第四章 三角函数、解三角形（教师用书）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第四章|三角函数、解三角形 第一节　任意角和弧度制、 　　 　　　三角函数的概念 明确目标 1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化. 2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义，并能利用三角函数的定义解决相关问题. 教材再回首 1.角的概念 定义 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形 分类 (1)按旋转方向分为正角、负角和零角; (2)按终边位置分为象限角和轴线角 终边 相同 的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是{β|β=α+k·360°,k∈Z}或{β|β=α+2kπ,k∈Z} 2.弧度制的定义和公式 定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1 rad 弧度数公式 |α|=(弧长用l表示,半径用r表示) 角度与 弧度的换算 (1)1°= rad; (2)1 rad=°≈57.30° 弧长公式 弧长l=|α|r 扇形 面积公式 S=lr=|α|r2 3.任意角的三角函数的定义 (1)借助单位圆:设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=(x≠0). (2)借助终边上点的坐标:设角α终边上任意一点P(原点除外)的坐标为(x,y),它与原点的距离为r=OP=,则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0). (3)三角函数在各个象限的符号简记为“一全正,二正弦,三正切,四余弦”. 解题结论拓展 1.象限角 2.轴线角 3.若角α∈,则sin α<α<tan α. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人B必修③P7T5改编)以下说法正确的是(均指在平面直角坐标系中,始边在x轴正半轴上) (　　) A.第一象限角一定是锐角 B.终边相同的角一定相等 C.小于90°的角一定是锐角 D.钝角的终边在第二象限 答案:D 2.(苏教必修①P181T6改编)已知α∈(0,2π),sin α<0,cos α>0,则角α的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　因为sin α<0,cos α>0,所以α为第四象限角,结合α∈(0,2π),得α∈,故选D. 3.(人A必修①P175T6改编)半径为2的圆中,有一条弧长是,则此弧所对的圆心角是 (　　) A.15°　　B.20°　　C.30°　　D.40° 答案:C 4.(人A必修①P180T3改编)已知角θ的终边过点P(-12,5),则sin θ+cos θ等于 (　　) A.　　B.-　　C.　　D.- 解析:选D　∵OP==13,∴sin θ=,cos θ=-,∴sin θ+cos θ=-. 二、易错小题的警醒训练 1.与60°角终边相同的角可以表示为 (　　) A.+k·360°(k∈Z) 　　B.60°+2kπ(k∈Z) C.60°+2k·360°(k∈Z) 　　D.+2kπ(k∈Z) 解析:选D　A、B弧度、角度混用,错误.与60°角终边相同的角可以表示为60°+k·360°(k∈Z),则C错误.弧度制下表示为+2kπ(k∈Z),则D正确.(易错点:忽略角的度量单位的一致性而错选A致误) 2.已知某时钟的分针长4 cm,时间经过5分钟,则时针转过的角为　　　　弧度,分针扫过的扇形的面积为 　　　　 cm2. 解析:由题意得时针转过的角为-·=-,分针扫过的扇形的面积为××16=(cm2).(易错点:混淆顺时针与逆时针转过的角度) 答案:-　 题点一　角的表示(自主练通) 1.集合A={α|α=-2 024°+k·180°,k∈Z}中的最大负角α为 (　　) A.-2 024° 　B.-224° C.-44° 　D.-24° 解析:选C　因为-2 024°=-44°-11×180°,所以集合A={α|α=-2 024°+k·180°,k∈Z}中的最大负角α为-44°. 2.(2025·武汉模拟)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=x上,则角α的取值集合是 (　　) A. 　B. C. 　D. 解析:选D　根据题意,角α的终边在直线y=x上,(直线过第一、三象限,需分类讨论)当α为第一象限角时,α=+2kπ(k∈Z);当α为第三象限角时,α=+2kπ(k∈Z).综上,角α的取值集合是. 3.若α是第二象限角,则 (　　) A.-α是第一象限角 B.是第三象限角 C.+α是第二象限角 D.是第一、第二或第四象限角 解析:选D　由题意,得+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,则-π-2kπ<-α<--2kπ,k∈Z,此时-α在第三象限,所以-α是第三象限角,A错误;+kπ<<+kπ,k∈Z,当k为偶数时,的终边在第一象限;当k为奇数时,的终边在第三象限,所以是第一或第三象限角,B错误;2π+2kπ<+α<+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<+α<+2(k+1)π,k∈Z,所以+α的终边在第一象限,所以+α是第一象限角,C错误;若α是第二象限角,则+<<+,k∈Z,当k=3n,n∈Z时,是第一象限角,当k=3n+1,n∈Z时,是第二象限角;当k=3n+2,n∈Z时,是第四象限角. 习得方略:若α,β,γ,θ分别为第一、二、三、四象限角,则,,,的终边所在的象限如图所示. 4.如图,终边落在阴影部分的角α的取值集合为　　　　　　　　　　　　　　　.  解析:因为终边落在射线OA上的角的集合是{β|β=k·360°+30°,k∈Z},终边落在射线OB上的角的集合是{γ|γ=k·360°+105°,k∈Z},所以终边落在阴影部分(含射线OA,不含射线OB)的角的集合是{α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°,k∈Z}.(注意等号的取舍) 答案:{α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°,k∈Z} |思维建模|　求适合某些条件的角的方法 先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角. 题点二　弧度制及其应用 [例1]　已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l. (1)若α=60°,R=6,求扇形的周长; (2)若扇形的周长为20,求扇形面积的最大值,此时扇形的圆心角α为多少弧度. 解:(1)因为α=60°=,所以扇形的周长为l+2R=×6+2×6=2π+12. (2)由扇形的周长为20,得αR+2R=20, 所以R=,则扇形的面积S=αR2=α·=≤=25, 当且仅当α=,即α=2时取等号. 所以扇形面积的最大值为25,此时扇形的圆心角α为2弧度. |思维建模|　应用弧度制解决问题的注意点 (1)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个. (2)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. (3)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决. [即时训练] 1.已知扇形的圆心角为3 rad,面积为24,则该扇形的弧长为 (　　) A.4 B.4π C.12 D.12π 解析:选C　设该扇形的弧长为l,圆心角为α,半径为r,由S=αr2,得×3r2=24,即r=4,故l=αr=12. 2.炎炎夏日,在古代,人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成的.如图,纸叠扇完全展开后,扇形ABC的面积S为225π2 cm2,若BD=2DA,则当该纸叠扇的周长C最小时,BD的长度为　　　　 cm. 解析:设扇形ABC的半径为r cm,弧长为l cm,则扇形面积S=rl.由题意得rl=225π2,所以rl=450π2.所以纸叠扇的周长C=2r+l≥2=2=60π,当且仅当即r=15π,l=30π时,等号成立,所以BD+DA=15π(cm).又BD=2DA,所以BD+BD=15π(cm),即BD=15π(cm),故BD=10π(cm). 答案:10π 题点三　三角函数的定义及其应用 考法(一)　三角函数的定义 [例2] (1)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,若A(1,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-,则y= (　　) A.-3 B.3 C.-1 D.1 解析:选A　因为sin θ=-<0,A(1,y)是角θ终边上一点,所以y<0.由三角函数的定义,得=-,解得y=-3(正值舍去). (2)若角α的终边在直线y=x上,则cos α的值是 (　　) A. B. C.± D.± 解析:选D　法一　当角α的终边位于第一象限时,取直线y=x上位于第一象限的一个点的坐标,如(2,3),则cos α==.同理,当角α的终边位于第三象限时,取直线上一个点的坐标为(-2,-3),则cos α=-,故选D. 法二　∵角α的终边在直线y=x上,∴tan α=,即=　①,又sin2α+cos2α=1　②,∴解①②构成的方程组,得cos α=±.经检验,符合题意.故选D. |思维建模|　三角函数定义的应用策略 (1)已知角α的终边上一点P的坐标,求角α的三角函数值的方法:先求出点P到原点的距离,再利用三角函数的定义求解. (2)已知角α的终边所在的直线方程,可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义求解. 考法(二)　三角函数值的符号 [例3] (1)已知sin θcos θ<0,且|cos θ|=cos θ,则角θ是 (　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析:选D　由|cos θ|=cos θ,可知cos θ≥0,结合sin θcos θ<0,得sin θ<0,cos θ>0,故选D. (2)(2025·淮安模拟)若α为第二象限角,则 (　　) A.sin 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin α-cos α>0 D.sin α+cos α<0 解析:选C　若α为第二象限角,当α=时,可得2α=在第四象限,此时sin 2α<0,cos 2α>0,即A、B错误;当α=时,可得sin α+cos α=+=0,即D错误;由α为第二象限角,可得sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α>0,即C正确. |思维建模|　判定三角函数值符号的关键点 　　要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限,那么就要进行分类讨论求解. [即时训练] 3.已知tan θ=,且角θ为第一象限角,P为角θ终边上一点,OP=2,则点P的坐标为 (　　) A.(1,) B.(2,) C.(,3) D.(-3,-) 方法引入:由tan θ的值,可设角θ终边上一点P的坐标为(x,x)(x>0).又OP=2,解得点P的坐标.由于选择题的特殊性,也可用排除法一一检验. 解析:选C　由tan θ=,且角θ为第一象限角,设角θ终边上一点P的坐标为(x,x)(x>0). 又OP=2=,解得x=,所以点P的坐标为(,3).故选C. 4.[多选]已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上存在两点A(-1,a),B(b,1), 且sin α=,则 (　　) A.a=- B.b=-2 C.cos α=- D.tan α=- 解析:选BCD　因为角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上存在两点A(-1,a),B(b,1),且sin α=,所以==,所以a2=,b2=8,由=,可知a>0,所以角α为第二象限角,所以b<0,故a=,b=-2,所以A错误,B正确.cos α==-,tan α==-=-,所以C、D正确. 5.