第八章 解析几何（教师用书）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第八章｜解析几何 第一节 直线的方程 　明确目标 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式,会求直线的斜率与倾斜角. 2.根据确定直线位置要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式). 教材再回首 1.直线的倾斜角 定义 当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为0° 范围 直线l倾斜角的取值范围为[0,π) 2.直线的斜率 (1)定义 当直线的倾斜角不等于90°时,我们把这条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α.倾斜角是90°的直线没有斜率.  (2)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=. (3)直线的方向向量坐标 若P1(x1,y1),P2(x2,y2),则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2-x1,y2-y1).若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=.特别地,(1,k)是l的一个方向向量. 3.直线方程的5种形式 名称 方程 适用条件 点斜式 y-y0=k(x-x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 y=kx+b 与x轴不垂直的直线 两点式 = 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 +=1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax+By+C=0,A2+B2≠0 平面内所有直线 解题结论拓展 (1)当直线不垂直于x轴时,直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系. (2)当直线l的倾斜角α∈时,α越大,直线l的斜率越大;当α∈时,α越大,直线l的斜率越大. (3)直线y=kx+b的一个方向向量m=(1,k). (4)直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个方向向量a=(-B,A). 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人B选必修①P90T5改编)过点A(1,4)的直线的方向向量为m=(1,2),则该直线方程为 (　　) A.2x-y+2=0 B.2x+y-6=0 C.x-2y+7=0 D.x+y-5=0 解析:选A　由于直线的方向向量为m=(1,2),故直线的斜率为=2,故直线的方程为y-4=2(x-1),即2x-y+2=0. 2.(苏教选必修①P9T5改编)若A(1,2),B(3,m),C(7,m+2)三点共线,则实数m的值为 (　　) A.-2 B.2 C.-3 D.3 解析:选D　因为3≠1,直线AB斜率存在,A,B,C三点共线,则kAB=kAC,即=,解得m=3. 3.(人A选必修①P64T1改编)过两点(-2,4)和(4,-1)的直线在y轴上的截距为 (　　) A. B.- C. D.- 解析:选C　由题可知直线方程为y+1=·(x-4),即y=-(x-4)-1,令x=0,则y=,故直线在y轴上的截距为. 4.(人A选必修①P58T7改编)设m为实数,过两点A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)的直线l的倾斜角为45°,则m的值为　　　　.  解析:∵过两点A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)的直线l的倾斜角为45°,∴==1,解得m=-2. 答案:-2 二、易错小题的警醒训练 1.直线l过点(1,2),且纵截距为横截距的两倍,则直线l的方程是 (　　) A.2x-y=0 B.2x+y-4=0 C.2x-y=0或2x+y-4=0 D.2x-y=0或2x+y-2=0 解析:选C　依题,当直线l过原点时,直线斜率为=2,则直线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0;当直线不过原点时,设直线方程为+=1(a≠0),将(1,2)代入得+=1,解得a=2,则直线方程为+=1,即2x+y-4=0,综上,直线l的方程是2x-y=0或2x+y-4=0.(易错点:忽视直线过原点的情况) 2.已知直线l的斜率k∈(-,1),则直线l的倾斜角的取值范围是 (　　) A.∪ 　　B. C.∪ 　　D. 解析:选A　设直线l的倾斜角为θ,θ∈[0,π),由题意,k∈(-,1),则tan θ∈(-,1),所以θ∈∪.(易错点:对直线斜率与倾斜角的关系理解不透彻致误) 题点一　直线的倾斜角与斜率(自主练通) 1.[多选]如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则下列选项正确的是 (　　) A.k1<k3<k2 B.k3<k2<k1 C.α1<α3<α2 D.α3<α2<α1 解析:选AD　因为直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则由题图得k2>k3>0,k1<0,故>α2>α3>0,且α1为钝角,故选AD. 2.直线xcos α+y-2=0的倾斜角的范围是 (　　) A.　 B. C.∪ D. 解析:选C　已知直线方程xcos α+y-2=0,设直线的倾斜角为θ,故tan θ=-=-cos α∈,即θ∈∪. 3.已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围为 (　　) A.[-1,1] 　　B.[1,+∞) C.(-∞,-1]∪[1,+∞) 　　D.(-∞,-1] 解析:选C　如图,由题意可知kPA==-1,kPB==1.要使l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞). 4.若直线l1,l2的斜率分别为1,2,l1,l2夹角为θ,则sin 2θ= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　设直线l1,l2的倾斜角分别为α,β,则tan α=1,tan β=2,θ=β-α.因此tan θ=tan(β-α) ===,所以sin 2θ=2sin θcos θ====. |思维建模| 1.与直线倾斜角、斜率有关问题的注意点 (1)求倾斜角与斜率的取值范围时,常借助正切函数y=tan x在[0,π)上的单调性求解,这里特别要注意,正切函数在[0,π)上并不具有单调性. (2)过一定点作直线与已知线段相交,求直线斜率范围时,应注意倾斜角为时,直线斜率不存在. 2.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 牢记口诀:“斜率变化分两段,90°是分界线;遇到斜率要谨记,存在与否要讨论”. 题点二　直线的方程(自主练通) 1.经过点(1,1),且方向向量为(1,2)的直线方程是 (　　) A.2x-y-1=0 B.2x+y-3=0 C.x-2y+1=0 D.x+2y-3=0 解析:选A　∵直线的方向向量为(1,2),∴直线的斜率k=2,又直线过点(1,1),∴直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 2.已知直线过点(2, 1),且横截距a、纵截距b满足a=2b,则该直线的方程为 (　　) A.2x+y-5=0 B.x+2y-4=0 C.x-2y=0或x+2y-4=0 D.x-2y=0或2x+y-5=0 解析:选C　当截距为0时, (易错点:易忽视截距为0的情况而漏解) 设直线的方程为y=kx,因为直线过点(2,1),所以1=2k,即k=,则直线方程为y=x,即x-2y=0;当截距不为0时,设直线方程为+=1,因为直线过点(2,1),所以+=1,则b=2,所以直线方程为+=1,即x+2y-4=0.综上,直线的方程为x-2y=0或x+2y-4=0. 3.已知A(3,2),B(-2,3),C(4,5),则△ABC的边BC上的中线所在直线的方程为　　　　　　　.  解析:法一　根据题意,设BC的中点为D,因为B(-2,3),C(4,5),所以点D的坐标为(1,4).又A(3,2),所以kAD=-1,故△ABC的边BC上的中线所在直线的方程为y-2=-(x-3),即x+y-5=0. 法二　根据题意,设BC的中点为D,因为B(-2,3),C(4,5),所以点D的坐标为(1,4).又A(3,2),所以AD所在直线的方程为=,即x+y-5=0. 答案:x+y-5=0 4.若过点(-3,0)的直线l1的倾斜角是直线l2:x-2y+a=0倾斜角的两倍,则直线l1的方程为　　　　　　　　　　.  解析:设直线l2的倾斜角为α,由题意得α为锐角,设直线l1的倾斜角为2α,因为直线l2的方程为x-2y+a=0,所以k2=tan α=,所以k1=tan 2α==2.因为直线l1过点(-3,0),所以直线l1的方程为y-0=2(x+3),即2x-y+6=0. 答案:2x-y+6=0 |思维建模|　求直线方程的注意点 (1)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件. (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否为零). 题点三　直线方程的综合问题 [典例]　设直线l的方程为(a+1)x+y-5-2a=0(a∈R). (1)求证:不论a为何值,直线l必过一定点P; (2)若直线l分别与x轴正半轴,y轴正半轴交于点A,B,当△AOB面积最小时,求△AOB的周长; (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为整数时,求直线l的方程. 解:(1)证明:由(a+1)x+y-5-2a=0, 得a(x-2)+x+y-5=0, 则解得 所以不论a为何值,直线l必过一定点P(2,3). (2)由(a+1)x+y-5-2a=0,得 当x=0时,yB=5+2a,当y=0时,xA=, 又由得a>-1, 所以S△AOB=·(5+2a)·=≥=12,当且仅当4(a+1)=, 即a=时取等号. 所以A(4,0),B(0,6),△AOB的周长为OA+OB+AB=4+6+=10+2. (3)因为直线l在两坐标轴上的截距均为整数, 即5+2a,=2+均为整数, 所以2a,均为整数, 所以a可取-4,-,-2,-,-,0,,2, 又当a=-时, 直线l在两坐标轴上的截距均为零,也符合题意, 所以直线l的方程为3x-y-3=0,3x-2y=0,x-y+1=0,x-2y+4=0,x+2y-8=0,x+y-5=0,3x+2y-12=0,3x+y-9=0. |思维建模|　与直线方程有关问题的解题策略 (1)直线过定点问题:将参数的“系数”化为0,解关于x,y的方程组可求定点. (2)求参数值或范围:注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解. (3)求解与直线方程有关的最值问题:先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值. [即时训练] 1.直线(a-1)x-(a+1)y+2=0恒过定点 (　　) A.(1,1) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(-1,-1) 解析:选A　将(a-1)x-(a+1)y+2=0变形为(x-y)a-x-y+2=0,令x-y=0且-x-y+2=0,解得x=1,y=1,所以直线恒过定点(1,1). 2.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为 (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 解析:选C　由ax+by=ab,得+=1,故直线在x轴、y轴上的截距分别为b,a.因为直线过点(1,1),所以+=1.又a>0,b>0,所以a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4. 3.已知直线l:kx-y+1+2k=0,若直线l在两坐标轴上的截距相等,则k的值为　　　　;若直线l不经过第三象限,则实数k的取值范围是　　　　.  解析:当k=0时,y=1,不符合直线l在两坐标轴上的截距相等.当k≠0时,令x=0,得y=2k+1,令y=0,得x=-2-,由题意可得-2-=2k+1,解得k=-1或k=-.∵直线l的方程为kx-y+1+2k=0,即y=kx+1+2k,直线l不经过第三象限,∴k≤0且1+2k≥0,解得-≤k≤0,故实数k的取值范围是. 答案:-1或-　 斜率、倾斜角的综合应用 1.(斜率公式与数列)在等差数列{an}中,a5-a2=6,若直线l过点M(m,am),N(n,an)(m≠n,m,n∈N*),则直线l的斜率为 (　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 解析:选C　在等差数列{an}中,a5-a2=6,则公差d==2,所以直线l的斜率为=d=2.故选C. 2.(斜率的几何意义与函数)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,xn,使得==…=,则n的取值集合为 (　　) A.{3,4} B.{2,3,4} C.{3,4,5} D.{2,3} 解析:选B　如图,==…=的几何意义是曲线上存在n个点与坐标原点连线的斜率相等,即n指的是过原点的直线与曲线的交点个数,由图可得n的值可以为2,3,4. 3.(斜率公式与不等式关系)已知函数f(x)=2x,且a<b<c<0,则,,的大小关系为 (　　) A.>> 　B.>> C.>> 　D.>> 解析:选A　函数=,该式表示的几何意义为点(x,2x)和点(1,0)连线的斜率,如图所示,根据图象知,>> . 4.(斜率、倾斜角与导数)动点P在函数f(x)=-(x+1)的图象上,以P为切点的切线的倾斜角取值范围是 (　　) A. B.∪ C. D. 解析:选C　设以P点为切点的切线的倾斜角为θ,因为函数f(x)=--(x≥0),所以f'(x)=--=-≤-×2=-,当且仅当3=,即x=时取等号,又因为θ∈[0,π),所以tan θ≤-,所以θ∈. 5.(倾斜角、斜率与三角恒等变换)在平面直角坐标系中,等边三角形ABC的边AB所在直线的斜率为2,则边AC所在直线斜率的一个可能值为　　　　.  解析:设直线AB的倾斜角为α,由已知得kAB=tan α=2,设直线AC的倾斜角为θ,则kAC=tan θ,因为在等边三角形ABC中,∠BAC=60°,所以θ=α±60°,当θ=α+60°时,tan θ=tan(α+60°)===-,所以kAC=-;当θ=α-60°时,tan θ=tan(α-60°)===,所以kAC=,综上,kAC=-或kAC=. 答案:- 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测]　　　　 (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.若过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-2,1) B.(-1,2) C.(-∞,0) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 解析:选A　由题意知k=<0,所以(a-1)(a+2)<0,即-2<a<1. 2.(2025·武汉模拟)若直线l的一个方向向量为(-1,),则直线的倾斜角为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　因为直线l的一个方向向量为(-1,),则直线l的斜率为-,所以直线l的倾斜角为. 3.已知直线l的斜率为,在y轴上的截距为另一条直线x-2y-4=0的斜率的倒数,则直线l的方程为 (　　) A.y=x+2 B.y=x-2 C.y=x+ D.y=-x+2 解析:选A　∵直线x-2y-4=0的斜率为,∴直线l在y轴上的截距为2.∴直线l的方程为y=x+2. 易错提醒:“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意. 4.已知ab<0,bc<0,则直线ax+by=c不过 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选B　直线方程可化为y=-x+,其斜率->0,直线在y轴的截距<0,据此可知直线不经过第二象限. 5.已知直线l过A(-2,1),并与两坐标轴截得等腰三角形,那么直线l的方程是 (　　) A.x-y-1=0或x+y-3=0 B.x-y-1=0或x-y+3=0 C.x+y+1=0或x-y+3=0 D.x+y+1=0或x+y-3=0 解析:选C　由题意可知,所求直线的倾斜角为45°或135°,即直线的斜率为1或-1,故直线方程为y-1=x+2或y-1=-(x+2),即x-y+3=0或x+y+1=0.故选C. 6.已知点M是直线l:2x-y-4=0与x轴的交点,将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是 (　　) A.x+y-3=0 B.x-3y-2=0 C.3x-y+6=0 D.3x+y-6=0 解析:选D　设直线l的倾斜角为α,则tan α=k1=2,直线l绕点M按逆时针方向旋转45°,所得直线的斜率k2=tan(α+45°)==-3,又点M(2,0),所以直线方程为y=-3(x-2),即3x+y-6=0. 7.设直线l的方程为x-ysin θ+2=0,则直线l的倾斜角α的取值范围是 (　　) A.[0,π] B. C. D.∪ 解析:选C　由题意知,当sin θ=0时,直线l的斜率不存在,其倾斜角α=;当sin θ≠0时,直线l的斜率k=∈(-∞,-1]∪[1,+∞),所以倾斜角α∈∪.综上,α∈. 易错提醒:此处易搞不清倾斜角与斜率的关系而失分.若直线的倾斜角为,则斜率不存在,若斜率存在,则倾斜角应除去. 8.已知点A(0,3),B(3,2),直线l过点P(1,1)且与线段AB有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 (　　) A.[-2,0)∪ B.∪[2,+∞) C. D.(-∞,-2]∪ 快审准解:求出kPA和kPB,数形结合观察满足直线l过点P(1,1)且与线段AB有公共点时斜率的变化情况即可求出结果. 解析:选D　根据题意,作出图形如图,直线PA的斜率为kPA==-2,直线PB的斜率为kPB==,所以由图可知过点P(1,1)且与线段AB有公共点时,直线l的斜率取值范围是(-∞,-2]∪. 谨记结论:当直线绕定点由与x轴平行(或重合)的位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)的位置时,斜率由零逐渐增大到+∞(即斜率不存在);按顺时针方向旋转到与y轴平行(或重合)的位置时,斜率由零逐渐减小至-∞(即斜率不存在). 9.已知A(2,3),B(-1,2),若点P(x,y)在线段AB上,则的最大值为 (　　) A.1 B. C.- D.-3 解析:选C　设Q(3,0),则kAQ==-3,kBQ==-.∵点P(x,y)是线段AB上的任意一点,∴的取值范围是,故的最大值为-,故选C. 10.已知直线l1:y=2x和l2:y=kx+1与x轴围成的三角形是等腰三角形,则k的取值不可能为 (　　) A.-2 B.- C. D. 快审准解:分为围成的等腰三角形底边在x轴上、底边在直线l2上和底边在直线l1上三种情况,分别求解即可. 解析:选D　令直线l1,l2的倾斜角分别为α,θ,则tan α=2,tan θ=k,当围成的等腰三角形底边在x轴上时,θ=π-α,k=tan(π-α)=-tan α=-2;当围成的等腰三角形底边在直线l2上时,θ=或θ=+.因为tan α==2,且tan>0,解得tan=, 所以k=tan θ=tan=,或k=tan θ=tan=-=;当围成的等腰三角形底边在直线l1上时,θ=2α,则k=tan θ=tan 2α===-. 二、多选题 11.在同一平面直角坐标系中,表示直线l1:y=ax+b与l2:y=bx-a的图象可能是 (　　) 解析:选AC　对于A,由l1的图象可知a>0,b<0,l1经过一、三、四象限,则l2需经过二、三、四象限,故A正确;对于B,由l1的图象可知a>0,b>0,l1经过一、二、三象限,则l2需经过一、三、四象限,故B错误;对于C,由l1的图象可知a<0,b>0,l1经过一、二、四象限,则l2需经过一、二、三象限,故C正确;对于D,由l1的图象可知a<0,b<0,l1经过二、三、四象限,则l2需经过一、二、四象限,故D错误. 12.已知A(1,2),B(-3,4),C(-2,0),则下列说法正确的是 (　　) A.直线x-y=0与线段AB有公共点 B.直线AB的倾斜角大于135° C.△ABC的边BC上的中线所在直线的方程为y=2 D.△ABC的边BC上的高所在直线的方程为x-4y+7=0 解析:选BCD　因为kOA=2>1,kOB<0,所以直线x-y=0与线段AB无公共点,故A错误;因为kAB==->-1,所以直线AB的倾斜角大于135°,故B正确;因为线段BC的中点为,所以BC边上的中线所在直线的方程为y=2,故C正确;因为kBC==-4,所以BC上的高所在直线的方程为y-2=(x-1),即x-4y+7=0,故D正确. 13.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R),下列说法正确的是 (　　) A.当a≤-1时,l不经过第二象限 B.直线恒过定点(1,3) C.不论a为何值,直线恒过第四象限 D.直线的倾斜角不可能是90° 解析:选ACD　对于A,将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,欲使l不经过第二象限,当且仅当 或成立,所以a≤-1,故A正确;对于B,点(1,3)代入直线方程不成立,B不正确;对于C,因为直线恒过第四象限内的点(1,-3),所以不论a为何值,直线恒过第四象限,C正确;对于D,直线的斜率始终存在,为-(a+1),所以倾斜角不可能等于90°,D正确. 三、填空题 14.求圆的切点弦方程可利用“同构”思想.如“已知圆O:x2+y2=1,过P(-2,-2)作圆O的两条切线,切点记为A,B,求直线AB方程”,部分解答如下:设A(x1,y1),B(x2,y2),由·=0,化简可得++2x1+2y1=0,又因为+=1,所以2x1+2y1+1=0,同理可得2x2+2y2+1=0,…,则直线AB的方程为　　　　　　　　.  解析:由于2x1+2y1+1=0,2x2+2y2+1=0,故A(x1,y1),B(x2,y2)均满足方程2x+2y+1=0,由两点确定唯一的直线,故直线AB的方程为2x+2y+1=0. 答案:2x+2y+1=0 15.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是　　　　　　　.  解析:易知A(-1,0),∵|PA|=|PB|,∴点P在AB的垂直平分线,即x=2上,∴B(5,0).∵PA,PB关于直线x=2对称,∴kPB=-1.∴lPB:y-0=-(x-5),即x+y-5=0. 答案:x+y-5=0 16.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为　　　　.  解析:根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为+=1,又因为C(-2,-2)在该直线上,故+=1,所以-2(a+b)=ab.又因为ab>0,故a<0,b<0.根据基本不等式ab=-2(a+b)=2(-a-b)≥4,从而≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时取等号,即ab的最小值为16. 答案:16 17.若点P(3,1)既是A(a1,b1),B(a2,b2)的中点,又是直线l1:a1x+b1y-10=0与l2:a2x+b2y-10=0的交点,则线段AB的垂直平分线的方程是　　　　 .  快审准解:将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程,再将P(3,1)代入化简可求出直线AB的斜率,从而可求出线段AB的垂直平分线的方程. 解析:直线l1:a1x+b1y-10=0与直线l2:a2x+b2y-10=0的方程相减可得,(a1-a2)x+(b1-b2)y=0,把点P(3,1)代入可得3(a1-a2)+(b1-b2)=0, 所以kAB==-3,所以线段AB的垂直平分线的方程是y-1=(x-3),即x-3y=0. 答案:x-3y=0 第二节　 两条直线的位置关系 　　 1.能根据斜率公式判定两条直线平行或垂直.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 2.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行线间的距离.明确目标 教材再回首 1.两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 y=k1x+b1, y=k2x+b2 A1x+B1y+C1=0(+≠0),A2x+B2y+C2=0(+≠0) 相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0 垂直 k1k2=-1 A1A2+B1B2=0 平行 k1=k2且b1≠b2 或 重合 k1=k2且b1=b2 A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0 2.直线的交点与方程组解的关系 (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标是方程组的解,解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 3.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|=. 特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=. (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=|·n|=(其中n是与直线l方向向量垂直的单位向量,P1为直线l上任意一点). (3)两条平行线间的距离公式 一般地,两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离d=. 解题结论拓展 　　6种常见对称 (1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y); (2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y); (3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x); (4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y); (5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y); (6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k). 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(北师大选必修①P19T2改编)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 (　　) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 答案:A 2.(人A选必修①P102T1(3))与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为 (　　) A.3x+4y-5=0 B.3x+4y+5=0 C.3x-4y+5=0 D.3x-4y-5=0 解析:选B　设所求对称直线上任意一点的坐标为(x,y),关于x轴的对称点的坐标(x,-y)在已知的直线上,所以所求对称直线方程为3x+4y+5=0. 3.(人A选必修①P67T3改编)已知两点A(7,-4),B(-5,6),则线段AB的垂直平分线的方程为 (　　) A.6x-5y+1=0 B.6x-5y-1=0 C.5x-6y-1=0 D.6x-5y+5=0 解析:选B　易知AB的中点坐标为(1,1),kAB==-,即AB的垂直平分线的斜率为.故所求直线方程为y-1=(x-1),即6x-5y-1=0. 4.(人A选必修①P72T3改编)直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y-1=0,x-4y-6=0的交点,则直线l的方程为 (　　) A.2x+y=0 B.x+2y=0 C.2x-y=0 D.x-2y=0 解析:选B　联立方程解得则所求直线的斜率k=-,直线l的方程为y=-x,即x+2y=0. 二、易错小题的警醒训练 1.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由点到直线的距离公式知d==.故选D.(易错点:在运用点到直线的距离公式时,没有理解直线Ax+By+C=0中,B的取值,B应取-1,而不是取1) 2.已知直线ax+3y+1=0与x+(a-2)y+a=0平行,则a的值为　　　　.  解析:令3×1=a(a-2),解得a=-1或a=3,当a=-1时,两直线重合,故舍去,故a=3.(易错点:已知两直线平行求参数值未验证重合的情况) 答案:3 题点一　两条直线的平行与垂直(自主练通) 1.(2025·重庆模拟)已知直线l1:(m-2)x-3y-1=0与直线l2:mx+(m+2)y+1=0相互平行,则实数m的值是 (　　) A.-4 B.1 C.-1 D.6 解析:选A　∵l1∥l2,∴(m-2)(m+2)=-3m,解得m=-4或m=1,当m=1时,直线l1与直线l2重合,舍去,经检验m=-4符合题意.故选A. 2.(2025·南充一模)“m=1”是“直线l1:x+(m+1)y+1=0与直线l2:(m+1)x-my-1=0垂直”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A　若直线l1:x+(m+1)y+1=0与直线l2:(m+1)x-my-1=0垂直,则1×(m+1)+(m+1)×(-m)=0,解得m=±1,所以“m=1”是“直线l1:x+(m+1)y+1=0与直线l2:(m+1)x-my-1=0垂直”的充分不必要条件. 3.(2025·邯郸期末)[多选]已知直线l1:(a+1)x+ay+2=0,l2:ax+(1-a)y-1=0,则 (　　) A.l1恒过点(2,-2) B.若l1∥l2,则a2= C.若l1⊥l2,则a2=1 D.当0≤a≤1时,l2不经过第三象限 解析:选BD　l1:(a+1)x+ay+2=0⇒a(x+y)+x+2=0,由得x=-2,y=2,则直线l1恒过点(-2,2),故A不正确.若l1∥l2,则有(a+1)·(1-a)=a2,2(1-a)≠-a,解得a2=,故B正确.若l1⊥l2,则有a(a+1)+a(1-a)=0,解得a=0,故C不正确.若直线l2不经过第三象限,则当1-a≠0时,≥0,-≤0,解得0≤a<1;当1-a=0,即a=1时,直线l2:x=1,不经过第三象限,综上可知,当0≤a≤1时,l2不经过第三象限,故D正确.故选BD. 4.(2025·商洛模拟)已知直线l1:-2x+(a-2)y+3=0与直线l2:bx-y-1=0,a>0,b>0,若l1⊥l2,则的最大值为　　　　　.  解析:因为l1⊥l2,所以-2b-(a-2)=0,即2=a+2b≥2⇒ab≤,当且仅当a=1,b=时取等号,所以=≤,即的最大值为. 