第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（教师用书）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第一章|集合与常用逻辑用语、不等式 第一节 　　集　合 明确目标 1.了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系,能用列举法或描述法表示集合. 2.理解集合之间的包含与相等,能识别给定集合的子集,了解全集与空集. 3.理解并会求两个集合的并、交、补集,能用Venn图表示集合的基本关系与运算. 教材再回首 1.集合与元素 元素的特性 确定性、互异性、无序性 集合的表示法 列举法、描述法、图示法 常见数集 自然数集(非负整数集),记作N;正整数集,记作N*或N+;整数集,记作Z;有理数集,记作Q;实数集,记作R 元素与集合 的关系 若a属于集合A,记作a∈A; 若b不属于集合A,记作b∉A 2.集合间的基本关系 文字语言 符号语言 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B或B⊇A 真子集 集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A AB或BA 相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素 A⊆B且B⊆A⇔A=B 空集是任何集合的子集,任何非空集合的真子集 3.集合的基本运算 语言表示 图形表示 符号语言 并 集 所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B={x|x∈A,或x∈B} 交 集 所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B={x|x∈A,且x∈B} 补 集 若全集为U,则集合A的补集为∁UA ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 4.集合的运算性质 交集 A∩B=B∩A,A∩B⊆A,A∩B⊆B,A∩A=A,A∩∅=∅,A⊆B⇔A∩B=A 并集 A∪B=B∪A,A∪B⊇A,A∪B⊇B,A∪A=A,A∪∅=A,A⊆B⇔A∪B=B 补集 ∁U(∁UA)=A,∁U∅=U,∁UU=∅,A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U 解题结论拓展 (1)(人B必修①P14“探索与研究”结论)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个. (2)集合关系的传递性:A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB. (3)(人B必修①P19“探索与研究”结论)德·摩根定律:∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). (4)(人A必修①P15“阅读与思考”结论)容斥原理:对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(苏教必修①P23T7)若M={-1,0,1,2,3,4,5,6,7},N={x|x2-2x-3=0,x∈R},则∁MN= (　　) A.{-1,3} B.{-1,0,1,2,3,4,5,6,7} C.{0,1,2,4,5,6,7} D.{1,2,3,4,5,6,7} 答案:C 2.(人A必修①P14T1改编)若集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则A∪B=　　　　.  解析:易知B={x|x≥3},故A∪B={x|x≥2}. 答案:{x|x≥2} 3.(人A必修①P9T5改编)已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B⊆A,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:由图可知a≥2. 答案:[2,+∞) 二、易错小题的警醒训练 1.已知集合A={y|y=x2},B={x|y=},则A∩B= (　　) A.[0,+∞) B.[-1,+∞) C.[-1,0] D.(-1,0) 解析:选A　易知A=[0,+∞),B=[-1,+∞),故A∩B=[0,+∞).(易错点:混淆集合的代表元素) 2.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为 (　　) A.1 B.- C.1或- D.-1或 解析:选B　当m+2=3时,m=1,此时,m+2=2m2+m=3,故舍去;当2m2+m=3时,解得m=-(m=1舍去).(易错点:忽视元素的互异性) 题点一　集合的含义与表示(自主练通) 1.(2025·沈阳模拟)下列四个命题正确的个数是 (　　) ①{0}是空集;②若a∈N,则-a∉N; ③集合{x∈R|x2-2x+1=0}有两个元素; ④集合是有限集. A.1 B.2 C.3 D.0 解析:选D　对于①,{0}不是空集,空集中无任何元素,故①错误;对于②,若a∈N,当a=0时,-a∈N,故②错误;对于③,集合{x∈R|x2-2x+1=0}={1},只有一个元素,故③错误;对于④,集合是无限集,故④错误.综上,正确的命题有0个. 2.(2024·济南二模)已知集合{x|(x-a2)(x-1)=0}的元素之和为1,则实数a所有取值的集合为 (　　) A.{0} B.{1} C.{-1,1} D.{0,-1,1} 解析:选D　因为集合{x|(x-a2)(x-1)=0}的元素之和为1,所以一元二次方程(x-a2)(x-1)=0有相等实根时,可得x=a2=1,即a=±1,当方程有两个不相等实根时,x=a2=0,即a=0.综上,实数a所有取值的集合为{0,1,-1}. 3.已知集合A={x|ln x<1},若a∉A,则a可能是 (　　) A. B.1 C.2 D.3 解析:选D　由ln x<1, 得0<x<e,则A={x|0<x<e},∁RA={x|x≤0,或x≥e}.由a∉A,得a∈∁RA,故选D. 4.(2025·大连模拟)已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z},且a∈P,b∈Q,则下列结论正确的是 (　　) A.a+b∈M B.a+b∈Q C.a-b∈P D.a·b∈Q 解析:选B　因为a∈P,所以a=2k1,k1∈Z,因为b∈Q,所以b=2k2+1,k2∈Z,所以a+b=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+ 1∈Q,故A错误,B正确;所以a-b=2k1-2k2-1=2(k1-k2-1)+1∈Q,故C错误;所以a·b=2k1·(2k2+1)=2(2k1k2+k1)∈P,故D错误.故选B. |思维建模|　与集合概念有关问题的求解策略 (1)研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是数集、点集,还是其他集合;然后再看集合的构成元素满足的限制条件,从而准确把握集合的含义. (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 题点二　集合间的基本关系 [例1] (1)已知集合M=,N=,则下列表述正确的是 (　　) A.M∩N=∅ B.M∪N=R C.M⊆N D.N⊆M 解析:选C　因为M==,N==,且2n+1表示所有的奇数,n+2表示所有的整数,所以M⊆N. (2)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a= (　　) A.2 B.1 C. D.-1 解析:选B　依题意有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时,解得a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足A⊆B;当2a-2=0时,解得a=1,此时A={0,-1},B={-1,0,1},满足A⊆B.所以a=1,故选B. |思维建模|　集合间基本关系解题策略 (1)一般利用数轴法、Venn图以及结构法判断两集合间的关系.如果集合中含有参数,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论. (2)确定非空集合A的子集的个数,需要先确定集合A中的元素的个数.不能忽略任何非空集合是它自身的子集. (3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系,常用数轴法、Venn图求解. [即时训练] 1.(2024·鹰潭三模)已知集合A={x||x-1|≤2},B={-t,t},且B⊆A,则实数t的取值范围是 (　　) A.[-1,1] B.[-3,3] C.[-1,0)∪(0,1] D.[-3,0)∪(0,3] 解析:选C　根据题意得A={x|-1≤x≤3},由B⊆A,得解得-1≤t≤1且t≠0.(易忽视排除t=0的情况)故实数t的取值范围是[-1,0)∪(0,1]. 2.(2024·重庆三模)已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|-1<x<5,x∈N},则满足A⊆CB的集合C的个数为　　　.  解析:因为A={x|x2-5x+6=0}={2,3},B={x|-1<x<5,x∈N}={0,1,2,3,4},所以满足A⊆CB的集合C中必有元素2,3,所以求满足A⊆CB的集合C的个数,即求{0,1,4}集合的真子集个数,所以满足A⊆CB的集合C的个数为23-1=7. 答案:7 谨记结论: 1.绝对值不等式的解法 (1)|x|>a(a>0)⇔x>a或x<-a; (2)|x|<a(a>0)⇔-a<x<a; (3)|ax+b|≤c(c>0)⇔-c≤ax+b≤c; (4)|ax+b|≥c(c>0)⇔ax+b≤-c或ax+b≥c. 2.A⊆B⇒ 题点三　集合的基本运算 考法(一)　集合的运算 [例2] (1)(2024·全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则∁A(A∩B)= (　　) A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} 解析:选D　由题意得B={1,4,9,16,25,81},则A∩B={1,4,9},所以∁A(A∩B)={2,3,5}.故选D. (2)已知集合A=,B={y||y|<2},则A∪B= (　　) A.(-2,1) B.(-1,2) C.∅ D.(-2,5) 解析:选D　因为A=={x|-1<x<5},B={y||y|<2}={y|-2<y<2},所以A∪B=(-2,5). (注意:用描述法表示集合时,一定要理解其表示的含义) 考法(二)　求参数的值或范围 [例3] (1)(2024·武汉二模)设集合A={x∈Z|x(x-4)<0},B={x|x2-2x+m=0},若A∩B={3},则B= (　　) A.{-3,1} B.{-1,3} C.{1,3} D.{-3,-1} 解析:选B　因为A∩B={3},所以3∈B,9-6+m=0,所以m=-3,所以x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1,所以B={-1,3},又A={1,2,3},满足A∩B={3}. (2)(2025·亳州模拟)已知集合A={x|1≤x<5},B={x|-a<x≤a+4},若B⊆(A∩B),则a的取值范围为 (　　) A.{a|-2<a<-1} B.{a|a<-2} C.{a|a≤-1} D.{a|a>-2} 解析:选C　∵B⊆(A∩B),又(A∩B)⊆B,∴A∩B=B,即B⊆A.①当B=∅时,满足B⊆A,此时-a≥a+4,解得a≤-2;②当B≠∅时,由B⊆A,得解得-2<a≤-1.综上所述,a≤-1. 易错提醒:易忽略B为空集的情况,因为空集是任何集合的子集,所以在含参集合中若未指明集合非空,要考虑集合为空集的情况,同时注意所得结果端点值的取舍. |思维建模|　解决集合运算问题的技巧 (1)对于集合的交、并、补运算,如果集合中的元素是离散的,可用Venn图表示;如果集合中的元素是连续的,可用数轴表示. (2)根据集合运算的结果,利用集合运算的定义和数轴建立关于参数的方程(不等式)求解. [即时训练] 3.(2025·德阳模拟)设全集U={x∈N|x2-5x≤0},∁UA={2,5},B={1,2,3},则A∩B= (　　) A.{1} B.{2} C.{1,3} D.{2,3} 解析:选C　由x2-5x≤0可得0≤x≤5,所以U={0,1,2,3,4,5}.又因为∁UA={2,5},所以A={0,1,3,4},所以A∩B={1,3}. 4.已知集合A={x|x>a},B={x|1<x≤2},且A∪∁RB=R,则实数a的取值范围是 (　　) A.{a|a≤1} B.{a|a<1} C.{a|a≥2} D.{a|a>2} 解析:选A　因为B={x|1<x≤2},所以∁RB={x|x≤1,或x>2},又A∪∁RB=R,所以a≤1. 5.已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤2},B={x|1≤x≤6},如图所示,则图中阴影部分表示的集合是 (　　) A.{x|-1≤x≤6} B.{x|x<-1} C.{x|x>6} D.{x|x<-1,或x>6} 解析:选D　因为A={x|-1≤x≤2},B={x|1≤x≤6},所以A∪B={x|-1≤x≤6},所以图中阴影部分表示的集合∁U(A∪B)={x|x<-1,或x>6}. 习得方略:集合混合运算中的Venn图 题点四　集合的新定义问题 [例4]　若规定集合E={0,1,2,…,n}的子集{a1,a2,a3,…,am}为E的第k个子集,其中k=+++…+,则E的第211个子集的真子集个数是　　　.  快审准解:正确理解k的含义,k=211时,即要先求出满足2n<211,2n+1>211的n=7,即E的第211个子集应含有的元素,计算出211-27=83,再要求满足2n<83,2n+1>83的n=6,即E的第211个子集应含有的元素,如此类推即得. 解析:法一　由27=128<211,28=256>211,则E的第211个子集必包含7,此时211-128=83.又26=64<83,27=128>83,则E的第211个子集必包含6,此时83-64=19.又24=16<19,25=32>19,则E的第211个子集必包含4,此时19-16=3.又21=2<3,22=4>3,则E的第211个子集必包含1.而20=1.综上所述,E的第211个子集是{0,1,4,6,7}.故真子集个数是25-1=31. 法二　因为211=20+21+24+26+27. 所以由题意,可知E的第211个子集为{0,1,4,6,7}, 故真子集个数是25-1=31. 