已知+=-2,则角θ所在的象限是 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选C　由+=+=+=-2,得cos θ<0,sin θ<0,故角θ所在的象限是第三象限. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.已知角α的终边经过点P,则cos α= (　　) A. B. C. D.- 解析:选B　由P,得P,则cos α==,故选B. 2.与-终边相同的角是 (　　) A.- B. C. D. 解析:选C　因为-=-4π,所以与-终边相同的角可表示为+2kπ(k∈Z),易知C正确. 3.(2025·北京模拟)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴正半轴上,sin α<0且tan α>0,则α的终边在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选C　因为sin α<0,所以α的终边在第三、四象限或y轴负半轴上.(不要忽视终边在坐标轴上的情况)因为tan α>0,所以α的终边在第一、三象限,所以α的终边在第三象限. 4.若α是第二象限角,P(x,)为其终边上一点,tan α=-,则sin α的值为 (　　) A. B.- C. D.- 解析:选C　由三角函数的定义,可得tan α==-,解得x=-,即P(-,),则r=OP=, 所以sin α==. 5.(2025·天津河东一模)在面积为4的扇形中,其周长最小时半径的值为 (　　) A.4 B.2 C.2 D.1 解析:选C　设扇形的半径为R(R>0),圆心角为α,则αR2=4,所以α=,则扇形的周长为2R+αR=2R+≥2=8,当且仅当2R=,即R=2时,取等号,所以周长最小时半径的值为2. 6.已知角x的终边上一点的坐标为,则角x的最小正值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　因为sin=,cos=-,所以角x的终边上点的坐标为,可得角x为第四象限角, 且tan x=-,所以x的最小正值为. 7.已知角α和角β以x轴的非负半轴为始边,若角α和角β的终边关于直线y=x对称,则下列等式恒成立的是 (　　) A.sin α-sin β=0 B.cos α-cos β=0 C.sin α-cos β=0 D.sin α+cos β=0 解析:选C　设角α的终边与单位圆的交点坐标为(a,b),由角α和角β的终边关于直线y=x对称,得角β的终边与单位圆的交点坐标为(b,a),则sin α=b,cos α=a,sin β=a,cos β=b,因此sin α=cos β,cos α=sin β,由角α的任意性得A、B、D不正确,C正确. 8.设S=,S1=,S2=,则下列结论错误的是 (　　) A.S1⊆S B.S2⊆S C.S1∪S2=S D.S1∩S2=S 解析:选D　因为S=表示终边落在y轴上角的集合,S1=表示终边落在y轴正半轴上角的集合,S2=表示终边落在y轴负半轴上角的集合,所以S1⊆S,S2⊆S,S1∪S2=S,正确,S1∩S2=∅≠S,错误. 9.已知△ABC为锐角三角形,若角θ的终边过点P(sin A-cos B,cos A-sin C),则++的值为 (　　) A.1 B.-1 C.3 D.-3 解析:选B　因为△ABC为锐角三角形,所以A+B>,A+C>,即A>-B,C>-A,所以sin A>cos B,sin C>cos A,所以θ是第四象限角,所以++=-1+1-1=-1. 10.如图,将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C',点B经过的路径为弧BB',若∠BAC=60°,AC=3,则图中阴影部分的面积是 (　　) A. B. C. D.3π 解析:选C　由题意,扇形B'AB的圆心角α=45°=,且∠BAC=60°,AC=3,所以AB=AB'=6,所以S扇形B'AB= α·AB2=××36=,且S△ABC=S△AB'C'=×AC'×B'C'=×3×3=,所以阴影部分的面积为S扇形B'AB+S△AB'C'-S△ABC=. 二、多选题 11.下列说法正确的是 (　　) A.角与角-终边相同 B.终边在直线y=-x上的角α的取值集合可表示为{α|α=k·360°-45°,k∈Z} C.若角α的终边在直线y=-3x上,则cos α的取值为 D.67°30'化成弧度是 解析:选AD　角与角-相差2π,终边相同,故A正确;终边在直线y=-x上的角α的取值集合可表示为{α|α=k·180°-45°,k∈Z},故B错误;若角α的终边在直线y=-3x上,则cos α的取值为±,故C错误;67°30'化成弧度是,故D正确. 12.已知角θ的终边经过点(-2,-),且θ与α的终边关于x轴对称,则 (　　) A.sin θ=- B.α为钝角 C.cos α=- D.点(tan θ,tan α)在第四象限 解析:选ACD　因为角θ的终边经过点(-2,-),所以sin θ=-=-,故A正确;因为θ与α的终边关于x轴对称,所以α的终边经过点(-2,),则α为第二象限角,不一定为钝角,且cos α==-,故B错误,C正确;因为tan θ=>0,tan α=-<0,所以点(tan θ,tan α)在第四象限,故D正确. 13.下列说法正确的是 (　　) A.cos 2sin 3<0 B.若圆心角为的扇形的弧长为π,则扇形的面积为 C.终边落在直线y=x上的角的集合是 D.函数y=tan的定义域为,π为该函数的一个周期 解析:选ABD　∵2,3均为第二象限角,∴cos 2<0,sin 3>0,∴cos 2sin 3<0,A正确;设扇形的半径为r,则r=π,解得r=3,∴扇形的面积S=××32=,B正确;终边落在直线y=x上的角的集合为,C错误;由2x-≠+kπ(k∈Z),得x≠+(k∈Z),∴y=tan的定义域为.又tan=tan=tan,∴π是y=tan的一个周期,D正确. 三、填空题 14.若α=1 560°,角θ与角α终边相同,且-360°<θ<360°,则θ=　　　　.  解析:因为α=1 560°=4×360°+120°,所以与α终边相同的角为k·360°+120°,k∈Z,令k=-1,得θ=-240°;令k=0,得θ=120°. 答案:120°或-240° 15.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称,点M(x,-1)在角β的终边上.若sin α=,则sin β=　 　　. 解析:由题意知角α与角β的终边关于原点对称,点M(x,-1)在角β的终边上,则点N(-x,1)在角α的终边上.由sin α=以及ON=,可得=.由点M(x,-1)在角β的终边上且OM=,可知sin β==-. 答案:- 16.已知角α的终边在如图阴影部分所表示的范围内(不含边界),则角α的范围为　　　　　　　 　.  解析:由题图可知,终边落在阴影部分的角的集合为∪=∪= . 答案:(k∈Z) 17.已知α∈,且α与β的终边关于原点对称,则cos β的取值范围为　　　　.  解析:因为α∈,α与β的终边关于原点对称,即β=α+π,所以β的终边对应的范围为,cos β的取值范围为. 答案: 第二节　同角三角函数的 　基本关系及诱导公式 明确目标 1.理解同三角函数的基本关系：sin2α+cos2α=1， tan α 2.借助单位圆的对称性，利用定义推导公式 3.能利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值. 教材再回首 1.同角三角函数的基本关系 平方关系 sin2α+cos2α=1 商数关系 tan α=　 2.诱导公式 角 2kπ+α (k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α -tan α -tan α — — 记忆 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变, 符号看象限 解题结论拓展 同角三角函数基本关系式的几种变形 (1)sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α); cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α); (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. (2)sin α=tan αcos α. (3)sin2α==; cos2α==. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P184T1改编)已知cos α=-,且α为第三象限角,则sin α= (　　) A. B.- C.- D. 答案:C 2.(人A必修①P195T5)已知sin=,那么cos α= (　　) A.- B.- C. D. 解析:选B　因为sin=-cos α=,所以cos α=-. 3.(北师大必修②P149例5改编)已知tan α=3,则=　　　　.  解析:∵tan α=3,∴===2. 答案:2 4.(苏教必修①P225T13改编)设α是第三象限角,且tan α=2,则=　　　　.  解析:因为==cos α,又tan α=2,α是第三象限角,所以cos α=-. 答案:- 二、易错小题的警醒训练 1.已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是 (　　) A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1} C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2} 解析:选C　当k为偶数时,A=+=2;当k为奇数时,A=-=-2.(易错点:忽略kπ中对k的分类讨论) 2.已知sin θ+cos θ=,θ∈,则sin θ-cos θ的值为　　　　.  解析:因为sin θ+cos θ=,所以sin θcos θ=.所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,又θ∈,所以sin θ<cos θ,所以sin θ-cos θ=-.(易错点:忽视角的范围而产生增根) 答案:- 题点一　同角三角函数基本关系 考法(一)　“弦”“切”互化 [例1] (1)(2024·乐山三模)已知tan α=-,且α为第二象限角,则cos α= (　　) A.- B. C.- D. 解析:选A　因为tan α=-,所以sin α=-cos α,又sin2α+cos2α=1,所以+cos2α=1,所以cos2α=.又α为第二象限角,所以cos α=-. (在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号) (2)(2025·大连一模)已知a=(4,-2),b=(cos α,sin α),若a⊥b,则= (　　) A.- B. C. D.- 解析:选B　因为a⊥b,所以4cos α-2sin α=0①,可得tan α=2,则=②===.  习得方略:①处注意两向量垂直,其数量积为0; ②处注意“1”的代换在三角函数中的重要性. |思维建模|　同角三角函数关系的应用方法 (1)利用sin2α+cos2α=1可实现α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化. (2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值.因为利用“平方关系”公式,需求平方根,会出现两解,需根据角所在的象限判断符号,当角所在的象限不明确时,要进行分类讨论. 考法(二)　“和”“积”转换 [例2]　(多选)已知α∈(0,π),sin α+cos α=,则下列结论正确的是 (　　) A.sin 2α=- B.cos α-sin α= C.cos 2α= D.tan α=-3 解析:选AD　由sin α+cos α=两边平方得1+sin 2α=,所以sin 2α=-,故A正确;由sin 2α=2sin αcos α= -<0,α∈(0,π)可得α∈,故cos α<sin α.由(cos α-sin α)2=1-sin 2α=可得cos α-sin α=-,故B错误; cos 2α=cos2α-sin2α=(sin α+cos α)(cos α-sin α)=×=-,故C错误;由 解得所以tan α=-3,故D正确. |思维建模| 对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子,知一可求二,若令sin α+cos α=t,则sin αcos α=,sin α-cos α=±(注意根据α的范围选取正、负号),体现了方程思想的应用. [即时训练] 1.