答案: |思维建模|　判断两条直线位置关系的注意点 (1)考虑斜率不存在、两直线重合的特殊情况. (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论. 题点二　两条直线的交点与距离问题 [例1] (1)(2025·苏州开学考试)已知直线l1:x+y+C=0与直线l2:Ax+By+C=0交于(1,1),则原点到直线l2距离的最大值为 (　　) A.2 B. C. D.1 解析:选B　因为两直线交于(1,1),则1+1+C=0,即C=-2,且A+B+C=0,则A+B=2.由原点到直线l2的距离d===,由A2-2A+2=(A-1)2+1≥1,则d≤,当且仅当A=1时,d取最大值,此时B=1.即两直线重合时,原点到直线l2的距离最大. (2)若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为,则c的值是　　　　.  解析:由题意得=≠,∴a=-4,c≠-2,则6x+ay+c=0可化为3x-2y+=0.由两平行线间的距离公式得=,即=2,解得c=2或c=-6. 答案:2或-6 (3)经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线l的方程为　　　　　　.  解析:法一　由解得即直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点坐标为.因为直线l与直线3x+4y-7=0垂直,所以直线l的斜率k=,由直线的点斜式方程得直线l的方程为y-=,即4x-3y+9=0. 法二　由题意可设直线l的方程为4x-3y+m=0,由解得代入4x-3y+m=0,可得m=9,故直线l的方程为4x-3y+9=0. 法三　由题意可设直线l的方程为(2x+3y+1)+λ(x-3y+4)=0,即(2+λ)x+(3-3λ)y+1+4λ=0　①,因为直线l与直线3x+4y-7=0垂直,所以3(2+λ)+4(3-3λ)=0,解得λ=2,代入①式得直线l的方程为4x-3y+9=0. 答案:4x-3y+9=0 谨记结论:(1)过定点(x1,y1)的直线系方程:y-y1=k(x-x1)和x=x1. (2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C). (3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Bx-Ay+λ=0. (4)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0(+≠0)与A2x+B2y+C2=0(+≠0)的交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0). |思维建模|　距离问题的求解策略 (1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解,注意直线方程应为一般式. (2)两平行线间的距离的求法 ①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离. ②利用两平行线间的距离公式求解. (3)遇到含有平方和、绝对值等形式的代数式时,注意利用距离公式的几何意义求解. [即时训练] 1.已知直线l1:2x-y-4=0,l2:x+y-5=0相交于点P,则P到直线l:x+2y+3=0的距离为 (　　) A.2 B. C. D. 解析:选A　由题意,联立得故P(3,2),则点P到直线l:x+2y+3=0的距离d==2. 2.若点(m,n)在直线l:3x+4y-13=0上,则(m-1)2+n2的最小值为 (　　) A.3 B.4 C.2 D.6 解析:选B　由(m-1)2+n2的几何意义为点(m,n)到点(1,0)距离的平方,得其最小值为点(1,0)到直线l:3x+4y-13=0的距离的平方,即d2==4. 3.已知两条平行直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕点A,B旋转,平行线之间的距离的最大值为　　　　,此时两平行直线方程分别为　　　　　　　　　.  解析:两条平行直线分别过点A(6,2),B(-3,-1),并且各自绕点A,B旋转,当AB与两平行直线垂直时,两平行线之间的距离最大,|AB|==3,这两条平行直线之间的距离有最大值,最大值为3,直线AB的斜率kAB==,故这两条平行直线的斜率为-3,则两平行直线的方程分别为y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),即3x+y-20=0和3x+y+10=0. 答案:3　3x+y-20=0和3x+y+10=0 题点三　对称问题 考法(一)　中心对称问题 [例2]　直线3x-2y=0关于点对称的直线方程为 (　　) A.2x-3y=0 B.3x-2y-2=0 C.x-y=0 D.2x-3y-2=0 解析:选B　法一　设所求直线上任一点为(x,y),则其关于点对称的点为,因为点在直线3x-2y=0上,所以3-2(-y)=0,化简得3x-2y-2=0,所以所求直线方程为3x-2y-2=0. 法二　在直线3x-2y=0上任取两点O(0,0),M(2,3),设点O,M关于点的对称点分别为O',M',则O',M',所以所求直线方程为=,即3x-2y-2=0. 考法(二)　轴对称问题 [例3]　设直线l1:x-2y-2=0与l2关于直线l:2x-y-4=0对称,则直线l2的方程是 (　　) A.11x+2y-22=0 B.11x+2y+22=0 C.5x+y-11=0 D.10x+y-22=0 解析:选A　联立得 取直线l1:x-2y-2=0上一点(0,-1), 设点(0,-1)关于直线l:2x-y-4=0的对称点为(a,b),则 解得a=,b=-,直线l2的斜率k=-, 所以直线l2的方程为y=-(x-2), 整理为11x+2y-22=0.故选A. |思维建模|　对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的一般思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系再求解. (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解决,两点对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组求解. (3)利用轴对称解决最短距离问题是解析几何中的常见问题,其主要借助原理:两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,垂线段最短等. [即时训练] 4.已知点M(3,5),在直线l:x-2y+2=0和y轴上各找一点P和Q,则△MPQ的周长的最小值为 (　　) A.3 B.4 C.3 D.4 解析:选D　设点M(3,5)关于直线l:x-2y+2=0的对称点为M1(x,y), 则有⇒M1(5,1), 点M(3,5)关于y轴的对称点为M2(-3,5),如图所示,当M2,Q,P,M1四点共线时,△MPQ的周长最小,最小值为|M2M1|= =4. 5.已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求: (1)点A关于直线l的对称点A'的坐标; (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l对称的直线m'的方程; (3)直线l关于点A的对称直线l'的方程. 解:(1)设A'(x,y),由已知条件得 解得 所以A'. (2)在直线m上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上. 设对称点为M'(a,b), 则得M'. 设直线m与直线l的交点为N, 由得N(4,3). 又m'经过点N(4,3),所以直线m'的方程为9x-46y+102=0. (3)法一　在直线l:2x-3y+1=0上任取两点,如P(1,1),Q(4,3), 则P,Q关于点A(-1,-2)的对称点P',Q'均在直线l'上,易得P'(-3,-5),Q'(-6,-7), 所以直线l'的方程为2x-3y-9=0. 法二　因为l∥l',所以设l'的方程为2x-3y+C=0(C≠1).因为点A(-1,-2)到两直线l,l'的距离相等,所以由点到直线的距离公式,得=,解得C=-9,所以直线l'的方程为2x-3y-9=0. 数智赋能:电子版随堂训练(对称问题的应用),根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测]　　　　 (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.两条直线l1:x=2和l2:3x+2y-12=0的交点坐标为 (　　) A.(2,3) B.(-2,3) C.(3,-2) D.(-3,2) 解析:选A　联立得所以两条直线的交点坐标为(2,3). 2.过点A(2,1)且与直线l:2x-4y+3=0垂直的直线的方程为 (　　) A.x-2y=0 B.2x+y-5=0 C.2x-y-3=0 D.2x+y-4=0 解析:选B　由题意可知,设所求直线的方程为4x+2y+m=0,将点A(2,1)代入直线方程4x+2y+m=0中,得4×2+2×1+m=0,解得m=-10,所以所求直线的方程为2x+y-5=0. 3.(2025·石家庄质检)若直线l1:x-2y+1=0与直线l2:x+ay-1=0平行,则l1与l2间的距离为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　易知直线l1的斜率为,则直线l2的斜率为-=,即a=-2,故直线l2:x-2y-1=0,所以l1和l2间的距离为=. 4.经过两直线l1:2x-y+3=0与l2:x+2y-1=0的交点,且平行于直线3x+2y+7=0的直线方程为 (　　) A.2x-3y+5=0 B.2x+3y-1=0 C.3x+2y-2=0 D.3x+2y+1=0 解析:选D　法一　由解得所以直线l1与l2的交点为(-1,1),设与直线3x+2y+7=0平行的直线为3x+2y+m=0(m≠7),所以3×(-1)+2×1+m=0,解得m=1,所以所求直线方程为3x+2y+1=0. 法二　设所求直线方程为2x-y+3+λ(x+2y-1)=0, 即(λ+2)x+(2λ-1)y+3-λ=0, 又该直线与3x+2y+7=0平行, 故(λ+2)·2-3·(2λ-1)=0,解得λ=, 故所求直线方程为x+y+3-=0,即3x+2y+1=0. 5.使三条直线4x+y-4=0,mx+y=0,2x-3my-4=0不能围成三角形的实数m的值最多有 (　　) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 解析:选B　要使三条直线不能围成三角形,存在两条直线平行或三条直线交于一点,若4x+y-4=0,mx+y=0平行,则=,解得m=4;若mx+y=0,2x-3my-4=0平行,则=,无解;若4x+y-4=0,2x-3my-4=0平行,则=,解得m=-;若三条直线交于一点,则可得m=或m=-1.经检验,当m∈时,均满足三条直线不能围成三角形,故实数m的值最多有4个. 6.如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程为 (　　) A.3 B.6 C.2 D.2 解析:选C　直线AB的方程为x+y=4,点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),则光线经过的路程为|CD|==2.故选C. 7.(2025·南通调研)若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为 (　　) A. B. C.2 D.2 解析:选A　联立解得x=1,y=2.把(1,2)代入mx+ny+5=0可得m+2n+5=0,所以m=-5-2n.所以点(m,n)到原点的距离d===≥,当且仅当n=-2,m=-1时取等号.所以点(m,n)到原点的距离的最小值为. 8.当点P(-1,0)到直线l:(3λ+1)x+(λ+1)y-(4λ+2)=0的距离最大时,实数λ的值为 (　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 解析:选B　由直线l:(3λ+1)x+(λ+1)y-(4λ+2)=0,整理得λ(3x+y-4)+(x+y-2)=0.由可得故直线l恒过点A(1,1),所以PA与直线l垂直时,距离最大.又kPA==,直线l的斜率k=-,故-·=-1,解得λ=1.故选B. 9.(2025·西安一模)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为A(-4,1).若将军从山脚下的点B(-3,2)处出发,河岸线所在直线方程为x-y+3=0,则“将军饮马”的最短总路程为 (　　) A. B. C. D.2 解析:选C　如图,设点A(-4,1)关于直线x-y+3=0的对称点为A'(m,n),A'B与直线交于P0,且设饮马处为P,由轴对称性质得=-1,-+3=0,解得m=-2,n=-1,故A'(-2,-1),即P与P0重合时,将军饮马的总路程最短,则最短路程为|AP0|+|BP0|=|A'B|==.故选C. 二、多选题 10.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是 (　　) A.y=x+1 B.y=2 C.y=x D.y=2x+1 解析:选BC　由题意知,当点M到直线的距离不超过4时,符合要求.对于A,点M(5,0)到直线y=x+1的距离为=3>4,故不符合;对于B,点M(5,0)到直线y=2的距离为2-0=2<4,故符合;对于C,点M(5,0)到直线y=x的距离为=4,故符合;对于D,点M(5,0)到直线y=2x+1的距离为=>4,故不符合. 11.已知直线l1:(a-1)x+ay-1=0,直线l2:ax+(a-1)y+3=0,则下列命题是真命题的是 (　　) A.若l1∥l2,则a= B.若l1⊥l2,则a=0或a=1 C.若v=(1,2)是直线l1的一个方向向量,则a=2 D.若l2与坐标轴围成一个面积为的三角形,则a=-2或a=3 解析:选ABD　由直线l1:(a-1)x+ay-1=0可得一个方向向量为(a,1-a),直线l2:ax+(a-1)y+3=0的一个方向向量为(a-1,-a).若l1∥l2,则(a-1)2=a2,解得a=,故A正确.若l1⊥l2,则a(a-1)+a(a-1)=0,解得a=0或a=1,故B正确.若v=(1,2)是l1的一个方向向量,则=2,解得a=,故C错误.对于l2,令x=0,得(a-1)y+3=0,令y=0,得ax+3=0,因为l2与两坐标轴围成一个面积为的三角形,所以··=,解得a=-2或a=3,故D正确. 12.已知在以C(2,3)为直角顶点的等腰直角三角形ABC中,顶点A,B都在直线x-y=1上,则下列判断正确的是 (　　) A.斜边AB的中点坐标是(3,2) B.|AB|=2 C.△ABC的面积等于4 D.点C关于直线AB的对称点的坐标是(4,1) 解析:选ABD　如图,取AB的中点为P(x,y),因为△ABC为以C为直角顶点的等腰直角三角形,所以CP⊥AB,即CP垂直于直线x-y=1,则kCP==-1,且x-y=1,解得则AB的中点P的坐标为(3,2),故A正确;|CP|==,|AB|=2|CP|=2,故B正确;S△ABC=|AB||CP|=×2×=2,故C错误;设点C关于直线AB的对称点为点C1,则CC1的中点为点P,即xP==3,所以=4,所以=-1,解得=1,即点C关于直线AB的对称点的坐标是(4,1),故D正确. 13.(2025·济南模拟)已知集合A={(x,y)|x+ay+2a=0},B={(x,y)|ax+ay-1=0},则下列结论正确的是 (　　) A.∀a∈R,A≠∅ B.当a=-1时,A∩B= C.当A∩B=∅时,a=1 D.∃a∈R,使得A=B 解析:选AB　对于A,因为x+ay+2a=0表示过定点(0,-2),且斜率不为0的直线,可知A={(x,y)|x+ay+2a=0}表示直线x+ay+2a=0上所有的点,所以∀a∈R,A≠∅,故A正确;对于B,当a=-1时,则A={(x,y)|x-y-2=0},B={(x,y)|x+y+1=0},联立方程解得所以A∩B=,B正确;对于C,当A∩B=∅时,则有:若B=∅,则a=0;若B≠∅,可知直线x+ay+2a=0与直线ax+ay-1=0平行,且a≠0,可得=≠,解得a=1.综上所述,a=0或a=1,故C错误;对于D,若A=B,由选项C可知a≠0,且==,无解,故D错误. 三、填空题 14.已知点P(0,2),直线l:x+2y-1=0,则过点P且与直线l相交的一条直线的方程为　　　　　　.  解析:直线l:x+2y-1=0的斜率为-,故只需所求直线方程斜率不是-即可,可设过点P且与直线l相交的一条直线的方程为y=x+2. 答案:y=x+2(答案不唯一) 15.已知点P1(2,3),P2(-4,5)和A(-1,2),则过点A且与点P1,P2距离相等的直线方程为　　　　　　　.  解析:当直线与点P1,P2的连线所在的直线平行时,由直线P1P2的斜率k==-,得所求直线的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.当直线过线段P1P2的中点时,因为线段P1P2的中点坐标为(-1,4),所以直线方程为x=-1.综上,所求直线方程为x+3y-5=0或x=-1. 答案:x+3y-5=0或x=-1 16.设△ABC的一个顶点是A(-3,1),∠B,∠C的角平分线方程分别为x=0,y=x,则直线BC的方程为　　　　　　.  解析:∵∠B,∠C的角平分线方程分别为x=0,y=x,∴直线AB与直线BC关于x=0对称,直线AC与直线BC关于y=x对称.A(-3,1)关于x=0的对称点A'(3,1)在直线BC上,A(-3,1)关于y=x的对称点A″(1,-3)也在直线BC上.由两点式,所求直线BC的方程为2x-y-5=0. 答案:2x-y-5=0 17.已知点A(4,-1),B(8,2)和直线l:x-y-1=0,动点P(x,y)在直线l上,则|PA|+|PB|的最小值为　　　　.  解析:设点A1与A关于直线l对称,P0为A1B与直线l的交点,∴|P0A1|=|P0A|,|PA1|=|PA|.在△A1PB中,|PA1|+|PB|>|A1B|=|A1P0|+|P0B|=|P0A|+|P0B|,∴|PA|+|PB|≥|P0A|+|P0B|=|A1B|.当P点运动到P0时,|PA|+|PB|取得最小值|A1B|.设点A关于直线l的对称点为A1(x1,y1),则由对称的充要条件知解得 ∴A1(0,3),∴(|PA|+|PB|)min=|A1B|==. 答案: 第三节 　　　圆的方程 　　 　1.理解确定圆的几何要素,探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 　 2.能根据圆的标准方程与一般方程解决一些简单的数学问题.明确目标 教材再回首 1.圆的定义及方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心:(a,b),半径:r 一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心:,半径:r= 2.点与圆的位置关系 已知点M(x0,y0),圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点在圆上 (x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点在圆外 (x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔点在圆内 3.常见圆的方程的设法 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在 原点 x2+y2=r2 x2+y2-r2=0 过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x2+y2+Dx+Ey=0 圆心在x轴上 (x-a)2+y2=r2 x2+y2+Dx+F=0 圆心在y轴上 x2+(y-b)2=r2 x2+y2+Ey+F=0 与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2 x2+y2+Dx+Ey+D2=0 与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2 x2+y2+Dx+Ey+E2=0 4.(人A选必修①P88T5结论)已知圆的一条直径的端点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A选必修①P85T1改编)圆心坐标为(2,-3)且过原点的圆的方程是 (　　) A.(x-2)2+(y+3)2= B.(x+2)2+(y+3)2= C.(x+2)2+(y-3)2=13 D.(x-2)2+(y+3)2=13 答案:D 2.(人A选必修①P102T7改编)若曲线C:x2+y2+2ax-4ay-10a=0表示圆,则实数a的取值范围为　　　　.  解析:由x2+y2+2ax-4ay-10a=0,得(x+a)2+(y-2a)2=5a2+10a,由该曲线表示圆,可知5a2+10a>0,即a<-2或a>0. 答案:(-∞,-2)∪(0,+∞) 3.(北师大选必修①P44T2)已知圆C:2x2+2y2+4x-2y-1=0,则圆心的坐标为　　　　,半径为　　　　.  答案:　 4.(人A选必修①P85T4改编)已知△AOB的三个顶点分别是点A(4,0),O(0,0),B(0,3),则△AOB的外接圆的标准方程是　　　　　　　　　　　.  解析:显然△AOB为直角三角形,AB为斜边,AB中点为,|AB|==5,于是△AOB的外接圆是以为圆心,以为半径的圆,即(x-2)2+=. 答案:(x-2)2+= 二、易错小题的警醒训练 1.若点(1,2)在圆(x+a)2+(y-a)2=2a2的外部,则实数a的取值范围是　　　　　.  解析:∵点(1,2)在圆的外部,∴(1+a)2+(2-a)2>2a2,即5-2a>0,a<,又2a2>0,∴a≠0,∴实数a的取值范围为(-∞,0)∪.(易错点:本题易忽视隐含条件2a2>0,致误) 答案:(-∞,0)∪ 2.若圆C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为　　　　　　.  解析:∵x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0表示圆,∴[-2(m-1)]2+[2(m-1)]2-4(2m2-6m+4)>0,∴m>1.又圆C过原点,∴2m2-6m+4=0,∴m=2或m=1(舍去),∴m=2.(易错点:遗漏方程表示圆的充要条件而产生增解) 答案:2 题点一　圆的方程 [例1] (1)过△ABC外接圆上异于该三角形顶点的任意一点P作三边的垂线,则三垂足共线,该定理称为西姆松定理,过三垂足的直线称为△ABC关于点P的西姆松线.若△ABC中A(2,0),直线AB与x轴垂直,y轴上的点P为劣弧的中点,△ABC关于点P的西姆松线与直线AC交于点Q,则△ABC外接圆的标准方程为 (　　) A.+(y-2)2= B.+(y-2)2= C.+(y-3)2= D.+(y-3)2= 解析:选D　因为直线AB与x轴垂直,所以设B(2,2b),则P(0,b).如图,由题意知AC⊥PQ,直线AC(即直线AQ)的斜率为=1,所以直线PQ的斜率为=-1,解得b=3,所以△ABC的外接圆经过点A(2,0),B(2,6),P(0,3).设△ABC外接圆的标准方程为(x-m)2+(y-n)2=r2,则解得所以△ABC外接圆的标准方程为+(y-3)2=. (2)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　　.  解析:法一　设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则解得 ∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 法二　设☉M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则M, ∴解得 ∴☉M的方程为x2+y2-2x+2y-3=0,即(x-1)2+(y+1)2=5. 法三　设A(3,0),B(0,1),☉M的半径为r,则kAB==-,AB的中点坐标为,∴AB的垂直平分线方程为y-=3,即3x-y-4=0.联立得解得M(1,-1), ∴r2=|MA|2=(3-1)2+[0-(-1)]2=5, ∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 答案:(x-1)2+(y+1)2=5 |思维建模| 1.求圆的方程的常用方法 (1)直接法:直接求出圆心坐标和半径,写出方程. (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值; ②选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值. 2.确定圆心的方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上; (3)圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上. [即时训练] 1.(2025·海南模拟)下列方程中表示圆心在直线y=x上,半径为,且过原点的圆的是 (　　) A.(x-1)2+(y-1)2= B.(x-1)2+(y+1)2= C.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 解析:选D　因为圆心在y=x上,所以设圆心为(a,a),因为圆的半径为,所以设圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=2,因为该圆过原点,所以(-a)2+(-a)2=2,解得a=±1,所以圆心为(1,1)或(-1,-1),当圆心为(1,1)时,圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2,D正确;当圆心为(-1,-1)时,圆的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=2.故选D. 2.(2024·聊城三模)已知圆C与两坐标轴及直线x+y-2=0都相切,且圆心在第二象限,则圆C的方程为 (　　) A.(x+)2+(y-)2= B.(x-)2+(y+)2=2 C.(x-)2+(y+)2= D.(x+)2+(y-)2=2 解析:选D　由题意设所求的圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(a<0,b>0),则即解得所以圆C的方程为(x+)2+(y-)2=2. 题点二　与圆有关的轨迹问题 [例2]　(2025·枣庄月考)已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求: (1)直角顶点C的轨迹方程; (2)直角边BC的中点M的轨迹方程. 解:(1)法一:直接法　设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0. 因为AC⊥BC,且直线AC,BC的斜率均存在,所以kACkBC=-1. 又kAC=,kBC=,所以·=-1,化简得x2+y2-2x-3=0. 因此直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0). 法二:定义法　设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0). (2)相关点法　设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式,得x=,y=, 所以x0=2x-3,y0=2y. 由(1),知点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0), 将x0=2x-3,y0=2y代入,得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1(y≠0). 所以直角边BC的中点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0). |思维建模|　求与圆有关的轨迹问题的方法 (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据圆、直线等定义列方程. (3)几何法:利用圆的几何性质列方程. (4)相关点代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求解. [即时训练] 3.(2025·邯郸模拟)由动点P向圆M:(x+2)2+(y+3)2=1引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,若四边形APBM为正方形,则动点P的轨迹方程为 (　　) A.(x+2)2+(y+3)2=4 B.(x+2)2+(y+3)2=2 C.(x-2)2+(y-3)2=4 D.(x-2)2+(y-3)2=2 解析:选B　因为四边形APBM为正方形,且|MA|=|MB|=1,所以|MP|=,故动点P的轨迹是以M为圆心,为半径的圆,其方程为(x+2)2+(y+3)2=2.故选B. 4.设定点M(-3,4),点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,则点P的轨迹方程为　　　　　　.  解析:如图,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为. 因为平行四边形的对角线互相平分,所以线段OP与MN的中点为同一点,即=,=,整理得又点N(x0,y0)在圆x2+y2=4上,所以(x+3)2+(y-4)2=4.所以点P的轨迹是以(-3,4)为圆心,2为半径的圆.又直线OM与该圆相交于两点和,不能作出平行四边形,不符合题意,舍去.所以点P的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,除去两点和. (易错提醒:本题易忽视排除不符合题意的点) 答案:(x+3)2+(y-4)2=4,除去两点和 题点三　与圆有关的最值、范围问题 方法(一)　借助几何性质求最值 [例3]　(2025·泉州模拟)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求: (1)的最大值和最小值; (2)y-x的最小值; (3)x2+y2的最大值和最小值. 解:(1)如图,方程x2+y2-4x+1=0表示以点(2,0)为圆心,为半径的圆. 设=k,即y=kx,则圆心(2,0)到直线y=kx的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值. 由=,解得k2=3,∴kmax=,kmin=-.∴=,=-. (2)设y-x=b,则y=x+b,当且仅当直线y=x+b与圆相切于第四象限时,截距b取最小值, 由点到直线的距离公式,得=,即b=-2±,故(y-x)min=-2-. (3)法一　x2+y2是圆上点与原点的距离的平方,设圆与x轴相交于点B和C'(点B在点C'左侧), 则(x2+y2)max=|OC'|2=(2+)2=7+4,(x2+y2)min=|OB|2=(2-)2=7-4. 法二:参数方程法 把圆的方程化为标准方程得(x-2)2+y2=3. 设(θ为参数,θ∈[0,2π)),则x2+y2=(2+cos θ)2+(sin θ)2=7+4cos θ. 当cos θ=-1时,(x2+y2)min=7-4; 当cos θ=1时,(x2+y2)max=7+4. 法三:方程消元法　由圆的标准方程为(x-2)2+y2=3,可得y2=3-(x-2)2,且x∈[2-,2+], 故x2+y2=x2+3-(x-2)2=4x-1,由x∈[2-,2+],得x2+y2=4x-1∈[7-4,7+4],故所求最大值为7+4,最小值为7-4. |思维建模|　与圆有关的最值问题的3种几何转化法 (1)形如m=的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如m=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为两点间距离的平方的最值问题. 