答案:31 |思维建模|　集合新定义问题的“三定” 定元素 确定已知集合中所含的元素,利用列举法写出所有元素 定运算 根据要求及新定义运算,将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题,或转化为数的有关运算问题 定结果 根据定义的运算进行求解,利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素 [即时训练] 6.定义:如果集合U存在一组两两不交(两个集合的交集为空集时,称为不交)的非空真子集A1,A2,…, Ak(k∈N*),且A1∪A2∪…∪Ak=U,那么称子集族{A1,A2,…,Ak}构成集合U的一个k划分.已知集合I={x∈N|x2-6x+5<0},则集合I的所有划分的个数为 (　　) A.3 B.4 C.14 D.16 快审准解:解二次不等式得到集合I,由子集族的定义对集合I进行划分,即可得到所有划分的个数. 解析:选B　依题意,I={x∈N|x2-6x+5<0}={x∈N|1<x<5}={2,3,4},I的2划分为{{2,3},{4}},{{2,4}, {3}},{{3,4},{2}},共3个,I的3划分为{{2},{3},{4}},共1个,故集合I的所有划分的个数为4. 7.(2024·怀化二模)给定整数n≥3,有n个实数元素的集合S,定义其相伴数集T={|a-b||a,b∈S,a≠b},如果min(T)=1,则称集合S为一个n元规范数集.(注:min(X)表示数集X中的最小数)对于集合M={-0.1,-1.1,2,2.5},N={-1.5,-0.5,0.5,1.5},则下列结论正确的是 (　　) A.M是规范数集,N不是规范数集 B.M是规范数集,N是规范数集 C.M不是规范数集,N是规范数集 D.M不是规范数集,N不是规范数集 解析:选C　集合M={-0.1,-1.1,2,2.5}中,2∈M,2.5∈M,则|2-2.5|=0.5<1,即M的相伴数集中的最小数不是1,因此M不是规范数集;集合N={-1.5,-0.5,0.5,1.5},|-1.5-(-0.5)|=1,|-0.5-0.5|=1,|0.5-1.5|=1,|-1.5-0.5|=|-0.5-1.5|=2,|-1.5-1.5|=3,即N的相伴数集中的最小数是1,因此N是规范数集. 数智赋能:电子版随堂训练(Venn图的应用),根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.(2024·全国甲卷)若集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A},则A∩B= (　　) A.{1,3,4} B.{2,3,4} C.{1,2,3,4} D.{0,1,2,3,4,9} 解析:选C　因为B={x|x+1∈A},分别令x+1=1,x+1=2,x+1=3,x+1=4,x+1=5,x+1=9,得x=0,1,2,3,4,8,所以B={0,1,2,3,4,8},于是A∩B={1,2,3,4},故选C. 2.(2024·北京高考)已知集合M={x|-3<x<1},N={x|-1≤x<4},则M∪N= (　　) A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3} C.{x|-3<x<4} D.{x|x<4} 解析:选C　由集合的并运算,得M∪N={x|-3<x<4}. 3.(2024·成都三模)设全集U={1,2,3,4,5},若集合M满足{1,4}⊆∁UM,则 (　　) A.4∈M B.1∉M C.2∈M D.3∉M 解析:选B　全集U={1,2,3,4,5},由{1,4}⊆∁UM,知1∈∁UM,4∈∁UM,则1∉M,4∉M,A错误,B正确;不能判断2∈M,也不能判断3∉M,C、D错误. 4.(2025·内江模拟)已知集合A={(x,y)|x2+y2=4},集合B={(x,y)|y=-x},则A∩B的真子集的个数为 (　　) A.3 B.4 C.7 D.8 解析:选A　由得或所以A∩B={(,-),(-,)},则A∩B中有2个元素,所以A∩B的真子集的个数为22-1=3. 5.(2025·宁德质量检测)已知集合A={-2,0,2,4},B={x||x-3|≤m}.若A∩B=A,则m的取值范围是 (　　) A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(5,+∞) D.[5,+∞) 解析:选D　易知m≥0,由|x-3|≤m得3-m≤x≤3+m.因为A∩B=A,所以A⊆B,则解得m≥5. 6.(2025·大理模拟)已知{x|ax2-4x+1=0}={b},其中a,b∈R,则b= (　　) A.0 B.或 C. D. 解析:选B　由题意知,b为方程ax2-4x+1=0的根,当a=0时,b=;当a≠0时,二次方程有两个相同的根,则有此时b=. (易错提醒:易忽视对a的讨论,而造成漏解) 故b=或b=. 7.已知集合A={x|x2-2x-3<0},B={y|y=ex+1}, 则图中阴影部分表示的集合为 (　　) A.{x|-1<x<1} B.{x|-1<x≤1} C.{x|-1<x<3} D.{x|-1<x≤3} 解析:选B　由x2-2x-3<0,解得-1<x<3,则A={x|-1<x<3}.B={y|y=ex+1}={y|y>1}.又A∩B={x|1<x<3},所以阴影部分表示的集合为∁A(A∩B)={x|-1<x≤1}. 8.(2025·广州一模)设集合A={1,3,a2},B={1,a+2},若B⊆A,则a= (　　) A.2 B.1 C.-2 D.-1 解析:选A　因为B⊆A,所以a+2=3或a2=a+2,解得a=1或a=2或a=-1.当a=1时,A={1,3,1},与集合中元素的互异性矛盾,舍去;当a=2时,A={1,3,4},B={1,4},B⊆A,符合题意;当a=-1时,A={1,3,1},与集合中元素的互异性矛盾,舍去.综上,a=2. 易错提醒:本题中两个集合都含有参数,故求出参数值后,要根据集合中元素的互异性检验参数值是否满足要求. 9.(2024·成都三模)设全集U={x∈N|x≤7},集合M,N满足M={3,7},(∁UM)∩N={4,5},则{0,1,2,6}= (　　) A.M∪(∁UN) B.(∁UM)∪(∁UN) C.M∩(∁UN) D.(∁UM)∩(∁UN) 解析:选D　U={0,1,2,3,4,5,6,7},M={3,7},故∁UM={0,1,2,4,5,6}.又(∁UM)∩N={4,5},故4∈N,5∈N,0,1,2,6∉N.由题意得3,7∈M∪(∁UN),故A错误;由于∁UM={0,1,2,4,5,6},故4,5∈(∁UM)∪(∁UN),B错误;由于0,1,2,6∉M,故0,1,2,6∉M∩(∁UN),C错误;由于0,1,2,6∉N,故0,1,2,6∈∁UN,且4∉∁UN,5∉∁UN,又∁UM={0,1,2,4,5,6},故(∁UM)∩(∁UN)={0,1,2,6}. 10.已知集合A={x∈Z|x2<3},B=,若A∩B有2个元素,则实数a的取值范围是 (　　) A. B.∪ C. D.∪(1,+∞) 解析:选B　A={x∈Z|x2<3}={-1,0,1},B=,若A∩B有2个元素,则或(集合A中有3个元素,而A∩B有2个元素,故需分两种情况讨论)解得-<a<-1或-<a<0,所以实数a的取值范围是∪.故选B. 二、多选题 11.设集合A={x|x2-x≤6},B={xy|x∈A,y∈A},则下列结论正确的是 (　　) A.A∩B=B B.B∩Z的元素个数为16 C.A∪B=B D.A∩Z的子集个数为64 解析:选BCD　对于A、B、C,因为A={x|x2-x≤6}={x|-2≤x≤3},所以B={xy|x∈A,y∈A}={x|-6≤x≤9},即A⊆B.所以A∩B=A,A∪B=B,B∩Z有6+1+9=16个元素,故A错误,B、C正确;对于D,因为A∩Z有2+1+3=6个元素,所以A∩Z的子集个数为26=64,故D正确. 12.(2025·长春模拟)对于集合A,若∀x∈A,2-x∈A,则称A为对偶互存集,则下列为对偶互存集的是 (　　) A.{-1,0,1,2,3} B.{x|x=2k-1,k∈Z} C. D.{y|y=1+sin x} 解析:选ABD　对于A,当x=-1,0,1,2,3时,2-x∈{-1,0,1,2,3},故A正确;对于B,{x|x=2k-1,k∈Z}为全体奇数构成的集合,当x为奇数时,2-x也为奇数,故B正确;对于C,={y|y≠0},则2∈{y|y≠0},但2-2=0∉{y|y≠0},故C错误;对于D,{y|y=1+sin x}=[0,2],当x∈[0,2]时,2-x∈[0,2],故D正确. 13.对任意A,B⊆R,记A⊕B={x|x∈A∪B,x∉A∩B},并称A⊕B为集合A,B的对称差.例如:若A={1,2,3},B={2,3,4},则A⊕B={1,4}.下列命题为真命题的是 (　　) A.若A,B⊆R且A⊕B=B,则A=∅ B.若A,B⊆R且A⊕B=∅,则A=B C.若A,B⊆R且A⊕B⊆A,则A⊆B D.存在A,B⊆R,使得A⊕B≠∁RA⊕∁RB 解析:选AB　因为A⊕B=B,所以B={x|x∈A∪B,x∉A∩B},所以A⊆B,且B中的元素不能出现在A∩B中,因此A=∅,即A正确;因为A⊕B=∅,所以∅={x|x∈A∪B,x∉A∩B},即A∪B与A∩B是相同的,所以A=B,即B正确;因为A⊕B⊆A,所以{x|x∈A∪B,x∉A∩B}⊆A,所以B⊆A,即C错误;由于∁RA⊕∁RB={x|x∈∁RA∪∁RB,x∉ ∁RA∩∁RB}={x|x∈∁R(A∩B),x∉∁R(A∪B)}={x|x∈A∪B,x∉A∩B},而A⊕B={x|x∈A∪B,x∉A∩B},故A⊕B=∁RA⊕∁RB,即D错误. 三、填空题 14.设集合A={x|1≤x≤3},集合B={x|y=},若ACB,写出一个符合条件的集合C=　　　　.  解析:因为A={x|1≤x≤3},B={x|x≥1},所以若ACB,则可有C=[1,4]. 答案:[1,4](答案不唯一) 15.已知集合A={x|x2-3x<0},B={x|-2<x<2},C={x|x<a},且(A∩B)⊆C,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:依题意,A={x|x2-3x<0}={x|0<x<3},则A∩B={x|0<x<2},由(A∩B)⊆C,得a≥2,所以a的取值范围是[2,+∞). 答案:[2,+∞) 16.(2024·南京二模)已知集合A={1,2,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则集合B的元素个数为　　　　　.  解析:当x=1时,y=1,2,4,x-y=0,-1,-3,不符合(x-y)∈A,舍去;当x=2时,y=1,2,4,x-y=1,0,-2,则x=2,y=1;当x=4时,y=1,2,4,x-y=3,2,0,则x=4,y=2.故B={(x,y)|(2,1),(4,2)},共2个元素. 答案:2 17.设集合A为含有n个元素的有限集.若集合A的m个子集A1,A2,…,Am满足以下3个条件: ①A1,A2,…,Am均非空;②A1,A2,…,Am中任意两个集合交集为空集;③A1∪A2∪…∪Am=A.则称A1,A2,…,Am为集合A的一个m阶分拆. 若A={1,2,3,…,2 024},A1,A2为A的2阶分拆,集合A1所有元素的平均值为P,集合A2所有元素的平均值为Q,则|P-Q|的最小值等于　　　　,最大值等于　　　　.  解析:由题意,取A1={1,4,5,8,9,12,…,2 021,2 024},A2={2,3,6,7,…,2 022,2 023},因为1+4=2+3,5+8= 6+7,…,2 021+2 024=2 022+2 023,所以P=Q,则|P-Q|=0为最小值;取A1={2,3,4,5,…,2 023,2 024},A2= {1},|P-Q|=-1=-1=1 012为最大值.(注意:等差数列前n项和的应用) 答案:0　1 012 第二节 常用逻辑用语 明确目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义,能正确从集合角度理解充分条件与必要条件的判断方法.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系、数学定义与充要条件的关系. 2.理解全称量词命题与存在量词命题的意义,能正确对两种命题进行否定. 教材再回首 1.充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果p⇒q,则p是q的充分条件; (2)如果q⇒p,则p是q的必要条件; (3)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的充要条件. 2.充分、必要条件与对应集合间的关系 设A={x|p(x)},B={x|q(x)}, (1)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. (2)若AB,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件. (3)若A=B,则p是q的充要条件. 3.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有的、一切、任意一个、每一个、任给等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、对某些等 ∃ 4.全称(存在)量词命题及含一个量词的命题的否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x,p(x)成立 存在M中的元素x,p(x)成立 简记 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 否定 ∃x∈M,綈p(x) ∀x∈M,綈p(x) 命题的否定与原命题的真假性相反. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P22T2改编)命题“三角形是等腰三角形”是命题“三角形是等边三角形”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B　由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”,但反之不成立. 2.(人A必修①P23T2(5)改编)设x>0,y>0,则“x2>y2”是“x>y”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C 3.(苏教必修①P47T10)若命题“∀x∈R,x2+1>m”是真命题,则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞,1] B.(-∞,1) C.[1,+∞) D.(1,+∞) 答案:B 4.(人A必修①P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是　　　　　　　　　　　　.  答案:任意一个偶数都不是素数 二、易错小题的警醒训练 1.