已知sin α-cos α=,α∈(0,π),则tan α= (　　) A.-1　　B.-　　C.　　D.1 解析:选A　法一　通过解方程得到sin α,cos α.把sin α=+cos α代入sin2α+cos2α=1,整理得2cos2α+2cos α+1=0,即(cos α+1)2=0,从而cos α=-,sin α=,所以tan α=-1. 法二:逆向探讨　令tan α==t(t≠1),则sin α=tcos α,代入sin α-cos α=,得sin α=,cos α=,所以+=1,整理得t2+2t+1=0,解得t=-1. 法三:弦切互化　由(sin α-cos α)2=2,得==2,即tan2α+2tan α+1=0,解得tan α=-1. 2.设-<α<0,若=,则sin α= (　　) A.- B.- C.- D.- 解析:选C　由已知=,得=.因为-<α<0,所以sin α≠0,故=,解得cos α=, sin α=-=-,故选C. 3.若sin 2α+cos2α=-,α∈,则tan α=　　　　. 解析:由sin 2α+cos2α=-,得=-,即=-,所以tan2α+4tan α+3=0,解得tan α=-1或tan α=-3,因为α∈,所以tan α=-3. 答案:-3 价值发掘:巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=sin2θ=tan=…. 题点二　诱导公式 [例3] (1)已知sin=,则cos(π-α)的值为 (　　) A. B.- C. D.- 解析:选B　因为sin=sin=sin=cos α=,所以cos(π-α)=-cos α=-. (2)(2025·烟台模拟)已知cos=,则2sin+cos= (　　) A.-2 B.2 C.- D. 快审准解:根据已知的三角函数值,利用换元法,结合三角函数的诱导公式求解. 解析:选A　令m=θ-,则θ=m+,cos m=,从而2sin+cos=2sin+ cos=2sin+cos(m+3π)=-3cos m=-2. |思维建模| 1.诱导公式的应用步骤 2.诱导公式的两个应用 (1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. (2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了. 3.应用技巧 (1)常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等. (2)常见的互补关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等. [即时训练] 4.若cos=,则sin= (　　) A.-　　B.-　　C.　　D. 解析:选A　因为cos=, 即cos=,所以sin=, 则sin=sin=-sin=-. 5.化简求值:=　　　　.  解析: = ===-1. 答案:-1 题点三　基本关系与诱导公式的综合应用 [例4]　在单位圆中,锐角α的终边与单位圆相交于点P,作射线OP,将射线OP绕点O按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B,其中θ∈. (1)求的值; (2)记点B的横坐标为f(θ),若f=,求cos+cos的值. 解:(1)由点P在单位圆上,且α是锐角,可得m=,所以cos α=, 所以==2cos α=1. (2)由(1)可知cos α=,且α为锐角,可得α=∠xOP=,根据三角函数的定义可得f(θ)=cos.因为f=cos=>0,且θ∈,因此θ+∈,所以sin=,所以cos+cos=cos+cos=sin-cos=. |思维建模| 利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的基本思路 (1)分析结构特点,寻求条件及所求之间的关系,尤其是角之间的关系; (2)选择恰当的公式,利用公式灵活变形; (3)化简求值. [即时训练] 6.(2025·泰安模拟)已知sin=且<α<π,则tan α= (　　) A.-　　B.-　　C.　　D.3 解析:选B　由诱导公式得sin=sin=-sin=-cos α=,所以cos α=-.又因为α∈,所以sin α=,所以tan α==-. 习得方略:诱导公式用于角的变换,凡遇到角与的整数倍角的和、差问题时可用诱导公式.用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角的三角函数. 7.(2025·石家庄模拟)已知角θ的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,点P在角θ的终边上,则= (　　) A.　　B.-　　C.　　D.- 解析:选C　由于sin=sin=sin=-,cos=cos=cos=-, 所以P.由于点P在角θ的终边上,所以tan θ==,故==tan θ=. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.(2025·洛阳模拟)已知tan α=2,则= (　　) A. B. C. D.2 解析:选B　因为tan α=2,所以===. 2.(2024·成都二模)若角α的终边位于第二象限,且sin α=,则sin= (　　) A. B.- C. D.- 解析:选D　因为角α的终边位于第二象限且sin α=,则cos α=-=-,所以sin=cos α=-. 3.已知sin2(π-θ)=cos,0<|θ|<,则θ等于 (　　) A.- B.- C. D. 解析:选D　由题意知sin2θ=sin θ,所以sin θ=或sin θ=0.又因为0<|θ|<,所以θ=. 4.(2025·房山一模)已知角α的终边经过点(3,4),把角α的终边绕原点O逆时针旋转得到角β的终边, 则sin β= (　　) A.- B. C.- D. 解析:选D　因为角α的终边经过点(3,4),所以cos α==.因为把角α的终边绕原点O逆时针旋转得到角β的终边,所以β=α+,所以sin β=sin=cos α=. 5.若α∈(0,π),2sin α+cos α=,则tan α= (　　) A.- B.- C.- D.- 解析:选C　由2sin α+cos α=,得cos α=-2sin α,∴sin2α+cos2α=sin2α+=5sin2α- sin α+=1,解得sin α=或sin α=-.又α∈(0,π),∴sin α>0,即sin α=,∴cos α=-=-,∴tan α===-. 6.已知θ是第四象限角,且sin=-,则tan= (　　) A.- B. C.- D. 解析:选B　∵+=,∴sin=cos=-.又2kπ-<θ<2kπ(k∈Z),∴2kπ-<θ+<2kπ+(k∈Z).∴cos=,sin=,∴tan==-,∴tan=-tan=. 易错提醒:解决此类问题若不能确定角与角之间的特殊联系,会导致诱导公式应用错误或解题受阻.解题的关键是发现已知角θ+与未知角-θ之间的关系,然后利用诱导公式解决问题. 7.(2025·长沙模拟)若α为锐角,且=+cos α,则cos α= (　　) A. B. C. D.- 解析:选B　因为=+cos α,所以==sin α+cos α+1=+cos α,所以sin α=.因为α为锐角,所以cos α=. 8.已知α,β∈,且满足sin αcos β-2cos αsin β=0,则tan(2π+α)+tan的最小值为 (　　) A.2 B. C.1 D.2 解析:选D　因为sin αcos β-2cos αsin β=0,α,β∈,所以tan α>0,tan β>0,tan α=2tan β,所以tan(2π+α)+tan=tan α+=2tan β+≥2,当且仅当tan β=时,等号成立. 9.(2024·铜川三模)设△ABC的内角满足A≤B,A≤C,则“△ABC是锐角三角形”是“sin A≥cos C”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A　若△ABC是锐角三角形,则>A>-C>0,于是sin A>sin=cos C,即充分性得证;当B=,A=C=时,满足sin A≥cos C,但△ABC不是锐角三角形,必要性不成立.故“△ABC是锐角三角形”是“sin A≥cos C”的充分不必要条件. 10.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形,如图所示.记直角三角形较小的锐角为α,大正方形的面积为S1,小正方形的面积为S2,若=25,则的值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　设大正方形的边长为a,则直角三角形的直角边分别为asin α,acos α,因为α是直角三角形较小的锐角,所以0<α<.又S1=a2,S2=S1-4×a2sin αcos α=a2-2a2sin αcos α,所以===25,即===25,解得tan α=或tan α=(舍去),所以= ==. 二、多选题 11.下列化简正确的是 (　　) A.tan(π+1)=tan 1 B.=cos α C.=tan α D.=1 解析:选AB　tan(π+1)=tan 1,故A正确;==cos α,故B正确;==-tan α,故C不正确;==-1,故D不正确. 12.下列说法正确的是 (　　) A.若角α的终边过点P,则角α的集合是 B.若cos=,则sin= C.若tan α=2,则sin2α+sin αcos α= D.若扇形的周长为8 cm,圆心角为2 rad,则此扇形的半径是4 cm 解析:选ABC　因为角α的终边过点P,为第一象限角,所以由三角函数的定义知tan α=,所以角α的终边与终边相同,所以角α的集合是,所以A正确;因为sin=sin=cos=,所以B正确;因为sin2α+sin αcos α====,所以C正确;设扇形的半径为r,圆心角为α,因为扇形所对的弧长为l=αr=2r,所以扇形周长为l+2r=2r+2r=4r=8,故r=2 cm,所以D不正确. 13.已知cos 460°=t,则 (　　) A.sin 10°= B.sin 100°= C.cos 230°=- D.tan 10°= 解析:选BC　由cos 460°=t,可得cos 100°=t.sin 10°=-cos 100°=-t,A错误;sin 100°==, B正确;cos 230°=-cos 50°=-=-,C正确;tan 10°==,D错误. 三、填空题 14.(2025·重庆模拟)已知函数f(x)=xln x,角θ为函数f(x)在点(e,f(e))处的切线的倾斜角,则=　　　　　. 解析:由函数f(x)=xln x,求导得f'(x)=1+ln x,依题意,得tan θ=f'(e)=2,所以==4. 答案:4 15.设f(θ)=,则f=　　　　.  解析:∵f(θ)==,又cos=cos=cos=,∴f==-. 答案:- 16.已知角α满足2sin-cos=1,则tan=　　　　　.  解析:∵2sin-cos=1,∴2sin-cos=1,即3sin=1,∴sin=,∴cos=± =±,故tan=±. 答案:± 四、解答题 17.已知函数f(α)=. (1)化简f(α); (2)若α∈,f=,求cos+2cos的值. 解:(1)f(α)===sin α. (2)因为f(α)=sin α, 所以f=sin=,cos=cos =-sin=-, cos=cos=-cos.因为α∈,所以α+∈, cos=,故cos=-, 因此cos+2cos=-. 第三节　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 明确目标 1.会推导两角差的余弦公式,知道两角差的余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系,并会简单应用. 教材再回首 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)=. 2.二倍角的正弦、余弦和正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α. (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. (3)tan 2α=. 3.辅助角公式 一般地,函数f(α)=asin α+bcos α(a,b为常数)可以化为f(α)= sin(α+φ)或f(α)= cos(α-φ). 　　[微点提醒] (1)运用公式时要注意公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升幂、降幂的灵活运用,要注意“1”的各种变形. (2)在求角的三角函数值时,往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0,π)内,正弦值对应的角不唯一. 