拓展与建模 圆的参数方程的应用 (1)圆的方程有标准方程、一般方程、参数方程,一般我们把方程(θ是参数)称为圆(x-x0)2+(y-y0)2=r2的参数方程. (2)由圆的参数方程我们可以把圆心为(x0,y0),半径为r的圆上的点设为(x0+rcos θ,y0+rsin θ)(θ∈[0,2π)),简称设“点参”,特别地,若原点为圆心,常用(rcos θ,rsin θ)来表示半径为r的圆上的任一点. [针对训练] 1.(2023·全国乙卷)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是 (　　) A.1+　　　 B.4　　　 C.1+3　　　 D.7 解析:选C　法一　令x-y=k,则x=k+y,代入原式化简得2y2+(2k-6)y+k2-4k-4=0,因为存在实数y,则Δ≥0,即(2k-6)2-4×2(k2-4k-4)≥0,化简得k2-2k-17≤0,解得1-3≤k≤1+3,故x-y 的最大值是3+1. 法二　由x2+y2-4x-2y-4=0,整理得(x-2)2+(y-1)2=9,令x=3cos θ+2,y=3sin θ+1,其中θ∈[0,2π),则x-y=3cos θ-3sin θ+1=3cos+1,因为θ∈[0,2π),所以θ+∈,则θ+=2π,即θ=时,x-y取得最大值3+1. 法三　由x2+y2-4x-2y-4=0,可得(x-2)2+(y-1)2=9,设x-y=k,则圆心到直线x-y=k的距离d=≤3,解得1-3≤k≤1+3.故x-y的最大值是1+3. 2.(2024·杭州三模)已知A(-2,-2),B(1,3),点P在圆x2+y2=4上运动,则|PA|2+|PB|2的最大值为 (　　) A.16-6 B.26+2 C.26+4 D.32 解析:选C　设P(2cos θ,2sin θ),则|PA|2+|PB|2=(2cos θ+2)2+(2sin θ+2)2+(2cos θ-1)2+(2sin θ-3)2=4cos2θ+8cos θ+4+4sin2θ+8sin θ+4+4cos2θ-4cos θ+1+4sin2θ-12sin θ+9=4cos θ-4sin θ+26=4cos+26, 当cos=1时,|PA|2+|PB|2取得最大值26+4. 3.点P为圆x2+y2=152上一点,点A(5,0),B(0,5),记P到A,B两点的距离分别为l与m.则l2+m2的最大值为　　　　.  快审准解:设出点P(15cos θ,15sin θ),θ∈[0,2π),利用两点的距离公式求出l2+m2,然后求解最值即可. 解析:A(5,0),B(0,5),设P(15cos θ,15sin θ),θ∈[0,2π),则l2+m2=(15cos θ-5)2+(15sin θ)2+(15cos θ)2+(15sin θ-5)2=225×2+100-150(cos θ+sin θ)=550-300sin, 故当θ=时,l2+m2取最大值,最大值为850,此时点P的坐标为. 答案:850 4.已知动圆(x-a)2+(y-b)2=1经过原点,则动圆上的点到直线x-y+2=0距离的最大值是　　　　.  解析:由题可知原点在圆上,所以a2+b2=1,圆心到直线的距离d==,令a=cos θ,b=sin θ,则d==,当cos=1时,dmax==+1,所以动圆上的点到直线x-y+2=0的距离的最大值是+2. 答案:+2 方法(二)　利用对称性求最值 [例4]　折纸既是一种玩具,也是一种艺术品,更是一种思维活动.如图,有一张直径为4的圆形纸片,圆心为O,在圆内任取一点P,折叠纸片,使得圆周上某一点刚好与点P重合,记此时的折痕为l,点Q在l上,则|OQ|+|PQ|的最小值为　　　　.  解析:如图,设P关于l对称的点为P1,则P1在圆O上,连接P1Q,OP1,则有|PQ|=|QP1|,故|QP|+|QO|=|QP1|+|QO|≥|OP1|=2. 答案:2 |思维建模| 　　求解形如|PM|+|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路:①“动化定”,把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离;②“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决. 方法(三)　建立函数关系式求最值 [例5]　设点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则·的最小值为　　　　.  解析:由题意,知=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以·=x2+y2-4,由于点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.由圆的方程为x2+(y-3)2=1,可知2≤y≤4,所以当y=2时,·的值最小,最小值为6×2-12=0. 答案:0 |思维建模|　建立函数关系式求最值的思路 　　建立函数关系式求最值,就是根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等,利用基本不等式求最值是比较常用的. [即时训练] 5.已知P(m,n)是圆C:x2+y2-8x-6y+23=0上的一点,则的最小值是 (　　) A.3-2 B.3 C.3+2 D.2 解析:选D　表示圆上的点P(m,n)到点(1,0)的距离,由x2+y2-8x-6y+23=0可化为(x-4)2+(y-3)2=2,得圆心为(4,3),半径为,所以点(1,0)到圆心的距离为=3,所以点P(m,n)到点(1,0)的距离的最小值为3-=2,即的最小值是2. 6.已知点P(2,0)和圆O:x2+y2=36,直线l交圆O于M,N两点,且∠MPN=90°,则△MPN的面积的最大值是　　　　.  快审准解:利用均值不等式分析,当|PM|=|PN|,此时PM,PN的斜率分别为1和-1,且点N,M在y轴左侧,此时△MPN面积最大,求出最大值. 解析:由题知,因为∠MPN=90°,所以S△MPN=|PM||PN|≤=,当且仅当|PM|=|PN|时等号成立,所以此时PM,PN的斜率分别为1和-1,根据圆的对称性分析,点N,M在y轴左侧,此时△MPN为等腰直角三角形,面积最大,设直线l与x轴的交点为Q,此时|PQ|=|QM|=|QN|=1+,所以(S△PMN)max=2××(1+)2=18+2. 答案:18+2 7.已知M(-1,2),N是曲线C:x2+y2-6x-2y+9=0上的动点,P为直线x+2y+2=0上的一个动点,则|PM|+|PN|的最小值为　　　　.  解析:如图,曲线C:x2+y2-6x-2y+9=0是以C(3,1)为圆心,以1为半径的圆,则根据圆的性质可知,|PN|的最小值为|PC|-1, 设M关于直线x+2y+2=0的对称点为H(m,n),则可得解得即H(-3,-2),连接HC,分别交直线x+2y+2=0与圆C于P,N,则|PM|+|PN|=|PM|+|PC|-1=|PH|+|PC|-1≥|HC|-1,当且仅当P,H,C三点共线时取等号,此时取得最小值3-1,所以|PM|+|PN|的最小值为3-1. 答案:3-1 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测]　　　　 (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.(2025·杭州模拟)圆C:x2+y2-2x+4y=0的圆心C坐标和半径r分别为 (　　) A.C(1,-2),r= B.C(1,-2),r=5 C.C(-1,2),r= D.C(-1,2),r=5 解析:选A　圆C:x2+y2-2x+4y=0,即C:(x-1)2+(y+2)2=5,它的圆心C坐标和半径r分别为C(1,-2),r=.故选A. 2.(2025·大连一模)过点(-1,1)和(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程为 (　　) A.x2+y2=4 B.(x-2)2+y2=8 C.(x-1)2+y2=5 D.(x-2)2+y2=10 解析:选D　令该圆圆心为(a,0),半径为r,则该圆方程为(x-a)2+y2=r2,则有解得故该圆方程为(x-2)2+y2=10.故选D. 3.(2025·昆明模拟)已知PA是圆C:x2+(y-1)2=1的切线,点A为切点,若|PA|=2,则点P的轨迹方程是 (　　) A.(x-1)2+y2=5 B.x2+(y-1)2=5 C.y2=2x D.x2=2y 解析:选B　因为|PA|=2,所以P点到圆心的距离恒为=,所以点P的轨迹是以(0,1)为圆心,为半径的圆,即x2+(y-1)2=5,故选B. 4.已知M为圆(x-1)2+y2=2上一动点,则点M到直线x-y+3=0的距离的最大值为 (　　) A. B.2 C.3 D.4 解析:选C　∵圆(x-1)2+y2=2,∴圆心(1,0),半径r=,∴圆心到直线的距离d==2,∴圆(x-1)2+y2=2上的点到直线x-y+3=0的距离的最大值为2+=3,故选C. 谨记结论:设r为圆C的半径,d为圆心C到直线l的距离. 如图(1),当直线l与圆C相交时,圆C上的点到直线l的最小距离为0,最大距离为|AD|=r+d;如图(2),当直线l与圆C相切时,圆C上的点到直线l的最小距离为0,最大距离为|AD|=2r;如图(3),当直线l与圆C相离时,圆C上的点到直线l的最小距离为|BD|=d-r,最大距离为|AD|=r+d. 5.已知某圆圆心在x轴上,半径为5,且截y轴所得线段长为8,则该圆的标准方程为 (　　) A.(x+3)2+y2=25 B.(x-3)2+y2=25 C.(x±3)2+y2=25 D.(x+9)2+y2=25 解析:选C　如图,由题设知|AC|=r=5,|AB|=8,∴|OA|=4.在Rt△AOC中,|OC|===3.设点C的坐标为(a,0),则|OC|=|a|=3,∴a=±3.故所求圆的标准方程为(x±3)2+y2=25. 6.(2025·广州模拟)已知点A(-1,1),B(1,-1),C(3,3),动点P满足|PA|2+|PB|2+|PC|2=70,则·的最大值为 (　　) A.3 B.4-1 C.30 D.31 解析:选C　设P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PC|2=(x+1)2+(y-1)2+(x-1)2+(y+1)2+(x-3)2+(y-3)2=3(x2+y2-2x-2y)+22=70,整理可得(x-1)2+(y-1)2=18,故点P的轨迹是以M(1,1)为圆心,半径r=3的圆,又因为·=(+)·(-)=-=||2-2,且|PO|≤|OM|+r=+3=4,可得·≤30,所以·的最大值为30. 7.(2025·济南模拟)若直线kx-y-3k+2=0与直线x+ky-2k-1=0交于点P,则P到坐标原点距离的最大值为 (　　) A.2 B.2+1 C.2 D.2+1 解析:选B　因为k·1+(-1)·k=0,所以两直线垂直,又直线kx-y-3k+2=0过定点A(3,2),直线x+ky-2k-1=0过定点B(1,2),所以PA⊥PB,故交点P的轨迹是以AB为直径的圆C(挖去点A(3,2),B(1,2)),如图所示,其中圆心C(2,2),半径为1,所以线段|OP|的最大值为|OC|+1=2+1.故选B. 关键点拨:本题是隐形圆问题,根据题意得到直线分别过定点A(3,2)和B(1,2)且垂直,推断出P的轨迹是以AB为直径的圆C(挖去点A(3,2),B(1,2))是解决本题的关键. 二、多选题 8.设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列命题正确的是 (　　) A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π 解析:选ABD　圆心坐标为(k,k),在直线y=x上,A正确;令(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴2k2-6k+5=0无实数根,B正确;由(2-k)2+(2-k)2=4,化简得k2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,有两个不相等实根,∴经过点(2,2)的圆Ck有两个,C错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,D正确. 9.已知△ABC的三个顶点为A(-1,2),B(2,1),C(3,4),则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是 (　　) A.圆M的圆心坐标为(1,3) B.圆M的半径为 C.圆M关于直线x+y=0对称 D.点(2,3)在圆M内 解析:选ABD　设△ABC的外接圆圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则解得所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2+y2-2x-6y+5=0,即(x-1)2+(y-3)2=5.故圆M的圆心坐标为(1,3),圆M的半径为,因为直线x+y=0不经过圆M的圆心(1,3),所以圆M不关于直线x+y=0对称.因为(2-1)2+(3-3)2=1<5,故点(2,3)在圆M内. 10.已知曲线C:x2+y2-2|x|-2|y|=0,则下列说法正确的是 (　　) A.曲线C围成的图形面积为8+4π B.曲线C的长度为4π C.曲线C上任意一点到原点的最小距离为2 D.曲线C上任意两点间最大距离为4 解析:选ABD　当x≥0,y≥0时,曲线C:(x-1)2+(y-1)2=2;当x≥0,y≤0时,曲线C:(x-1)2+(y+1)2=2;当x≤0,y≥0时,曲线C:(x+1)2+(y-1)2=2;当x≤0,y≤0时,曲线C:(x+1)2+(y+1)2=2;当x=0,y=0时,曲线C为原点.画出曲线C的图形,如图所示.对于A,曲线C围成的面积可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为的半圆,故面积为2×2+2π×()2=8+4π,故A正确;对于B,曲线C由四个半径为的半圆组成,故周长为2×2π×=4π,故B正确;对于C,如图所示,因为原点在曲线C上,所以最小值为0,故C错误;对于D,如图所示,曲线C上任意两点的连线过圆心及原点时,距离最大,最大为4,故D正确. 三、填空题 11.(2025·长沙模拟)曲线C:(x2+y2-1)2-8(x2+y2)+15=0的周长为　　　　　.  解析:由(x2+y2-1)2-8(x2+y2)+15=0,得(x2+y2-1)2-8(x2+y2-1)+7=0,即[(x2+y2-1)-1][(x2+y2-1)-7]=0,解得x2+y2=2或x2+y2=8,因此曲线C表示两个同心圆,且这两个圆的半径分别为,2,所以曲线C的周长为2π×(+2)=6π. 答案:6π 12.(2025·郑州模拟)平面几何中有一个著名的定理:△ABC的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆,该圆称为△ABC的九点圆或欧拉圆,若A(-2,1),B(4,1),△ABC的垂心为G(3,3),则△ABC的九点圆的标准方程为　　　　　　　　　　　　.  解析:由A(-2,1),B(4,1),G(3,3),可得AB中点为M(1,1),AG中点为N,BG中点为P,设△ABC的九点圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入M,N,P三点坐标,可得解得D=-4,E=-,F=,即x2+y2-4x-y+=0,化简可得圆的标准方程为(x-2)2+=. 答案:(x-2)2+= 四、解答题 13.如图,等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为6和2,高为3. (1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程; (2)若线段MN的端点N的坐标为(5,2),端点M在圆E上运动,求线段MN的中点P的轨迹方程. 解:(1)设圆心E(0,b),则C(,3),B(3,0). 由|EB|=|EC|,得=,解得b=1, 所以圆的半径为|EB|==.所以圆E的方程为x2+(y-1)2=10. (2)设P(x,y),由于P是MN的中点, 由中点坐标公式,得M(2x-5,2y-2), 代入x2+(y-1)2=10, 化简得+=,即线段MN的中点P的轨迹方程为+=. 14.已知圆C1经过点A(1,3)和B(2,4),圆心在直线2x-y-1=0上. (1)求圆C1的方程; (2)若M,N分别是圆C1和圆C2:(x+3)2+(y+4)2=9上的点,点P是直线x+y=0上的点,求|PM|+|PN|的最小值,以及此时点P的坐标. 解:(1)由题意知AB的中点坐标为,kAB==1, ∴AB的垂直平分线方程为y-=-,即y=5-x, 联立解得即圆C1的圆心坐标为(2,3),半径r=1,其方程为(x-2)2+(y-3)2=1. (2)注意到点C1(2,3)和点C2(-3,-4)在直线x+y=0的两侧,直线x+y=0与两圆分别相离,如图所示. ∴|PM|+|PN|≥|PC1|-1+|PC2|-3≥|C1C2|-4=-4,当且仅当M,N,P,C1,C2五点共线时等号成立, 即|PM|+|PN|的最小值为-4,此时点P为直线C1C2与x+y=0的交点, 过C1,C2的直线方程为7x-5y+1=0, 联立解得 ∴点P的坐标为. 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 　明确目标 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线与圆的方程解决一些简单的弦长、切线问题. 教材再回首 1.直线与圆的位置关系 设圆O的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示: 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ=0 Δ>0 几何观点 d>r d=r d<r 2.圆与圆的位置关系 设圆O1,O2的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示: 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图形 数量的关系 d>R+r d=R+r R-r<d<R+r d=R-r d<R-r 公切线条数 4 3 2 1 0 解题结论拓展 1.牢记3个相关结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2. 2.设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 (1)若两圆相交,将两圆方程直接作差,得到两圆公共弦所在直线方程.两圆圆心的连线垂直平分公共弦. (2)若两圆相切,将两圆方程直接作差,得到两圆公切线所在的直线方程. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(苏教选必修①P66T2)设a,b为实数,若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)与圆的位置关系是 (　　) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不能确定 答案:B 2.(尝试用“过圆上一点切线方程”的结论解题)圆x2+y2=5在点P(1,2)处的切线方程为 (　　) A.x-2y+3=0 B.2x+y-4=0 C.x+2y-5=0 D.2x-y-4=0 答案:C　 3.(人A选必修①P98T1改编)圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是 (　　) A.外切 B.相交 C.外离 D.内切 解析:选A　圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=2,圆C2可化为(x-4)2+(y-3)2=9,∴圆心C2(4,3),半径r2=3,∴|C1C2|==5=r1+r2,故两圆外切. 4.(人A选必修①P91·例1改编)直线l:3x-y-6=0被圆C:x2+y2-2x-4y=0截得弦AB的长为　　　　　.  解析:将圆的方程化为标准式,可得(x-1)2+(y-2)2=5,利用点到直线的距离可以求得弦心距为=,根据圆中的特殊三角形,可知其弦长为2=. 答案: 二、易错小题的警醒训练 1.若曲线C:x2+(y+1)2=1与直线l:x+y+a=0有公共点,则实数a的取值范围为　　　　　　.  解析:易知圆心(0,-1)到直线l的距离小于或等于半径,故≤1,解得1-≤a≤1+.(易错点:混淆直线与圆有公共点与直线与圆相交:有公共点包含相切与相交的情况) 答案:[1-,1+] 2.若半径为r,圆心为(0,1)的圆O和定圆C:(x-1)2+(y-2)2=1相切,则r的值等于　　　　　　　.  解析:易知定圆的圆心C(1,2),半径为1,则|OC|=|r-1|=或|OC|=|r+1|=,解得r=-1或r=+1.(易错点:忽视两圆相切有两种情形(外切或内切)而漏解) 答案:-1或+1 题点一　直线与圆的位置关系(自主练通) 1.若M(x0,y0)为圆x2+y2=1内异于圆心的一点,则直线x0x+y0y=1与该圆的位置关系为 (　　) A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交 解析:选C　由题意知M(x0,y0)为圆x2+y2=1内异于圆心的一点,则0<+<1,而圆x2+y2=1的圆心到直线x0x+y0y=1的距离d=>1=r,故直线x0x+y0y=1与该圆的位置关系为相离. 2.直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是 (　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 解析:选A　法一:代数法　由 消去y,整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,因为Δ=16m2+20>0,所以直线l与圆相交. 法二:几何法　由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离为d=<1<=r,所以直线l与圆相交. 法三:定点法　直线l:mx-y+1-m=0,整理得m(x-1)-y+1=0过(1,1),而12+(1-1)2<5,即(1,1)在圆内,所以直线l与圆相交. 3.[多选]已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是 (　　) A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切 解析:选ABD　∵点A在圆C上,∴a2+b2=r2,圆心C(0,0)到直线l的距离d==|r|,∴直线l与圆C相切,故A正确.∵点A在圆C内,∴a2+b2<r2,圆心C(0,0)到直线l的距离d=>|r|,∴直线l与圆C相离,故B正确.∵点A在圆C外,∴a2+b2>r2,圆心C(0,0)到直线l的距离d=<|r|,∴直线l与圆C相交,故C错误.∵点A在直线l上,∴a2+b2=r2,圆心C(0,0)到直线l的距离d==|r|,∴直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD. |思维建模|　判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法:利用d与r的关系. (2)代数法:联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交. 题点二　圆的切线与弦长问题 考法(一)　弦长问题 [例1] (1)(2024·全国甲卷)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.2 解析:选C　因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,c=2b-a,代入直线方程ax+by+c=0得ax+by+2b-a=0,即a(x-1)+b(y+2)=0,令得故直线恒过(1,-2),设P(1,-2),圆化为标准方程得C:x2+(y+2)2=5,设圆心为C,画出直线与圆的图形,由图可知,当PC⊥AB时,|AB|最小,|PC|=1,|AC|=|r|=,此时|AB|=2|AP|=2=2=4.故选C. (2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　　　　　　.  解析:设直线x-my+1=0为直线l,由条件知☉C的圆心C(1,0),半径r=2,C到直线l的距离d=,|AB|=2=2=.由S△ABC=,得××=,整理得2m2-5|m|+2=0,解得m=±2或m=±. 答案:2 |思维建模|　直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法:若弦心距d、半径r,则弦长|AB|=2. (2)代数法:设直线l:y=kx+b,与圆的两交点(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长l=|x1-x2| = =·(a为二次项系数). 考法(二)　切线问题 [例2] (1)(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α= (　　) A.1 B. C. D. 解析:选B　如图,x2+y2-4x-1=0,即(x-2)2+y2=5,所以圆心坐标为(2,0),半径r=,所以圆心到点(0,-2)的距离为=2,因为圆心与点(0,-2)的连线平分角α,所以sin===,所以cos=,所以sin α=2sin·cos=2××=.故选B. 习得方略:解决此类问题的关键:①作草图,作出符合题意的圆与切线;②会用性质,即会利用圆外一点与圆心的连线平分过圆外的该点的圆的两切线的夹角;③活用公式,即会利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式求解. (2)过点(-4,3)的圆(x+3)2+(y-1)2=1的切线方程为　　　　　　　.  解析:当切线的斜率不存在时,切线的方程为x=-4,圆心(-3,1)到该直线的距离等于半径1,符合题意.当切线的斜率存在时,设过点(-4,3)的切线方程为y-3=k(x+4),即kx-y+4k+3=0,∵圆心到直线kx-y+4k+3=0的距离等于半径,∴=1,解得k=-,∴切线方程为3x+4y=0.综上所述,切线方程为x=-4或3x+4y=0. 答案:x=-4或3x+4y=0 易错防范:若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线必有两条,无论是用几何法还是代数法求得k值是一个时,另一条切线斜率一定不存在. |思维建模|　求切线问题的策略 　　求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,再求切线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时注意斜率不存在的切线. 考法(三)　最值、范围问题 [例3]　(1)(2025·重庆模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-1)2+y2=4,P为直线l:x+y+3=0上的一个动点,过点P作圆C的切线PM,切点为点M,当|PM|最小时,·=　　　　.  解析:由于PM是圆C的切线,所以PM⊥CM,所以|PM|==,当PC⊥l时,|PC|最小,此时|PM|最小.C(1,0)到直线l:x+y+3=0的距离为=2,即PC⊥l时,|PC|=2,|PM|min==2,所以此时△PCM是等腰直角三角形,所以当|PM|最小时,·的值为2×2×cos=4. 答案:4 (2)已知圆C:(x-2)2+y2=4,点A是直线x-y+2=0上的一个动点,直线AP,AQ分别切圆C于P,Q两点,则线段PQ的长的取值范围为　　　　.  解析:由圆的方程知圆心C(2,0),半径r=2.连接AC,PC,QC(图略).设|AC|=x,则x≥=2.∵AP,AQ为圆C的切线,∴CP⊥AP,CQ⊥AQ,∴|AP|=|AQ|==. ∵AC是PQ的垂直平分线,∴|PQ|=2×==4.∵x≥2,∴≤1-<1,∴2≤|PQ|<4,即线段PQ的长的取值范围为[2,4). 答案:[2,4) |思维建模|　与最值、范围问题有关的解题策略 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题,解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式,再利用求函数取值范围(或最值)的方法求得结果. [即时训练] 1.以点(1,1)为圆心的圆C截直线y=x+2所得的弦长为2,则圆C的半径为 (　　) A.1 B. C.2 D. 解析:选D　由题意可知,圆心(1,1)到直线x-y+2=0的距离d==,所以圆C的半径为r==.故选D. 2.(2025·荆州模拟)已知圆O:x2+y2=10,直线l:ax+by=2a-b(a,b∈R)与圆O的交点分别为M,N,当直线l被圆O截得的弦长最小时,|MN|=　　　　.  解析:直线l:ax+by=2a-b(a,b∈R),即a(x-2)+b(y+1)=0,所以直线过定点A(2,-1),|OA|==,圆O半径r=,点A在圆O内,所以当直线与OA垂直的时候,|MN|最短,此时|MN|=2=2. 答案:2 3.已知圆M:x2+y2+4x-6y+12=0,P为x轴上的动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B,则四边形PAMB面积的最小值为　　　　.  快审准解:把四边形PAMB面积转化为△PAM和△PBM的面积的和,而△PAM和△PBM均为直角三角形且面积相等,进而面积的最小值转化为求|PM|的最小值,由此求得答案. 解析:圆M的方程可化为(x+2)2+(y-3)2=1, 所以x轴与圆M相离.又S四边形PAMB=S△PAM+S△PBM,且△PAM和△PBM均为直角三角形,S△PBM=S△PAM=|PA|·r,r为圆M的半径,且|PM|2=|PA|2+r2,所以面积的最小值转化为求|PM|的最小值,当PM垂直于x轴时,四边形PAMB面积取得最小值,此时|PA|=2,所以四边形PAMB面积的最小值为2××2×1=2. 答案:2 题点三　圆与圆的位置关系 [例4]　(多选)已知圆C1:x2+y2=9与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=16,下列说法正确的是 (　　) A.C1与C2的公切线恰有4条 B.C1与C2相交弦的方程为3x+4y-9=0 C.C1与C2相交弦的弦长为 D.若P,Q分别是圆C1,C2上的动点,则|PQ|max=12 解析:选BD　由已知得圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=3,圆C2的圆心C2(3,4),半径r2=4,|C1C2|==5,r2-r1<|C1C2|<r1+r2,故两圆相交,所以C1与C2的公切线恰有2条,故A错误;作差可得C1与C2相交弦的方程为3x+4y-9=0,故B正确;C1到相交弦的距离为,故相交弦的弦长为2=,故C错误;若P,Q分别是圆C1,C2上的动点,则|PQ|max=|C1C2|+r1+r2=12,故D正确.故选BD. |思维建模|　圆与圆位置关系的解题策略 (1)处理与两圆的位置关系相关的问题时,多用圆心距与两圆半径的和或差的大小关系判断,一般不采用代数法.重视两圆内切的情况,作图观察. (2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到. (3)求两圆公共弦长时,常选其中一圆,由弦心距d,半弦长,半径r构成直角三角形,利用勾股定理求解. [即时训练] 4.