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≤x2”的否定是 (　　) A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n>x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n>x2 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n>x2 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n>x2 解析:选D　含有量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”,可知选D.(易错点:忽视含量词命题的否定规则) 2.若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件,则m的取值范围是　　　　.  解析:因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件,所以(m,+∞)是(3,+∞)的真子集,由图可知m>3. (易错点:混淆充分不必要与必要不充分条件与集合的关系) 答案:(3,+∞) 题点一　充分、必要条件的判断 [例1] (1)(2024·天津高考)设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选C　由函数y=x3单调递增可知,若a3=b3,则a=b;由函数y=3x单调递增可知,若3a=3b,则a=b.故“a3=b3”是“3a=3b”的充要条件,故选C. (2)已知x∈R,则“0<ln x≤”是“≤1”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A　由0<ln x≤,得1<x≤,记为A={x|1<x≤}.由≤1⇒≤0⇒(x-1)(x-2)≤0且x≠1,解得1<x≤2,记为B={x|1<x≤2},所以AB,则“0<ln x≤”是“≤1”的充分不必要条件. 深化认知:区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA),与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同. |思维建模|　判断充分、必要条件的2种方法 定义法 根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题 集合法 根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于条件中涉及参数范围的推断问题 [即时训练] 1.(2025·重庆一模)已知集合A={x|-1≤x≤2},B={x|-a≤x≤a+1},则“a=1”是“A⊆B”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A　当a=1时,B={x|-1≤x≤2},此时A=B,即a=1可以推出A⊆B.若A⊆B,所以得到a≥1,所以A⊆B推不出a=1,即“a=1”是“A⊆B”的充分不必要条件. 深化认知:当命题可以用集合表示时,小集合推出大集合,小集合是大集合的充分不必要条件,大集合是小集合的必要不充分条件;若两集合范围一样,就是充要条件的关系. 2.(2024·和平二模)若x∈R,下列选项中,使“x2<1”成立的一个必要不充分条件为 (　　) A.-2<x<1 B.-1<x<1 C.0<x<2 D.-1<x<0 解析:选A　不等式x2<1等价于-1<x<1,使“x2<1”成立的一个必要不充分条件,对应的集合为A,则(-1,1)是A的真子集,由此对照各项,可知只有A项符合题意. 3.(2024·北京西城三模)对于无穷数列{an},定义dn=an+1-an(n=1,2,3,…),则“{an}为递增数列”是“{dn}为递增数列”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选D　{an}为递增数列时,有dn=an+1-an>0,不能得到{dn}为递增数列,充分性不成立;{dn}为递增数列时,不一定有dn>0,即不能得到{an}为递增数列,必要性不成立.所以“{an}为递增数列”是“{dn}为递增数列”的既不充分也不必要条件. 题点二　充分、必要条件的应用 [例2]　已知集合A={x|log2 x<m},B=,若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数m的取值范围是　　　　.  解析:由log2 x<m,得0<x<2m.所以A=(0,2m);由≤1得-1≤0,即≤0,所以≤0,解得x<4.所以B=(-∞,4).因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A⊆B且A≠B.所以2m≤4⇒m≤2. 答案:(-∞,2] |思维建模|　由充分、必要条件求参数范围的策略 巧用转化 求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系,然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解,注意条件的等价变形 端点值 慎取舍 在求参数范围时,要注意区间端点值的检验,从而确定取舍 [即时训练] 4.已知集合A=,或x>2},B={x|2a≤x≤a+3},若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　　　　. 解析:因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以B⊆A.当B=∅时满足题意,即2a>a+3,所以a>3;当B≠∅时,或解得a<-4或1<a≤3.综上可得,实数a的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞). 答案:(-∞,-4)∪(1,+∞) 5.已知命题p:2<x<3,命题q:|2x-a|<2,若命题綈q是命题綈p的充分不必要条件,则实数a的取值范围是　　　　　　　.  方法引入:p是q的充分不必要条件,等价于綈q是綈p的充分不必要条件. 解析:由|2x-a|<2,可得<x<,由于命题綈q是命题綈p的充分不必要条件,故命题p是命题q的充分不必要条件,故{x|2<x<3},所以(等号不能同时成立),可得4≤a≤6,即实数a的取值范围是[4,6]. 答案:[4,6] 题点三　全称量词与存在量词 [例3] (1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x,则 (　　) A.p和q都是真命题 B.綈p和q都是真命题 C.p和綈q都是真命题 D.綈p和綈q都是真命题 解析:选B　法一　对于p,由|x+1|>1,得x2+2x>0,解得x>0或x<-2,显然∀x∈R,|x+1|>1不恒成立,所以命题p为假命题,綈p为真命题. 对于q,由x3=x,解得x=0或x=1或x=-1,所以∃x>0使得x3=x,所以q是真命题,綈q是假命题. 法二　对于p,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题,綈p是真命题.对于q,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题,綈q是假命题.综上,綈p和q都是真命题. (2)若命题“∀x<2,2x<a”为真命题,则实数a的取值范围为 (　　) A.(-∞,4] B.(-∞,4) C.[4,+∞) D.(4,+∞) 解析:选C　函数y=2x在R上单调递增,当x<2时,2x<22=4,“∀x<2,2x<a”为真命题,则a≥4,即实数a的取值范围为[4,+∞). |思维建模|　含量词命题的解题策略 (1)要判定全称量词命题是真命题,需证明都成立;要判定存在量词命题是真命题,只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时,可以先判断其否定的真假. (2)由命题真假求参数的范围,一是直接由命题的真假求参数的范围;二是可利用等价命题. [即时训练] 6.(2025·长春模拟)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则 (　　) A.∀x∈R,f(-x)+f(x)≠0 B.∀x∈R,f(-x)-f(x)≠0 C.∃x∈R,f(-x)+f(x)≠0 D.∃x∈R,f(-x)-f(x)≠0 解析:选D　定义域为R的函数f(x)是偶函数⇔∀x∈R,f(-x)-f(x)=0,所以f(x)不是偶函数⇔∃x∈R,f(-x)-f(x)≠0. 7.若命题“∃x∈R,x2+4x+t<0”是假命题,则实数t的最小值为 (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 解析:选C　因为命题“∃x∈R,x2+4x+t<0”是假命题,所以命题“∀x∈R,x2+4x+t≥0”是真命题,因此有Δ=42-4t≤0⇒t≥4,所以实数t的最小值为4,故选C. 8.[多选]下列四个命题是假命题的为 (　　) A.∃x∈Z使1<4x<3 　B.∃x∈N使5x+1=0 C.∀x∈R,x2-1=0 　D.∀x∈R,x2+x+2>0 解析:选ABC　由1<4x<3,得<x<,故不存在x∈Z,使1<4x<3,故A错误;由5x+1=0,得x=,故不存在x∈N,使5x+1=0,故B错误;当x≠±1时,x2-1≠0,故C错误;由于x2+x+2=+>0,故∀x∈R,x2+x+2>0,故D正确.故选ABC. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.(2025·遵义一模)已知命题p:∀x>1,ln x>-,则綈p为 (　　) A.∀x>1,ln x≤- B.∃x≤1,ln x<- C.∃x≤1,ln x≤- D.∃x>1,ln x≤- 解析:选D　由命题p:∀x>1,ln x>-可知,綈p为∃x>1,ln x≤-,故D正确,A、B、C错误.故选D. 2.(2024·梅州二模)常言道:“不经历风雨,怎么见彩虹”.就此话而言,“经历风雨”是“见彩虹”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B　由题意,经历风雨不一定会见彩虹,但见彩虹一定会经历风雨,所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件. 3.已知命题:“∀x∈R,方程x2+4x+a=0有解”是真命题,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,4) B.(-∞,4] C.(4,+∞) D.[4,+∞) 解析:选B　“∀x∈R,方程x2+4x+a=0有解”是真命题,故Δ=16-4a≥0,解得a≤4. 4.集合A={x|-1<x<2},B={x|-2<x<m},若x∈B的充分条件是x∈A,则实数m的取值范围是 (　　) A.(-1,2) B.[2,+∞) C.(-2,2] D.(2,+∞) 解析:选B　A={x|-1<x<2},B={x|-2<x<m},因为x∈B的充分条件是x∈A,所以A⊆B,则m≥2. 5.(2024·商洛三模)已知a,b∈R,则“<”是“a3>b3”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A　若<,则a>b>0,所以a3>b3,充分性成立;若a3>b3,则a>b,但<不一定成立,不满足必要性.所以“<”是“a3>b3”的充分不必要条件. 6.已知命题p:∀x∈R,ex>1;命题q:∃x∈(0,π),sin x=,则 (　　) A.p和q都是真命题 B.綈p和q都是真命题 C.p和綈q都是真命题 D.綈p和綈q都是真命题 解析:选B　对于p而言,取x=0,则ex=1,所以p是假命题,綈p是真命题;对于q而言,x∈(0,π),则sin x∈(0,1],∈(0,1),所以q是真命题,綈q是假命题.综上,綈p和q都是真命题. 7.已知f(x)=-3,则f(x)<5的一个必要不充分条件是 (　　) A.x>-4 B.x>-3 C.x<-2 D.x<-3 解析:选A　由不等式f(x)<5,可得-3<5,即<8,解得x>-3,结合选项,可得f(x)<5的一个必要不充分条件为x>-4. 8.已知函数f(x)=cos(x+φ),则“f(0)=0”是“f(x)为奇函数”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选C　由题意可知,f(x)的定义域为R,若f(0)=cos φ=0,可得φ=+kπ,k∈Z.若k为偶数,则f(x)=cos=cos=-sin x(k∈Z)为奇函数;若k为奇数,则f(x)=cos=-cos=sin x(k∈Z)为奇函数,即充分性成立;若f(x)为奇函数,则f(0)=0,即必要性成立.综上所述,“f(0)=0”是“f(x)为奇函数”的充要条件. 9.若命题“∃x∈(0,+∞),使得ax>x2+4成立”是假命题,则实数a的取值范围是 (　　) A.(4,+∞) B.(-∞,4) C.[4,+∞) D.(-∞,4] 解析:选D　命题“∃x∈(0,+∞),使得ax>x2+4成立”的否定为“∀x∈(0,+∞),ax≤x2+4”,依题意,命题“∀x∈(0,+∞),ax≤x2+4”为真命题①,当x∈(0,+∞)时,ax≤x2+4⇔a≤x+②,而x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号.因此a≤4,即实数a的取值范围是(-∞,4]. 习得方略:①处,存在量词命题为假等价于其否命题对应的全称量词命题为真;②处,分离参数,利用基本不等式求解. 10.(2025·门头沟一模)设a>0,b>0,则“lg(a+b)>0”是“lg(ab)>0”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B　充分性:若a>0,b>0,由lg(a+b)>0,取a=3,b=,但是lg(ab)=0,充分性不成立;必要性,由lg(ab)>0,得ab>1,又a>0,b>0,则a,b中至少有一个大于1,若都小于或等于1,根据不等式的性质知,其乘积也小于或等于1,与乘积大于1矛盾,则a+b>1,故lg(a+b)>0,必要性成立,所以lg(a+b)>0是lg(ab)>0的必要不充分条件. 二、多选题 11.命题“∃x∈[1,2],x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是 (　　) A.a≥1 B.a≥4 C.a≥-2 D.a=4 解析:选BD　命题“∃x∈[1,2],x2≤a”是真命题等价于a≥1,即命题“∃x∈[1,2],x2≤a”为真命题所对应的a的取值范围为[1,+∞),显然[4,+∞)[1,+∞),{4}[1,+∞),故选BD. 