解题结论拓展 1.两角和与差的正切公式的变形 tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β); tan αtan β=1-=-1. 2.降幂公式 cos2α=,sin2α=,tan2α=. 3.升幂公式 1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α; 1+sin 2α=(sin α+cos α)2; 1-sin 2α=(sin α-cos α)2. 4.其他常用变式 sin 2α==; cos 2α==. 5.半角正切公式的有理化 (人A必修①P226T1结论)tan==. 典题细发掘 1.(人A必修①P220T1改编)sin 75°的值为 (　　) A.　　B.　　C.　　D.- 解析:选B　sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=. 2.(人A必修①P218例3改编)若2cos α-sin α=0,则tan= (　　) A.-　　B.　　C.-3　　D.3 解析:选B　因为2cos α-sin α=0,则sin α=2cos α,所以tan α=2.因此tan===.故选B. 3.(人A必修①P220T3改编)计算cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°的结果为 (　　) A. B. C.- D. 解析:选B　cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°=cos(72°-12°)=cos 60°=. 4.(北师大必修②P168T1改编)若tan α=,则cos 2α-sin 2α=　　　　.  解析:cos 2α-sin 2α=cos2α-sin2α-2sin αcos α = ==-. 答案:- 题点一　公式的基本应用 [例1] (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)= (　　) A.-3m　　　　　　 B.- C. D.3m 解析:选A　法一　由cos(α+β)=m,得cos αcos β-sin αsin β=m　①, 由tan αtan β=2,得=2　②, 由①②得 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.故选A. 法二　取β=,α为第一象限角, 则tan α=2,所以sin α=,cos α=, 所以(cos α-sin α)=-. 又cos(α+β)=m,所以m=-, 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=(cos α+sin α)==-3m.故选A. |考|教|衔|接| 　 本题源自人教A版必修①P255T15(1)改编:已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,求tan αtan β的值. 高考题与教材题只是调换了结论与条件而已,这就意味着在复习中,应注重对教材题目的挖掘、关注及应用.解决此类问题的关键是掌握公式及其常见变形.   (2)(2024·全国甲卷)已知=,则tan= (　　) A.2+1 B.2-1 C. D.1- 解析:选B　根据题意有=,即1-tan α=,所以tan α=1-,所以tan===2-1, 故选B. |思维建模|　利用三角函数公式时应注意的问题 (1)应注意公式的结构特点和符号变化规律,例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘,符号反”. (2)应注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用. (3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用. [即时训练] 1.(2024·吕梁二模)已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,则cos α= (　　) A.　　B.　　C.　　D. 解析:选D　由2sin 2α=cos 2α+1⇒4sin αcos α=2cos2α⇒2cos α(2sin α-cos α)=0.因为α∈,所以cos α≠0, sin α>0,cos α>0,所以2sin α=cos α.又sin2α+cos2α=1,解方程组得cos α=. 2.若sin(α-β)=,且tan α=2tan β,则sin(α+β)= (　　) A.　　B.　　C.　　D. 解析:选D　因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,又tan α=2tan β,即=,(切化弦)则sin αcos β= 2cos αsin β,所以sin αcos β=,cos αsin β=,故sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+=. 拓展与建模 积化和差公式与和差化积公式 1.积化和差公式 cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)] sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)] sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)] cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)] 2.和差化积公式 cos α+cos β=2coscos cos α-cos β=-2sin sin sin α+sin β=2sincos sin α-sin β=2cossin [针对训练] 1.已知sin xcos y+cos xsin y=,cos 2x-cos 2y=,则sin(x-y)= (　　) A. B. C.- D.- 快审准解:先利用两角和的正弦公式求出sin(x+y),再根据cos 2x-cos 2y=cos[(x+y)+(x-y)]-cos[(x+y)-(x-y)]结合两角和、差的余弦公式化简即可得解. 解析:选D　因为sin xcos y+cos xsin y=sin(x+y)=,所以cos 2x-cos 2y=cos[(x+y)+(x-y)]-cos[(x+y)-(x-y)]=-2sin(x+y)sin(x-y)=-sin(x-y)=,所以sin(x-y)=-.故选D. 2.已知cos2α-cos2β=-,sin(α-β)=,则cos(2α+2β)= (　　) A.- B. C.- D. 快审准解:根据条件,利用余弦的二倍角及和差化积公式,得到sin(α+β)sin(α-β)=,从而得到sin(α+β)=,即可求出结果. 解析:选B　因为cos2α-cos2β=-=(cos 2α-cos 2β)=-sin(α+β)·sin(α-β)=-,所以sin(α+β)sin(α-β)=.又sin(α-β)=,所以sin(α+β)=,所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-=.故选B. 3.(1)sin 54°-sin 18°=　　　　;  (2)cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°=　　　　. 解析:(1)由和差化积公式可得,sin 54°-sin 18°=2cos 36°sin 18°=2×== ==. (2)由和差化积和积化和差公式可得cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°=2cos 120°cos 26°+2×(cos 120°+cos 26°)=2×cos 26°++cos 26°=-. 答案:(1)　(2)- 题点二　公式的逆用及变形应用 [例2] (1)(2024·温州三模)已知sin=-,则sin(α-2β)cos α-cos(2β-α)sin α= (　　) A.-　　B.　　C.-　　D. 解析:选B　因为sin=-,所以由两角和正弦公式得sin β+cos β=,两边平方得1+2sin βcos β=1+ sin 2β=,即sin 2β=-,故sin(α-2β)cos α-cos(2β-α)sin α=sin(α-2β)cos α-cos(α-2β)sin α=sin(α-2β-α)=-sin 2β =. (2)(1-tan 11°)(1-tan 47°)(1-tan 88°)(1-tan 124°)= (　　) A.2 B.-2 C.4 D.-4 解析:选C　因为tan 135°==-1,所以可得1-tan 11°-tan 124°+tan 11°tan 124°=2.同理可得1- tan 47°-tan 88°+tan 47°tan 88°=2,所以(1-tan 11°)(1-tan 47°)(1-tan 88°)(1-tan 124°)=(1-tan 11°-tan 124°+ tan 11°tan 124°)(1-tan 47°-tan 88°+tan 47°tan 88°)=4. |思维建模|　三角函数公式活用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式,注意公式成立的条件和角之间的关系. (2)tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一.Tα±β公式的变形:tan α+tan β= tan(α+β)(1-tan αtan β),tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). [即时训练] 3.若λsin 140°-tan 40°=,则实数λ的值为 (　　) A.-2 B.2 C.3 D.4 快审准解:利用诱导公式和化切为弦将已知式化为λsin 40°cos 40°=sin 40°+cos 40°,再运用二倍角公式和辅助角公式化简,求得λ的值. 解析:选D　由λsin 140°-tan 40°=化简得,λsin 40°-=,则λsin 40°cos 40°=sin 40°+cos 40°, 即λsin 80°=2sin(40°+60°)=2sin 80°.因为sin 80°>0,所以λ=4.故选D. 4.sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=　　　　.  解析:法一　sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=cos 80°×cos 60°cos 40°cos 20°=cos 20°cos 40°cos 80°= ======. 法二:构建对偶式　令x=sin 10°sin 50°sin 70°,y=cos 10°cos 50°cos 70°,则xy=sin 10°sin 50°×sin 70°cos 10° cos 50°cos 70°=sin 20°×sin 100°×sin 140°=sin 20°sin 80°sin 40°=cos 10°×cos 50°cos 70°=y,因为y≠0,所以x=,从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=×=. 答案: 题点三　角的变换问题 [例3] (1)已知角α,β满足cos β=,cos αcos(α+β)=,则cos(2α+β)= (　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 快审准解:关键利用拆角求解,即β=(α+β)-α,2α+β=α+(α+β),然后利用和差角的余弦公式求值即可. 解析:选C　由cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=,结合cos αcos(α+β)=,可得sin(α+β)sin α=-=,所以cos(2α+β)=cos(α+α+β)=cos αcos(α+β)-sin αsin(α+β)=-=.故选C. (2)已知α∈(0,π),β∈(0,π),且sin=,cos=,则sin(α+β)= (　　) A.-- B.-+ C.+ D.-+ 解析:选A　令x=α+,y=β+, (微技巧:若直接看不出角与角的关系,可以利用换元法求解) 则x∈,y∈,且α+β=x+y-π,因为sin x=∈,所以x∈,所以cos x=-.