(2025·齐齐哈尔模拟)[多选]已知圆C1:(x-3)2+y2=1,C2:x2+(y-a)2=16,则下列结论正确的有 (　　) A.若圆C1和圆C2外离,则a>4 B.若圆C1和圆C2外切,则a=±4 C.当a=0时,圆C1和圆C2有且仅有一条公切线 D.当a=-2时,圆C1和圆C2相交 解析:选BCD　C1(3,0),C2(0,a),|C1C2|=,r1=1,r2=4.若C1和C2外离,则|C1C2|=>r1+r2=5,解得a>4或a<-4,故A错误;若C1和C2外切,则|C1C2|==5,解得a=±4,故B正确;当a=0时,|C1C2|=3=r2-r1,C1和C2内切,故C正确;当a=-2时,3<|C1C2|=<5,C1和C2相交,故D正确.故选BCD. 5.在平面直角坐标系xOy中,点A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上,若·≤20,则点P的横坐标的取值范围是　　　　.  解析:设点P(x,y),若·≤20,即(x+12)x+y(y-6)≤20,则(x+6)2+(y-3)2≤65,则点P的轨迹为圆O在以(-6,3)为圆心,为半径的圆内部及其圆上的点的集合,联立得或 结合图形(图略)可知-5≤x≤1. 答案:[-5,1] 6.(2022·新课标Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程　　　　　　　.  解析:法一　如图,因为圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r1=1,圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为A(3,4),半径r2=4,所以|OA|=5,r1+r2=5,所以|OA|=r1+r2,所以两圆外切,公切线有三种情况:①易知公切线l1的方程为x=-1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称.易知过两圆圆心的直线l的方程为y=x,由得由对称性可知公切线l2过点,设公切线l2的方程为y+=k(x+1),则点O(0,0)到l2的距离为1,所以1=,解得k=,所以公切线l2的方程为y+=(x+1),即7x-24y-25=0.③还有一条公切线l3与直线l:y=x垂直,设公切线l3的方程为y=-x+t,易知t>0,则点O(0,0)到l3的距离为1,所以1=,解得t=或t=-(舍去),所以公切线l3的方程为y=-x+,即3x+4y-5=0.综上,所求直线方程为x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0. 法二　根据题意,精确作出两圆(需用到尺规),由图形可直观快速看出直线x=-1是两圆的一条公切线,经验证符合题意,故可填x=-1. 答案:x=-1(或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0) 数智赋能:电子版随堂训练(与圆有关的创新应用问题) [课时跟踪检测]　　　　 (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.(2025·哈尔滨模拟)已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:x2+y2-4x-4y+4=0,两圆的公共弦所在直线方程是 (　　) A.x+y+2=0 B.x+y-2=0 C.x+y+1=0 D.x+y-1=0 解析:选B　由圆C1:x2+y2=4,圆C2:x2+y2-4x-4y+4=0,两式作差得,4x+4y-4=4,即x+y-2=0,所以两圆的公共弦所在直线方程是x+y-2=0. 2.(2025·成都开学考试)在同一平面直角坐标系中,直线mx-y+1=0(m∈R)与圆x2+y2=2的位置不可能为 (　　) 解析:选C　圆x2+y2=2的圆心坐标为(0,0),半径为,直线mx-y+1=0(m∈R)过圆内定点(0,1),斜率可正可负可为0,A、B、D选项都有可能,C选项不可能.故选C. 3.(2025·长沙模拟)已知过点A(1,0)的直线l与圆C:(x+2)2+y2=4相交于M,N两点,若|MN|=2,则l的斜率为 (　　) A.± B.± C.± D.± 解析:选A　圆C:(x+2)2+y2=4的圆心C(-2,0),半径r=2,易知直线斜率存在,设l的方程为y=k(x-1),则圆心C(-2,0)到l的距离d=,则|MN|=2=2=2,解得k=±,所以l的斜率为±.故选A. 4.(2025·武汉模拟)已知点P是直线x-y-m=0上的动点,由点P向圆O:x2+y2=1引切线,切点分别为M,N且∠MPN=90°,若满足以上条件的点P有且只有一个,则m= (　　) A. B.± C.2 D.±2 解析:选D　连接OM,ON,则PM⊥OM,PN⊥ON.又∠MPN=90°,OM=ON,所以四边形MPNO为正方形,所以|PO|=|ON|=,于是点P在以点O为圆心,为半径的圆C上.又由满足条件的点P有且只有一个,则圆C与直线x-y-m=0相切,所以点O到直线x-y-m=0的距离d=,即=,解得m=±2. 5.(2025·安徽一模)已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且有|+|≥||,则实数k的取值范围是 (　　) A.(,) B.[,) C.[,2) D.[,2) 解析:选C　设AB中点为C,则OC⊥AB,∵|+|≥||,∴|2|≥||,∴||≤||,∵||2+||2=4,∴||2≥4,即||2≥3,又∵直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,∴||2<4,故3≤||2<4,则3≤<4,∵k>0,∴≤k<2.故选C. 6.(2025·衡阳开学考试)已知圆C1:(x-2)2+(y-2)2=14与圆C2:(x+1)2+(y+2)2=14,过动点M(m,n)分别作圆C1、圆C2的切线MA,MB(A,B分别为切点),若|MA|=|MB|,则M到圆(x+12)2+(y+5)2=4距离的最小值是 (　　) A. B. C.-2 D.-2 快审准解:由圆的性质结合已知条件|MA|=|MB|得动点M(m,n)的轨迹为一条直线,进而求出圆(x+12)2+(y+5)2=4的圆心到直线距离即可求解所求距离的最小值. 解析:选A　由题意知C1(2,2),r1=,C2(-1,-2),r2=,因为|MA|=|MB|,则|MC1|2-=|MC2|2-,即(m-2)2+(n-2)2-14=(m+1)2+(n+2)2-14,化简得6m+8n-3=0,即动点M(m,n)在直线6x+8y-3=0上,圆(x+12)2+(y+5)2=4的圆心为Q(-12,-5),半径为R=2,所以圆心Q(-12,-5)到直线6x+8y-3=0的距离为=,所以M到圆(x+12)2+(y+5)2=4距离的最小值是-2=.故选A. 二、多选题 7.(2025·郴州期末)已知圆C:x2+y2-4x-2y-13=0,则下列命题正确的是 (　　) A.圆心坐标为(2,1) B.直线l:x+y-1=0与圆C相交所得的弦长为8 C.圆C与圆O:x2+y2=8有三条公切线 D.圆C上恰有三个点到直线y=x+b的距离为,则b=3或b=-5 解析:选ABD　由圆C:x2+y2-4x-2y-13=0,可化为(x-2)2+(y-1)2=18,可得圆心C(2,1),半径为r=3,所以A正确;由圆心C(2,1)到直线l:x+y-1=0的距离为d==,则相交弦长为2=2=8,所以B正确;由圆O:x2+y2=8,可得圆心O(0,0),半径r1=2,可得|OC|=,且r-r1=,r+r1=5,则r-r1<|OC|<r+r1,所以圆O与圆C相交,可得两圆有两条公切线,所以C错误;由圆C上恰有三个点到直线y=x+b的距离为,则满足圆心C(2,1)到直线x-y+b=0的距离为2,即=2,解得b=3或b=-5,所以D正确.故选ABD. 8.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,0),B(0,3),C(a,3)(a≠0),D(-1,0),△ABD,△BCD的外接圆分别为圆M、圆N,则下列结论正确的是 (　　) A.直线BD的方程为2x-y+3=0 B.点C恒在圆M外 C.若圆M与圆N的半径相等,则a=-2 D.若a=1,则圆N的圆心的横坐标为0 解析:选BC　直线BD的方程为y=x+3,即3x-y+3=0,A错误;等腰△ABD的外接圆M的圆心在y轴上,则直线y=3与圆M相切于点B,而点C在直线y=3上,且又a≠0,因此点C恒在圆M外,B正确;设圆M的圆心为(0,y0),则=|3-y0|,解得y0=,圆M的半径为,线段BD的中垂线方程为y-=-,线段BC的中垂线方程为x=,于是得圆N的圆心为,而圆N的半径为,则+=,整理得a2+2a=0,而a≠0,因此a=-2,C正确;由a=1,得C(1,3),则圆N的圆心在线段BC的垂直平分线x=上,D错误. 9.(2025·大理模拟)设m∈R,过定点A的动直线l1:x+my=0和过定点B的动直线l2:mx-y-m+3=0交于点P,圆C:(x-2)2+(y-4)2=3,则下列说法正确的有 (　　) A.直线l2过定点(1,-3) B.直线l2与圆C相交最短弦长为2 C.动点P的曲线与圆C相交 D.|PA||PB|的最大值为5 解析:选BCD　由题意可知,圆C:(x-2)2+(y-4)2=3的圆心为C(2,4),半径r=,因为动直线l1:x+my=0过原点(0,0),所以A(0,0),由mx-y-m+3=0,得m(x-1)=y-3,则B(1,3),故A错误;因为|BC|==<,可知点B(1,3)在圆C内部,当BC⊥l2时,圆心C(2,4)到直线l2:mx-y-m+3=0距离的最大值为|BC|=,所以直线l2与圆C相交最短弦长为2=2,故B正确;因为l1:x+my=0,l2:mx-y-m+3=0,且1·m+m·(-1)=0,则l1⊥l2,可知动点P的曲线是以AB为直径的圆,且该圆的圆心坐标为,半径为|AB|=,因为两圆圆心距为=,可得两圆半径之和为+,两圆半径之差为-,因为-<<+,所以动点P的曲线与圆C相交,故C正确;因为|PA||PB|≤===5,当且仅当|PA|=|PB|=时,等号成立,所以|PA||PB|的最大值为5,故D正确.故选BCD. 三、填空题 10.(2025·安康模拟)设点P是直线l1:x+y-2=0与直线l2:x-y=0的交点,过点P作圆C:x2+y2-4x+3=0的切线,请写出其中一条切线的方程:　　　　　.(只需写一条即可)  解析:如图,由题意知,圆C:(x-2)2+y2=1,联立解得即点P(1,1),过点P作圆C的切线,其切线方程为x=1或y=1. 答案:x=1(或y=1) 11.(2025·北京开学考试)已知直线x-y+m=0与圆C:x2+y2+4x-2y=0相交,能说明“直线x-y+m=0截圆C:x2+y2+4x-2y=0所得弦长不小于2”是假命题的一个m的值为　　　.  快审准解:根据题意,利用直线与圆的位置关系和圆的弦长公式,列出不等式,求得实数m的取值范围,进而得到答案. 解析:由圆C:x2+y2+4x-2y=0,可得圆心C(-2,1),半径为r=,因为直线x-y+m=0与圆C相交,可得d=<,解得3-<m<3+,又由“直线x-y+m=0截圆C:x2+y2+4x-2y=0所得弦长不小于2”是假命题,可得“直线x-y+m=0截圆C:x2+y2+4x-2y=0所得弦长小于2”是真命题,则满足2<2,即<,解得d>,可得d=>,解得m<1或m>5,综上可得,3-<m<1或5<m<3+,即实数m的取值范围为(3-,1)∪(5,3+),所以一个实数m的值可以为0. 答案:0(答案不唯一) 12.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0.若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,3为半径的圆与圆C有公共点,则k的最小值为　　　　.  解析:圆C:(x-4)2+y2=1的圆心C(4,0),半径r=1,以直线y=kx-2上的点P(x0,kx0-2)为圆心,3为半径的圆与圆C有公共点,则|PC|≤4,于是≤4,整理得(k2+1)-4(k+2)x0+4≤0,依题意, 不等式(k2+1)-4(k+2)x0+4≤0有解,则Δ=16(k+2)2-16(k2+1)≥0,解得k≥-,所以k的最小值为-. 答案:- 四、解答题 13.已知圆C的方程为x2+y2=1. (1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程; (2)直线m过点P(1,2),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求直线m的方程. 解:(1)根据题意,得点P在圆C外,分两种情况讨论: 当直线l的斜率不存在时,过点P(1,2)的直线方程是x=1,与圆C:x2+y2=1相切,满足题意; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0. 因为直线l与圆C相切,所以圆心(0,0)到直线l的距离为=1,解得k=, 此时,直线l的方程为3x-4y+5=0. 所以满足条件的直线l的方程是x=1或3x-4y+5=0. (2)根据题意,若|AB|=,则圆心到直线m的距离d==, 结合(1)知直线m的斜率一定存在. 设直线m的方程为y-2=n(x-1),即nx-y-n+2=0,则d==,解得n=1或n=7. 所以满足条件的直线m的方程是x-y+1=0或7x-y-5=0. 14.(2025·南京模拟)如图,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴的正半轴交于M,N两点(点M在点N的左侧),且|MN|=3. (1)求圆C的方程; (2)过点M任作一条直线与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,连接AN,BN,求证:kAN+kBN为定值. 解:(1)因为圆C与y轴相切于点T(0,2),可设圆心的坐标为(m,2)(m>0),则圆C的半径为m, 又|MN|=3,所以m2=4+=,解得m=.所以圆C的方程为+(y-2)2=. (2)证明:由(1)知,M(1,0),N(4,0), 当直线AB的斜率为0时,易知kAN= kBN=0,即kAN+kBN=0①;  当直线AB的斜率不为0或该直线的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=ty+1.② 设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立可得(t2+1)y2+2ty-3=0,Δ=4t2+12(t2+1)>0,由根与系数的关系可得y1+y2=-,y1y2=-,所以kAN+kBN=+=+===0.综上,可得kAN+kBN=0. 易错提醒:①处易忽略,务必要对直线AB与x轴是否重合进行分类讨论. ②处,设直线方程时,经常需要在“k参”与“m参”中选择,本题已知点M在x轴上,故设m参比较方便. 第五节 椭　圆 　　　 明确目标 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程,能利用椭圆的定义解决一些简单问题. 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率),会求椭圆的离心率及标准方程. 教材再回首 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. (1)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数>|F1F2|时,动点M的轨迹为椭圆; (2)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数=|F1F2|时,动点M的轨迹为以F1,F2为两端点的线段; (3)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数<|F1F2|时,动点M的轨迹不存在. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 范围 x∈[-a,a], y∈[-b,b] x∈[-b,b], y∈[-a,a] 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0) 焦距 |F1F2|=2c 离心率 e=,且e∈(0,1) a,b,c的关系 c2=a2-b2 解题结论拓展 (1)(人A选必修①P113例6结论)椭圆的第二定义: 动点M(x,y)与定点F(c,0)(c>0)的距离和M到定直线l:x=(a>c)的距离的比是常数,则动点M的轨迹是椭圆. (2)设P为椭圆上任意一点,F1为椭圆的一个焦点,则①b≤|OP|≤a;②a-c≤|PF1|≤a+c. (3)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦,长为,过焦点最长的弦为长轴. (4)过原点最长弦为长轴长2a,最短弦为短轴长2b. (5)与椭圆+=1(a>b>0)有共同焦点的椭圆方程为+=1(λ>-b2). (6)焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1,F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形.∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆+=1(a>b>0)中: ①当|PF1|=|PF2|时,即点P为短轴端点时,θ最大; ②S=|PF1||PF2|sin θ=c|y0|=b2tan,当|y0|=b,即点P为短轴端点时,S取得最大值,最大值为bc; ③△PF1F2的周长为2(a+c); ④|PF1||PF2|≤=a2; ⑤4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A选必修①P112例4改编)若椭圆+=1上点P到上焦点的距离为4,则点P到下焦点的距离为 (　　) A.6 B.3 C.4 D.2 答案:A 2.(北师大选必修①P55·T2改编)椭圆+=1的离心率是 (　　) A. B. C. D. 答案:B 3.(人A选必修①P115T6改编)如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是 (　　) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 解析:选A　连接QA(图略).由已知得|QA|=|QP|,所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.又因为点A在圆内,所以|OA|<|OP|,根据椭圆的定义知,点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆. 4.(人B选必修①P141T4改编)已知椭圆的一个焦点为F(6,0),且B1,B2是短轴的两个端点,△FB1B2是等边三角形,则这个椭圆的标准方程是　　　　　.  答案:+=1 二、易错小题的警醒训练 1.设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P(x,y)满足条件|PF1|+|PF2|=a(a>0),则动点P的轨迹是 (　　) A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段或不存在 解析:选D　由题中坐标得|F1F2|=6,又|PF1|+|PF2|=a(a>0),则当a=6时,点P的轨迹为线段F1F2;当a>6时,点P的轨迹为椭圆;当0<a<6时,点P的轨迹不存在.(易错点:忽视椭圆的定义中2a>|F1F2|这一条件,而错选A) 2.若椭圆的方程为+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a=　　　　.  解析:①当焦点在x轴上时,10-a-(a-2)=22,解得a=4;②当焦点在y轴上时,a-2-(10-a)=22,解得a=8.(易错点:忽视对焦点位置的讨论) 答案:4或8 题点一　椭圆的定义及其应用 [例1] (1)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A是圆上任意一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是 (　　) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:选B　点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|.又AM是圆的半径,所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|.由椭圆的定义知,动点P的轨迹是椭圆. (2)(2023·全国甲卷)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若·=0,则|PF1|·|PF2|= (　　) A.1 　　 B.2 C.4 　　 D.5 解析:选B　法一　因为·=0,所以PF1⊥PF2,则=|PF1|·|PF2|=b2tan, (应用二级结论解题)得|PF1|·|PF2|=1×tan 45°,所以|PF1|·|PF2|=2,故选B. 法二　因为·=0,所以PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=16.因为|PF1|+|PF2|=2a=2,所以(|PF1|+|PF2|)2=20,即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=20,所以|PF1|·|PF2|=2,故选B. |思维建模|　椭圆定义的应用技巧 求方程 通过对题设条件分析、转化后,能够明确动点满足椭圆的定义,便可直接求解其轨迹方程 焦点三 角形问题 解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理,其中|PF1|+|PF2|=2a两边平方是常用技巧 求最值 抓住|PF1|与|PF2|之和为定值,可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值;利用定义|PF1|+|PF2|=2a转化或变形,借助三角形性质求最值 [即时训练] 1.(2025·郑州模拟)若F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,A,B为C上两动点,且A,B,F1三点共线,则△ABF2的周长为 (　　) A.4 B.8 C.10 D.20 解析:选D　由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=(|AF2|+|AF1|) +(|BF2|+|BF1|)=2a+2a=4a=20. 2.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在椭圆上,若|MF1|=4,则∠F1MF2= (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:选C　由题意及椭圆方程+=1,可得a=3,b=,c==,所以焦点F1(-,0),F2(,0),又由椭圆的定义,可得|MF1|+|MF2|=2a=6,因为|MF1|=4,所以|MF2|=2,在△F1MF2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|MF1|2 +|MF2|2-2|MF1|·|MF2|cos∠F1MF2,所以(2)2=42+22-2×4×2cos∠F1MF2,解得cos∠F1MF2=-,又由0°<∠F1MF2<180°,所以∠F1MF2=120°. 3.在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆+=1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大值为　　　　.  快审准解:应用定义|PF2|+|PF1|=2a,转化为|PF2|=2a-|PF1|,动点到两定点距离之和有最小值(P在两定点之间),到两定点距离之差有最小值和最大值(P在两点延长线上). 解析:∵椭圆的方程为+=1,∴a2=4,b2=3,c2=1,∴B(0,-1)是椭圆的一个焦点,设另一个焦点为C(0,1),如图所示,根据椭圆的定义知,|PB|+|PC|=4,∴|PB|=4-|PC|,∴|PA|+|PB|=4+|PA|-|PC|≤4+|AC|=5,当且仅当P在AC的延长线上时,等号成立.∴|PA|+|PB|的最大值为5. 答案:5 题点二　椭圆的方程 [例2] (1)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程是 (　　) A.-=1 　 B.+=1 C.-=1 　 D.+=1 解析:选D　设动圆的圆心M(x,y),半径为r.因为圆M与圆C1:(x-4)2+y2=169内切,与圆C2:(x+4)2+y2=9外切,所以|MC1|=13-r,|MC2|=3+r.|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8,由椭圆的定义,点M的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为16的椭圆,则a=8,c=4,所以b2=82-42=48,所以动圆的圆心M的轨迹方程是+=1. (2)(2025·武汉模拟)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=3,则椭圆C的标准方程为　　　　　　　.  解析:由对称性知|AF2|=|AB|=,又|F1F2|=2,则|AF1|===,所以2a=|AF1|+|AF2|=4,a=2,又c=1,则b==,所以椭圆C的标准方程为+=1. 答案:+=1 |思维建模|　根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件. (2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可. [即时训练] 4.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·=-1,则C的方程为 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+y2=1 解析:选B　依题意得A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),所以=(-a,-b),=(a,-b),·=-a2+b2=-(a2-b2)=-c2=-1,故c=1,又C的离心率e===,所以a=3,a2=9,b2=a2-c2=8,即C的方程为+=1,故选B. 5.(2025·青岛模拟)已知椭圆C的长轴长为4,它的一个焦点与抛物线y=x2的焦点重合,则椭圆C的标准方程为　　　　　　　　.  解析:抛物线方程化为标准方程为x2=4y,抛物线焦点坐标为(0,1),∵抛物线焦点与椭圆C的一个焦点重合,∴椭圆的焦点在y轴上,设椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=1,2a=4,∴a=2,∴b2=a2-c2=3,∴椭圆C的标准方程为+=1. 答案:+=1 题点三　椭圆的几何性质 考法(一)　离心率问题 [例3] (1)已知椭圆T:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,T上一点A满足|AF2|=2b,且AF2⊥AF1,则T的离心率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由题意|AF1|=2a-2b,在△AF1F2中,AF2⊥AF1,则|AF2|2+|AF1|2=|F1F2|2,即4b2+4(a-b)2=4c2=4(a2-b2),整理得=,所以T的离心率e===. (2)(2025·广州模拟)椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若E上恰有4个不同的点P,使得△PF1F2为直角三角形,则E的离心率的取值范围为 (　　) A. 　　　B. C. 　　　D. 解析:选D　设E的上顶点为A,因为E上恰有4个不同的点P,使得△PF1F2为直角三角形,所以∠F1AF2<90°,则<1,所以c2<a2-c2,即<,故E的离心率的取值范围为. |思维建模| 1.求椭圆离心率的2种方法 (1)定义法:通过已知条件列出方程组,求得a,c的值,根据离心率的定义求解离心率e; (2)齐次式法:由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于e的一元二次方程求解.　 2.求椭圆离心率范围的2种方法 (1)几何法:利用椭圆的几何性质,设P(x0,y0)为椭圆+=1(a>b>0)上一点,则|x0|≤a,a-c≤|PF1|≤a+c等,建立不等关系,或者根据几何图形的临界情况建立不等关系,适用于题设条件有明显的几何关系; (2)直接法:根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系,直接转化为含有a,b,c的不等关系式,适用于题设条件直接有不等关系. 考法(二)　与椭圆有关的最值、范围问题 [例4] (1)设B是椭圆C:+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为 (　　) A. 　　　B. C. 　　　D.2 解析:选A　法一　设点P(x,y),则根据点P在椭圆+y2=1上可得x2=5-5y2.易知点B(0,1),所以根据两点间的距离公式得|PB|2=x2+(y-1)2=5-5y2+(y-1)2=-4y2-2y+6=-.当2y+=0,即y=-(满足|y|≤1)时,|PB|2取得最大值,所以|PB|max=. 法二　因为点P在椭圆+y2=1上,所以可设点P(cos θ,sin θ).易知点B(0,1),所以根据两点间的距离公式得|PB|2=(cos θ)2+(sin θ-1)2=4cos2θ-2sin θ+2=-4sin2θ-2sin θ+6=-.易知当2sin θ+=0,即sin θ=-时,|PB|2取得最大值,所以|PB|max=. (2)设F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,M为C上一个动点,且||2+2·的取值范围为[1,3],则椭圆C的长轴长为　　　　.  解析:椭圆C:+=1(a>b>0)的半焦距为c,O为F1F2的中点,||2+2·=·(+2) =(+)·(+-2)=-=-c2,显然b≤||≤a,于是b2-c2≤-c2≤a2-c2=b2,因此[b2-c2,b2]=[1,3],即b2=3,b2-c2=1,解得b2=3,c2=2,a2=5,即a=,所以椭圆C的长轴长为2. 答案:2 发掘价值:椭圆+=1(a>b>0)有以下重要结论: (1)|PF1|∈[a-c,a+c]; (2)|PF1||PF2|∈[b2,a2]; (3)·=-c2∈[2b2-a2,b2]. |思维建模| 利用椭圆的简单几何性质求最值或范围的思路 (1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示,利用坐标范围构造函数或不等关系. (2)将所求问题用a,b,c表示,利用a,b,c自身的范围、关系求范围. [即时训练] 6.已知F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P是椭圆上位于第一象限的点,延长PF2交椭圆于点Q,若PF1⊥PQ,且|PF1|=|PQ|,则椭圆的离心率为 (　　) A.2- B.- C.-1 D.- 解析:选D　设|PF1|=|PQ|=m(m>0),则|PF2|=2a-m,|QF2|=2m-2a,|QF1|=4a-2m.由题意知△PQF1为等腰直角三角形,所以|QF1|=|PF1|,故m=4a-2a.因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,所以(4a-2a)2+[2a-(4a-2a)]2=4c2,整理得4×=36-24,即==-. 