习得方略:“∃x∈M,a>f(x)(或a<f(x))”为真命题,实质上就是不等式能成立,通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值),即a>f(x)min(或a<f(x)max). 12.下列命题为真命题的是 (　　) A.∃x∈R,sin x= B.∃x∈R,ln x=-1 C.∀x∈R,x2>0 D.∀x∈R,3x>0 解析:选ABD　对于A,x=时,sin x=,故A正确;对于B,当x=时,ln x=ln=-1,故B正确;对于C,当x=0时,x2=0,故C错误;对于D,因为y=3x的值域为(0,+∞),故D正确. 13.下列说法正确的有 (　　) A.命题p:∃x∈R,x2+2x+2<0,则命题p的否定是∀x∈R,x2+2x+2≥0 B.“>”是“x<y”的必要不充分条件 C.对于实数x,“x≠5”是“|x-3|≠2”的必要不充分条件 D.“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根”的充要条件 解析:选ACD　对于A,命题p的否定是∀x∈R,x2+2x+2≥0,故A正确;对于B,由>可知有两种情况,①xy>0且y>x;②y<0<x,故>不能推出x<y,由x<y也不能推出>,所以“>”是“x<y”的既不充分也不必要条件,故B错误;因为|x-3|≠2,等价于x≠5或x≠1,故C正确;对于D,关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根,则解得m<0.所以“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根”的充要条件,故D正确. 三、填空题 14.(2024·潍坊二模)已知命题p:∃x∈[-1,1],x2>a,则綈p为　　　　　.  解析:由存在量词命题的否定为全称量词命题可得綈p为∀x∈[-1,1],x2≤a. 答案:∀x∈[-1,1],x2≤a 15.(2025·沈阳质量检测)“sin x=1”的一个充分不必要条件是　　　　.  解析:当x=时,sin x=1,由sin x=1可得x=+2kπ,k∈Z,故“sin x=1”的一个充分不必要条件是“x=”. 答案:x=(答案不唯一) 16.已知集合A={x|1<2x<8,x∈R},B={x|m+1<x<3,x∈R},若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则实数m的取值范围是　　　　.  解析:A={x|1<2x<8}={x|20<2x<23}={x|0<x<3},①若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则集合A是集合B的真子集,所以m+1<0②,解得m<-1,所以实数m的取值范围是(-∞,-1). 答案:(-∞,-1) 习得方略:①处注意,转化为同底数幂形式,利用指数函数的单调性进行等价转化; ②处,注意集合间的关系,得出的是m+1<0,切忌写为m+1≤0或m+1>0. 17.已知p:≤2;q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是　　　　.  解析:≤2⇔|x-4|≤6⇔-2≤x≤10,于是得命题p:x∈[-2,10]. 当m>0时,x2-2x+1-m2≤0⇔1-m≤x≤1+m,于是得命题q:x∈[1-m,1+m]. 因为綈p是綈q的必要不充分条件,即p是q的充分不必要条件,因此[-2,10][1-m,1+m], 则有或解得m≥9. 答案:[9,+∞) 第三节 不等式及其性质 明确目标 1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据,会比较两个数的大小. 2.理解不等式的概念与性质,并掌握不等式性质的简单应用. 教材再回首 1.比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a>b a-b>0 >1(a,b>0)或<1(a,b<0) a=b a-b=0 =1(b≠0) a<b a-b<0 <1(a,b>0)或>1(a,b<0) 2.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔b<a;a<b⇔b>a 可逆 传递性 a>b,b>c⇒a>c; a<b,b<c⇒a<c 同向 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 可乘性 a>b,c>0⇒ac>bc; a>b,c<0⇒ac<bc c的 符号 同向 可加性 a>b,c>d⇒a+c>b+d 同向 同向同正 可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ac>bd 同向, 同正 可乘方性 a>b>0,n∈N*⇒an>bn 同正 可开方性 a>b>0,n∈N,n≥2⇒> 同正 解题结论拓展 1.倒数性质 (1)a>b,ab>0⇒<; (2)a<0<b⇒<; (3)a>b>0,0<c<d⇒>; (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2.分数性质 若a>b>0,m>0,则 (1)<;>(b-m>0); (2)>;<(b-m>0). 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P43T8改编)[多选]下列命题是真命题的是 (　　) A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b>0,则a2>b2 C.若a<b<0,则a2<ab<b2 D.若a<b<0,则> 答案:ABD 2.(人B必修①P66“尝试与发现”改编)已知a=+,b=2+2,则a,b的大小关系是 (　　) A.a>b B.a=b C.a<b D.无法确定 解析:选A　因为(+)2-(2+2)2=16+2-(16+2)=2(-)>0,所以(+)2>(2+2)2,所以+>2+2,即a>b. 3.(苏教必修①P76T8改编)已知a-1>0,则下列结论正确的是 (　　) A.-1<-a<a<1 B.-a<-1<1<a C.-a<-1<a<1 D.-1<-a<1<a 解析:选B　因为a-1>0,所以a>1,由不等式基本性质可得-a<-1,故-a<-1<1<a,B正确,A、C、D错误. 4.(人A必修①P43T5改编)已知2<a<3,-2<b<-1,则a+2b的取值范围为 (　　) A.(-2,1) B.(0,2) C.(-4,-2) D.(0,1) 解析:选A　因为-2<b<-1,所以-4<2b<-2,又2<a<3,所以-2<a+2b<1. 二、易错小题的警醒训练 (2025·沧州泊头联考)[多选]下列不等式关系成立的是 (　　) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b,<,则ab>0 C.若a>b,>,则a>0>b D.若a>b,a2>b2,则a>b>0 解析:选BC　对于A,当c=0时,ac2=bc2=0,故A错误;对于B,因为a>b,所以b-a<0,又<,即-=<0,所以ab>0,故B正确;对于C,因为a>b,所以b-a<0,又>,即-=>0,所以ab<0,所以a>0>b,故C正确;对于D,若a=2,b=-1,满足a2>b2,a>b,但是a>0>b,故D错误.故选BC. (易错点:在利用不等式的性质比较大小时,在不等式的两边同乘一个正数不改变不等式的符号,但如果同乘0,则不等式两边都是0,此题A选项易错之处在于忽视c=0的情形,D选项易错之处在于忽视b≤0的情形) 题点一　比较数(式)的大小(自主练通) 1.若a<0,b<0,则p=+与q=a+b的大小关系为 (　　) A.p<q B.p≤q C.p>q D.p≥q 解析:选B　法一:特殊值排除法　令a=b=-1,则p=q=-2,排除A、C;令a=-1,b=-2,则p<q,排除D.故选B. (注意:当两个式子比较大小时,可直接赋值求解) 法二:作差法　p-q=+-a-b=+=(b2-a2)==.因为a<0,b<0,所以a+b<0,ab>0.若a=b,则p-q=0,故p=q;若a≠b,则p-q<0,故p<q.综上,p≤q.故选B. 2.若a=4d+,b=4d2++1,则 (　　) A.a≥b B.a>b C.a=b D.a<b 解析:选D　因为a=4d+,b=4d2++1,则c≥0,所以b-a=(4d2++1)-(4d+)=(4d2-4d+1)+(-)=(2d-1)2+(-)≥0+(-)>-=0,所以b>a,即a<b,故选D. 3.若实数m,n,p满足m=4,n=5,p=,则 (　　) A.p<m<n B.p<n<m C.m<p<n D.n<p<m 解析:选A　因为实数m,n,p满足m=4,n=5,p=,所以==·<1,所以m<n.又==·>1,所以m>p.所以p<m<n. 4.已知a>0,b>0,a≠b,则aabb与(ab的大小关系是　　　　　.  解析:因为=·=·=,(注意:分类讨论a与b的关系)当a>b>0时,>1,>0,所以>1,所以>1,所以aabb>(ab;当b>a>0时,0<<1,<0,所以>1,所以>1,所以aabb>(ab.综上,aabb>(ab. 答案:aabb>(ab |思维建模| 1.作差法的步骤和关注点 步骤 作差并变形⇒判断差与0的大小⇒得结论 关注点 利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形 2.作商法的步骤和关注点 步骤 作商并变形⇒判断商与1的大小⇒得结论 关注点 作商时各式的符号应相同,如果a,b均小于0,所得结果与“原理”中的结论相反.变形方法有分母(或分子)有理化,指、对数恒等变形等 拓展与建模 糖水不等式 (1)教材母题:(人教A版必修①P43T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立. 本题得到的不等式称为糖水不等式: ①设a>b>0,m>0,则有<. ②糖水不等式的倒数形式:设a>b>0,m>0,则有>. (2)对数型糖水不等式 ①设n∈N*,且n>1,则有logn+1n<logn+2(n+1). ②设a>b>1,m>0,则有logab<loga+m(b+m). ③上式的倒数形式:设a>b>1,m>0,则有logba>logb+m(a+m). [示例]　比较大小:log74　　　　log96.  解题观摩: 法一:log74-log96=(log74-1)-(log96-1)=log7-log9<log9-log9<0. 法二:普通型糖水不等式 log74=<=<=log96. 法三:对数型糖水不等式 由对数型糖水不等式直接可得log74<log96. 题点二　不等式的基本性质 [例1]　(多选)已知a>b,c∈R,则下列不等式不一定成立的是 (　　) A.a(c-1)2>b(c-1)2 B.> C.a(c2+2)>b(c2+1) D.ab2>a2b 解析:选ACD　对于A,当c=1时,可得(c-1)2=0,此时a(c-1)2=b(c-1)2,所以不等式a(c-1)2>b(c-1)2不一定成立,符合题意;对于B,因为c2-c+1=+>0,可得>0,又由a>b,所以>一定成立,不符合题意;对于C,当a=-1,b=-2,c=0时,可得a(c2+2)=-2,b(c2+1)=-2,此时a(c2+2)=b(c2+1),所以a(c2+2)>b(c2+1)不一定成立,符合题意;对于D,由ab2-a2b=ab(b-a),因为a>b,可得b-a<0,又ab的符号不确定,所以ab2>a2b不一定成立,符合题意. |思维建模|　判断命题真假的2种方法 直接法 直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件 特殊值法 注意取值要遵守三个原则:①满足题设条件;②取值要简单,便于验证计算;③所取的值要有代表性 [即时训练] 1.[多选]若m>n>0>p,m+p≠0,则 (　　) A.> B.m2-p2>0 C.> D.m2-n>n2-m 解析:选AD　对于A,由题意可得<,因为p<0,所以>,故A正确;对于B,当m=2,p=-3时,满足已知条件,但m2-p2<0,故B错误;对于C,当m=3,n=2,p=-1时,满足已知条件,但<,故C错误;对于D,m2-n-(n2-m)=m2-n2+m-n=(m-n)(m+n+1),因为m>n>0,可得(m-n)(m+n+1)>0,所以m2-n>n2-m,故D正确. 2.[多选]若a<b<-1,c>0,则下列不等式一定成立的是 (　　) A.a->b- B.a-<b- C.ln(b-a)>0 D.> 解析:选BD　对于A,由a--b+=(a-b)+=(a-b)·,因为a<b<-1,可得a-b<0,ab>1,ab+1>0,所以(a-b)·<0,所以a-<b-,所以A错误;对于B,由a--b+=(a-b)+=(a-b)·,因为a<b<-1,可得a-b<0,ab>1,ab-1>0,所以(a-b)·<0,所以a-<b-,所以B正确;对于C,由a<b,可得b-a>0,当b-a∈(0,1)时,ln(b-a)<0,当b-a=1时,ln(b-a)=0,当b-a>1时,ln(b-a)>0,所以C错误;对于D,由a<b<-1,可得>1,0<<1,又由c>0,根据指数函数的性质,可得>,所以D正确. 题点三　不等式性质的综合应用 [例2] (1)已知1≤a-b≤2,3≤a+b≤4,则ab的最大值为　　　　.  解析:4ab=(a+b)2-(a-b)2,由不等式的性质9≤(a+b)2≤16,1≤(a-b)2≤4,所以-4≤-(a-b)2≤-1,所以5≤(a+b)2-(a-b)2≤15,所以≤ab≤,当且仅当时,且已知a+b>0,a-b>0,解得即ab的最大值为. 答案: (2)记max{x1,x2,x3}表示x1,x2,x3这3个数中最大的数.已知a,b,c都是正实数,M=max,则M的最小值为　　　　.  解析:因为M=max,所以a≤M,≤M,所以+≤+≤M,所以≤M,即M≥,当且仅当a==时取等号,所以M的最小值为. 答案: |思维建模|　求代数式取值范围的注意点 (1)同向不等式具有可加性与正值可乘性,但是不能相减或相除,应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围,注意变形的等价性. (2)多次运用不等式的性质有可能扩大变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求解. [即时训练] 3.[多选]已知实数x,y满足1<x<6,2<y<3,则下列结论正确的是 (　　) A.3<x+y<9 B.-1<x-y<3 C.2<xy<18 D.<<6 解析:选ACD　因为1<x<6,2<y<3,则3<x+y<9,2<xy<18,故A、C正确;由题知-3<-y<-2,故-2<x-y<4,B错误;1<y-1<2,则<<1,故<<6,D正确.故选ACD. 4.设x,y为实数,满足2≤xy2≤3,3≤≤4,则的最大值是　　　　.  快审准解:先寻找xy2,,的等量关系,若直接判断不出来,可利用待定系数法求解,再利用不等式性质求解. 解析:令=(xy2)m(x2y-1)n, 得即 ∴=·,∵3≤≤4, ∴27≤≤64.