因为cos y=>0,所以y∈, 所以sin y=-,所以sin(α+β)=sin(x+y-π)=-sin(x+y)=-(sin xcos y+cos xsin y)=--. |思维建模|　角的变换问题的解题策略 (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. (3)常见角的变换: ①2α=(α+β)+(α-β); ②α=+; ③+α=-; ④α=(α+β)-β=(α-β)+β; ⑤+=等. [即时训练] 5.(2024·邵阳三模)已知tan α=5,tan=,则tan β= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　由tan=,可得tan(α-β)==,所以tan β=tan[α-(α-β)]===. 6.已知α,β∈(0,π),且cos α=,sin(α-β)=,则cos β= (　　) A. B. C. D. 快审准解:根据角的变换β=α-(α-β),再根据两角差的余弦公式,以及同角三角函数基本关系式,即可求解. 解析:选A　由α,β∈(0,π),且cos α=>0,得α∈,则sin α=,α-β∈.由sin(α-β)=,得α-β∈,则cos(α-β)=,所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=.故选A. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.sin 45°cos 15°+cos 45°cos 75°= (　　) A.- B.- C. D. 解析:选D　sin 45°cos 15°+cos 45°cos 75°=sin 45°cos 15°+cos 45°sin 15°=sin(45°+15°)=sin 60°=. 2.(2025·枣庄模拟)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P,则cos= (　　) A.0 B. C. D. 解析:选D　因为P,即P,角α的终边经过点P,所以sin α=,cos α=,所以cos=cos αcos+sin αsin =×+×=. 3.(2024·上海高考)下列函数中,最小正周期是2π的是 (　　) A.y=sin x+cos x B.y=sin xcos x C.y=sin2x+cos2x D.y=sin2x-cos2x 解析:选A　y=sin x+cos x=sin,其最小正周期为2π,A正确;y=sin xcos x=sin 2x,其最小正周期为π, B错误;y=sin2x+cos2x=1,不存在最小正周期,C错误;y=sin2x-cos2x=-cos 2x,其最小正周期为π,D错误.故选A. 规律结论:常见辅助角结论 (1)sin x±cos x=sin; (2)sin x±cos x=2sin; (3)cos x±sin x=cos; (4)cos x±sin x=2cos. 4.(2024·自贡三模)已知角α满足=3,则sin 2α= (　　) A.- B. C.- D. 解析:选D　由=3,得=3,即tan α=3,∴sin 2α===. 5.已知sin α+cos α=,则sin等于 (　　) A.± B. C.- D.- 解析:选C　∵sin α+cos α=sin=,∴sin=,∴sin=sin=-sin=-. 6.已知θ∈,且sin=,则tan θ= (　　) A.7 B. C. D. 解析:选A　因为θ∈,所以θ+∈.又sin=,所以cos=-,则tan=-.所以tan θ=tan===7. 7.(2025·武汉调研)若α∈,tan α=,则sin= (　　) A.- B. C.- D. 解析:选D　由tan α=,得=,结合sin2α+cos2α=1,整理得3sin α=1,所以sin α=.因为α∈, (易错提醒:在利用同角三角函数的基本关系求值时,一定要注意角的范围) 所以cos α==,所以sin 2α=2sin αcos α=,cos 2α=1-2sin2α=,所以sin=sin 2αcos-cos 2αsin=×-×=,故选D. 8.已知α∈,β∈,若sin(α+β)=,cos β=,则cos 2α= (　　) A. B.- C. D.- 解析:选D　由α∈,β∈,得α+β∈,而sin(α+β)=,故α+β∈,∴cos(α+β)=-=-.由cos β=,β∈,可得sin β=,则cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+ sin(α+β)sin β=-×+×=-,故cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-,故选D. 9.在△ABC中,A=,sin B+sin C=,则sin Bsin C= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　在△ABC中,sin B+sin C=sin B+sin=sin B+cos B=sin=,(三角形内角和等于π)则sin=,cos=1-2sin2=-,所以sin Bsin C=sin Bsin=sin B=sin 2B+·=sin 2B-cos 2B+=-cos+=. 10.(2025·大庆一模)已知0<α<β<π,且sin(α+β)+cos(α+β)=0,sin αsin β=6cos αcos β,则tan(α-β)= (　　) A.-1 B.- C.- D.- 解析:选D　由题意得sin(α+β)=-cos(α+β),则tan(α+β)=-1,又因为sin αsin β=6cos αcos β,所以tan αtan β=6, tan α,tan β同号.又因为tan(α+β)===-1,则tan α+tan β=5,tan α,tan β同正,所以0<α<β<,则tan α<tan β,所以tan α-tan β=-=-=-1,所以tan(α-β)===-. 二、多选题 11.已知≤α≤π,sin 2α=,则下列结论正确的是 (　　) A.sin α=- B.sin α-cos α= C.cos α= D.sin α+cos α= 快审准解:根据sin 2α>0得到≤α≤,计算cos 2α=-,再利用二倍角公式得到sin α=和cos α=,对比选项得答案. 解析:选BC　由≤α≤π,得≤2α≤2π,又sin 2α=>0,故≤2α≤π,≤α≤,cos 2α=-=-. 由cos 2α=-=1-2sin2α,得sin α=,A错误;cos 2α=-=2cos2α-1,得cos α=,C正确;sin α-cos α=-=,B正确;sin α+cos α=+=,D错误. 12.下列式子的值与sin的值相等的有 (　　) A.cos215°-sin215° B.cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42° C.2sin 15°sin 75° D. 解析:选BC　由题意,得sin=,cos215°-sin215°=cos 30°=,故A错误;cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42°= cos 60°=,故B正确;2sin 15°sin 75°=2sin 15°cos 15°=sin 30°=,故C正确;=tan(30°+15°)=1,故D错误. 13.已知α,β∈,cos(α+β)=,sin(α-β)=,则下列结论正确的是 (　　) A.sin(α+β)= B.cos(α-β)=- C.sin 2α= D.= 解析:选ACD　由α,β∈,得α+β∈(0,π),sin(α+β)==,故A正确;由α,β∈,得α-β∈,cos(α-β)==,故B错误;因为2α=(α+β)-(α-β),所以sin 2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=×+×=,故C正确;由===,得=,故D正确. 三、填空题 14.已知tan=4,则sin 2α=　　　　. 解析:由tan=4,可得tan α=tan==-,所以sin 2α===-. 答案:- 15.已知sin α+sin β=,cos α+cos β=-,则cos(α-β)=　　　　.  解析:已知sin α+sin β=　①,cos α+cos β=-　②,则①2+②2得1+2sin αsin β+1+2cos αcos β=+=,整理得cos αcos β+sin αsin β=-,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-. 答案:- 习得方略:已知求cos(α-β),或已知求sin(α+β)时,可以将等式两边同时平方,再进行求解. 16.(2024·长沙二模)已知 2coscos-cos 3x=,则 cos=　　　　.  解析:因为2coscos-cos 3x=,所以2coscos-cos=coscos+sinsin=cos=,所以cos=2cos2-1=-. 答案:- 17.(2024·鹰潭二模)已知cos=,且α∈,则cos=　　　　.  解析:因为α∈,所以α+∈.又cos=,所以sin==, 所以cos=sin α=sin=sincos-cossin=×-×=. 答案: 第四节 　简单的三角恒等变换 明确目标 1.会根据相关公式进行化简和求值. 2.会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题. 题点一　三角函数式的化简 [例1]　化简: (1)-2cos(α+β); (2). 解:(1)-2cos(α+β)=-2cos(α+β)=-2cos(α+β) = = ==. (2) = = = = == ==cos 2x. |思维建模|　三角函数式的化简要遵循“三看”原则 [即时训练] 1.化简:= (　　) A.cos α B.2cos α C.sin α D.2sin α 解析:选B　原式===2cos α. 2.已知0<θ<π,则=　　　　. 解析:原式 = =cos·=.因为0<θ<π,所以0<<,所以cos>0.所以原式=-cos θ. 答案:-cos θ 题点二　三角函数的求值问题 考法(一)　给角求值 [例2]　(2025·西安一模)等于 (　　) A. B. C. D.1 解析:选C　 = = ==cos 30°=. |思维建模|　给角求值问题的解题策略 　　在三角函数的给角求值问题中,已知角常常是非特殊角,但非特殊角与特殊角总有一定关系. 其基本思路是观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为特殊角的三角函数值、或可正、负相消的项和特殊角的三角函数值、或可约分的项和特殊角的三角函数值等. 考法(二)　给值(式)求值 [例3] (1)已知0<β<α<,cos(α-β)=,cos αcos β=,则-= (　　) A.- B.- C.-1 D.-2 快审准解:将-转化为=,整体代入求解. 解析:选D　因为cos(α-β)=,0<β<α<,0<α-β<,所以sin(α-β)>0,故sin(α-β)==. 又cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,所以sin αsin β=,故-=-== ==-2. (2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　　　. 解析:法一　由题意得tan(α+β)===-2, 因为α∈,β∈,k,m∈Z, 所以α+β∈((2m+2k)π+π,(2m+2k)π+2π),k,m∈Z. 又因为tan(α+β)=-2<0, 所以α+β∈,k,m∈Z,则sin(α+β)<0, 则=-2,联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,解得sin(α+β)=-. 法二　因为α为第一象限角,β为第三象限角, 所以cos α>0,cos β<0, cos α==, cos β==, 则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β·(tan α+tan β)=4cos αcos β= ===-. 答案:- |思维建模|　给值(式)求值问题的解题策略 (1)将所给的一个或几个三角函数式根据问题的需要进行三角恒等变换,使其转化为所求函数式能够使用的条件,然后用代入法求出三角函数式的值,也可以将所求的函数式经过适当的变形,再利用条件求值; (2)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值的解题关键:把“所求角”用“已知角”表示. 考法(三)　给值求角 [例4]　(2024·九江二模)已知α,β∈,cos(α-β)=,tan αtan β=,则α+β= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　因为cos(α-β)=,tan αtan β=,所以解得 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=. 