7.[多选]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是 (　　) A.|QF1|+|QP|的最小值为2a-1 B.椭圆C的短轴长可能为2 C.椭圆C的离心率的取值范围为 D.若=,则椭圆C的长轴长为+ 解析:选ACD　由题意可知2c=2,则c=1,因为点Q在椭圆上,所以|QF1|+|QF2|=2a,|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|,又-1≤-|QF2|+|QP|≤1,所以2a-1≤|QF1|+|QP|≤2a+1,所以A正确;因为点P(1,1)在椭圆内部,所以b>1,2b>2,所以B错误;因为点P(1,1)在椭圆内部,所以+<1,即b2+a2-a2b2<0,又c=1,b2=a2-c2,所以(a2-1)+a2-a2(a2-1)<0,化简可得a4-3a2+1>0,解得a2>或a2<(舍去),则椭圆C的离心率e=<==,所以C正确;由=,得F1为PQ的中点,而P(1,1),F1(-1,0),所以Q(-3,-1),|QF1|+|QF2|=+=+=2a,所以D正确.故选ACD. 8.已知椭圆C:+=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为C上一动点,则的取值范围是　　　　.  快审准解:先根据椭圆a,b,c之间的关系,求出c=a,再根据椭圆的定义,把|AF1|换成2a-|AF2|,最后根据|AF2|∈[a-c,a+c],代入即可. 解析:设椭圆C的半焦距为c(c>0),则c==a,==-1,因为|AF2|∈[a-c,a+c],即|AF2|∈,所以-1∈,即∈. 答案: 数智赋能:电子版随堂训练(集训真题),根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测]　　　　 (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.(2025·台州一模)椭圆E1:+=1与椭圆E2:+=1(0<k<4)的 (　　) A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 解析:选D　对于椭圆E1:=9,=4,=5,对于椭圆E2:=9-k,=4-k,=5,所以它们的长轴长不相等,短轴长不相等,离心率不相等,焦距相等. 2.平面内,动点P的坐标(x,y)满足方程+=2,则动点P的轨迹方程为 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:选B　由题意,点P(x,y)到两个定点(,0),(-,0)的距离之和等于常数2>2,故根据椭圆的定义可知,此点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,且a=,c=,故b2=a2-c2=3,故椭圆的标准方程为+=1.故选B. 3.(2021·新课标Ⅰ卷)已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为 (　　) A.13 B.12 C.9 D.6 解析:选C　法一:基本不等式法　由椭圆C:+=1,得|MF1|+|MF2|=2×3=6,则|MF1|·|MF2|≤=9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时等号成立.故选C. 法二:配方法　设|MF1|=t,则由椭圆的定义可得|MF2|=6-t,则|MF1|·|MF2|=t(6-t)=-(t-3)2+9≤9,当t=3时取等号,故选C. 4.(2025·苏州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为e1,若椭圆C的长轴、短轴同时增加2m(m>0),得到离心率为e2的椭圆C',则 (　　) A.e1>e2 B.e1=e2 C.e1<e2 D.无法比较e1与e2的大小 解析:选A　由题知e1====,则e2=.因为a>b>0,m>0,则<,所以e1>e2.故选A. 5.(2025·绥化模拟)已知椭圆C:+=1的两焦点为F1,F2,P为椭圆C上一点且PF1⊥PF2,则||PF1|-|PF2||= (　　) A.4 B.4 C.4 D.2 解析:选A　∵椭圆C:+=1得a=2,b=2,c=4,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=4,∵PF1⊥PF2,∴m2+n2=64,∴2mn=(m+n)2-(m2+n2)=16,∴(m-n)2=(m+n)2-4mn=80-32=48,∴| m-n |=4,即||PF1|-|PF2||=4.故选A. 6.已知A,F分别是椭圆+=1(a>b>0)的左顶点和右焦点,P是椭圆上一点,直线AP与直线l:x=相交于点Q,且△AFQ是顶角为120°的等腰三角形,则该椭圆的离心率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　如图,设直线l与x轴的交点为H,由△AFQ是顶角为120°的等腰三角形,知|FQ|=|FA|=a+c,∠QFH=60°,则在Rt△FQH中,|FH|=|FQ|=.又|FH|=-c=,所以=.结合a2=b2+c2得3c2+ac-2a2=0,即3e2+e-2=0,解得e=或e=-1(舍去).故选C. 7.我们把离心率为的椭圆称为“最美椭圆”.已知椭圆C为“最美椭圆”,焦点在x轴上,且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点F1和F2为顶点的三角形的面积最大值为4,则椭圆C的方程为 (　　) A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:选D　由已知e==,得c=a,故b==a.∵=|F1F2||yP|=×2c|yP|≤bc, (微点拨:点P为短轴端点时,S取得最大值,最大值为bc,选择填空题可直接应用) 即()max=bc=4,∴a×a=4,得a2=8,故b2=a2=4,所以椭圆C的方程为+=1. 8.(2025·杭州模拟)已知F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的一条直线与C交于A,B两点,且AF1⊥AB,|BF2|=1,则椭圆长轴长的最小值为 (　　) A.4 B.3+2 C.6 D.4+2 解析:选B　设|AF2|=t,则|AB|=t+1,|BF1|=2a-1,|AF1|=2a-t,由AF1⊥AB,得(t+1)2+(2a-t)2=(2a-1)2,则2a=>0,有t>1,所以2a==t-1++3≥3+2=3+2,当且仅当t-1=,即t=1+时取等号.则椭圆长轴长的最小值为3+2. 9.已知椭圆+=1(a>1)的左顶点为A,左焦点为F,P为该椭圆上一点且在第一象限,若射线AF上存在一点Q,使得|AQ|=|FP|-|FA|,线段PQ的垂直平分线与射线AF交于点H,则|FH|= (　　) A.1 B.2 C.a D.2a 快审准解:先利用椭圆的定义及线段间的关系得到|QE|=|EP|,再利用等腰三角形三线合一的性质得到点E与点H重合,根据椭圆的性质计算即可. 解析:选B　设该椭圆的右焦点为E,连接EP,则|FP|+|EP|=2a,设|EP|=x,则|FP|=2a-x,易得F(-1,0),A(-a,0),所以|FA|=a-1,所以|AQ|=|FP|-|FA|=2a-x-a+1=a-x+1,又A(-a,0),所以Q(1-x,0),所以|QE|=1-1+x=x=|EP|,则对任意的点P,线段PQ的垂直平分线必过点E,所以点E与点H重合,所以|FH|=|FE|=2.故选B. 二、多选题 10.已知曲线C:+=1,则 (　　) A.若m=n>0,则曲线C表示圆,其半径为 B.若m>n>0,则曲线C是椭圆,其焦点在x轴上 C.若曲线C过点(-,1),,则C是椭圆 D.若mn=0,则曲线C不表示任何图形 解析:选AC　若m=n>0,曲线C可化为x2+y2=,其表示半径为的圆,A正确;当m>n>0时,曲线C可化为+=1,表示椭圆,因为0<<,所以其焦点在y轴上,B错误;依题意得解得则曲线C为椭圆,C正确;取m=4,n=0,此时曲线C:x2=1,其表示两条直线,D错误. 11.(2025·黄山模拟)已知椭圆C:x2+4y2=16的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的任意一点,则 (　　) A.C的离心率为 B.|PF1|+|PF2|=8 C.|PF1|的最大值为4+2 D.使∠F1PF2为直角的点P有4个 解析:选BCD　由原方程可得椭圆标准方程为+=1,∴a=4,b=2,∴c=2,∴e==,故A错误;由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=8,故B正确;由椭圆的性质知|PF1|max=a+c=4+2,故C正确;易知以线段F1F2为直径的圆与C有4个交点(因为b<c<a),故满足∠F1PF2为直角的点P有4个,故D正确. 12.(2025·成都模拟)已知椭圆E:+=1的左顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线与椭圆相交于P,Q两点,则 (　　) A.|F1F2|=1 B.|PQ|≤4 C.当F2,P,Q不共线时,△F2PQ的周长为8 D.设点P到直线x=-4的距离为d,则d=2|PF1| 解析:选BCD　由题意知,a=2,b=,∴c==1,∴|F1F2|=2c=2,故A错误;∵PQ为椭圆C的焦点弦,∴|PQ|≤2a=4,故B正确;△F2PQ的周长为|PQ|+|PF2|+|QF2|=|PF1|+|PF2|+|QF1|+|QF2|=8,故C正确;作PM垂直于直线x=-4,垂足为M,设P(x0,y0),则d=|PM|=|x0+4|,∵F1(-1,0),∴|PF1|== ===,∴2|PF1|=|x0+4|,∴d=2|PF1|,故D正确. 13.在平面直角坐标系xOy中,长、短轴所在直线不与坐标轴重合的椭圆称为“斜椭圆”,将焦点在坐标轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转45°,即得“斜椭圆”C:x2+y2+xy=1,设P(x0,y0)在C上,则 (　　) A.“斜椭圆”的焦点所在直线的方程为y=x B.C的离心率为 C.旋转前的椭圆标准方程为+=1 D.-≤y0≤ 快审准解:根据椭圆的对称性可联立y=x以及y=-x与椭圆方程,进而可判断焦点所在的直线,即可判断A,根据直线与椭圆的交点间距离可求解长轴长以及短轴长,即可求解B、C,根据方程有解,利用判别式即可求解D. 解析:选BCD　由题意可知,斜椭圆关于y=x和y=-x对称,联立直线y=x与C:x2+y2+xy=1,可得x2=,联立直线y=-x与C:x2+y2+xy=1,可得x2=1>,所以C两焦点所在直线方程为y=-x,A错误;由A可知,y=x与C相交的两点之间距离等于短轴长为2××=,y=-x与C相交的两点之间距离等于长轴长为2××=2,故焦距为2=,故C的离心率为=,B正确;旋转不改变椭圆的长短轴大小,所以旋转前的椭圆焦点在x轴上,曲线方程为+=1,C正确;因为x2+xy+y2-1=0,关于x的方程有解,所以y2-4(y2-1)≥0,解得-≤y≤,D正确. 三、填空题 14.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆上一点P满足PF2⊥F1F2,则线段|PF2|=　　　　.  解析:因为椭圆+=1,则a=2,b=,c=1,所以F1(-1,0),F2(1,0),因为PF2⊥F1F2,所以P点的横坐标为x=1,代入求得纵坐标为±,即|PF2|=. 答案: 15.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,D为C上一动点,若|DF|的最大值是最小值的3倍,写出一个符合要求的C的方程为　　　　　　.  解析:由椭圆的几何性质得|DF|max=a+c,|DF|min=a-c,由题意得a+c=3(a-c),则e==,令a=2,则b2=3,即满足题意的一个C的方程为+=1. 答案:+=1(答案不唯一) 16.设M,N,P是椭圆+=1(a>b>0)上的三个点,O为坐标原点,且四边形OMNP为正方形,则椭圆的离心率为　　　　.  快审准解:根据四边形OMNP为正方形,设出点M的坐标,代入椭圆的方程中,再结合点N的坐标特点,得到a与b的关系,最后结合a,b,c的关系,求解椭圆的离心率即可. 解析:因为四边形OMNP为正方形,结合图形可知∠MON=45°,可设M(x,x),则+=1,则x2=,N的坐标为(a,0)=(2x,0),所以a2=4x2=,所以a2=3b2,所以e===. 答案: 17.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中|F1F2|=2c,过F1的直线l与椭圆C交于A,B两点,若·=4c2,则该椭圆离心率的取值范围是　　　　　.  快审准解:先设出点A,借助向量数量积求得A的轨迹,再利用椭圆的几何性质列出不等式求解即可. 解析:设点A(x1,y1),而F1(-c,0),F2(c,0)则=(-c-x1,-y1),=(c-x1,-y1),由·=4c2,得(-c-x1,-y1)·(c-x1,-y1)=-c2+=4c2,即+=5c2,因此点A在以(0,0)为圆心,半径为c的圆上,而点A在椭圆上,则圆x2+y2=5c2与椭圆+=1有公共点,由椭圆的几何性质知b≤c≤a,即b2≤5c2≤a2,所以a2-c2≤5c2≤a2,整理得5c2≤a2≤6c2,即≤≤,所以椭圆离心率e∈. 答案: 第六节 双曲线 　 明确目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,能利用双曲线的定义解决一些简单问题. 2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率),会求双曲线的离心率及标准方程. 教材再回首 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. (1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,此时动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线(包括端点);若将其改为“大于|F1F2|”,其余条件不变,此时动点轨迹不存在. (2)若将绝对值去掉,其余条件不变,则动点的轨迹是双曲线的一支. (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”,则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 图形 性质 范围 x≤-a或x≥a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R 对称性 对称轴:坐标轴　对称中心:原点 顶点 顶点坐标:A1(-a,0),A2(a,0) 顶点坐标:A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈(1,+∞) a,b,c的关系 c2=a2+b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a; 线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b; a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 3.等轴双曲线 实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,等轴双曲线⇔e=⇔渐近线为y=±x⇔方程x2-y2=λ(λ≠0). 解题结论拓展 (1)离心率e==,e越大,双曲线的“张口”越大. (2)双曲线的焦点到渐近线的距离为b,顶点到渐近线的距离为. (3)同支的焦点弦中最短的为通径,其长为;异支的焦点弦中最短的为实轴,其长为2a. (4)若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=c+a,|PF2|min=c-a. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A选必修①P127 T1改编)设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=9,则|PF2|=　　　　.  解析:根据双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=8⇔|PF2|=1或17.又|PF2|≥c-a=2,故|PF2|=17. 答案:17 2.(人A选必修①P121T3改编)已知曲线C的方程为+=1(k∈R),若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则实数k的取值范围是　　　　　.  解析:若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则解得k<-1. 答案:(-∞,-1) 3.(北师大选必修①P68T3改编)点(3,0)到双曲线-=1的一条渐近线的距离为　　　　.  解析:双曲线-=1的渐近线方程是±=0,即3x±4y=0.由点到直线的距离公式,得=. 答案: 4.(人B选必修①P155T3改编)若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为　　　　　.  解析:由已知可得双曲线的渐近线方程为y=±x,点(3,-4)在渐近线上,∴=,∴e===. 答案: 二、易错小题的警醒训练 1.设F1,F2是两定点,|F1F2|=6,动点P满足|PF1|-|PF2|=4,则动点P的轨迹是 (　　) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条射线 D.轨迹不存在 解析:选B　依题意,F1,F2是两个定点,P是一个动点,且P满足|PF1|-|PF2|=4<|F1F2|,所以动点P的轨迹是双曲线的一支.故选B. (易错点:忽视双曲线定义中的限制条件,在双曲线的定义中,不仅对常数加了限制条件,同时要求距离差加了绝对值,其实如果不加绝对值其轨迹只表示双曲线的一支) 2.已知双曲线的渐近线方程为y=±x,实轴长为4,则该双曲线的标准方程为　　　　　.  解析:设双曲线方程为-=1(m≠0),∵2a=4,∴a2=4,当m>0时,2m=4,m=2;当m<0时,-m=4,m=-4.故所求双曲线的标准方程为-=1或-=1.(易错点:此类问题易忽视对双曲线焦点位置的讨论而想当然认为焦点在x轴从而漏解) 答案:-=1或-=1 题点一　双曲线的定义及其应用 [例1] (1)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2的面积为 (　　) A.48 B.24 C.64 D.96 解析:选A　法一　由题意,知a=3,b=4,c=5,|PF1|-|PF2|=2a=6,且|PF2|=|F1F2|=2c=10,所以|PF1|=16.在等腰△PF1F2中,过F2作PF1的垂线,交PF1于点Q,则|F2Q|==6,所以=|PF1|·|F2Q|=48.故选A. 法二　由题意,知a=3,b=4,c=5,|PF1|-|PF2|=2a=6,且|PF2|=|F1F2|=2c=10,所以|PF1|=16.在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠PF1F2==.因为0<∠PF1F2<π,所以sin∠PF1F2=,所以=|PF1|·|F1F2|sin∠PF1F2=48.故选A. 法三　由题意知,a=3,b=4,c=5,|PF1|-|PF2|=2a=6,且|PF2|=|F1F2|=2c=10,所以|PF1|=16.在△PF1F2中,根据海伦公式,得==48.故选A. 谨记结论:焦点三角形中一般要用到的关系 (1)||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c); (2)=|PF1||PF2|·sin∠F1PF2; (3)|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2. (2)已知等轴双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,左焦点为F1,焦距为4,点A的坐标为(2,1),P为双曲线右支上一动点,则|PF1|-|PA|的最大值为　　　　　.  解析:设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),焦距为2c,由题意得a=b,c=2,则c2=4=2a2,解得a=.由双曲线的定义得|PF1|-|PA|=2a+|PF2|-|PA|,所以|PF1|-|PA|最大值即2a+|PF2|-|PA|的最大值.如图,作直线AF2与双曲线交于E,F两点,由题意得当点P在F处时2a+|PF2|-|PA|最大,(2a+|PF2|-|PA|)max=2a+|AF2|=2+1. 答案:2+1 |思维建模| (1)与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解. (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系. (3)如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解. [即时训练] 1.已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN相切于点B,分别过点M,N且与圆C相切的两条直线相交于点P,则点P的轨迹方程为 (　　) A.x2-=1(x>0) B.x2-=1(x>1) C.x2-=1(x>0) D.x2-=1(x>1) 解析:选B　如图所示,设两切线分别与圆相切于点S,T,则|PM|-|PN|=(|PS|+|SM|)-(|PT|+|TN|)=|SM|-|TN|=|BM|-|BN|=2(定值),且2<3-(-3)=6,所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交,其中a=1,c=3,所以b2=8,故点P的轨迹方程为x2-=1(x>1). 2.设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,|PF1|=3|PF2|,则∠F1PF2的大小为　　　　　.  解析:根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4,又因为|PF1|=3|PF2|,所以|PF1|=6,|PF2|=2.又因为|F1F2|=2,所以在△F1PF2中结合余弦定理的推论得cos∠F1PF2==.因为0°<∠F1PF2<180°,所以∠F1PF2的大小为60°. 答案:60° 题点二　双曲线的标准方程 [例2] (1)(2024·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上一点,且直线PF2的斜率为2,△PF1F2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为 (　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 快审准解:可利用△PF1F2三边斜率问题与正弦定理,转化出三边比例,设|PF2|=m,由面积公式求出m,由三边比例得出c,结合定义再求出a. 解析:选C　如图,由题可知点P必落在第四象限,∠F1PF2=90°,设|PF2|=m,∠PF2F1=θ1,∠PF1F2=θ2,由=tan θ1=2,解得sin θ1=.因为∠F1PF2=90°,所以·=-1,解得=-,即tan θ2=,sin θ2=,由正弦定理可得|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|=sin θ1∶sin θ2∶sin 90°=2∶1∶,则由|PF2|=m,得|PF1|=2m,|F1F2|=2c=m,由=|PF1|·|PF2|=m·2m=8,得m=2,则|PF2|=2,|PF1|=4,|F1F2|=2c=2,c=.由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=2,a=,b==2,所以双曲线的方程为-=1.故选C. (2)(2024·济南三模)已知双曲线C1过点A(-,1),且与双曲线C2:x2-3y2=1有相同的渐近线,则双曲线C1的标准方程为　　　　　.  解析:由双曲线C1与双曲线C2:x2-3y2=1有相同的渐近线,故可设双曲线C1的方程为x2-3y2=λ(λ≠1),又因为C1过点A(-,1),所以15-3=λ,解得λ=12,所以双曲线C1的标准方程是-=1. 答案:-=1 规律方法:待定系数法求双曲线方程的类型 (1)与双曲线-=1有公共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0); (2)若已知双曲线的一条渐近线方程为y=x或y=-x,则可设双曲线方程为-=λ(λ≠0); (3)与双曲线-=1共焦点的双曲线方程可设为-=1(-b2<k<a2); (4)与椭圆+=1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为-=1(b2<λ<a2). |思维建模|　求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2. (2)待定系数法:用待定系数法求双曲线的标准方程时,先确定焦点在x轴还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点的位置不好确定,可将双曲线的方程设为-=λ(λ≠0)或mx2-ny2=1(mn>0),再根据条件求解. [即时训练] 3.(2025·安阳模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2,P为C上一点,PF1的中点为Q,△PF2Q为等边三角形,则双曲线C的方程为　　　　　.  解析:由题可知双曲线的焦距为2c=2,即c=.因为PF1的中点为Q,△PF2Q为等边三角形,所以|F1Q|=|F2Q|=|F2P|=|PQ|,所以∠PF2Q=60°,∠F1F2Q=30°,故PF2⊥F1F2,所以|PF2|==,|PF1|=2|PF2|=,所以|PF1|-|PF2|=-==2a,所以=,所以a=1,b=.所以双曲线C的方程为x2-=1. 答案:x2-=1 4.过原点的直线l与双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右两支分别交于M,N两点,F(2,0)为C的右焦点,若·=0,且||+||=2,则双曲线C的方程为 　　　　　　　　.  解析:如图所示,设双曲线的左焦点为F1,连接F1M,F1N,因为·=0, 则⊥,四边形MFNF1为矩形,|MN|=|FF1|=4.故+=16,又||+||=2,则||-||=2,||-||=||-||=2a=2,故a=,b=1.故双曲线C的方程为-y2=1. 答案:-y2=1 题点三　双曲线的几何性质 考法(一)　离心率问题 [例3]　(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为　　　　　.  解析:易知|AB|==10,|AF2|==5,又|AF1|-|AF2|=2a,得|AF1|=|AF2|+2a=5+2a=13,解得a=4,代入=5,得b2=20,故c2=a2+b2=36,即c=6,所以e===. 答案: |考|教|衔|接| 　 本题源自苏教版选择性必修①P128T5:若经过双曲线-=1的一个焦点,且垂直于实轴的直线l与双曲线交于A,B两点,则线段AB的长为　　　　　.  　　高考题是教材题的深加工,教材题得到一个结论是过双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点且与实轴垂直的弦长为.而高考题应用此结论解题,既能简化运算步骤,快速解决问题,也能对某些解答题有一定的启发作用,这说明要充分挖掘教材的一些题目,探究栏目隐含的某些性质结论. [例4]　已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点F1,F2,若P为双曲线上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 (　　) A.(1,3) 　B.(1,3] C.(3,+∞) 　D.[3,+∞) 解析:选B　设|PF2|=m,则|PF1|=2m,由双曲线定义有|PF1|-|PF2|=m=2a.又因为|PF1|+|PF2|≥|F1F2|(当且仅当三点共线时取等号),所以3m≥2c,即6a≥2c,所以e=≤3.又因为e>1,所以e∈(1,3],故选B. |思维建模|　求双曲线离心率的方法 　　求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式,利用c2=a2+b2和e=转化为关于e的方程(或不等式),通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围). 考法(二)　渐近线问题 [例5]　已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过坐标原点O作直线与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点,且||=4||,∠AFB=,则双曲线的渐近线方程为 (　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 方法引入:利用焦点三角形及双曲线的几何定义,再结合余弦定理,就可以求得离心率,从而也就可以求得渐近线方程. 解析:选C　设双曲线右焦点为F2,连接AF2,BF2(图略),由A,B关于原点对称,可知四边形FAF2B是平行四边形,即|FA|=|F2B|,∠FBF2=.由||=4||,得||=4||.又由双曲线的定义得||-||=2a,解得||=,||=.在△BFF2中,由余弦定理得|FF2|2=|FB|2+|F2B|2-2|FB|·|F2B|·cos∠FBF2,即4c2=a2+a2-2×a·a·cos=a2,即e=.由====,故双曲线的渐近线方程为y=±x. 价值发掘:(1)若双曲线的左、 右焦点分别为F1,F2,A,B 两点在双曲线上, 且关于原点对称, 则四边形F1AF2B 是平行四边形. (2)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线-=1(a>0,b>0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=±满足关系式e2=1+k2. |思维建模| 　　求双曲线-=1(a>0,b>0)或-=1(a>0,b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0.双曲线焦点到渐近线的距离为b,这个结论要熟记. 考法(三)　最值(范围)问题 [例6]　设双曲线C:x2-=1的左焦点和右焦点分别是F1,F2,点A是C右支上的一点,则|AF1|+的最小值为 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:选C　由双曲线C:x2-=1可得a2=1,b2=24,所以c2=a2+b2=25,所以a=1,c=5.由双曲线的定义可得|AF1|-|AF2|=2a=2,所以|AF1|=|AF2|+2,所以|AF1|+=|AF2|++2.由双曲线的性质可知|AF2|≥c-a=4,①令|AF2|=t,则t≥4,所以|AF1|+=t++2.令f(t)=t++2(t≥4),则f(t)在[4,+∞)上单调递增,②所以当t=4时,f(t)取得最小值4++2=7,此时点A为双曲线的右顶点(1,0),即|AF1|+的最小值为7. 