∵2≤xy2≤3, ∴≤≤, 根据不等式的性质得9≤·≤32, 即的最大值为32, 当且仅当即时取到. 答案:32 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.已知a>b,则下列不等式一定成立的是 (　　) A.< B.2a>2b C.a2>b2 D.|a|>|b| 解析:选B　取a=1,b=-2,满足a>b,显然有>,a2<b2,|a|<|b|成立,即选项A、C、D都不正确;指数函数y=2x为增函数,若a>b,则必有2a>2b,B正确. 2.若1<a<3,-4<b<2,则a-|b|的取值范围是 (　　) A.(-3,3] B.(-3,5) C.(-3,3) D.(1,4) 解析:选C　由题设0≤|b|<4,则-4<-|b|≤0.又1<a<3,所以-3<a-|b|<3. 3.已知b<a<-3b,则的取值范围为 (　　) A.(0,3) B.[0,3) C.(3,+∞) D.(1,3) 解析:选B　因为b<a<-3b,所以b<0,则<0,将不等式b<a<-3b的两边同时乘以可得,-3<<1,所以0≤<3,故选B. 4.(2025·北京东城一模)已知a,b∈R,ab≠0,且a<b,则下列结论正确的是 (　　) A.> B.ab<b2 C.a3<b3 D.lg|a|<lg|b| 解析:选C　当a=-2,b=1时,<,lg|a|>lg|b|,故A、D错误;当a=-2,b=-1时,ab=2>1=b2,故B错误;对于C,因为a<b,所以a-b<0,因为ab≠0,所以a≠0且b≠0,则a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)<0,所以a3<b3,故C正确. 5.已知a<b<c,a+b+c=0,则下列结论正确的是 (　　) A.ab<b2　 B.ac>bc C.< D.<1 解析:选C　因为a<b<c,a+b+c=0,所以a<0<c,b的符号不能确定,当b=0时,ab=b2,故A错误;因为a<b,c>0,所以ac<bc,故B错误;因为a<0<c,所以<,故C正确;因为a<b,所以-a>-b,所以c-a>c-b>0,所以>1,故D错误. 6.(2024·长沙二模)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的是 (　　) A.c2>cd B.a-c<b-d C.ac<bd D.->0 解析:选D　由0>c>d和不等式性质可得c2<cd,故A错误;因为a>b>0>c>d,若取a=2,b=1,c=-1,d=-2,则a-c=3,b-d=3,所以a-c=b-d,ac=-2,bd=-2,所以ac=bd,故B、C错误;因为a>b>0,则0<<,又因为0>c>d,则0<-c<-d,由不等式的同向皆正可乘性得,-<-,故->0,故D正确. 7.已知m5=4,n8=9,0.9p=0.8,则正数m,n,p的大小关系为 (　　) A.p>m>n B.m>n>p C.m>p>n D.p>n>m 解析:选A　由m5=4,得m==<,由n8=9,得n==.因此====>1,即>m>n.由0.9p=0.8,得p=log0.90.8>log0.90.81=2,于是正数m,n,p的大小关系为p>m>n. 8.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足b+c≤3a,则的取值范围为 (　　) A.(1,+∞) B.(1,3) C.(0,2) D.(0,3) 解析:选C　由已知及三角形三边关系得所以 则两式相加得0<<4,所以0<<2. 9.(2025·成都模拟)已知a,b为实数,则使得“a>b>0”成立的一个必要不充分条件为 (　　) A.> B.ln(a+1)>ln(b+1) C.a3>b3>0 D.> 解析:选B　对于A,>,不能推出a>b>0,如>,反之a>b>0,则有<,即>是a>b>0的既不充分也不必要条件,A错误;对于B,由ln(a+1)>ln(b+1),得a+1>b+1>0,即a>b>-1,不能推出a>b>0,反之a>b>0,则a>b>-1,因此“ln(a+1)>ln(b+1)”是“a>b>0”的必要不充分条件,B正确;对于C,a3>b3>0⇔a>b>0,a3>b3>0是a>b>0的充要条件,C错误;对于D,由>,得a>b≥1>0,反之a>b>0不能推出a>b≥1,因此“>”是“a>b>0”的充分不必要条件,D错误. 二、多选题 10.(2025·黄冈一模)已知c<0<b<a,则下列结论正确的是 (　　) A.ac+b<bc+a B.b3+c3<a3 C.< D.> 快审准解:选项A、B、D,利用不等式的性质计算即可,选项C,因为b+c可正可负,所以不容易化简解决,一般当乘或除以一个不知正负的数,基本上错误,我们只需要找反例即可. 解析:选ABD　因为c<0<b<a,所以ac<bc⇒ac+b<bc+a,故A正确;因为c<0<b<a,所以b3<a3,c3<0⇒b3+c3<a3,故B正确;因为c<0<b<a,不妨令a=3,b=2,c=-1,得=2,=,此时>,故C错误;因为c<0<b<a,所以>>0⇒<⇒>,故D正确. 11.若实数a,b满足1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,则下列结论正确的是 (　　) A.0≤a≤4 B.-1≤b≤3 C.-2≤3a-2b≤10 D.-6≤3a-2b≤14 解析:选ABC　由题意,1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,两式相加得0≤2a≤8,即0≤a≤4,故A正确;由-1≤a-b≤3,得-3≤b-a≤1,又1≤a+b≤5,所以两式相加得-2≤2b≤6,即-1≤b≤3,故B正确;设3a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b,则解得则3a-2b=(a+b)+(a-b),因为1≤a+b≤5,所以≤(a+b)≤,因为-1≤a-b≤3,所以-≤(a-b)≤,所以-2≤(a+b)+(a-b)≤10,即-2≤3a-2b≤10,故C正确,D错误.故选ABC. 12.已知非零实数a,b满足|a|>|b|+1,则下列不等关系一定成立的是 (　　) A.a>b+1 B.ln a2>ln(b2+1) C.a2>4b D.>1 解析:选BCD　|-5|>|2|+1,而-5<2+1,故A错误;∵|a|>|b|+1,∴|a|2>(|b|+1)2,即a2>b2+2|b|+1>b2+1, ∴a2>b2+1>0,又函数y=ln x在(0,+∞)上单调递增,ln a2>ln(b2+1),故B正确;由B中分析得,a2>b2+2|b|+1, ∴a2-4b>b2+2|b|+1-4b,∵|b|≥b,∴a2-4b>b2+2|b|+1-4b≥b2-2b+1=(b-1)2≥0,∴a2>4b,故C正确;由a2>b2+2|b|+1,∴|a|2>|b|2,即>1,∴>1,故D正确. 易错防范:对于C选项,常见的错误解法如下:由A选项知0≤a≤4,所以0≤3a≤12,由B选项知-1≤b≤3,所以-6≤-2b≤2,从而-6≤3a-2b≤14.该方法求出来的范围比正确范围要大,原因是此方法忽略了a和b的关系,事实上a和b有相互制约的关系,两者不可能在各自的范围内随意取值,比如取a=4,b=-1,满足0≤a≤4,-1≤b≤3,但不满足条件-1≤a-b≤3,从而3a-2b取不到14,所以此类题型注意结合“整体代换”思想求解. 13.已知不相等的两个正实数a和b,满足ab>1,则下列不等式正确的是 (　　) A.ab+1>a+b B.log2(a+b)>1 C.a+<b+ D.a+b>+ 解析:选BD　由于两个不相等的正实数a和b,满足ab>1,所以a和b可取一个比1大,一个比1小,即(1-a)(1-b)=1+ab-a-b<0,故ab+1<a+b,A错误;由题意得a+b>2>2,所以log2(a+b)>1,B正确;a+-=a-b+-=(a-b),其中1->0,但不知道a和b的大小关系,故当a>b时,a+>b+,当a<b时,a+<b+,C错误;a+b-=(a+b),其中1->0,a+b>0,所以a+b-=(a+b)>0,即a+b>+,D正确. 三、填空题 14.已知m∈R,则2m2+3m-1与m2+4m-2的大小关系为　　　　　　　　　.  解析:由2m2+3m-1-(m2+4m-2)=m2-m+1=+>0,所以2m2+3m-1>m2+4m-2. 答案:2m2+3m-1>m2+4m-2 15.下列论断中:①>;②>;③b+1>|a|;④b-1>a2;⑤b3>(a-1)3.以其中一个论断作为条件,另一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:　　　　　 .(作答时,请按“序号⇒序号”的格式书写)  解析:①中>>0,所以a>0,故①等价于|b|>a>0;②等价于b2>a2,a≠0,即|b|>|a|,a≠0;③等价于b>|a|-1;④等价于b>a2+1;⑤等价于b>a-1.①可以推出②,因为当|b|>a>0时,|b|>|a|=a,故b2>a2;③可以推出⑤,因为当b>|a|-1时,b>|a|-1≥a-1,故b>a-1;④可以推出③,因为当④成立时,根据基本不等式,b>a2+1≥2|a|>|a|-1,故③成立;④可以推出⑤,因为“④⇒③”与“③⇒⑤”都成立. 答案:①⇒②(答案不唯一) 16.已知a>b>c,2a+b+c=0,则的取值范围是　　　　　.  解析:因为a>b>c,2a+b+c=0,故a>0,c<0,所以<0,1>>,2++=0,所以=--2,所以有1>-2->,解不等式得-3<<-1,故的取值范围是(-3,-1). 答案:(-3,-1) 17.记min{x,y,z}表示x,y,z中最小的数.设a>0,b>0,则min的最大值为　　　　.  快审准解:关键是分a是否大于进行讨论,结合不等式的性质即可顺利得解. 解析:若a≤,则ab≤1,此时min=min,因为a=1+3ab≤4,所以a和+3b中至少有一个小于等于2,所以min≤2,又当a=2,b=时,a==+3b=2,所以min的最大值为2.若a>,则ab>1,此时min=min,因为=+3<4,所以和+3b中至少有一个小于2,所以min<2.综上,min的最大值为2. 答案:2 第四节 基本不等式 明确目标 1.掌握基本不等式≤(a,b>0),了解其推导过程. 2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 教材再回首 1.基本不等式:≤ (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号. 2.算术平均数与几何平均数 设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值P,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值2.(简记:积定和最小) (2)如果和x+y是定值S,那么当且仅当x=y时,xy有最大值.(简记:和定积最大) 4.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab,a,b∈R; (2)+≥2,ab>0; (3)ab≤,a,b∈R; (4)≥ ≥ ≥(a>0,b>0), 当且仅当a=b时,上面不等式的“=”成立. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P58T5改编)若正实数a,b满足a+4b=ab,则ab的最小值为 (　　) A.16 B.8 C.4 D.2 答案:A 2.(苏教必修①P61T1)若m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是 (　　) A.4 B.4 C.9 D.18 答案:D 3.(人A必修①P48T1(1)改编)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取得最小值,则a等于 (　　) A.1+ B.1+ C.3 D.4 解析:选C　当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时取等号. 4.(人A必修①P48T1(2)改编)函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是　　　　.  解析:因为0≤x≤1,所以3-2x>0,所以y=·2x·(3-2x)≤=,当且仅当2x=3-2x,即x=时取等号. 答案: 二、易错小题的警醒训练 1.当x<0时,函数y=x+ (　　) A.有最大值-4 B.有最小值-4 C.有最大值4 D.有最小值4 解析:选A　y=x+=-≤-2=-4,当且仅当x=-2时等号成立,故选A.(易错点:忽视应用基本不等式应用条件中的“正”) 2.已知a>0,b>0,则++2的最小值是 (　　) A.2 B.2 C.4 D.5 解析:选C　++2≥2+2≥4=4,当且仅当=且 =,即a=b=1时取等号.(易错点:连续使用基本不等式时忽略等号成立的一致性) 题点一　利用基本不等式求最值 考法(一)　配凑法求最值 [例1] (1)设实数x满足x>0,则函数y=2+3x+的最小值为 (　　) A.4-1 B.4+2 C.4+1 D.6 解析:∵x>0,∴x+1>1,∴y=2+3x+=2+3(x+1)-3+=3(x+1)+-1≥2-1=4-1,当且仅当3(x+1)=,即x=-1时,等号成立,∴函数y=2+3x+的最小值为4-1.故选A. (2)若x>1,则4x+的最小值为　　　　.  解析:因为x>1,所以x-1>0,>0,因此4x+=4x-4++4=4(x-1)++4≥2+4=8,当且仅当4x-4=,即x=时,等号成立. 答案:8 |思维建模|　配凑法的运用技巧 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项、配系数、凑常数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式,如凑成x+(a>0),+的形式等,然后利用基本不等式求解最值.拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件. 考法(二)　常值代换法求最值 [例2] (1)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则的最小值为　　　　.  解析:因为x>0,y>0,且2x+y=1,所以=+=(2x+y)=++3≥2+3=2+3,当且仅当=,即x=,y=-1时取等号. 答案:2+3 (2)若0<x<,则+的最小值是　　　　.  解析:因为0<x<,所以1-2x>0,又2x+(1-2x)=1,(配凑法)则+=[2x+(1-2x)]=3++≥3+ 2=3+2,(1的代换)当且仅当=,即x=时,等号成立,所以+的最小值是3+2. 答案:3+2 规律结论:当式子中含有两个变量,且条件和所求的式子分别为整式和分式时,常构造(ax+by)·(a,b,m,n为常数)的结构,利用(ax+by)·=am+bn++≥am+bn+2求解最值. 　 |思维建模|　常值代换法的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数). (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式. (4)利用基本不等式求解最值. 考法(三)　消元法求最值 [例3]　已知正实数a,b满足ab+2a+3b=9,则a+3b的最小值是　　　　.  解析:法一　由ab+2a+3b=9得b==-2+,则a+3b=a-6+=a+3+-9≥2-9=6-9,故可知当a=3-3时,a+3b取得最小值6-9. 法二　由ab+2a+3b=9得(a+3)(b+2)=15. 令m=a+3,n=b+2,则mn=15.a+3b=m-3+3(n-2)=m+3n-9≥2-9=6-9,故可知当a=3-3时,a+3b取得最小值6-9. 答案:6-9 |思维建模|　消元法求最值的技巧 　　消元法,即先根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式,再进行最值的求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解,但同时应注意转化的等价上各个元的范围. [即时训练] 1.已知x>1,则的最小值为 (　　) A.6 B.8 C.10 D.12 解析:选A　因为x>1,所以x-1>0,==x-1+2+≥2+2=6,当且仅当x-1=,即x=3时,等号成立. 2.[多选]若a>0,b>0,a+b=8,则下列不等式恒成立的是 (　　) A.≤4 B.+≥4 C.a2+b2≥32 D.+≥ 解析:选ACD　对于A,a>0,b>0,a+b=8,则≤=4,当且仅当即a=b=4时取等号,A正确;对于B,a>0,b>0,(+)2=a+b+2=8+2≤8+2×4=16,又+>0,则+≤4,当且仅当a=b=4时取等号,B错误;对于C,a>0,b>0,则a2+b2=(a+b)2-2ab=64-2ab≥64-2=32,当且仅当a=b=4时取等号,C正确;对于D,a>0,b>0,a+b=8,则+=(a+b)=≥=,当且仅当即a=,b=时取等号,D正确. 3.(2025·重庆部分学校联考)已知a>b>0,则a++的最小值为　　　　(　　) A.2 B. C.3 D.3 解析:选C　法一:利用基本不等式　∵a>b>0,∴a+b>0,a-b>0,∴a++=+++≥ 2+2=3,当且仅当a+b=2,a-b=,即a=,b=时等号成立.故选C. 法二:利用柯西不等式　由a>b>0,得a-b>0,则(a+b+a-b)≥=9,当且仅当=a-b时等号成立,可得a++≥a+≥2=3.当且仅当a=,即a=,b=时等号成立,故选C. 4.若正实数a,b满足ab=2a+b,则a+2b的最小值是　　　.  快审准解:双变量最值,采取消元手段或者基本不等式处理即可. 解析:法一　ab-b=(a-1)b=2a⇒b=(a>1),则a+2b=a+=a+4+=a-1++5≥4+5=9,等号成立时a=3,b=3.所以a+2b的最小值是9. 法二　ab-2a-b=0⇒(a-1)(b-2)=2,则a+2b=a-1+2b-4+5≥2+5=9,等号成立时,⇒ 所以a+2b的最小值是9. 答案:9 易错提醒:利用基本不等式求最值时,要注意必须满足三个条件:“一正、二定、三相等”. (1)“一正”是求最值的各项必须为正数; (2)“二定”是含变量的各项的和或积必须是定值; (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方. 　 拓展与建模 基本不等式的推广 (1)三元基本不等式 a3+b3+c3≥3abc(a,b,c均为正实数)⇒ 当且仅当a=b=c时等号成立. (2)推广到n元的基本不等式为≥(a1,a2,…,an均为正实数), 当且仅当a1=a2=…=an时等号成立. (3)利用三元基本不等式求最值需满足的条件和方法与基本不等式求最值完全一致. [针对训练] 1.若x>0,则4x+的最小值是 (　　) A.9 B.3 C.13 D.不存在 解析:选B　4x+=2x+2x+≥3=3,当且仅当2x=,即x=时,等号成立,故选B. 2.若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,则(1-a)(1-b)(1-c)的最大值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由于a,b,c∈R+,且a+b+c=1,所以0<a<1,0<b<1,0<c<1.所以(1-a)(1-b)(1-c)≤==,当且仅当1-a=1-b=1-c,即a=b=c=时,原式取得最大值. 题点二　基本不等式的实际应用 [例4]　某公园有如图所示一块直角三角形空地,直角边AB=8 m,AC=6 m.现欲建一个如图的内接矩形花园ADEF,点E在斜边BC上(不包括端点),则花园ADEF的面积的最大值为 (　　) A.2 m2 B.12 m2 C.16 m2 D.24 m2 解析:选B　设AD=x,则BD=8-x, 因为△CFE∽△CAB,所以=, 解得AF=6-x,其中0<x<8, 所以花园ADEF的面积为S=x=×x×≤×=12,当且仅当x=6-x,即x=4时等号成立,故花园ADEF的面积的最大值为12 m2. |思维建模|　实际应用问题的解题技巧 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值. (2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围. (3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解. [即时训练] 5.某厂家拟在2025年举办某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)之间满足x=3-.已知2025年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入9万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).则该厂家2025年的利润最大值为　　　　 万元. 解析:由题意得,每件产品的销售价格为2×,则利润y=2×·x-(8+m+9x)=8+9x-m=8+9-m=35--m,因为m≥0,所以m+1≥1,由基本不等式得,y=35--m=36-≤-2+36=30,当且仅当=m+1,即m=2时,等号成立,所以该厂家2025年的促销费用投入2万元时,利润最大,最大为30万元. 答案:30 题点三　基本不等式的综合应用 [例5] (1)函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,若点P在直线mx+ny+1=0上,其中m>0,n>0,则+的最小值为 (　　) A.4 B.9 C.3+2 D.8 解析:选B　因为函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(-2,-1),所以-2m-n+1=0,即2m+n=1,所以+=(2m+n)=++5,所以++5≥2+5=9,当且仅当=且2m+n=1,即n=m=时取等号. (2)已知a>0,b>0,且ab=,不等式++≥4恒成立,则正实数m的取值范围是 (　　) A.{m|m≥1} B.{m|m≥2} C.{m|m≥3} D.{m|m≥4} 解析:选D　由a>0,b>0,m>0且ab=,可得++=+=(a+b)+≥2,当且仅当a+b=时,上式取得最小值2,由不等式++≥4恒成立,可得2≥4,解得m≥4. |思维建模| (1)当基本不等式与其他知识相结合时,往往是提供一个应用基本不等式的条件,然后利用常数代换法求最值. (2)求参数的值或取值范围时,一般需要结合题目特征,分离参数,利用基本不等式确定等号成立的条件,从而得到参数的值或取值范围. [即时训练] 6.(2025·赣州模拟)已知平面向量a=(2λ2+1,λ),b=(μ,1),其中λ>0,若a∥b,则实数μ的取值范围是 (　　) A.[2,+∞) B.[2,+∞) C.[,+∞) D.[1,+∞) 解析:选A　由题意,因为a∥b,所以λμ=2λ2+1.又λ>0,所以μ==2λ+≥2=2,当且仅当2λ=,即λ=时等号成立. 7.已知x,y∈(0,+∞),且x+y=1,若不等式x2+y2+xy>m2+m恒成立,则实数m的取值范围是　　　 　(　　) A. B. C.(-2,1) D.∪(1,+∞) 解析:选A　法一　因为x,y∈(0,+∞),且x+y=1,所以x2+y2+xy=(x+y)2-xy=1-xy≥1-=,当且仅当x=y=时,等号成立;又不等式x2+y2+xy>m2+m恒成立,所以>m2+m,即2m2+m-3<0,解得-<m<1. 法二　因为x,y∈(0,+∞),且x+y=1,所以x2+y2+xy==,令t=(t>0), 则==1-=1-≥,当且仅当t=,即t=1时等号成立. 又不等式x2+y2+xy>m2+m恒成立, 所以m2+m<,即2m2+m-3<0, 解得-<m<1. 数智赋能:电子版随堂训练(基本不等式在其他模块的应用),根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.(2024·定西一模)x2++的最小值为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选B　由题意知x≠0,所以x2>0,>0,所以x2++≥2+=3. 当且仅当x2=,即x2=时,等号成立. 2.若+=1,则4a2+b2的最小值为 (　　) A.16 B.8 C.20 D.12 解析:选A　由题意得4a2+b2=(4a2+b2)=8++≥2+8=16,当且仅当=,即b2=4a2=8时等号成立,所以4a2+b2的最小值为16,故选A. 3.(2024·西宁二模)早在公元前6世纪,毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项,毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项,其中算术中项、几何中项的定义与今天大致相同.若2a+2b=1,则(2a+1)(2b+1)的最大值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　因为2a+2b=1,所以(2a+1)(2b+1)=2a·2b+2a+2b+1=2a·2b+2≤+2=,当且仅当2a=2b,即a=b=-1时取等号.故选C. 4.函数f(x)=(x>1)的最小值为 (　　) A.2 B.3+2 C.2+2 D.5 解析:选B　因为x>1,所以x-1>0,所以f(x)===(x-1)++3≥2+3=2+3,当且仅当x-1=,即x=+1时取等号,所以函数f(x)=(x>1)的最小值为3+2.故选B. 5.(2025·绵阳一模)已知x>0,y>0,且满足x+y=xy-3,则xy的最小值为 (　　) A.3 B.2 C.6 D.9 快审准解:利用基本不等式化简已知条件,再解不等式求得xy的范围,从而求得xy的最小值. 解析:选D　x+y=xy-3≥2,()2-2-3=(+1)≥0,-3≥0,xy≥9,当且仅当x=y=3时等号成立,所以xy的最小值为9. 6.(2025·南宁模拟)某单位为提升服务质量,花费3万元购进了一套先进设备,该设备每年管理费用为0.1万元,已知使用x年的维修总费用为万元,则该设备年平均费用最少时的年限为 (　　) A.7 B.8 C.9 D.10 解析:选C　设该设备年平均费用为y,由题意可得,y==++(x∈N*).因为x>0,则y=++≥2+=,当且仅当=,即x=9时,等号成立,所以该设备年平均费用最少时的年限为9. 7.若不等式+-m≥0对x∈恒成立,则实数m的最大值为 (　　) A.7 B.8 C.9 D.10 解析:选C　将不等式化为+≥m,只需当x∈时,≥m即可.由+= (4x+1-4x)=4+++1≥5+2=5+4=9,当且仅当x=时取等号,故m≤9,故m的最大值为9. 8.(2025·成都模拟)已知实数x,y满足5x>y>0,则+的最小值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　因为5x>y>0,所以>,所以+=+=+-+≥2+=,当且仅当=-,即=时等号成立,所以+的最小值为.故选C. 规律方法:当式子含有多元时,通过分子、分母同时除以某个数得到一个整体,使式子齐次化,然后转化为基本不等式求解. 　 9.(2024·苏锡常镇二模)已知随机变量ξ~N(1,σ2),且P(ξ≤0)=P(ξ≥a),则+(0<x<a)的最小值为 (　　) A.9 B. C.4 D.6 解析:选B　因为随机变量ξ~N(1,σ2),且P(ξ≤0)=P(ξ≥a),所以=1(提示:正态曲线关于直线x=1对称), 解得a=2.所以+=+=[x+(2-x)]=≥=,当且仅当x=时,等号成立,所以+(0<x<a)的最小值为.故选B. 10.(2025·武汉华师一附中期末)已知x>0,y>0且x+y=1,则+的最小值为 (　　) A. B. C.1 D. 解析:选A　法一: ∵x+y=1,∴(x+1)+(y+2)=4,∴+=1,∴+=+=x+1+-2+y+2+-4=+-2=-2=+1++-2≥-+2=,当且仅当=,且x+y=1,即时等号成立, ∴+的最小值为. 法二:换元法　令m=x+1,n=y+2,且m>1,n>2,则x=m-1,y=n-2,则m-1+n-2=1,即m+n=4,所以+= +=+-2.因为+=(m+n)=≥,当且仅当=,即m=,n=时,等号成立,所以所求最小值为-2=. 二、多选题 11.(2025·泉州模拟)已知a>0,b>0,且a+b=4,则下列结论正确的是 (　　) A.a+2b>4 B.(a-1)(b-1)>1 C.log2a+log2b≥2 D.2a+≥8 解析:选AD　由题意,得0<a<4,0<b<4,a=4-b.a+2b=(a+b)+b=4+b>4,故A正确;取a=1,b=3,则(a-1)(b-1)=0<1,log2a+log2b=log23<2,故B、C错误;2a+=2a+2b≥2=8,当且仅当a=b=2时等号成立,故D正确. 12.下列结论正确的是 (　　) A.若x<0,则x+≤-2 B.若x∈R,则≥2 C.若x∈R且x≠0,则≥2 D.若a>1,则(1+a)≥6 解析:选ABC　对于A,若x<0,则x+=-≤-2=-2,当且仅当-x=-(x<0),即当x=-1时,等号成立,A正确;对于B,==+≥2=2,当且仅当=,即当x=0时,等号成立,B正确;对于C,若x∈R且x≠0,则===|x|+≥2=2,当且仅当|x|=,即当x=±1时,等号成立,C正确;对于D,若a>1,取a=,则(1+a)=×=<6,D错误. 巧记结论:(1)若x≠0,则≥2,当且仅当x=±1时,等号成立. (2)若ab≠0,则≥2,当且仅当a=±b时,等号成立. (3)若ab>0,x≠0,则≥2,当且仅当x=± 时,等号成立. (4)若a>0,b>0,则≤≤≤ ,当且仅当a=b时,等号成立. (5)a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 　 13.