又α,β∈,所以α+β∈(0,π),所以α+β=. |思维建模|　给值求角的技法 　　“给值求角”实质上可转化为“给值求值”,即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围),在选取函数时,遵循以下原则: (1)已知正切函数值,选正切函数; (2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数. ①若角的范围是,选正、余弦函数皆可; ②若角的范围是,选余弦函数; ③若角的范围是,选正弦函数. [即时训练] 3.化简:= (　　) A. B.2 C. D.-1 解析:选A　 = ===. 4.已知α∈,tan=tan,则= (　　) A.6+4 B.6-4 C.17+12 D.17-12 解析:选A　因为α∈,tan=tan,所以=×,tan α<-1,解得tan α=-3-2或tan α=-3+2(舍去),则==(tan2α-2tan α+1)=(tan α-1)2=(-3-2-1)2=6+4.故选A. 5.已知α,β∈,sin α=,cos(α+β)=,则β= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　由于α,β∈,∴α+β∈(π,2π),∴sin(α+β)=-,cos α=-=-,∴cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×==-,∴β=. 题点三　三角恒等变换的综合应用 [例5]　已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+2cos2ωx(ω>0)的周期为π. (1)求ω; (2)求函数f(x)的对称轴; (3)已知f(x0)=,x0∈,求cos 2x0的值. 解:(1)f(x)=2sin ωxcos ωx+2cos2ωx=sin 2ωx+1+cos 2ωx=2sin+1. 因为函数f(x)的周期为π, 所以=π,所以ω=1. (2)由(1)得f(x)=2sin+1, 令2x+=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z, 所以函数f(x)的对称轴为x=+,k∈Z. (3)因为f(x0)=, 即2sin+1=, 所以sin=. 又x0∈,所以2x0+∈. 所以cos=-=-, 所以cos 2x0=cos=-×+×=. |思维建模| (1)进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形应用. (2)形如y=asin x+bcos x化为y=sin(x+φ),可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性. [即时训练] 6.已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x. (1)若A是三角形中一内角且f(A)=0,求A的值; (2)若A是锐角三角形中一内角且f=,求sin A的值. 解:(1)由题意可得f(x)=+sin 2x=sin 2x-cos 2x+=sin+, 因为f(A)=0,所以sin+=0. 因为A∈(0,π), 所以2A-∈, 所以2A-=,即A=. (2)由题意可得A∈,A-∈, 因为f=, 所以sin=,cos=, 所以sin A=sin =sin+cos =×+×=+, 即sin A=+. 三角恒等变换与其他知识结合 1.(和差公式与椭圆)若椭圆x2+=1的长轴长为3sin α,则cos 2α= (　　) A. B.- C.- D. 解析:选B　由题意,得椭圆焦点在y轴上,且a=,则3sin α=2,即sin α=,于是cos 2α=1-2sin2α=1-2×=1-=-. 2.(和差公式与数列)已知正项等差数列{an}满足tan a5tan a7+tan a5+tan a7=1,a6<1,则a1+a4+a6+a8+a11值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　因为tan a5tan a7+tan a5+tan a7=1,所以=1,即tan(a5+a7)=1,所以a5+a7=+kπ,k∈Z.又0<a5+a7=2a6<2,所以a5+a7==2a6,解得a6=,故a1+a4+a6+a8+a11=5a6=. 3.(和差公式与直线的斜率)如图,△ABC的顶点都在坐标轴上,直线AB的斜率为,直线BC的斜率为-, 则tan∠ABC= (　　) A.- B.- C.- D.- 解析:选C　由题意可得∠ABC=∠xCB-∠xAB,由kAB=,得tan∠xAB=,由kBC=-,得tan∠xCB=-,∴tan∠ABC=tan(∠xCB-∠xAB)===-. 4.(和差公式与圆的方程)若过点(2,0)与圆x2+y2=4相切的两条直线的夹角为α,则cos α= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　因为点(2,0)到圆心(0,0)的距离为d=2,圆的半径为r=2,所以sin===,于是cos α= 1-2sin2=1-2×=. 5.(和差公式与平面向量)已知向量a=(-cos α,sin α),b=(1,1),α∈[0,π],若a·b=,则cos= (　　) A. B.- C.或 D.-或- 解析:选B　由a·b=,得sin α-cos α=,两边平方得1-2sin αcos α=,∴sin αcos α>0,sin 2α=. ∵α∈[0,π],∴sin α>0,cos α>0,∴α∈.又sin α-cos α=>0,∴α∈,则2α∈,∴cos 2α=-=-=-,∴cos=cos 2αcos-sin 2αsin=-×-×=-. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin = (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由题意,cos α==1-2sin2,得sin2===.又α为锐角,所以sin>0,所以sin=,故选D. 2.化简 +的结果是 (　　) A.cos 10° B.sin 10° C.2sin 10°+cos 10° D.2cos 10°-sin 10° 解析:选D　原式化简为 +=+=cos 10°+cos 10°- sin 10°=2cos 10°-sin 10°. 3.(2024·贵阳二模)已知cos α-cos β=,sin α-sin β=-,则tan(α+β)的值为 (　　) A.-4 B.4 C.-2 D.2 快审准解:拆分角α=+,β=-,再根据和差化积公式求得tan ,由正切二倍角公式即可得所求. 解析:选A　由α=+,β=-,得cos α-cos β=-2sin sin=,sin α-sin β=2cossin =-,两式相除可得tan=,所以tan(α+β)=tan==-4. 4.已知sin α=,cos(α+β)=-,则β的值可能为 (　　) A.π　　B.　　C.-　　D. 解析:选B　由sin α=,cos(α+β)=-,得cos α=±,sin(α+β)=±,而sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α,从而sin β=1或sin β=-.当sin β=1时,只有B符合;当sin β=-时,四个选项均不符合. 5.(2025·济南模拟)已知tan αcos-cos=0,α∈,则= (　　) A.2-2　　　B.4-3　　　C.2　　D.3-2 解析:选D　因为tan αcos-cos=0,所以tan αcos-sin=0.又α∈,所以cos≠0,所以tan α-tan=0,即tan α-=0,解得tan α=-1或tan α=--1.因为α∈,所以tan α=-1, 所以====3-2. 6.已知角α,β满足cos(α+β)=sin α+sin β,则sin α的最小值为 (　　) A.1-　　B.-　　C.　　D.-2 快审准解:将cos(α+β)展开,结合辅助角公式得到cos(β+θ)=sin α,再结合有界性即可求解. 解析:选A　因为cos(α+β)=sin α+sin β=cos αcos β-sin αsin β,所以cos αcos β-(sin α+1)sin β=sin α,由辅助角公式可得 cos(β+θ)=sin α,其中tan θ=,所以|sin α|≤= ,所以sin2α≤2+2sin α,解得sin α≥1-,故选A. 7.若α,β为锐角,且α+β=,则tan α+tan β的最小值为 (　　) A.2-2 B.-1 C.2-2 D.-1 解析:选A　因为tan(α+β)==1,所以(1+tan α)(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan αtan β=1+(1-tan αtan β)+ tan αtan β=2.(重点:积为定值,和最小,注意应用基本不等式求解)因为(1+tan α)(1+tan β)≤,即2≤,得(tan α+tan β+2)2≥8.由于α,β为锐角,则tan α+tan β+2>0,所以tan α+tan β+2≥2,当且仅当tan α=tan β=-1时等号成立,所以tan α+tan β的最小值为2-2. 二、多选题 8.下列各式中,值为的是 (　　) A.sin 21°cos 261°-sin 111°cos 171° B.cos275°-cos215° C. D.sin 50°(1+tan 10°) 解析:选AC　sin 21°cos 261°-sin 111°cos 171°=-sin 21°sin 9°+cos 21°cos 9°=cos(21°+9°)=cos 30°=, A是;cos275°-cos215°=cos275°-sin275°=cos 150°=-,B不是;== =,C是;sin 50°(1+tan 10°)=== =1,D不是. 9.若0<α<β<,且cos αcos β=,tan αtan β=,则下列结论正确的是 (　　) A.cos(α+β)= B.sin(α-β)=- C.cos 2α= D.β< 解析:选BD　由题意可得sin αsin β=cos αcos βtan αtan β=,所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,故A错误;cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,因为0<α<β<,所以-<α-β<0,所以sin(α-β)=-=-,故B正确;因为0<α<β<,所以sin(α+β)==,所以cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)· cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=,故C错误;cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)·cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)= >>-=cos,因为0<β<,所以0<2β<π,故2β<,所以β<,故D正确. 三、填空题 10.已知函数f(x)=sin x-cos x,且f(x0)=3f'(x0),则=　　　　. 快审准解:求导,由f(x0)=3f'(x0)整理可得tan x0=-2,然后利用二倍角公式将目标式化为齐次式,弦化切可得. 解析:求导得f'(x)=cos x+sin x,由f(x0)=3f'(x0),得sin x0-cos x0=3(cos x0+sin x0),解得tan x0=-2,所以===-. 答案:- 11.(2025·银川一模)已知θ∈,tan=-tan θ,则=　　　　　. 快审准解:由条件tan=-tan θ化简求得tan θ=3,将所求式子利用三角恒等变换化简,再根据同角三角函数关系式转化为正切求得结果. 解析:由tan=-tan θ,得=-tan θ,整理得2tan2θ-5tan θ-3=0,解得tan θ=-或tan θ=3.又因为θ∈,tan θ>0,可得tan θ=3,所以==sin θ(cos θ-sin θ)== ==-. 答案:- 12.已知cos(α+2β)=,tan(α+β)tan β=-4,写出符合条件的一个角α的值为　　　　.  解析:cos(α+2β)=cos[(α+β)+β]=cos(α+β)·cos β-sin(α+β)sin β=,tan(α+β)tan β=-4,即=-4,故sin(α+β)sin β=-4cos(α+β)cos β,故5cos(α+β)cos β=,即cos(α+β)cos β=,则sin(α+β)sin β=-4cos(α+β)cos β=-,则cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=-=-,可取α=. 