习得方略:①处,由双曲线上的点到焦点的距离都不小于c-a可得; ②处,易忽视|AF2|的范围,错误地使用基本不等式. |思维建模|　与双曲线有关的范围问题的解题策略 (1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接转化求解. (2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中的不等关系来解决. (3)若题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可建立目标函数,利用函数或基本不等式求最值. [即时训练] 5.设双曲线C1:x2-y2=1,C2:-=1(b>0)的离心率分别为e1,e2,若e2=e1,则b= (　　) A.1 B.2 C. D. 解析:选A　由双曲线C1:x2-y2=1,得其离心率为e1=.又由双曲线C2:-=1(b>0),得其离心率为e2==,因为e2=e1,所以=×,解得b=1. 6.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,过点A的直线交双曲线C于另一点B,当BF⊥AF时满足|AF|>2|BF|,则双曲线C的离心率e的取值范围是　　　　　.  解析:由BF⊥AF,得|BF|=,又|AF|>2|BF|,|AF|=a+c,所以a+c>2·,即a+c>2·,即a2+ac>2(c2-a2),两边同时除以a2,整理可得2e2-e-3<0,又e>1,所以1<e<.所以双曲线C的离心率e的取值范围是. 答案: 7.已知F1,F2为双曲线C:-x2=1的两个焦点,P为双曲线C上任意一点,则双曲线C的渐近线方程为　　　　;|+|的最小值为　　　　.  解析:由题意知双曲线C的焦点在y轴上,a=,b=1,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x.设P(x,y)(x∈R),连接PO(O为坐标原点)(图略),则|PO|===≥(当且仅当x=0时取等号).因为O为F1F2的中点,所以|+|=|2|=2||≥2,故|+|的最小值为2. 答案:y=±x　2 椭圆、双曲线中的二级结论 椭圆的焦点 三角形 在椭圆+=1(a>b>0)中,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,P为椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,则△PF1F2的面积=b2tan,其中θ=∠F1PF2.当点P位于短轴的端点处时,∠F1PF2最大 双曲线的 焦点三角形 在双曲线-=1(a>0,b>0)中,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线上不同于顶点的任意一点,则△PF1F2的面积=,其中θ=∠F1PF2 椭圆焦半 径的数量 关系式 设点P(xP,yP)在椭圆+=1(a>b>0)上,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,e为椭圆的离心率,则|PF1|=a+exP,|PF2|=a-exP 双曲线 焦半径的 数量关系式 设点P(xP,yP)在双曲线-=1(a>0,b>0)上,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,e为双曲线的离心率,则|PF1|=|a+exP|,|PF2|=|a-exP| 　　　　　　　　　　　　　　　　 [应用体验] 1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点为F1,F2,若点P是双曲线上任意一点,且满足|PO|2=|PF1|·|PF2|(其中O为坐标原点),则双曲线C的渐近线方程为 (　　) A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 解析:选D　设P(x0,y0),则≥a2,由焦半径公式可知|PF1|=|ex0+a|,|PF2|=|ex0-a|,其中e为双曲线的离心率,易知e2-a2>0,则由|PO|2=|PF1|·|PF2|,得+=+b2=e2-a2,可得=b2-a2,则a2=b2,故双曲线C的渐近线方程为y=±x.故选D. 2.设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为 (　　) A.7 B.3 C. D.2 解析:选B　法一　如图,由题意知,双曲线C的半焦距c==2,则|F1F2|=4,因为|OP|=2,所以|OP|=|F1F2|,从而∠F1PF2=90°,故===3. 法二　设P(xP,yP),因为|OP|=2,所以=2　①.又点P在双曲线C上,所以-=1　②,由①②得yP=±.又双曲线C的半焦距c==2,所以=c|yP|=3. 3.已知椭圆C:+=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,点P为该椭圆上一点,且满足∠F1PF2=,已知△F1PF2的内切圆的面积为3π,则该椭圆的长轴长为 (　　) A.2 B.4 C.6 D.12 解析:选D　设椭圆的半焦距为c,由e=,得=,即a=2c.设△F1PF2的内切圆的半径为r,则由△F1PF2的内切圆的面积为3π,得πr2=3π,解得r=(舍负).在△F1PF2中,根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式,知=b2tan=r(2a+2c),即b2=(a+c).结合a2=b2+c2,易得a=6,所以该椭圆的长轴长为2a=2×6=12.故选D. 4.椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F,直线x=与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是 (　　) A. B. C.[-1,1) D. 解析:选D　法一　由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,即F点到P点与A点的距离相等,而|FA|=-c==|PF|∈[a-c,a+c],于是∈[a-c,a+c],即ac-c2≤b2≤ac+c2, ∴ 又e∈(0,1),故e∈. 法二:焦半径公式　设点P(x0,y0), 则有|PF|=|FA|,即a-ex0=-c, 解得x0=+a-, 又因为x0∈[-a,a], 所以有-a≤+a-≤a, 两边同时除以a,可以解得≤e<1. 5.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),过F2的直线与C的右支交于A,B两点.若=2,|AB|=|F1B|,则双曲线C的方程为　　　　　　.  解析:如图,令|F2B|=t, 则|AF2|=2t, ∴|AB|=|F1B|=3t. 又+=, ∴+=,即=, 又|F1B|-|F2B|=2a,∴3t-t=2a, ∴t=a, ∴=,即3b2=4a2, 又c=,∴a2+b2=7,解得b2=4,a2=3, 故双曲线C的方程为-=1. 答案:-=1 数智赋能:电子版随堂训练(与双曲线有关的创新应用问题),根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测]　　　　 (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.已知动点M(x,y)满足-=4,则动点M的轨迹是 (　　) A.射线 B.直线 C.椭圆 D.双曲线的一支 解析:选A　设F1(-2,0),F2(2,0),由题意知动点M满足|MF1|-|MF2|=4=|F1F2|,故动点M的轨迹是射线. 2.(2025·成都模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线相互垂直,焦距为12,则该双曲线的虚轴长为 (　　) A.6 B.6 C.9 D.12 解析:选B　根据题意可得解得a=b=3,所以该双曲线的虚轴长为2b=6.故选B. 3.若双曲线-=1(a>0,b>0)上的一点到焦点(-,0)的距离比到焦点(,0)的距离大b,则该双曲线的方程为 (　　) A.-y2=1 B.-y2=1 C.x2-=1 D.x2-=1 解析:选D　由题知c=,根据题意,由双曲线的定义知2a=b,又a2+b2=c2,所以5a2=5,得到a2=1,b2=4,所以双曲线的方程为x2-=1. 4.若双曲线-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为圆x2+y2=4与此双曲线的一个公共点,则△PF1F2的面积为 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:选D　由题意得a=,b=1,c==2,所以线段F1F2是圆x2+y2=4的直径,因此PF1⊥PF2,所以所以|PF1||PF2|=2,=|PF1||PF2|=1. 借题发挥:在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系. 5.(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为 (　　) A.4 B.3 C.2 D. 解析:选C　法一:方程组法　根据焦点坐标可知c=4,根据焦点在y轴上,可设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则由得所以离心率e==2. 法二:定义法　根据焦点坐标可知c=4,由双曲线的定义,得2a=|-|=|6-10|=4,所以离心率e==2. 6.(2025·漳州模拟)已知双曲线C:x2-y2=4,点M为C上一点,过M分别作C的两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,则四边形OAMB (O为原点)的面积为 (　　) A.1 B.2 C.4 D.6 解析:选B　双曲线C:x2-y2=4,即-=1,为等轴双曲线,渐近线的夹角为90°,则四边形OAMB为矩形,设点M(m,n),且m2-n2=4,点M(m,n)到渐近线x-y=0的距离为,点M(m,n)到渐近线x+y=0的距离为,则四边形的面积为·==2.故选B. 7.(2025·广州模拟)已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P为其右支上一点,点A(0,-6),则△APF周长的最小值为 (　　) A.4+6 B.4+6 C.6+6 D.6+6 解析:选B　设双曲线的右焦点为M,由双曲线的方程可得a2=4,b2=5,则a=2,b=,c=3,所以F(-3,0),M(3,0),且|PF|-|PM|=2a=4,所以|PF|=|PM|+4,△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PM|+4+|AF|=|PA|+|PM|+4+3≥ |AM|+4+3=4+6,当且仅当M,P,A三点共线且P在线段AM上时取等号,则△APF周长的最小值为4+6.故选B. 8.(2024·杭州三模)已知双曲线-=1(a,b>0)上存在关于原点中心对称的两点A,B,以及双曲线上的另一点C,使得△ABC为正三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 (　　) A.(,+∞) B.(,+∞) C.(2,+∞) D. 解析:选A　由题意,可知双曲线的渐近线方程为y=±x,设点A(x,y),则可取C(-y,x),①则整理得=<,②解得b2>a2,即c2-a2>a2,可得>2,则e==>,所以该双曲线离心率的取值范围是(,+∞). 习得方略: ①处巧妙设点,设点A(x,y),根据垂直和长度关系可取C(-y,x); ②处,根据渐近线的几何意义可得<. 9.(2025·四川射洪中学模拟)已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点O为坐标原点,过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A,B两点,点C在x轴上,=3,BF2平分∠F1BC,线段AB与双曲线的一条渐近线交于点P,则sin∠POF2= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　因为=3,所以△F1AF2∽△F1BC,①又|F1F2|=2c,所以|CF2|=6c-2c=4c,设|AF1|=t,则|BF1|=3t,故|AB|=2t,因为BF2平分∠F1BC,所以==2,②所以|BC|=2|BF1|=6t,|AF2|=|BC|=2t,由双曲线定义可知|AF2|-|AF1|=t=2a,|BF1|-|BF2|=2a,所以|BF2|=|AF2|=|AB|=4a,即∠ABF2=60°.在△F1BF2中,由余弦定理知cos∠F1BF2===,化简得c=a,由a2+b2=c2,得=.不妨设交点P在第一象限,则tan∠POF2=,所以sin∠POF2==.故选B. 习得方略:①处关键点,由=3,可得CB∥F2A.从而△F1AF2∽△F1BC; ②处用结论,三角形内角平分线定理的应用:若BF2平分∠F1BC,则=. 二、多选题 10.已知双曲线C:-=1,则 (　　) A.m的取值范围是(-6,3) B.m=1时,C的渐近线方程为y=±x C.C的焦点坐标为(-3,0),(3,0) D.C可以是等轴双曲线 解析:选ACD　因为C:-=1表示双曲线,所以(m+6)(3-m)>0,解得-6<m<3,所以A正确;当m=1时,双曲线方程为-=1,其渐近线方程为y=±x=±x,所以B错误;由选项A得m+6>0,3-m>0,所以焦点在x轴上,设C的半焦距为c(c>0),则c2=m+6+3-m=9,解得c=3,故其焦点坐标为(-3,0),(3,0),所以C正确;若C为等轴双曲线,则3-m=m+6,解得m=-∈(-6,3),所以D正确. 11.已知双曲线C上的点到点(2,0)和(-2,0)的距离之差的绝对值为2,则下列结论正确的是 (　　) A.双曲线C的标准方程为x2-=1 B.双曲线C的渐近线方程为y=±2x C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为 D.圆x2+y2=4与双曲线C恰有两个公共点 解析:选AC　根据双曲线的定义,得c=2,2a=2,所以a=1,b===,所以双曲线C的方程为x2-=1,A正确.双曲线C的渐近线方程为y=±x,B错误.双曲线C的一个焦点坐标为(2,0),则其到渐近线的距离d==,C正确.圆x2+y2=4的圆心为原点,半径为2,而双曲线的实轴端点坐标为(±1,0),所以圆与双曲线的公共点有4个,D错误. 12.已知曲线C:x2sin α+y2cos α=1(0≤α<π),则下列说法正确的是 (　　) A.若曲线C表示两条平行线,则α=0 B.若曲线C表示双曲线,则<α<π C.若0<α<,则曲线C表示椭圆 D.若0<α<,则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 解析:选BD　若曲线C表示两条平行线,则有sin α=0或cos α=0,且0≤α<π.若sin α=0,则α=0,此时曲线C的方程为y2=1,可得y=-1或y=1,符合题意,若cos α=0,则α=,此时曲线C的方程为x2=1,可得x=-1或x=1,符合题意,故A错误;若曲线C表示双曲线,则sin αcos α<0,由于0≤α<π且sin α≠0,则sin α>0,可得cos α<0,则<α<π,故B正确;若曲线C表示椭圆,则解得0<α<且α≠,故C错误;若0<α<,则0<sin α<cos α,则>>0,曲线C的方程可化为+=1,此时,曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,故D正确. 13.如图为陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线内收,巧夺天工,是唐代金银细作的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右支与直线x=0,y=4,y=-2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体,若该金杯主体部分的上口外直径为,下底外直径为,双曲线C与坐标轴交于D,E两点,则 (　　) A.双曲线C的方程为-=1 B.双曲线-x2=1与双曲线C共渐近线 C.存在一点,使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点 D.存在无数个点,使它与D,E两点的连线的斜率之积为3　 解析:选ABD　依题意可知M,N,将M,N的坐标分别代入-=1,得解得a2=3,b2=9,所以双曲线C的方程为-=1,其渐近线方程为y=±x,故A正确;由-x2=1,可知其渐近线方程为y=±x,故B正确;由双曲线的性质可知,渐近线与双曲线没有交点,与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点,故不存在点,使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点,故C错误;设双曲线上一点P(x0,y0),y0≠0,则-=1,即=3-9,由题可知D(-,0),E(,0),则kPD=,kPE=,kPD·kPE=·==3,即存在无数个点,使它与D,E两点的连线的斜率之积为3,故D正确. 三、填空题 14.(2025·贵阳模拟)我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”.已知“黄金双曲线”C:-=1(b>0),则C的虚轴长为　　　　　.  解析:因为e====,即1+=,解得b=2,所以C的虚轴长为4. 答案:4 15.已知双曲线C:-=1的左焦点为F,且P是双曲线上的一点,则|PF|的最小值为　　　　　.  解析:设P(x0,y0),且-=1,F(-5,0),又|PF|2=(x0+5)2+=+10x0+25+16=,又x0≤-3或x0≥3,所以|PF|min==2,即|PF|的最小值为2,当点P为双曲线左顶点时取最小值. 答案:2 16.(2025·重庆模拟)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在E上,且cos∠F1AF2=,|AF1|=2|AF2|,则E的渐近线方程为　　　　　　.  解析:由双曲线的定义可得,|AF1|-|AF2|=2|AF2|-|AF2|=|AF2|=2a,则|AF1|=2|AF2|=4a,在△AF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|·cos∠F1AF2,即4c2=16a2+4a2-2×4a×2a×,即c2=a2,因为a2+b2=c2,所以a2+b2=a2⇒=,即E的渐近线方程为y=±x. 答案:y=±x 17.(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,⊥,=-,则C的离心率为　　　　.  方法引入:法一:依题意设出各点坐标,从而由向量坐标运算求得x1=c,y1=-y0,=4c2,将点A代入双曲线C得到关于a,b,c的齐次方程,从而得解. 法二:利用双曲线的定义与向量数量积的几何意义得到||,||,||,||关于a,t的表达式,然后利用直角三角形的性质求得a=t,进而利用余弦定理得到a,c的齐次方程,从而得解. 解析:法一　由题意可知,F1(-c,0),F2(c,0),设A(x1,y1),B(0,y0),所以=(x1-c,y1),=(-c,y0),因为=-,所以即 所以A.=,=(c,y0),因为⊥,所以·=0,即c2-=0,解得=4c2. 因为点A在双曲线C上,所以-=1,又=4c2,所以-=1,即-=1,化简得=,所以e2=1+=,所以e=. 法二　由=-,得=,设||=2t,||=3t,由对称性可得||=3t,则||=2t+2a,||=5t,设∠F1AF2=θ,则sin θ==,所以cos θ==,解得t=a,所以||=2t+2a=4a,||=2a,在△AF1F2中,由余弦定理可得cos θ==,即5c2=9a2,则e=. 答案: 第七节 抛物线 　　 明确目标 1.理解抛物线的定义、几何图形、标准方程,以及它们的简单几何性质. 　 2.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想. 教材再回首 1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e=1 准线方程 x=- x= y=- y= 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中P(x0,y0)) |PF|=x0+ |PF|=-x0+ |PF|=y0+ |PF|=-y0+ 解题结论拓展 　　抛物线的几个常用结论: (1)若AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A在第一象限内,F为抛物线的焦点,AB的倾斜角为α,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则: ①x1x2=;②y1y2=-p2;③|AF|=,|BF|=,+=; ④弦长|AB|=x1+x2+p=,抛物线的焦点弦中通径(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)最短; ⑤S△OAB=(其中O为坐标原点); ⑥以AB为直径的圆与准线相切,以AF或BF为直径的圆与y轴相切; ⑦过抛物线焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上. (2)过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O(0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交,交点分别为A,B(如图),则直线AB过定点M(2p,0);反之,若过点M(2p,0)的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A,B,则必有OA⊥OB. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人B选必修①P162T2改编)抛物线x2=y的准线方程为 (　　) A.y=- B.x=- C.y= D.x= 解析:选A　由抛物线的标准方程可得,抛物线的焦点位于y轴正半轴上,焦点坐标为,准线方程为y=-. 2.(人A选必修①P133T3改编)抛物线y2=2px(p>0)上一点M(3,y)到焦点F的距离|MF|=4,则抛物线的方程为 (　　) A.y2=8x B.y2=4x C.y2=2x D.y2=x 解析:选B　由题意可得|MF|=xM+,则3+=4,即p=2,故抛物线方程为y2=4x. 3.(苏教选必修①P128T10改编)若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为,则点M到该抛物线焦点的距离为　　　　.  解析:设M,M到坐标原点O的距离为=,解得y2=2,故x==1.点M到该抛物线焦点的距离为x+=1+=. 答案: 二、易错小题的警醒训练 已知抛物线的顶点是坐标原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(2,4),则该抛物线的方程为　　　　.  解析:设抛物线的方程为y2=kx(k≠0)或x2=my(m≠0),将P(2,4)的坐标代入,可得k=8,m=1,故所求抛物线的方程为y2=8x或x2=y.(易错点:忽视抛物线的焦点位置而漏解) 答案:y2=8x或x2=y 题点一　抛物线的定义及应用 [例1] (1)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F且斜率为-1的直线与直线x=-1交于点A,点M在抛物线上,且满足|MA|=|MF|,则|MF|= (　　) A.1 B. C.2 D.2 快审准解:由题意先求出过F且斜率为-1的直线方程,进而可求出点A,接着结合点M在抛物线上且|MA|=|MF|可求出xM,从而根据焦半径公式|MF|=xM+1即可得解. 解析:选C　由题意可得F(1,0),故过F且斜率为-1的直线方程为y=-(x-1)=-x+1,令x=-1⇒y=2,则由题A(-1,2),因为|MA|=|MF|,所以MA垂直于直线x=-1,故yM=2,又M在抛物线上,所以由22=4xM⇒xM=1,所以|MF|=xM+1=2. (2)(2025·成都模拟)设点A(2,3),动点P在抛物线C:y2=4x上,记P到直线x=-2的距离为d,则|AP|+d的最小值为 (　　) A.1 B.3 C.-1 D.+1 快审准解:根据抛物线的定义,P到焦点F的距离等于P到准线的距离,可得d=|PF|+1,从而转化为求|AP|+|PF|+1的最小值,当A,P,F三点共线时,d=|PF|+1取得最小值,即可求解. 解析:选D　由题意可得,抛物线C的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,由抛物线的定义可得d=|PF|+1,所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1,因为|AP|+|PF|≥|AF|==,所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1≥+1.当且仅当A,P,F三点共线且P在线段AF上时取等号,所以|AP|+d的最小值为+1. |思维建模|　利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题:利用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线. (2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,在解题过程中注意两者之间的相互转化. (3)最值问题:通过距离转化,利用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”求解. ①转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”,使问题得以解决. ②转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决. [即时训练] 1.(2025·苏州模拟)已知抛物线x2=my(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为3,则m= (　　) A.1 B.2 C.4 D.6 解析:选C　由题意,抛物线x2=my(m>0)的准线方程为y=-,根据抛物线的定义,可得点(x0,2)到焦点F的距离等于到准线y=-的距离,可得2+=3,解得m=4. 2.动点P到直线x+4=0的距离减去它到点M(2,0)的距离等于2,则点P的轨迹是 (　　) A.直线　　 B.圆　　 C.双曲线　　 D.抛物线 解析:选D　如图所示,由于动点P到直线x+4=0的距离减去它到点M(2,0)的距离等于2,于是动点P在直线x=-4的右边,且动点P到直线x+4=0的距离大于2,因此动点P到直线x=-2的距离等于它到点M(2,0)的距离,进而根据抛物线的定义,可知点P的轨迹是抛物线. 3.已知点M(20,40)不在抛物线C:y2=2px(p>0)上,抛物线C的焦点为F,若对于抛物线上的一点P,|PM|+|PF|的最小值为41,则p的值等于　　　　　.  解析:当点M(20,40)位于抛物线内时, (易错提醒:不要忽视对点M位置的讨论) 如图①,过点P作抛物线准线的垂线,垂足为D,则|PF|=|PD|,|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.当点M,P,D三点共线时,|PM|+|PF|的值最小.由最小值为41,得20+=41,解得p=42;当点M(20,40)位于抛物线外时,如图②,当点P,M,F三点共线时,|PM|+|PF|的值最小.由最小值为41,得=41,解得p=22或p=58.当p=58时,y2=116x,点M(20,40)在抛物线内,故舍去.综上,p=42或p=22. 答案:42或22 题点二　抛物线的标准方程 [例2] (1)(2024·宁夏三模)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A,B,交其准线于C,AE与准线垂直且垂足为E,若|BC|=2|BF|,|AE|=3,则此抛物线的方程为 (　　) A.y2=　　　　　　 B.y2=9x C.y2= D.y2=3x 快审准解:过点B作准线的垂线,设|BF|=a,得到|AC|=3+3a,结合抛物线的定义,求得a=1,再由BD∥FG,列出方程求得p的值,即可求解. 解析:选D　如图所示,过点B作准线的垂线,垂足为D,设|BF|=a,则|BC|=2|BF|=2a,由抛物线的定义得 |BD|=|BF|=a,在Rt△BDC中,可得sin∠BCD==,所以∠BCD=30°,在Rt△AEC中,因为|AE|=3,可得|AC|=3+3a,由|AC|=2|AE|,所以3+3a=6,解得a=1,因为BD∥FG,所以=,解得p=,所以抛物线方程为y2=3x. (2)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的标准方程为　　　　　.  解析:法一:解直角三角形法　不妨设点P在第一象限,作出图形如图所示,由题易得|OF|=,|PF|=p,∠OPF=∠PQF,所以tan∠OPF=tan∠PQF,所以=,即=,解得p=3,所以C的标准方程为y2=6x. 法二:应用射影定理法　由题易得|OF|=,|PF|=p,|PF|2=|OF|·|FQ|,则p2=×6,解得p=3或p=0(舍去),所以C的标准方程为y2=6x. 法三:斜率法　抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,因为P为C上一点,且PF与x轴垂直,所以不妨设P,所以kOP=2.因为PQ⊥OP,所以kPQ=-.因为Q为x轴上一点,所以设Q(x0,0),则=-,得x0=,所以|FQ|=-=6,解得p=3,所以C的标准方程为y2=6x. 法四:向量法　抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,因为P为C上一点,且PF与x轴垂直,所以P的横坐标为,不妨取P.因为Q为x轴上一点,且PQ⊥OP,所以Q在F的右侧.又|FQ|=6,所以Q,所以=(6,-p).因为PQ⊥OP,所以·=×6-p2=0.又p>0,所以p=3,所以C的标准方程为y2=6x. 答案:y2=6x |思维建模|　抛物线的标准方程的求法 (1)定义法 根据抛物线的定义求出p.标准方程有四种形式,要注意判断焦点位置及开口方向. (2)待定系数法 当焦点位置不确定时,注意分类讨论.对于焦点在x轴上的抛物线的方程可设为y2=mx(m≠0),焦点在y轴上的抛物线的方程可设为x2=my(m≠0). 　　　　　　　　　　　　　　　　 [即时训练] 4.已知抛物线C:y=mx2(m>0)的焦点为F,A为x轴上一点,若|AF|=6,且抛物线C经过线段AF的中点,则m= (　　) A.8 B. C.4 D. 解析:选B　如图,设坐标原点为O,线段AF的中点为B,抛物线C的准线为l:y=-,焦点F,设点B到准线l的距离为d.由抛物线的定义知,d=|BF|=|AF|=3,所以|OF|=2=,解得m=. 5.(人A选必修①P135“思考”改编)已知抛物线对称轴为坐标轴,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(2,-2),则抛物线的标准方程为　　　　　　.  解析:根据题意,当抛物线焦点在x轴上时,经过点M(2,-2), 设抛物线方程为y2=2px(p>0),所以=2p×2,解得p=2,所以抛物线的标准方程为y2=4x.当抛物线焦点在y轴上时,经过点M(2,-2),设抛物线方程为x2=-2py(p>0), 所以22=-2p×(-2),解得p=, 所以抛物线的标准方程为x2=-y. 综上,抛物线的标准方程为y2=4x或x2=-y. 答案:x2=-y或y2=4x 题点三　抛物线的几何性质 [例3]　(2023·新课标Ⅱ卷)[多选]设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 (　　) A.p=2 B.