(2022·新课标Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则 (　　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 解析:选BC　注意到问题的目标表达式中不含交叉项xy,所以应利用代数恒等变换或不等式简单放缩去掉xy.对于A、B,由x2+y2-xy=1,得(x+y)2-1=3xy≤3,当且仅当x=y时取等号,解得-2≤x+y≤2,所以A不正确,(也可用特例排除法,取x=1,y=1排除A)B正确;由x2+y2-xy=1,得x2+y2-1=xy≤,当且仅当x=y=±1时取等号,所以x2+y2≤2,所以C正确;注意x2+y2=1+xy,如果x,y异号就会有x2+y2≥1不成立,令x=-y,易发现存在x=-y=±,使x2+y2=<1,D不正确.故选BC. 三、填空题 14.若x>0,y>0,且2x+3y=6,则xy的最大值为　　　　.  解析:因为x>0,y>0,且2x+3y=6,所以xy=×2x×3y≤=,当且仅当2x=3y,即x=,y=1时,等号成立,即xy的最大值为. 答案: 15.若a>0,b>0,则++b的最小值为　　　　.  解析:法一:均值不等式,先消去a,再消去b ++b≥2+b=+b≥2,当且仅当即a=b=时取等号,所以++b的最小值为2. 法二:均值不等式,拆项 ++b=+≥2+2=≥×2=2,当且仅当即a=b=时取等号,所以++b的最小值为2. (易错点:当连续多次使用基本不等式时一是要注意每次是否保证等号成立,并且成立条件一致) 法三:++b=+++≥4=4=2,当且仅当==,即a=b=时等号成立,所以++b的最小值为2. 答案:2 16.(2025·广州模拟)已知a>0,b>0,且ab=1,则++的最小值为　　　,此时a=　　　.  解析:因为ab=1,所以+=4a+2b=2(2a+b),所以++=2(2a+b)+≥2=12,当且仅当2a+b=3时取到等号,故++的最小值为12,此时满足解得或 故a=或a=1. 答案:12　或1 四、解答题 17.某公园为了美化游园环境,计划修建一个如图所示的总面积为750 m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1 m的小路,中间A,B,C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季(其中B,C区域的形状、大小完全相同).设矩形花园的一条边长为x m,鲜花种植的总面积为S m2. (1)用含有x的代数式表示a,并写出x的取值范围; (2)当x的值为多少时,才能使鲜花种植的总面积最大? 解:(1)设矩形花园的长为y m, ∵矩形花园的总面积为750 m2, ∴xy=750,可得y=. 又∵阴影部分是宽度为1 m的小路, 可得2a+3=,可得a=-, 即a关于x的关系式为a=-,3<x<250. (2)由(1)知,a=-, 则S=(x-2)a+(x-3)a=(2x-5)a =(2x-5)=- ≤-2=, 当且仅当3x=,即x=25时,等号成立, ∴当x=25 m时,才能使鲜花种植的总面积最大,最大面积为 m2. 第五节　二次函数与一元二次方程、不等式 明确目标 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式,了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 2.了解一元二次函数的图象、一元二次不等式与相应方程的联系. 教材再回首 1.三个“二次”间的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异 实根x1,x2 (x1<x2) 有两相等 实根x1= x2=- 没有 实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x>x2, 或x<x1} R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 2.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a=b a>b (x-a)·(x-b)>0 {x|x<a,或x>b} {x|x≠a} {x|x<b,或x>a} (x-a)·(x-b)<0 {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} 3.分式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P55T1改编)不等式-x2+3x+10>0的解集为 (　　) A.{x|-2<x<5} B.{x|x<-2,或x>5} C.{x|-5<x<2} D.{x|x<-5,或x>2} 答案:A 2.(人B必修①P75T5改编)设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 (　　) A.{x|x<-n,或x>m} B.{x|-n<x<m} C.{x|x<-m,或x>n} D.{x|-m<x<n} 解析:选B　不等式变形为(x-m)(x+n)<0,方程(x-m)(x+n)=0的两根为m,-n,显然由m+n>0得m>-n,所以不等式的解集为{x|-n<x<m}. 3.(人A必修①P50“思考”:一元二次方程的根与不等式解集端点值的关系)二次函数y=ax2+bx+2,使函数值大于0的x的取值范围是,则a+b=　　　　.  解析:依题意知解得故a+b=-14. 答案:-14 4.(湘教必修①P55例9改编)甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得利润100元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,则x的最小值是　　　　.  解析:要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,则2×100≥3 000,整理得5x-14-≥0.又1≤x≤10,所以5x2-14x-3≥0,解得3≤x≤10.故x的最小值是3. 答案:3 二、易错小题的警醒训练 1.不等式≤0的解集为　　　　.  解析:由≤0,则解得-2<x≤.(易错点:忽视分母不等于0) 答案: 2.已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为[-2,3],则不等式cx2-bx+a≤0的解集为　　　. 解析:由题意,得 且a<0,所以b=-a,c=-6a,不等式cx2-bx+a≤0化为-6ax2+ax+a≤0,即6x2-x-1≤0,解得-≤x≤.(易错点:忽视二次项系数的符号) 答案: 题点一　一元二次不等式的解法 考法(一)　不含参一元二次不等式的解法 [例1]　[多选]下列选项正确的是 (　　) A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2,或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R,则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件 解析:选ABD　因为方程x2+x-2=0的解为x1=1,x2=-2,所以不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2,或x>1},故A正确;因为-1≤0,即≤0,即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0),解得-3≤x<2,所以不等式的解集为{x|-3≤x<2},故B正确;由|x-2|≥1,可得x-2≤-1或x-2≥1,解得x≤1或x≥3,所以不等式的解集为{x|x≤1,或x≥3},故C错误;由|x-1|<1,可得-1<x-1<1,解得0<x<2,由<0,可得-4<x<5,因此,“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件,故D正确. |思维建模|　解一元二次不等式的4个步骤 (1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)计算对应方程的判别式. (3)求出对应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有没有实根. (4)利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集. 考法(二)　含参一元二次不等式的解法 [例2]　解关于x的不等式x2-(a-2)x-2a>0(a∈R). 解:原不等式可化为(x-a)(x+2)>0(a∈R). 当a=-2时,不等式解集为(-∞,-2)∪(-2,+∞); 当a>-2时,不等式解集为(-∞,-2)∪(a,+∞); 当a<-2时,不等式解集为(-∞,a)∪(-2,+∞). 综上所述,当a=-2时,不等式解集为(-∞,-2)∪(-2,+∞); 当a>-2时,不等式解集为(-∞,-2)∪(a,+∞); 当a<-2时,不等式解集为(-∞,a)∪(-2,+∞). |思维建模|　含参数不等式的分类讨论的关键点 　　含有参数的不等式的求解,往往需要比较(相应方程)根的大小,对参数进行分类讨论. (1)若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论;若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论. (2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式Δ的正负,以便确定解集的形式. (3)对相应方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集. [即时训练] 1.不等式3+5x-2x2≤0的解集为 (　　) A. 　　B. C. 　　D.R 解析:选C　因为3+5x-2x2≤0,整理可得(2x+1)(x-3)≥0,解得x≤-或x≥3,所以不等式3+5x-2x2≤0的解集为. 2.求下列关于x的不等式的解集: (1)≥1; (2)2ax2-(a+2)x+1≤0. 解:(1)由≥1可得=≥0, ∴解得≤x<2. 故≥1的解集为. (2)①当a=0时,不等式为-2x+1≤0⇒x∈. ②当a≠0时,由2ax2-(a+2)x+1=(2x-1)(ax-1)=0,解得x1=,x2=. 当a<0时,不等式的解集为∪; 当0<a<2时,不等式的解集为; 当a=2时,不等式的解集为; 当a>2时,不等式的解集为. 题点二　三个“二次”之间的关系 [例3] (1)(2025·邯郸模拟)某同学解关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)时,因弄错了常数c的符号,解得其解集为(-∞,-3)∪(-2,+∞),则不等式bx2+cx+a>0的解集为 (　　) A. B.(-∞,-1)∪ C. D.∪(1,+∞) 解析:选C　由题意可知a<0,且-3+(-2)=-,-3×(-2)=-,所以b=5a,c=-6a,所以bx2+cx+a>0可化为5x2-6x+1<0,即(5x-1)(x-1)<0,解得<x<1.故选C. 谨记结论:对于不等式ax2+bx+c>0,若其解集为(-∞,m)∪(n,+∞),则a>0且方程ax2+bx+c=0的两根为m,n,且m<n;若其解集为(m,n),则a<0且方程ax2+ax+c=0的两根为m,n,且m<n. (2)若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2},且x2-x1=15,则a的值为　　　　.  解析:由题知x1,x2是一元二次方程x2-2ax-8a2=0(a>0)的实数根,所以Δ=4a2+32a2=36a2>0,且x1+x2=2a,x1x2=-8a2.又因为x2-x1=15,所以152=(x1+x2)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2,又a>0,解得a=. 答案: |思维建模|　 (1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值. (2)给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点坐标,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. [即时训练] 3.[多选]若不等式ax2-bx+c>0的解集是(-1,2),则下列选项正确的是 (　　) A.a+b+c>0 B.b<0且c>0 C.a<0 D.不等式ax2-cx+b<0的解集是R 解析:选BC　若不等式ax2-bx+c>0的解集是(-1,2),则方程ax2-bx+c=0的两根为-1,2,且a<0,故C正确;所以⇒则b<0,c>0,故B正确;所以a+b+c=a+a+(-2a)=0,故A错误;不等式ax2-cx+b<0为ax2+2ax+a=a(x+1)2<0,又a<0,所以不等式为(x+1)2>0,该不等式解集为{x|x≠-1},故D错误. 4.[多选]已知关于x的不等式(x+2)(x-4)+a<0(a<0)的解集是(x1,x2)(x1<x2),则下列结论正确的是 (　　) A.x1+x2=2 B.x1x2<-8 C.-2<x1<x2<4 D.x2-x1>6 解析:选ABD　由关于x的不等式(x+2)(x-4)+a<0(a<0)的解集是(x1,x2)(x1<x2),所以x1,x2是一元二次方程x2-2x-8+a=0的两根.所以x1+x2=2,x1x2=a-8<-8,故A、B正确;所以x2-x1==2>6,故D正确;由x2-x1>6,可得-2<x1<x2<4是错误的,故C错误. 题点三　一元二次不等式恒成立问题 考法(一)　在R上的恒成立问题 [例4]　若不等式kx2+(k-6)x+2>0的解为全体实数,则实数k的取值范围是 (　　) A.[2,18] B.(-18,-2) C.(2,18) D.(0,2) 解析:选C　当k=0时,不等式kx2+(k-6)x+2>0可化为-6x+2>0,显然不合题意;当k≠0时,因为kx2+(k-6)x+2>0的解为全体实数,所以解得2<k<18.综上2<k<18. |思维建模|　不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定 (1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或 考法(二)　在给定区间上的恒成立问题 [例5]　设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围. 快审准解:解决此题可从两方面入手,一是函数法,对m>0,m<0分别讨论,从而确定g(x)在[1,3]上的单调性,求出最大值.二是分离参数,再求出对应函数在x∈[1,3]上的最小值. 