答案: 13.写出使等式+=2成立的一个α的值　　　　.  解析:由+ = ==2,得sin=sin, 所以+=(2k+1)π(k∈Z),解得α=kπ+(k∈Z),当k=0时,α=,所以可取α=. 答案: 四、解答题 14.(1)化简:; (2)求值:(1+tan 5°)(1+tan 40°). 解:(1)==cos2α·=cos2α·= cos2α·tan α=cos2α·=sin αcos α=sin 2α. (2)因为tan 45°=tan(5°+40°)==1,所以tan 5°+tan 40°=1-tan 5°tan 40°,则tan 5°+tan 40°+tan 5°tan 40°=1, 所以(1+tan 5°)(1+tan 40°)=1+tan 5°+tan 40°+tan 5°tan 40°=1+1=2. 谨记结论:若A+B=,则(1+tan A)(1+tan B)=2. 15.已知sin 2α+cos2α=4sin α+2cos α. (1)求sin αcos α+cos 2α的值; (2)若α∈(-π,0),β∈,且tan2β-6tan β=1,求α+2β的值. 解:(1)因为sin 2α+cos2α=4sin α+2cos α, 所以(2sin α+cos α)(cos α-2)=0, 因为cos α-2≠0,所以2sin α+cos α=0, 所以tan α=-. 所以sin αcos α+cos 2α===. (2)由tan2β-6tan β=1,可得tan 2β==-,则tan(α+2β)===-1. 因为β∈,所以2β∈(0,π). 又tan 2β=-,所以2β∈, 因为α∈(-π,0),tan α=-,则α∈, 所以α+2β∈(0,π),所以α+2β=. 第五节　三角函数 　的图象与性质 明确目标 1.能画出三角函数(正弦、余弦、正切)的图象. 2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值. 3. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在［0,2π］上、正切函数在 教材再回首 1.用“五点法”作图的原理 (1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是(0,0),,(π,0),,(2π,0). (2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是(0,1),,(π,-1),,(2π,1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在(k∈Z)上单调递增,在(k∈Z)上单调递减 在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上单调递增,在[2kπ,2kπ+ π](k∈Z)上单调递减 在每个(k∈Z)上都单调递增 周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期是π 对称性 对称轴是x=+kπ(k∈Z),对称中心是(kπ,0)(k∈Z) 对称轴是x=kπ(k∈Z), 对称中心是 (k∈Z) 对称中心是 (k∈Z) 解题结论拓展 (1)函数y=sin x与y=cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线. (2)正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(苏教必修①P204T2改编)函数y=tan 2x的定义域是 (　　) A. 　B. C. 　D. 答案:D 2.(苏教必修①P224T7)下列各组函数中,在区间上都单调递增的函数为 (　　) A.y=sin x,y=cos x B.y=sin x,y=tan x C.y=cos x,y=tan x D.y=-sin x,y=-cos x 答案:B 3.(人A必修①P199例1改编)函数y=1+cos x(x∈[0,2π])的简图是 (　　) 答案:D 4.(人A必修①P214T10改编)函数y=cos,x∈的值域是　　　　. 解析:由x∈得x+∈,所以y=cos∈. 答案: 二、易错小题的警醒训练 1.函数y=3sin的最小正周期是π,则a=　 　　.  解析:因为=π,所以|a|=2,所以a=±2. (易错点:易直接用T=得周期) 答案:±2 2.函数y=-sin2x+3sin x-1的最大值为　　　　. 解析:∵y=-sin2x+3sin x-1=-+,sin x∈[-1,1],∴当sin x=1时,ymax=1.(易错点:忽视正、余弦函数的有界性) 答案:1 题点一　三角函数的定义域与值域 [例1] (1)函数f(x)=的定义域为 (　　) A.(k∈Z) B.∪(k∈Z) C.(k∈Z) D.∪(k∈Z) 解析:选B　由函数式知 ∴ 即x∈∪,k∈Z. (2)已知函数f(x)=sin x+cos x+2sin xcos x+2,则 (　　) A.f(x)的最大值为3,最小值为1 B.f(x)的最大值为3,最小值为-1 C.f(x)的最大值为3+,最小值为 D.f(x)的最大值为3+,最小值为3- 解析:选C　因为函数f(x)=sin x+cos x+2sin xcos x+2,设sin x+cos x=sin=t,t∈[-,], 则2sin xcos x=t2-1,所以y=t2+t+1=+,t∈[-,],当t=-时,ymin=;当t=时,ymax=3+. (3)(2024·全国甲卷)函数f(x)=sin x-cos x在[0,π]上的最大值是　　　　.  解析:由题意知f(x)=sin x-cos x=2sin,当x∈[0,π]时,x-∈,当x-=,即x=时,f(x)取得最大值2.故f(x)在[0,π]上的最大值为2. 答案:2 |思维建模| 1.三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域,实际上是构造简单的三角不等式(组),解三角不等式(组)常借助三角函数的图象,对于有限集、无限集求交集可借助数轴. 2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型 (1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,可先化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值); (2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数,再求值域(最值); (3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数,再求值域(最值). [即时训练] 1.已知x∈(0,π),则f(x)=cos 2x+2sin x的值域为 (　　) A.　B.　C.　D.(-3,2] 解析:选B　由f(x)=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x,设sin x=t,∵x∈(0,π),∴t∈(0,1],∴g(t)=-2+, ∴g(t)∈,即f(x)=cos 2x+2sin x的值域为. 2.函数y=lg (sin x)+的定义域为　　　　　　　　　. 解析:要使函数有意义,则有即解得k∈Z,所以2kπ<x≤+2kπ,k∈Z.所以函数的定义域为. 答案: 题点二　三角函数的奇偶性、周期性与对称性 [例2] (1)使函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为偶函数,则θ的一个值可以是 (　　) A.　　B.　　C.-　　D. 解析:选A　由f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin,f(x)为偶函数,可得θ+=kπ+,k∈Z, 所以θ=kπ+,k∈Z,令k=0,可得θ=. (2)(2024·新课标Ⅱ卷)[多选]对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,则f(x)与g(x)有 (　　) A.相同零点 B.相同最大值 C.相同的最小正周期 D.相同的对称轴 解析:选BC　令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即为f(x)零点,令g(x)=sin=0,解得x=+,k∈Z,即为g(x)零点,显然f(x),g(x)零点不同,故A错误;显然f(x)max=g(x)max=1,故B正确;f(x),g(x)的最小正周期均为=π,故C正确;根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+⇔x=+(k∈Z),g(x)的对称轴满足2x-=kπ+⇔x=+(k∈Z),显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,故D错误. |思维建模| (1)奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式. (2)周期的计算方法:利用函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的周期为,函数y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期为求解. [即时训练] 3.(2025·武汉模拟)若函数f(x)=asin x+bcos x图象的一条对称轴为x=,则= (　　) A.　　B.-　　C.　　D.- 解析:选A　由f(x)=asin x+bcos x的图象关于x=对称,可知f(0)=f,(利用对称性,取特殊值) 即asin 0+bcos 0=asin+bcos,则=. 4.[多选]设函数f(x)=cos|2x|+|sin x|,则 (　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)的最小值为0 D.f(x)在[0,2π]上有3个零点 解析:选ABC　因为函数f(x)的定义域为R,而且f(-x)=cos|2x|+|sin x|=f(x),所以f(x)是偶函数,A正确;因为函数y=cos|2x|的最小正周期为π,y=|sin x|的最小正周期为π,所以f(x)的最小正周期为π,B正确;f(x)=cos|2x|+|sin x|= cos 2x+|sin x|=1-2sin2x+|sin x|=-2+,而|sin x|∈[0,1],所以当|sin x|=1时,f(x)的最小值为0,C正确;由上令f(x)=0可得1-2sin2x+|sin x|=0,解得|sin x|=1或|sin x|=-(舍去),因此在[0,2π]上只有x=或x=共2个零点,所以D不正确. 5.(2025·安康模拟)已知函数y=tan的图象关于点对称,且|ω|≤1,则ω的值为　　　　.  解析:∵函数y=tan的图象关于点对称,且|ω|≤1,∴ω×+=kπ,k∈Z, 故ω=-+k,k∈Z.令k=0,可得实数ω=-,令k=1,则ω=. 答案:-或 题点三　三角函数的单调性 考法(一)　求三角函数的单调区间 [例3] (1)f(x)=2 024sin-2 024的单调递减区间为　　　　　　　　　.  解析:由于函数f(x)=2 024sin-2 024=-2 024sin-2 024,(尽量把ω符号化为正数, 避免出现增减区间混淆) 令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z. 答案:,k∈Z (2)若f(x)=-cos,x∈,则f(x)的单调递增区间为　　　　　　　　 　.  解析:f(x)=-cos=-cos,欲求函数f(x)的单调递增区间,只需求y=cos的单调递减区间. 由2kπ≤2x-≤2kπ+π,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).因为x∈, 所以函数f(x)的单调递增区间是,. 答案:, |思维建模|　求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的技巧 (1)数形结合:结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间; (2)整体代换:确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间,采用“换元法”整体代换.