|MN|= C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 解析:选AC　由题意,易知直线y=-(x-1)过点(1,0).因为直线经过抛物线C的焦点,所以易知焦点坐标为(1,0),所以=1,即p=2,故A正确.不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),x1<x2, 由消去y并整理得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3.由抛物线的定义,得|MN|=x1+x2+p=+2=,故B错误.设MN的中点为A,M,N,A到直线l的距离分别为d1,d2,d,因为d=(d1+d2)=(|MF|+|NF|)=|MN|,即A到直线l的距离等于|MN|的一半,所以以MN为直径的圆与直线l相切,故C正确.由上述分析可知y1=-=,y2=-(3-1)=-2,所以|OM|==,|ON|==,所以△OMN不是等腰三角形,故D错误. |思维建模| 　　应用抛物线的几何性质解题时,常结合图形思考,通过图形可以直观地看出拋物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想解题的直观性. [即时训练] 6.设抛物线C的焦点为F,点E是C的准线与C的对称轴的交点,点P在C上,若∠PEF=30°,则sin∠PFE= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　由于抛物线的对称性,不妨设抛物线为C:y2=2px(p>0),则其焦点为F, 点E是C的准线与C的对称轴的交点,其坐标为E,点P在C上,设为P(x0,y0),若∠PEF=30°,则tan∠PEF==,且|PF|=x0+,则sin∠PFE=sin(π-∠PFE)==. 7.[多选]抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,P为C上的动点,过P作圆M:(x-a)2+(y-2)2=4的两条切线,A,B为切点,过P作l的垂线,垂足为Q,则 (　　) A.当a=1时,l与圆M相切 B.当=a时,|PA|+|PQ|的最小值为2 C.当|AB|=2时,·为定值 D.存在点P,使得△PAB为等边三角形 快审准解:对于A,根据抛物线的准线方程以及圆的圆心坐标和半径可以判断是否相切;对于B,因为|PA|=|PB|,所以可使得A,Q两点在点P的异侧,根据两点之间,线段最短原理可知,当P,A,Q三点共线时,|PA|+|PQ|有最小值;对于C,已知|AB|=2可解得和的夹角,从而解得·为定值;对于D,当|AB|=2时,△PAB为等边三角形,所以满足存在性. 解析:选CD　圆M:(x-1)2+(y-2)2=4的半径r=2,圆心(1,2)到准线x=-的距离为1+,所以当且仅当a=1,p=2时,l与圆M相切,故A不正确; 如图所示,当P,A,Q三点共线时,|PA|+|PQ|有最小值,最小值为p,故B不正确;因为|AB|=2,|MA|=|MB|=2, 所以由余弦定理得 cos∠AMB= ==-,所以∠AMB=120°,所以·=||×||×cos∠AMB=2×2×=-2,故C正确;当|AB|=2时,∠AMB=120°,所以∠APB=60°,此时△PAB为等边三角形,故D正确. 　　　　　　　　　　　　　　　　 活用抛物线焦点弦的4个性质 　　设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则 性质1:x1·x2=. 性质2:y1·y2=-p2. 性质3:|AB|=x1+x2+p=(α是直线AB的倾斜角). 性质4:+=为定值. [典例]　过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若|AF|=2|BF|,则|AB|等于 (　　) A.4 B. C.5 D.6 [解题观摩]　利用性质3解题: 由对称性不妨设点A在x轴的上方,如图. 设A,B在准线上的射影分别为D,C,作BE⊥AD于E,设|BF|=m,直线l的倾斜角为θ,则|AB|=3m,由抛物线的定义知|AD|=|AF|=2m,|BC|=|BF|=m,所以cos θ==,则sin2θ=.又y2=4x,知2p=4,故由弦长公式得|AB|==. 利用性质4解题: 因为|AF|=2|BF|,+=+===1,解得|BF|=,|AF|=3,故|AB|=|AF|+|BF|=. [应用体验] 1.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由2p=3,及|AB|=,得|AB|==12.又原点到直线AB的距离d=|OF|·sin 30°=,故S△OAB=|AB|·d=×12×=. 2.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且|AF|=4,则AB的长为 (　　) A.5 B.6 C. D. 解析:选C　法一　过A作l的垂线交l于点D,设l与x轴交于点E,由于F为AC的中点,所以EF为△ACD的中位线,所以p=|AD|=|AF|=2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+=x1+1=4,所以x1=3,又x1x2==1,所以x2=, 所以|AB|=x1+x2+p=3++2=. 法二　过A作l的垂线交l于点D,设l与x轴的交点为E,由于F为AC的中点,所以EF为△ACD的中位线,所以p=|AD|=|AF|=2.因为+=,|AF|=4,所以|BF|=,所以|AB|=|AF|+|BF|=4+=. 3.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,则2|AF|+|BF|的最小值为 (　　) A.2 B.2+3 C.4 D.3+2 解析:选D　因为p=2,所以+==1, 所以2|AF|+|BF|=(2|AF|+|BF|)·=3++≥3+2 =3+2,当且仅当|BF|=|AF|时,等号成立,因此,2|AF|+|BF|的最小值为3+2. 4.[多选]已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是 (　　) A.+=1 　　B.|AF|=6 C.|BD|=2|BF| 　　D.F为AD的中点 解析:选BCD　法一　如图,过点B作x=-的垂线,垂足为B',又F,直线l的斜率为,则直线l的方程为y=.联立得12x2-20px+3p2=0.解得xA=,xB=.由|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p==8,得p=3.所以抛物线的方程为y2=6x.则|AF|=xA+=2p=6,故B正确;|BF|=8-|AF|=2,|BD|===4,所以|BD|=2|BF|,故C正确;|AF|=|DF|=6,则F为AD的中点,故D正确;而+=,故A错误. 法二　设直线AB的倾斜角为θ,利用抛物线的焦点弦的性质,|AB|==8,得p=3.所以|AF|==6,|BF|==2,+==.在Rt△DB'B中,cos θ=,所以|BD|=4,|DF|=|BF|+|BD|=6.因此F为AD的中点. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测]　　　　 (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.抛物线y=x2的准线方程是 (　　) A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=- 解析:选A　∵y=x2,∴x2=4y,∴准线方程为y=-1. 2.(2025·赣州模拟)若抛物线x2=8y上一点A(x0,y0)到焦点F的距离是点A到x轴距离的2倍,则y0= (　　) A. B.1 C. D.2 解析:选D　已知拋物线的方程为x2=8y,可得p=4.所以焦点为F(0,2),准线为l:y=-2.抛物线上一点A(x0,y0)到焦点F的距离等于到准线l的距离,即|AF|=y0+2,又∵A到x轴的距离为y0,由已知得y0+2=2y0,解得y0=2.故选D. 3.(2025·保山模拟)“米”是象形字,数学探究课上,某同学用抛物线C1:y2=-2px(p>0),C2:y2=2px(p>0),构造了一个类似“米”字形的图案,如图所示,若抛物线C1,C2的焦点分别为F1,F2,点P在抛物线C1上,过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q,若|PF1|=2|PQ|=8,则p= (　　) A.4 B.6 C.8 D.12 解析:选D　因为2|PQ|=8,即|PQ|=4,由抛物线的对称性知xP=-2.由抛物线的定义知|PF1|=-xP,即8=-(-2),解得p=12. 4.(2025·南通模拟)已知点P在抛物线x2=-5y上,且A(0,-3),则|PA|的最小值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　设点P的坐标为(x,y),则x2=-5y,且|PA|2=x2+(y+3)2=y2+y+9=+,又因为y≤0,所以当y=-时,|PA|2有最小值.所以|PA|的最小值为.故选D. 5.(2025·保定开学考试)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点B(3,0),C上一点A到l的距离等于|AB|,则△AFB的面积为 (　　) A.2 B.2 C.3 D.3 解析:选B　如图,由题意得,F(1,0),A到l的距离为|AD|,|AD|=|AF|=|AB|,即点A在线段FB的垂直平分线上,所以点A的横坐标为2,不妨设点A在x轴上方,代入得,A(2,2),所以△AFB面积为×2×2=2.故选B. 6.(2025·盐城模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线2x-y-4=0交于A,B两点,且|AB|=3.若抛物线C的焦点为F,则|AF|+|BF|= (　　) A.7 B.7 C.6 D.5 解析:选B　由题设,得x=+2,代入抛物线可得y2-py-4p=0,所以yA+yB=p,yAyB=-4p,则|AB|=×=3,则p2+16p-36=0,解得p=-18(舍去)或p=2,故xA+xB=+4=5,由抛物线定义知|AF|+|BF|=xA+xB+p=7.故选B. 7.(2024·雅安三模)已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径,清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中,也称圆的直径为通径.已知圆(x-2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边,则p= (　　) A. B.1 C.2 D.4 解析:选C　因为圆(x-2)2+(y+1)2=4的一条直径与抛物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边,而抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂直,所以圆(x-2)2+(y+1)2=4的这条直径与x轴垂直,且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点,因为圆(x-2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,-1),半径为2,所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1),即抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1),则4=2p,即p=2.故选C. 8.(2025·重庆开学考试)已知抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,过F的直线与抛物线交于点A,B,与直线l交于点D,若=λ(λ >1)且||=4,则λ= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 快审准解:设准线与x轴的交点为K,作AA1⊥l,BB1⊥l,垂足分别为A1,B1,可得=,可求|FB|,进而可得=,求解即可. 解析:选C　设准线与x轴的交点为K,作AA1⊥l,BB1⊥l,垂足分别为A1,B1,则BB1∥FK∥AA1.根据抛物线定义知|BB1|=|BF|,|AA1|=|AF|,又=λ(λ>1),且||=4,因为BB1∥FK∥AA1,设|BF|=m,则=,所以=,又p=3,解得m=2,所以|AF|=λ|FB|=2λ,所以|BA|=2+2λ,因为BB1∥FK∥AA1,所以=,所以=,解得λ=3.故选C. 9.抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以点F为圆心,以|AF|为半径的圆与l交于点B,D,与x轴交于点M,N,若=,则||= (　　) A.3 B.3 C.4 D.4 快审准解:首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程,设准线与x轴交于点E,根据圆的性质及抛物线的定义可得△ABF为等边三角形,即可求出|BF|,再在△AFM中利用余弦定理计算可得. 解析:选C　抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),准线l:x=-1,令l与x轴交于点E(-1,0),由对称性不妨令点A在第一象限,依题意B,D均在y轴的左侧,又=,则M也在y轴的左侧且B点在x轴上方,显然AB⊥BD,由抛物线的定义知|AB|=|AF|,又|BF|=|AF|,则△ABF为等边三角形,∠BAF=∠AFB=,则∠BFM=∠AFN=,因此|AF|=|MF|=|BF|==4,∠AFM=,在△AFM中|AM| = ==4. 二、多选题 10.(2024·长沙二模)已知抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称,则下列说法正确的是 (　　) A.抛物线C的焦点坐标是(-1,0) B.抛物线C关于y轴对称 C.抛物线C的准线方程为x=1 D.抛物线C的焦点到准线的距离为4 解析:选AC　因为抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称,所以抛物线C的方程为y2=-4x,则抛物线C的焦点坐标是(-1,0),准线方程为x=1,故A、C正确;抛物线C关于x轴对称,故B错误;抛物线C的焦点到准线的距离为2,故D错误. 11.(2025·郴州模拟)已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则 (　　) A.C的准线方程为x=-4 B.点F的坐标为(0,4) C.|FN|=12 D.△ONF的面积为16(O为坐标原点) 解析:选ACD　如图,不妨设点M位于第一象限,设抛物线的准线l与x轴交于点F',作MB⊥l于点B,NA⊥l于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为x=-4,点F的坐标为(4,0),则|AN|=4,|FF'|=8.在直角梯形ANFF'中,中位线|MB|==6,由抛物线的定义有|MF|=|MB|=6,结合题意,有|MN|=|MF|=6,故|FN|=|MF|+|MN|=6+6=12,|ON|==8,S△ONF=×8×4=16. 12.(2025·重庆期末)已知点O为坐标原点,直线y=x+1与抛物线C:x2=4y相交于A,B两点,焦点为F,则下列选项正确的是 (　　) A.|AB|=8 B.OA⊥OB C.+=1 D.线段AB的中点到x轴的距离为2 解析:选AC　由抛物线C:x2=4y,可得焦点F(0,1),则直线y=x+1过抛物线C的焦点,联立方程组整理得到y2-6y+1=0,显然Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),可得y1+y2=6,y1y2=1,对于A,由抛物线的定义,可得|AB|= y1+y2+p=6+2=8,所以A正确;对于B,由·=x1x2+y1y2=(y1-1)(y2-1)+y1y2 =2y1y2-(y1+y2)+1=-3≠0,所以OA与OB不垂直,所以B错误;对于C,由y2-6y+1=0,可得y1=3+2,y2=3-2,由抛物线定义,可得|AF|=4+2,|BF|=4-2,则+=+=1,所以C正确;对于D,线段AB的中点到x轴的距离为=3,所以D错误. 13.(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点,过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B,则 (　　) A.l与☉A相切 B.当P,A,B三点共线时,|PQ|= C.当|PB|=2时,PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个 解析:选ABD　由题意抛物线y2=4x的准线为x=-1,☉A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1,等于圆的半径,故准线l和☉A相切,A正确;P,A,B三点共线时,即PA⊥l,则P的纵坐标yP=4,由=4xP,得xP=4,故P(4,4),此时切线长|PQ|===,B正确;当|PB|=2时,xP=1,此时=4xP=4,故P(1,2)或P(1,-2),当点P的坐标为(1,2)时,A(0,4),B(-1,2),kPA==-2,kAB==2,不满足kPAkAB=-1;当点P的坐标为(1,-2)时,A(0,4),B(-1,-2),kPA==-6,kAB==6,不满足kPAkAB=-1;于是PA⊥AB不成立,C错误;D选项, 法一　因为抛物线的焦点F(1,0),|PB|=|PF|,所以|PA|=|PB|等价于点P在线段AF的中垂线上,易得该中垂线的方程为y=x+.与抛物线方程联立,得消去y整理得4x2-196x+225=0,Δ=(-196)2-4×4×225>0,所以满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个. 法二:设点直接求解 设P,由PB⊥l可得B(-1,t),又A(0,4),|PA|=|PB|,根据两点间的距离公式,=+1,整理得t2-16t+30=0,Δ=162-4×30=136>0,则关于t的方程有两个解,即存在两个这样的P点,D正确.故选ABD. 三、填空题 14.(2024·天津高考)圆(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F重合,A为两曲线的交点,则原点到直线AF的距离为　　　　.  解析:由题意知圆(x-1)2+y2=25的圆心坐标为(1,0),则F(1,0),故=1,p=2,由抛物线的定义得|AF|=xA+1=5,得xA=4.由对称性不妨设A(4,4),则直线AF的方程为y=(x-1),即4x-3y-4=0,所以原点到直线AF的距离为=. 答案: 15.设抛物线y2=12x的焦点为F,经过点P(4,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,且点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|=　　　　　.  解析:由题意可得F(3,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线的准线:x=-3,过A,B分别作准线的垂线,垂足分别为C,D,根据抛物线的定义,得|AF|=|AC|= x1 +3,|BF|=|BD|= x2+3,故|AF|+|BF|=(x1+x2)+6,因为AB的中点为P(4,1),所以(x1+x2)=4,可得x1+x2=8,所以|AF|+|BF|=(x1+x2)+6=14. 答案:14 16.已知抛物线x2=2ay(a>2)的焦点为F,P为抛物线上一点,且满足|PF|=5,设直线PF的倾斜角为θ,若cos θ=,则点P的坐标为　　　　　.  快审准解:活用抛物线定义,将|PF|=5转化成到准线的距离,由cos θ=得出sin θ,将倾斜角θ和sin θ结合焦点坐标用几何图形表示出来,即可找到关系式,求解a的值,进而得yP和抛物线的方程,从而xP得解. 解析:由题可知F,准线l的方程为y=-,如图,过P作PG⊥l交l于点G,则|PG|=|PF|=5. 过F作FE⊥PG交PG于点E,则|EG|=2|OF|=a,∠PFE=θ,|PE|=5-a或|PE|=a-5.又由cos θ=以及倾斜角范围θ∈[0,π),得sin θ==,所以==⇒a=2或==⇒a=8.又a>2,故a=8,此时x2=2ay=16y,yP=5-=1,将yP=1代入x2=16y得xP=4(舍去)或xP=-4,故P(-4,1). 答案:(-4,1) 17.已知M(3,0),抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点A是直线l与x轴的交点,过抛物线上一点P作直线l的垂线,垂足为Q,直线PF与MQ相交于点N,若+=,则△AMN的面积为　　　　　.  快审准解:先通过+=得到N点位置,再通过△NMF∽△NQP得到线段PQ长度,设P(x0,y0),根据焦半径公式可得求出y0,根据S△AMN=S△PAM可得面积. 解析:如图,由+=,得+=-,又因为F(1,0)为M(3,0),A(-1,0)的中点,所以+=2=-,即N为PF的三等分点,且|NP|=2|NF|,又因为PQ∥MF,所以△NMF∽△NQP,且==,所以|PQ|=2|MF|=4.不妨设P(x0,y0),且在第一象限,p=2,|PQ|=x0+=x0+1=4,解得x0=3,因为点P(x0,y0)在抛物线上,所以y0=2,所以△AMN的面积S△AMN=S△PAM=×|AM|·|y0|=××4×2=. 答案: 第八节 直线与圆锥曲线的位置关系 　　 明确目标 1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法. 2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式. 3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.直线与圆锥曲线的位置关系 设直线l:Ax+By+C=0,圆锥曲线C:F(x,y)=0, 由消去y得到关于x的方程ax2+bx+c=0. 当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线l与圆锥曲线C有2个公共点;Δ=0⇔直线l与圆锥曲线C有1个公共点;Δ<0⇔直线l与圆锥曲线C有0个公共点. 特别地,①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交,有且只有一个交点. ②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交,有且只有一个交点. 2.圆锥曲线的弦长公式 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=·=·|y1-y2|=·. 解题结论拓展 　　圆锥曲线中的中点弦的有关结论 　　设AB为圆锥曲线的弦,点M为弦AB的中点,O为坐标原点: 标准方程 结论 +=1(a>b>0) kAB·kOM=- +=1(a>b>0) kAB·kOM=- -=1(a>0,b>0) kAB·kOM= -=1(a>0,b>0) kAB·kOM= y2=2px(p≠0) kAB=(y0为M的纵坐标) x2=2py(p≠0) kAB=(x0为M的横坐标) 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A选必修①P114例7改编)直线y=kx+2与椭圆+=1有且只有一个交点,则k的值是 (　　) A. B.- C.± D.± 解析:选C　由得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k2)=0,解得k=±. 2.(人A选必修①P136T3改编)已知直线l:y=x-1与抛物线y2=4x交于A,B两点,则线段AB的长是 (　　) A.2 B.4 C.8 D.16 解析:选C　联立消去y并整理得x2-6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=1,所以|AB|==×=8. 3.(人A选必修①P145T4改编)已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1没有公共点,则k的取值范围是 (　　) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) 　　　　B.(-1,1) C.(-∞,-)∪(,+∞) 　　　　D.(-,) 解析:选C　联立消去y得(1-k2)x2+2kx-2=0,当1-k2=0时,方程有解,即直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1有公共点;当1-k2≠0时,Δ=4k2+8(1-k2)<0,解得k<-或k>. 二、易错小题的警醒训练 1. “直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A　直线与双曲线相切时,只有一个公共点,但直线与双曲线相交时,也可能有一个公共点,例如与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点.(易错点:忽视相切与交点个数的关系) 2.若过点P(0,2)的直线l与抛物线C:y2=2x有且只有一个公共点,则这样的直线l共有　　　　条.  解析:①当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则当k=0时,直线l的方程为y=2,满足直线l与抛物线y2=2x有且只有一个公共点;当k≠0时,直线l是抛物线的切线,设直线l的方程为y=kx+2,代入抛物线的方程可得k2x2+(4k-2)x+4=0,由Δ=(4k-2)2-4k2·4=0,得k=,故切线方程为y=x+2.②当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,满足直线l与抛物线y2=2x有且只有一个公共点.综上,满足题意的直线l共有3条.(易错点:忽视直线与抛物线位置关系中的特殊情形) 答案:3 题点一　直线与圆锥曲线的位置关系的判断(自主练通) 1.已知双曲线C:-y2=1,过点P(2,1)与双曲线C有且只有一个公共点的直线有 (　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析:选B　由双曲线方程知,右顶点坐标为(2,0),渐近线方程为y=±x,显然P(2,1)在y=x上,如图所示,所以过点P的直线x=2以及与y=-x平行且过点P的直线与双曲线都只有一个交点.故共有2条直线满足要求. 2.若直线y=k(x+2)+1与抛物线y2=4x只有一个公共点,则k的值为　　　　　　　.  解析:当斜率k=0时,直线y=1平行于x轴,与抛物线y2=4x仅有一个公共点.当斜率不等于0时,直线y=k(x+2)+1与抛物线y2=4x联立,消去x可得y2-+8+=0,∵直线y=k(x+2)+1与抛物线y2=4x只有一个公共点,∴Δ=--32=0,∴k=或k=-1.综上,k的值为0或或-1. 答案:0或或-1 3.已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C: (1)有两个不同的公共点; (2)有且只有一个公共点. 解:将直线l的方程与椭圆C的方程联立, 得方程组将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0.　③ Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144. (1)当Δ>0,即-3<m<3时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点. (2)当Δ=0,即m=±3时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. |思维建模|　直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 代数法 联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元二次方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标 几何法 画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点的个数 题点二　中点弦问题 [例1]　(2025·衡水模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,短轴顶点分别为M,N,四边形MF1NF2的面积为32. (1)求椭圆C的标准方程; (2)直线l交椭圆C于A,B两点,若AB的中点坐标为(-2,1),求直线l的方程. 解:(1)因为离心率e==,所以a=c, 因为a2=b2+c2,所以b=c. 因为四边形MF1NF2的面积为32,所以2bc=32, 所以b=c=4,a=4, 故椭圆C的标准方程为+=1. (2)由题意得,直线l的斜率存在. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得+=0,所以=-·.因为AB的中点坐标为(-2,1),所以=1,所以直线l的斜率为1, 故直线l的方程为y-1=x+2,即x-y+3=0. |思维建模|　解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路 (1)根与系数的关系法:联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组,消元得到一元二次方程后,由根与系数的关系及中点坐标公式求解. (2)点差法:设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程,并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子,可以大大减少计算量. [即时训练] 1.已知双曲线方程为x2-=1,则以A(2,1)为中点的弦所在直线l的方程是 (　　) A.6x+y-11=0 B.6x-y-11=0 C.x-6y-11=0 D.x+6y+11=0 解析:选B　设直线l交双曲线x2-=1于点M(x1,y1),N(x2,y2),则由已知得两式作差得-=,所以==6,即直线l的斜率为6,故直线l的方程为y-1=6(x-2),即6x-y-11=0.经检验满足题意. 2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为1,若抛物线C上存在关于直线l:x-y-2=0对称的不同的两点P和Q,则线段PQ的中点坐标为　　　　　　.  解析:因为焦点到准线的距离为p,则p=1,所以y2=2x.设点P(x1,y1),Q(x2,y2).则则(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2),∴kPQ=,又∵P,Q关于直线l对称,∴kPQ=-1,即y1+y2=-2,∴PQ中点的纵坐标为=-1,又∵PQ的中点在直线l上,∴PQ中点的横坐标为=(-1)+2=1.∴线段PQ的中点坐标为(1,-1). 答案:(1,-1) 题点三　弦长问题 [例2]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知点A(0,3)和点P分别为椭圆C:+=1(a>b>0)上的两点. (1)求C的离心率; (2)若过点P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程. 解:(1)由题意得解得 所以e===. (2)法一　易知kAP==-,则直线AP的方程为y=-x+3,即x+2y-6=0, |AP|==, 由(1)知C:+=1. 