解:法一　要使f(x)<-m+5在区间[1,3]上恒成立,则mx2-mx+m-6<0,即m+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立. 令g(x)=m+m-6,x∈[1,3], 当m>0时,g(x)在区间[1,3]上单调递增,所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,所以m<,则0<m<; 当m<0时,g(x)在区间[1,3]上单调递减,所以g(x)max=g(1)=m-6<0,所以m<6,所以m<0. 综上所述,m的取值范围是. 法二　要使f(x)<-m+5在区间[1,3]上恒成立,则mx2-mx+m-6<0,即m(x2-x+1)-6<0. 又x2-x+1=+>0,所以m<. 因为函数y==在区间[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.因为m≠0,所以m的取值范围是. 易错提醒:在解决含参的不等式问题时,易忽视对二次项系数等于0这种特殊情况的讨论而漏解. |思维建模|　在给定区间上恒成立问题的求解策略 策略一 若f(x)>0在给定区间上恒成立,可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围 策略二 转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a 考法(三)　变换主元解决恒成立问题 [例6]　已知a∈[-1,1]时,不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为 (　　) A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3) 解析:选C　把不等式的左端看成关于a的函数, 记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4, 则由f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立, 得f(-1)=x2-5x+6>0,且f(1)=x2-3x+2>0,解不等式组得x<1或x>3. |思维建模|　给定参数范围的恒成立问题,常采用变更主元的方法,即交换主元与参数的位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解.常见的是转化为一次函数f(x)=ax+b(a≠0)在[m,n]上恒成立问题,若f(x)>0恒成立⇔即直线上两点的函数值均大于零,则由直线的特点可知,两点之间的所有点的函数值均大于零.同理,若f(x)<0恒成立⇔ [即时训练] 5.关于x的不等式mx2+2mx+1<0的解集为空集,则m的取值范围为 (　　) A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1] D.[0,1) 解析:选C　当m=0时,不等式为1<0,解集为空集,符合题意;当m<0时,不等式mx2+2mx+1<0的解集不是空集,不符合题意;当m>0时,要使不等式mx2+2mx+1<0的解集为空集,则需解得0<m≤1.综上所述,m的取值范围是[0,1].故选C. 6.若∀x∈,使得3x2-λx+1≥0成立是真命题,则实数λ的最大值为 (　　) A. B.2 C.4 D. 解析:选B　∀x∈,使得3x2-λx+1≥0成立是真命题,所以∀x∈,3x2-λx+1≥0恒成立.所以λ≤3x+在x∈上恒成立,所以λ≤.∀x∈,因为3x+≥2=2,当且仅当3x=,即x=∈时等号成立,所以=2,所以λ≤2,即实数λ的最大值为2. 7.若命题“∃-1≤a≤3,ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则实数x的取值范围为 (　　) A.{x|-1≤x≤4} B. C. D. 解析:选C　由题意可得命题“∀-1≤a≤3,ax2-(2a-1)x+3-a≥0”为真命题,即ax2-(2a-1)x+3-a=(x2-2x-1)a+x+3≥0对a∈[-1,3]恒成立,则解得-1≤x≤0或≤x≤4,即实数x的取值范围为. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.不等式-x2+3x+10>0的解集为 (　　) A.(-2,5) B.(-∞,-2)∪(5,+∞) C.(-5,2) D.(-∞,-5)∪(2,+∞) 解析:选A　由-x2+3x+10>0得x2-3x-10<0,解得-2<x<5. 2.不等式≤1的解集为 (　　) A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2<x≤1} C.{x|x≤-2,或x>1} D.{x|x<-2,或x≥1} 解析:选D　≤1,即≤0,即解得x≥1或x<-2. 3.已知关于x的不等式ax+b>0的解集为(-4,+∞),则关于x的不等式bx2-ax<0的解集为 (　　) A. B.∪(0,+∞) C. D.(-∞,0)∪ 解析:选C　由ax+b>0的解集为(-4,+∞),可得a>0,且方程ax+b=0的解为-4,所以-=-4,则b=4a,所以bx2-ax<0即4ax2-ax<0.又a>0,所以4x2-x<0,解得0<x<,即关于x的不等式bx2-ax<0的解集为.故选C. 4.若关于x的不等式kx2+2kx-k-1>0的解集为∅,则实数k的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　当k=0时,不等式化为-1>0,此时不等式无解,满足题意;当k≠0时,要满足题意,只需解得-≤k<0.综上,实数k的取值范围是. 5.若关于x的不等式x2+ax-2>0在[1,5]上有解,则实数a的取值范围是 (　　) A. B. C. D.(1,+∞) 解析:选C　关于x的不等式x2+ax-2>0在[1,5]上有解,即a>-x在[1,5]上有解,(点拨:对于一元二次不等式在给定区间上有解问题,一般可以通过分离参数求解)所以a>(x∈[1,5]).设f(x)=-x,x∈[1,5],易知f(x)在[1,5]上单调递减,所以f(x)的最小值为f(5)=-5=-,所以实数a的取值范围是. 6.设集合A={x|x>5},B={x|x2-(a+1)x+a<0},若A∩B=∅,则a的取值范围为 (　　) A.(-∞,5] B.[5,+∞) C.(-∞,5) D.(5,+∞) 解析:选A　由题可知,x2-(a+1)x+a<0⇒(x-a)(x-1)<0,当a=1时,(x-a)(x-1)<0无解,得B=∅,此时A∩B=∅;当a<1时,由(x-a)(x-1)<0,解得a<x<1,此时B=(a,1),A∩B=∅;当a>1时,由(x-a)(x-1)<0,解得1<x<a,此时B=(1,a),要使A∩B=∅,则1<a≤5.综上所述,a≤5. 7.已知p:x>2,q:x2-x-a>0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 (　　) A. B.(-∞,2] C. D.[2,+∞) 解析:选B　若p是q的充分不必要条件,故x2-x-a>0在x>2时恒成立,故得a<x2-x,令f(x)=x2-x,由二次函数性质得f(x)在(2,+∞)时单调递增,则f(x)>f(2)=2,可得a∈(-∞,2],故B正确. 8.(2025·济南模拟)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为(-4,1),则的取值范围为 (　　) A.[-6,+∞) B.(-∞,6) C.(-6,+∞) D.(-∞,-6] 解析:选D　由不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为(-4,1),可知1和-4是方程ax2+bx+c=0的两个实数根,且a<0,由根与系数的关系可得即b=3a,c=-4a,所以===4a+=-≤-2=-6.当且仅当-4a=时,即a=-时等号成立.即可得∈(-∞,-6]. 9.已知∀x∈[1,2],∀y∈[2,3],y2-xy-mx2≤0,则实数m的取值范围是 (　　) A.[4,+∞) B.[0,+∞) C.[6,+∞) D.[8,+∞) 快审准解:首先将不等式转化为关于的不等式,再根据参变分离,转化为求函数的最值. 解析:选C　因为x∈[1,2],y∈[2,3],则∈,所以∈[1,3].又y2-xy-mx2≤0,可得m≥-.令t=∈[1,3],则原命题等价于∀t∈[1,3],m≥t2-t,即m≥(t2-t)max,t2-t=-,当t=3时,y=t2-t取到最大值ymax=9-3=6,所以实数m的取值范围是[6,+∞). 10.已知关于x的不等式(2a+3m)x2-(b-3m)x-1>0(a>0,b>0)的解集为(-∞,-1)∪,则下列结论错误的是 (　　) A.2a+b=1 B.ab的最大值为 C.+的最小值为4 D.+的最小值为3+2 解析:选C　由题意,不等式(2a+3m)x2-(b-3m)x-1>0的解集为(-∞,-1)∪,可得2a+3m>0,且方程(2a+3m)x2-(b-3m)x-1=0的两根为-1和, 所以所以2a+3m=2,b-3m=-1,所以2a+b=1,所以A正确;因为a>0,b>0,所以2a+b=1≥2,可得ab≤,当且仅当2a=b=时取等号,所以ab的最大值为,所以B正确;由+=(2a+b)=4++≥4+2=4+4=8,当且仅当=,即2a=b=时取等号,所以+的最小值为8,所以C错误;由+=(2a+b)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即b=a=-1时,等号成立,所以+的最小值为3+2,所以D正确. 二、多选题 11.若存在m,n(m<n-1),使得0≤x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m≤x≤m+1,或x=n},则下列结论正确的是 (　　) A.x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1,或x≥n} B.x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m+1≤x≤n} C.c=-n D.a2+2a>4b-4c 解析:选AD　A、B选项,因为m<n-1,故m+1<n,由题意得x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m≤x≤n},x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1,或x≥n},A正确,B错误;C选项,x2+(a+1)x+b-c=0的两个根为m,n,x2+ax+b=0的根为m+1,n,故m+n=-a-1,mn=b-c,m+1+n=-a,(m+1)n=b,由于mn=b-c,(m+1)n=b,故b-c+n=b,所以n=c,C错误;D选项,因为n-m>1,n-m==,故>1,两边平方得a2+2a>4b-4c,D正确. 12.已知关于x的一元二次不等式x2+5x+m<0的解集中有且仅有2个整数,则实数m的值可以是 (　　) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:选AB　画出函数f(x)=x2+5x+m的大致图象,关于x的一元二次不等式x2+5x+m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合, 由函数f(x)=x2+5x+m的图象的对称轴为x=-,所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数,必须且只需使得解得4≤m<6. 三、填空题 13.若不等式组的解集为空集,则实数a的取值范围为　　　　.  解析:由(x-1)(x-3)<0,得1<x<3,因为不等式组的解集为空集,所以a≥3,即实数a的取值范围为[3,+∞). 答案:[3,+∞) 14.若mx2-1<0对于m∈[0,2]恒成立,则实数x的取值范围为　　　.  解析:令f(m)=mx2-1(m∈[0,2]),因为mx2-1<0对于m∈[0,2]恒成立,所以即解得-<x<,所以实数x的取值范围为. 答案: 15.关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含1个整数,写出满足条件的一个a的取值范围　　　　.  快审准解:把不等式化为(x-1)(x-a)<0,讨论当a>1,a<1和a=1时,求出不等式的解集,即可得出满足题意的a的取值范围. 解析:关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0可化为(x-1)(x-a)<0,当a>1时,解不等式得1<x<a,当a<1时,解不等式得a<x<1.因为不等式的解集中至多包含1个整数,所以1<a≤3或-1≤a<1,当a=1时,不等式的解集为∅,也满足题意.所以a的取值范围是[-1,3]. 答案:[-1,3] 16.一般地,把b-a称为区间(a,b)的“长度”.已知关于x的不等式x2-kx+2k<0有实数解,且解集区间长度不超过3个单位长度,则实数k的取值范围为　　　　. 解析:不等式x2-kx+2k<0有实数解等价于x2-kx+2k=0有两个不相等的实数根,则Δ=(-k)2-8k>0,解得k>8或k<0.设x2-kx+2k=0的两根为x1,x2,令x1<x2,则x1+x2=k,x1x2=2k.由题意得x2-x1== ≤3,解得-1≤k≤9.又k>8或k<0,所以-1≤k<0或8<k≤9.所以实数k的取值范围为[-1,0)∪(8,9]. 答案:[-1,0)∪(8,9] 四、解答题 17.已知函数f(x)=mx2+mx+3,m∈R. (1)若关于x的不等式f(x)>0在实数集R上恒成立,求实数m的取值范围; (2)解关于x的不等式f(x)>(3m-1)x+5. 解:(1)依题意,mx2+mx+3>0在实数集R上恒成立. 当m=0时,3>0,成立;当m≠0时,要使原不等式恒成立, 则解得0<m<12.综上,0≤m<12,故实数m的取值范围是{m|0≤m<12}. (2)不等式f(x)>(3m-1)x+5,等价于mx2+(1-2m)x-2>0,即(x-2)(mx+1)>0. 当m>0时,解得x>2或x<-. 当m=0时,不等式整理为x-2>0,解得x>2; 当m<0时,方程(x-2)(mx+1)=0的两根为x1=-,x2=2. 当->2,即-<m<0时,解得2<x<-; 当-=2,即m=-时,原不等式的解集为∅; 当-<2,即m<-时,解得-<x<2. 综上所述,当m<-时,原不等式的解集为; 当m=-时,原不等式的解集为∅; 当-<m<0时,原不等式的解集为 ; 当m=0时,原不等式的解集为{x|x>2}; 当m>0时,原不等式的解集为 . 易错提醒:含参数不等式的解法是不等式问题的难点.解此类不等式时一定要注意对参数分类讨论,讨论时要做到不重不漏,分类解决后,要对各个部分的结论按照参数由小到大进行整合. 学科网（北京）股份有限公司 $$