时训练] 1.(2024·阳泉三模)若函数f(x)=log2x+x2+m在区$$