设点B到直线AP的距离为d,则d==, 则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位长度即可,此时该平行线与椭圆的交点即为点B, 设该平行线的方程为x+2y+C=0, 则=,解得C=6或C=-18, 当C=6时,联立 解得或 即B(0,-3)或, 当B(0,-3)时,此时kl=,直线l的方程为y=x-3,即3x-2y-6=0, 当B时,此时kl=,直线l的方程为y=x,即x-2y=0, 当C=-18时,联立得2y2-27y+117=0,Δ=272-4×2×117=-207<0,此时该直线与椭圆无交点. 综上,直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 法二　当直线AB的斜率不存在时,此时B(0,-3), S△PAB=×6×3=9,符合题意,此时kl=,直线l的方程为y=x-3,即3x-2y-6=0, 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+3, 联立椭圆方程有则(4k2+3)x2+24kx=0,其中k≠kAP,即k≠-, 解得x=0或x=,k≠0,k≠-. 令x=,则y=, 则B, 同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0, 点B到直线AP的距离d=, 则=,解得k=, 此时B,则得到此时kl=,直线l的方程为y=x,即x-2y=0, 综上,直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 法三　当l的斜率不存在时,l:x=3,B,|PB|=3,点A到PB的距离d=3, 此时S△ABP=×3×3=≠9,不满足条件. 当l的斜率存在时,设PB:y-=k(x-3), 令P(x1,y1),B(x2,y2), 消y可得(4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k-27=0, Δ=-4(4k2+3)(36k2-36k-27)>0,且k≠kAP,即k≠-, |PB|= =, 点A到直线PB的距离d=, S△PAB=··=9, ∴k=或k=,均满足题意,∴l:y=x或y=x-3,即3x-2y-6=0或x-2y=0. 法四　当l的斜率不存在时,l:x=3,B,|PB|=3,点A到PB的距离d=3, 此时S△ABP=×3×3=≠9,不满足条件. 当l的斜率存在时,设l:y=k(x-3)+, 设l与y轴的交点为Q,令x=0, 则Q, 联立则有(3+4k2)x2-8kx+36k2-36k-27=0, 其中Δ=(8k)2-4(3+4k2)(36k2-36k-27)>0,且k≠-, 则3xB=,xB=, 则S=|AQ||xP-xB|==9,解得k=或k=,经代入判别式验证均满足题意. 则直线l为y=x或y=x-3,即3x-2y-6=0或x-2y=0. |思维建模|　弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解. (2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长公式的常见形式有如下几种: ①|AB|=|x1-x2| =; ②|AB|=|y1-y2| =(k≠0). [即时训练] 3.(2025·承德模拟)已知曲线C:x2-y2=1和直线l:y=kx-1. (1)若直线l与曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围; (2)若直线l与曲线C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值. 解:(1)由消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0. ∵直线l与曲线C有两个不同的交点, ∴解得-<k<,且k≠±1, ∴实数k的取值范围为(-,-1)∪(-1,1)∪(1,). (2)设A(x1,y1),B(x2,y2). 由(1)可知x1+x2=-,x1x2=, ∴|AB|=|x1-x2|=·=. ∵点O到直线l的距离d=, ∴S△AOB=·|AB|·d==, 即2k4-3k2=0,∴k=0或k=±. ∴实数k的值为0,,-. 数智赋能:电子版随堂训练(特殊曲线问题),根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测]　　　　 (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.(2025·芜湖模拟)已知椭圆+=1,一组斜率为的平行直线与椭圆相交,则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为 (　　) A.y=x B.y=-2x C.y=-x D.y=2x 解析:选C　设斜率为的平行直线与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2),且中点为M(x,y),可得x1+x2=2x,y1+y2=2y.由两式相减得+=0,整理得=-=-=,可得y=-x,即这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为y=-x.故选C. 2.(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m= (　　) A. B. C.- D.- 解析:选C　将直线y=x+m与椭圆C联立消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0.因为直线y=x+m与椭圆C相交于A,B两点,则Δ=36m2-4×4(3m2-3)>0,解得-2<m<2.由题意,F1(-,0),F2(,0),因为△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍,即=2×,解得m=-或m=-3(舍去),故选C. 3.(2025·南昌开学考试)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的离心率为,直线l的斜率为-,且过点M(a,b),直线l与x轴交于点C,点D在E的右支上,且满足=λ,则λ= (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由题意知e==,所以a=2b,则M(2b,b),故直线l的方程为y-b=-(x-2b).令y=0,得x=4b,所以C(4b,0).又因为=λ,所以D((2λ+2)b,(1-λ)b),代入-=1,化简得4(λ+1)2-(1-λ)2=1,解得λ=.故选D. 4.(2025·大理模拟)已知抛物线C:x2=4y上存在两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线l:y=-x+a对称,若x1x2=-2,则a= (　　) A.5 B. C.4 D. 解析:选B　设直线AB为y=x+b,代入抛物线得x2-4x-4b=0,则x1+x2=4,x1x2=-4b,∴b=,直线AB为y=x+,线段AB的中点记为M(x0,y0),则x0==2,y0=x0+=.又中点M在l上,∴=-2+a,∴a=.故选B. 5.(2025·济南模拟)已知双曲线C:x2-=1(b>0)的左焦点为F,过坐标原点O作C的一条渐近线的垂线l,直线l与C交于A,B两点,若△ABF的面积为,则C的离心率为 (　　) A.3 B. C.2 D. 解析:选B　由题意可知a=1,c==,则F(-c,0),不妨取一条渐近线为y=bx,则l:x=-by,联立方程解得|y|=,由对称性可知,点O为线段AB的中点,则S△ABF=2S△AOF=2××c×=,即=,解得b=2,则c==,所以C的离心率为e==.故选B. 6.(2022·新课标Ⅰ卷改编)已知椭圆C:+=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是 (　　) A.8 B.10 C.13 D.16 解析:选C　如图,连接AF1,DF2,EF2,因为C的离心率为,所以=,所以a=2c,所以b2=a2-c2=3c2.因为|AF1|=|AF2|=a=2c=|F1F2|,所以△AF1F2为等边三角形,又DE⊥AF2,所以直线DE为线段AF2的垂直平分线,所以|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|,且∠EF1F2=30°,所以直线DE的方程为y=(x+c),代入椭圆C的方程+=1,得13x2+8cx-32c2=0.设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-, 所以|DE|====6,解得c=,所以a=2c=,所以△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DE|=4a=13. 二、多选题 7.设椭圆的方程为+=1,斜率为k的直线不经过原点O,而且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点.下列结论正确的是 (　　) A.直线AB与OM垂直 B.若点M坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0 C.若直线方程为y=x+1,则点M坐标为 D.若直线方程为y=x+2,则|AB|= 解析:选BD　对于A,设M(x0,y0),根据椭圆的中点弦的性质知kAB·kOM=-·=-=-2≠-1,A不正确;对于B,根据kAB·kOM=-2,所以kAB=-2,所以直线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,B正确;对于C,若直线方程为y=x+1,点M,则kAB·kOM=1×4=4≠-2,C不正确;对于D,若直线方程为y=x+2,与椭圆方程+=1联立,整理得3x2+4x=0,解得x1=0,x2=-,所以|AB|=×=,D正确. 8.(2022·新课标Ⅰ卷)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则 (　　) A.C的准线为y=-1 B.直线AB与C相切 C.|OP|·|OQ|>|OA|2 D.|BP|·|BQ|>|BA|2 解析:选BCD　将点A(1,1)的坐标代入x2=2py(p>0),解得p=.所以抛物线C:x2=y,其准线方程为y=-,所以A错误.由y=x2,得y'=2x.当x=1时,y'=2,所以抛物线C在点A(1,1)处的切线方程为y=2x-1.令x=0,得y=-1,即切线y=2x-1过点B,所以B正确.设直线PQ:y=kx-1,P(x1,),Q(x2,).将PQ:y=kx-1与C:x2=y联立,得x2-kx+1=0,所以Δ=k2-4>0,x1+x2=k,x1x2=1,所以|OP|·|OQ|=·=|x1x2|·=>=2=|OA|2,所以C正确.因为|BP|·|BQ|=|x1|·|x2|=1+k2>5=|BA|2,所以D正确. 9.(2025·阜阳模拟)已知双曲线x2-=1,过原点的直线AC,BD分别交双曲线于A,C和B,D四点(A,B,C,D四点逆时针排列),且两直线斜率之积为-,则下列结论正确的是 (　　) A.四边形ABCD一定是平行四边形 B.四边形ABCD可能为菱形 C.AB的中点可能为(2,2) D.tan∠AOB的值可能为 解析:选AD　由双曲线的中心对称性可知,点A,B分别关于原点与C,D对称,故|OA|=|OC|,|OB|=|OD|,所以四边形ABCD一定是平行四边形,而直线AC,BD斜率之积为-,则AC与BD不垂直,所以四边形ABCD不可能为菱形,A正确,B错误;设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,两式作差得(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)·(y1+y2)=0,若AB的中点为(2,2),可得x1+x2=4,y1+y2=4,代入上式,求得3(x1-x2)-(y1-y2)=0,故AB的方程为y=3x-4,联立方程组整理得6x2-24x+19=0,可得x1+x2=4,x1x2=,则y1y2=(3x1-4)(3x2-4)=9x1x2-12(x1+x2)+16=-,此时≠-,故C错误;当点A位于第一象限,点B位于第二象限,设直线OA的斜率为k,则直线OB的斜率为-,结合双曲线渐近线y=±x,易知k∈(0,),-∈(-,0),可得k∈,又因为tan∠AOB==-,所以tan∠AOB的取值范围为;当点A位于第四象限,点B位于第一象限,同理,可得tan∠AOB的取值范围为.综上tan∠AOB的取值范围为∪,所以D正确.故选AD. 三、填空题 10.(2024·北京高考)已知双曲线-y2=1,则过(3,0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为　　　　.  解析:联立x=3与-y2=1,解得y=±,这表明满足题意的直线斜率一定存在,设所求直线斜率为k,则过点(3,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x-3),联立化简并整理得(1-4k2)x2+24k2x-36k2-4=0,由题意得1-4k2=0或Δ=(24k2)2+4(36k2+4)(1-4k2)=0,解得k=±或无解,即k=±,经检验,符合题意. 答案:± 11.(2025·贵阳开学考试)已知直线x-4y+9=0与椭圆+=1(0<b<4)相交于A,B两点,椭圆的两个焦点是F1,F2,线段AB的中点为C(-1,2),则△CF1F2的面积为　　　　　　 .  解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题可知=,x1+x2=-2,y1+y2=4,则所以=-,即=,解得b2=8,所以c2=a2-b2=16-8=8,则c=2,所以=×2c×2=4. 答案:4 四、解答题 12.设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4. (1)求直线AB的斜率; (2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程. 解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4, 于是直线AB的斜率k===1. (2)由y=,得y'=.设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1). 设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|. 将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0. 当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.从而|AB|=|x1-x2|=4. 由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7,所以直线AB的方程为y=x+7. 13.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,点O为坐标原点,线段OA的中点恰好为F,点F到直线AB的距离为. (1)求C的方程; (2)设点E在直线x=4上,过F作EF的垂线交椭圆C于M,N两点.记△MOE与△NOE面积分别为S1,S2,求的值. 解:(1)设F(c,0),则c=,由线段OA的中点恰好为F,得c=,所以a2-b2=,整理得b2=a2,由A(a,0),B(0,b)得直线AB的方程为bx+ay-ab=0, 所以点F到直线AB的距离为====,所以b=,a=2, 椭圆C的方程为+=1. (2)设E(4,t),M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点G(x0,y0), 则x0=,y0=.由(1)知F(1,0),直线EF的斜率k1=, 当t≠0时,直线MN的斜率k2=-=.因为点M,N在椭圆C上,所以两式相减, 整理得+=0,又x0=,y0=,所以=,直线OG的斜率为kOG=, 因为直线OE的斜率为kOE=,所以O,G,E三点共线,即直线OE过线段MN的中点G, 当t=0时,直线OE也过线段MN的中点G,所以M,N到直线OE的距离相等,即△OME与△ONE等底等高.所以S1=S2,=1. 第九节　圆锥曲线中的求值与证明问题 题点一　求值问题 [例1]　(2024·北京高考)已知椭圆E:+=1(a>b>0),以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(0,t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D. (1)求椭圆E的方程及离心率; (2)若直线BD的斜率为0,求t的值. 快审准解:(1)由题意得b=c=,进一步得a,由此即可得解; (2)说明直线AB斜率存在,设AB:y=kx+t(k≠0,t>),A(x1,y1),B(x2,y2),联立椭圆方程,由根与系数的关系有x1+x2=,x1x2=,而A,C,D三点共线,由kAC=kCD即可得解. 解:(1)由题意可知b=,c=,所以a==2, 故椭圆E的方程为+=1,离心率e==. (2)易知AB斜率不为0,否则直线AB与椭圆无交点,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+t(k≠0), 联立得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-4=0. 所以Δ=(4kt)2-4(1+2k2)(2t2-4)>0,即4k2-t2+2>0, 由根与系数的关系得　①. 由椭圆的对称性可得D(-x2,y2), 因为A,C,D三点共线,所以kAC=kCD, 所以=,即x1y2+x2y1-(x1+x2)=0. 由y1=kx1+t,y2=kx2+t,得x1(kx2+t)+x2(kx1+t)-(x1+x2)=0, 整理得2kx1x2+(t-1)(x1+x2)=0　②. 所以2k·+(t-1)·=0,解得t=2.此时k满足4k2+2-t2=4k2-2>0,k≠0. 所以t的值为2. |思维建模| (1)解答直线与椭圆相交的题目时,常用到“设而不求”的方法,即联立直线和椭圆的方程,消去y(或x)得一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件,建立有关参变量的等量关系求解. (2)涉及直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形. [即时训练] 1.(2025·保定开学考试)已知双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的实轴长为4,离心率e=. (1)求Γ的方程; (2)过Γ上任意一点作圆x2+y2=1的切线l,求切线l斜率最大时,l与Γ的渐近线围成的三角形面积. 快审准解:(1)根据题意,列出关于a,b,c的方程,代入计算,即可求解; (2)根据题意,联立直线与双曲线方程,即可得到k的取值范围,当切线l斜率最大时可得此时k,m的值,再由弦长公式,结合三角形的面积公式,代入计算,即可得到结果. 解:(1)由题意可得2a=4,a=2,又e=,c=3, 所以b2=c2-a2=5,则双曲线Γ的方程为-=1. (2)设切线l的方程为y=kx+m,则原点到y=kx+m的距离为1,得=1,即m2=k2+1. 由得(5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0. 因为切线l:y=kx+m过Γ上一点,所以5-4k2≠0,方程(5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0有解. 得Δ=64k2m2-4(5-4k2)(-4m2-20)≥0,化简得m2+5≥4k2,又m2=k2+1,解得-≤k≤, 所以切线l斜率最大为,此时直线为y=x±.不妨取切线l方程为y=x-, 设y=x-与Γ的渐近线交于A(x1,y1),B(x2,y2), 则Γ的渐近线方程-=0与y=x-联立,得3x2-8x+12=0,则x1+x2=,x1x2=4,得|AB|== =4,又原点到直线y=x-的距离为1,所以△ABO面积为=2,即切线l斜率最大时与Γ的渐近线围成的三角形面积为2. 题点二　证明问题 [例2]　(2024·全国甲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点M在C上,且MF⊥x轴. (1)求C的方程; (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证明:AQ⊥y轴. 快审准解:(1)根据M的坐标及MF⊥x轴可求基本量,故可求椭圆方程; (2)设AB:x=ty+4(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),Q(1,n),联立直线方程和椭圆方程,用A,B的坐标表示n-y1,结合根与系数的关系化简可得n-y1=0,故可证AQ⊥y轴. 解:(1)法一:直接法　由题意知 解得所以椭圆C的方程为+=1. 法二　由题意知解得 所以椭圆C的方程为+=1. 法三:巧用椭圆的定义　设F'为C的左焦点,连接MF'(图略),则|MF|=,|FF'|=2, 在Rt△MFF'中,|MF'|===. 由椭圆的定义知2a=|MF'|+|MF|=4,2c=|FF'|=2, 所以a=2,c=1.又a2=b2+c2,所以b=, 所以椭圆C的方程为+=1. (2)证明:分析知直线AB的斜率存在. 易知当直线AB的斜率为0时,AQ⊥y轴. 当直线AB的斜率不为0时,设直线AB:x=ty+4(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),Q(1,n), 联立方程 消去x得(3t2+4)y2+24ty+36=0,Δ>0, 则y1+y2=,y1y2=. 因为N为线段FP的中点,F(1,0),所以N. 由N,Q,B三点共线,得kBN=kNQ,即=,得-y2=n,解得n=. 所以n-y1=-y1=-y1===0, 所以n=y1,所以AQ⊥y轴.综上,AQ⊥y轴. |思维建模| 　　树立“转化”意识,证明位置关系,如相切、垂直、过定点等,关键是将位置关系转化为代数关系. 几何性质 代数实现 对边平行 斜率相等,或向量平行 对边相等 横(纵)坐标差相等 对角线互相平分 中点重合 两边垂直 数量积为0 [即时训练] 2.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,E为直线l:y=-1上一点,动点F满足FE⊥l,⊥. (1)求动点F的轨迹C的方程; (2)若过点T作直线与C交于不同的两点M,N,点P(1,1),过点M作y轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B.证明:A为线段BM的中点. 快审准解:(1)设动点F的坐标为(x,y),直接利用题中的条件列式并化简,从而求出动点F的轨迹方程; (2)设点M(x1,y1),N(x2,y2),A(xA,y1),B(xB,y1),要证A为线段BM的中点,只需证2xA=xB+x1即可,设直线的方程为x=my+,联立直线与曲线的方程,列出根与系数的关系,由直线OP,ON可求得点A,B,计算xB+x1-2xA=0即可证. 解:(1)设点F(x,y),则E(x,-1),因为⊥,所以·=0,所以x2-y=0,即x2=y,所以动点F的轨迹C的方程为y=x2. (2)证明:因为BM⊥y轴,所以设M(x1,y1),N(x2,y2),A(xA,y1),B(xB,y1), 若要证A为线段BM的中点,只需证2xA=xB+x1即可, 当直线MN斜率不存在或斜率为0时,与抛物线只有一个交点,不满足题意, 所以直线MN斜率存在且不为0,x1x2y1y2≠0, 设直线MN:x=my+,m≠0,由得2mx2-2x+1=0, Δ=4-4×2m×1=4-8m.由题意可知,直线MN与抛物线C有两个交点, 所以Δ>0,即4-8m>0,所以m<,由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=.由题意,得直线OP的方程为y=x,所以A(y1,y1),直线ON的方程为y=x,所以B, 所以xB+x1-2xA=+x1-2y1=+x1-2=x1=x1·=(x1+x2-2x1x2)==0,所以A为线段BM的中点. 习得方略:能直接列出等量关系式时可以用直接法求轨迹方程,解题步骤为 (1)根据已知条件及一些基本公式(两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等)直接列出动点满足的等量关系式,从而得到轨迹方程; (2)注意“多点”和“少点”,一般情况下,斜率和三角形顶点等约束条件. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 1.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,E的一条渐近线方程为y=x,过F1且与x轴垂直的直线与E交于A,B两点,且△ABF2的周长为16. (1)求E的方程; (2)过F2作直线l与E交于C,D两点,若=3,求直线CD的斜率. 快审准解:(1)将x=-c代入曲线E得y=±,故得|AF1|=|BF1|=,从而结合双曲线定义以及题意得解出a,b即可得解. (2)由题意得直线l的斜率存在且不为0,设l:x=my+2(m≠0),接着与曲线E联立方程结合根与系数的关系求得y1+y2和y1y2,由=3得y1=-3y2,与根与系数的关系结合即可求出m2,进而即可得直线CD的斜率. 解:(1)将x=-c代入E:-=1(a>0,b>0),得y=±,所以|AF1|=|BF1|=, 所以|AF2|=|BF2|=+2a, 所以由题得⇒ 所以双曲线E的方程为E:x2-=1. (2)由(1)知F2(2,0),显然当直线l的斜率不存在或l的斜率为0时,=3不成立, 故直线l的斜率存在,且不为0,设l:x=my+2(m≠0),C(x1,y1),D(x2,y2), 联立⇒(3m2-1)y2+12my+9=0,则Δ=36m2+36>0,且3m2-1≠0即m2≠, y1+y2=-,y1·y2=, 又=3,所以y1=-3y2, 所以 所以由得=-,解得m2=,故=15,故直线CD的斜率为或-. 2.(2025·长治模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),且该椭圆过点(2,),直线l交椭圆E于A,B两点. (1)求椭圆E的方程; (2)若AB的中点坐标为(1,-1),求直线l的方程; (3)若直线l方程为y=k(x-3)(k≠0),过A,B作直线m:x=6的垂线,垂足分别为P,Q,点R为线段PQ的中点,求证:四边形ARQF为梯形. 快审准解:(1)根据已知条件求得a2,b2,从而求得椭圆E的方程. (2)利用点差法求得直线l的斜率,进而求得直线l的方程. (3)联立直线l的方程和椭圆E的方程,化简写出根与系数的关系,计算kAR-kFQ=0,以及AF与RQ不平行,从而判断出四边形ARQF为梯形. 解:(1)由题得a2=b2+9, 将(2,)代入+=1得+=1, 解得b2=9,a2=18,椭圆E的方程为+=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,且=1,=-1, 两式相减得=-,可得==, 故l的方程为y+1=(x-1),即x-2y-3=0. (3)证明: 由得(1+2k2)x2-12k2x+18k2-18=0,x1+x2=,x1x2=,且Δ>0, kAR-kFQ=- = = = ==0, ∴AR∥FQ,又直线AB的斜率存在且不为0,AF与RQ不平行,∴四边形ARQF为梯形. 3.(2025·安康模拟)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且互相垂直的两条动直线分别与E交于点A,B和点C,D,当|AB|=|CD|时,|AB|=8. (1)求E的方程; (2)设线段AB,CD的中点分别为M,N,若直线AB的斜率为正,且=,求直线AB和CD的方程. 解:(1)由题意可知F,直线AB的斜率存在且不为0, 此时直线AB,CD均与抛物线E相交, 设AB:x=my+,m≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),则CD:x=-y+, 联立方程 消去x可得y2-2pmy-p2=0, 则y1+y2=2pm,y1·y2=-p2, 可得|AB|==2p(1+m2), 若|AB|=|CD|,根据抛物线的对称性不妨令直线AB的倾斜角为,即m=1, 可得|AB|=2p(1+1)=4p=8,解得p=2, 所以抛物线E的方程为y2=4x. (2)由(1)可知F(1,0),AB:x=my+1,CD:x=-y+1,且y1+y2=4m,y1·y2=-4, 则=2m, =2m2+1, 即M(2m2+1,2m), 同理可得N, 由题意可知m>0, 则|FM|=|2m-0|=2m,|FN|==, 因为===,解得m=2, 则AB:x=2y+1,CD:x=-y+1,即AB:x-2y-1=0,CD:2x+y-2=0. 4.已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),右焦点为F(,0),且离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=. 解:(1)由题意,知椭圆的半焦距c=且e==,所以a=,又b2=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)证明:由(1)得,曲线为x2+y2=1(x>0), 当直线MN的斜率不存在时,直线MN:x=1,不符合题意; 当直线MN的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2). 必要性:若M,N,F三点共线,可设直线MN:y=k(x-),即kx-y-k=0, 由直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切可得=1,解得k=±1,联立 可得4x2-6x+3=0,所以x1+x2=,x1x2=,所以|MN|=·=,所以必要性成立; 充分性:设直线MN:y=kx+m(km<0), 即kx-y+m=0, 由直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切可得=1,所以m2=k2+1, 联立 可得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0, 所以x1+x2=-,x1x2=, 所以|MN|=·=·=·=,化简得3(k2-1)2=0,所以k=±1, 所以或 所以直线MN:y=x-或y=-x+, 所以直线MN过点F(,0),即M,N,F三点共线,充分性成立. 所以M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=. 第十节　圆锥曲线中的最值、范围问题 方法一　不等式法求最值、范围问题 [例1]　已知椭圆M:+=1(a>0)的一个焦点为F(-1,0),左、右顶点分别为A,B,经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点. (1)求椭圆M的方程; (2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值. 解:(1)因为F(-1,0)为椭圆M的焦点,所以c=1. 又b=,所以a=2.所以椭圆M的方程为+=1. (2)法一　当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=-1,此时△ABD与△ABC的面积相等,即|S1-S2|=0. 当直线l的斜率存在时,设C(x1,y1),D(x2,y2),直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0),与椭圆M的方程联立,消去y,得(3+4k2)x2+8$$