将ωx+φ看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asin z的单调区间从而求出函数的单调区间.若ω<0,则可利用诱导公式将x的系数转化为正数.需将最终结果写成区间形式. 考法(二)　根据三角函数的单调性求参数 [例4] (1)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上单调递减,则a的最大值是 (　　) A.　　B.　　C.　　D.π 解析:选A　f(x)=cos x-sin x=cos,由题意得a>0,故-a+<.因为f(x)=cos在[-a,a]上单调递减,所以解得0<a≤,所以a的最大值是. (2)若f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,则ω的取值范围是　　　　. 解析:法一:反子集法　因为x∈,ω>0, 所以ωx∈. 因为f(x)=2sin ωx在上单调递增, 所以(ω>0),故0<ω≤. 法二:数形结合法　 画出函数f(x)=2sin ωx(ω>0)的图象如图所示. 要使f(x)在上单调递增,需(ω>0),即0<ω≤. 法三:子集法　由-+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z),得-+≤x≤+(k∈Z),故f(x)的单调递增区间是(k∈Z). 由题意,得⊆(k∈Z,ω>0),从而有即0<ω≤. 答案: |思维建模|　由单调区间求参数范围的方法 (1)反子集法:由所给区间求出整体角的范围,由该范围是相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解. (2)周期性法:由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解. (3)子集法:求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求区间的子集,列不等式(组)求解. [即时训练] 6.[多选]下列函数中,在区间上单调递减的函数是 (　　) A.y=sin B.y=sin x-cos x C.y=|sin 2x| D.y=cos 解析:选AC　对于y=sin,由<x<,得<x+<,所以y=sin在区间上单调递减,A正确;对于y=sin x-cos x=2sin,由<x<,得<x-<,B不符合题意;对于y=|sin 2x|,由<x<,得<2x<π,且y=|sin 2x|=sin 2x,所以y=|sin 2x|在区间上单调递减,C正确;对于y=cos,由<x<,得-<x-<,D不符合题意. 7.(2025·齐齐哈尔一模)已知函数f(x)=sin(ω>0)图象的两条相邻对称轴之间的距离为,若f(x)在(-m,m)上单调递增,则正数m的取值范围是　　　　. 解析:因为函数f(x)=sin(ω>0)图象的两条相邻对称轴之间的距离为,所以×=,解得ω=2,即f(x)=sin.因为f(x)在(-m,m)上单调递增,且m>0,所以函数f(x)=sin的单调递增区间包含0,令-≤2x-≤,得-≤x≤,所以(-m,m)⊆,所以故m的取值范围为. 答案: 三角函数中与ω有关的问题 类型1　ω的取值范围与单调性相结合 如果解析式中含有参数,要求根据函数单调性求参数的取值范围,通常先求出单调区间,然后利用集合间的关系求解;或转化为使得某个等式或不等式恒(能)成立,通过分离参数,求出解析式的范围或最值,进而求出参数的范围.　　 1.[多选]已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增,则ω的值可以是 (　　) A. B.1 C. D. 解析:选ABC　∵x∈,ω>0, ∴ωx-∈. ∵f(x)=sin在上单调递增, ∴ ∴∵12k-2≤+4k,k∈Z, ∴k≤,k∈Z,∴k=0.当k=0时,-2≤ω≤. (注意:ω>0,则k只能为0) 又ω>0,∴0<ω≤.∴ω的值可以为,1,. 类型2　ω的取值范围与对称性相结合 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为,相邻对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为,这就说明,我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性,进而可以研究ω的取值. 2.已知函数f(x)=2cos+1(ω>0)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则ω的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　由x∈(0,2π),ω>0,令z=ωx-, 则z∈,(易错提醒:换元后,要注意新元的取值范围) 画出y=2cos z+1的图象,如图所示, 要想函数f(x)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则2ωπ-∈,解得ω∈.故选A. 　　类型3　ω的取值范围与最值相结合 　　三角函数的对称轴必经过图象的最高点或最低点,函数的对称中心就是其图象与x轴的交点(零点),也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期,进而可以确定ω的取值. 3.已知函数f(x)=2sin ωxcos2-sin2ωx(ω>0)在区间上单调递增,且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值,则ω的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　f(x)=2sin ωxcos2-sin2ωx=sin ωx-sin2ωx=sin ωx.因为f(x)在上单调递增,ω>0,所以-ω≤ωx≤ω.所以-ω≥-,ω≤,解得0<ω≤.当ωx=+2kπ(k∈Z),即x=+ (k∈Z)时,f(x)取得最大值,而f(x)在区间[0,π]上恰好取得一次最大值,所以解得≤ω<. 综上,≤ω≤. 　　类型4　ω的取值范围与零点、极值点相结合 　　对于区间长度为定值的动区间,若区间上至少含有k个零点,需要确定含有k个零点的区间长度,一般和周期相关;若区间上至多含有k个零点,需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值.极值点的处理方法也是类似的. 4.设函数f(x)=sin在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 快审准解:由x的取值范围得到ωx+的取值范围,再结合正弦函数的性质得到不等式组,求解即可. 解析:选C　依题意可得ω>0,因为x∈(0,π),所以ωx+∈,作出y=sin x,x∈的图象如图所示. 要使函数在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则<ωπ+≤3π,解得<ω≤,即ω∈. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.已知函数f(x)=cos,则f(x)在[-2,0]上 (　　) A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 解析:选D　∵x∈[-2,0],∴2x-∈.∵-<-4-<-π<-<0,∴函数f(x)=cos在[-2,0]上先减后增. 2.(2024·北京高考)设函数f(x)=sin ωx(ω>0).已知f(x1)=-1,f(x2)=1,且|x1-x2|的最小值为,则ω= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　因为f(x)=sin ωx∈[-1,1],且f(x1)=-1,f(x2)=1,|x1-x2|min=,所以f(x)的最小正周期T=2×=π,所以ω==2. 规律结论:(1)相邻的最大值和最小值之间的区间长度是; (2)相邻的两个最大值或最小值之间的区间长度是T. 3.已知函数f(x)的周期为π,且在区间内单调递增,则f(x)可能是 (　　) A.f(x)=sin 　B.f(x)=cos C.f(x)=sin 　D.f(x)=cos 快审准解:根据函数周期排除A、B,根据函数的单调性判断C、D即可. 解析:选C　因为函数f(x)的周期为π,所以当ω>0时,对正、余弦函数来说,ω===2,故排除A、B;当x∈时,2x-∈,y=sin x在内单调递增,故C正确,D错误.故选C. 4.(2024·鹰潭三模)已知函数f(x)=acos ωx+sin ωx(ω>0),若f=且f(x)≥f,则ω的最小值为 (　　) A.11　　B.5　　C.9　　D.7 解析:选D　由f(x)≥f可知,f(x)在x=处取得最小值,所以函数f(x)的一条对称轴为x=.又0+=2×, 因此f(0)=f=,即a=.所以f(x)=cos ωx+sin ωx=2sin.又f(x)在x=处取得最小值, 所以ω+=+2kπ,k∈Z,解得ω=7+12k,k∈Z.又ω>0,所以当k=0时,ω=7+12k,k∈Z取得最小值7. 5.已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x在与上的值域均为[t,],则α的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 快审准解:借助辅助角公式化简f(x)后,结合正弦型三角函数的性质可得t=-2,即可得与α有关的不等式组,解出即可. 解析:选A　f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin,若x∈,则2x-∈,若x∈,则2x-∈.因为2sin=2sin=,2sin=-2,所以t=-2,则有解得-≤α≤-,即α的取值范围是.故选A. 6.(2024·天津高考)已知函数f(x)=sin 3(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)在的最小值是 (　　) A.- B.- C.0 D. 解析:选A　f(x)=sin 3=sin(3ωx+π)=-sin 3ωx,由T==π,得ω=,即f(x)=-sin 2x.当x∈时, 2x∈,画出f(x)=-sin 2x的图象,如图所示,由图可知,f(x)=-sin 2x在上单调递减,所以当x=时,f(x)min=-sin=-,故选A. 7.(2024·安庆二模)已知函数f(x)=sin(ωx+θ),f(0)=,函数f(x)在区间上单调递增,在区间上恰有1个零点,则ω的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 快审准解:由f(0)=,得θ=.由在区间上恰有1个零点,结合正弦函数图象得<ω≤2.再根据函数f(x)在区间上单调递增,结合正弦函数的单调性得ω≤1,最后确定ω的取值范围. 解析:选C　因为f(0)=,所以sin θ=.又|θ|<,所以θ=.当x∈时,ωx+∈,因为f(x)在上只有1个零点,所以π<ω+≤2π,解得<ω≤2.当x∈时,ωx+∈,因为<ω≤2,所以-π≤-ω+<-,ω+≤.又因为f(x)在上单调递增,所以解得ω≤1. 综上,<ω≤1. 二、多选题 8.已知函数f(x)=tan(ω>0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为,则下列结论正确的是 (　　) A.ω=4 B.f(x)的最小正周期为 C.f(x)图象的一条渐近线为直线x= D.f(x)的单调递增区间为(k∈Z) 解析:选BC　因为函数f(x)=tan(ω>0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为,则该函数的最小正周期为T=,所以ω==2,A错误,B正确;f(x)=tan,当x=时,2x-=-=,所以f(x)图象的一条渐近线为直线x=,C正确;由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z),可得-<x<+(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z),D错误. 9.(2025·厦门一模)已知函数f(x)=2sin,则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的最小正周期为 B.f(x)的图象关于点成中心对称 C.f(x)在区间上单调递增 D.若f(x)的图象关于直线x=x0对称,则sin 2x0= 解析:选BC　由f(x)=2sin,得最小正周期T==π,A错误;由f=2sin=0,得是对称中心,B正确;由x∈,得2x-∈,显然f(x)在区间上单调递增,C正确;由题意得2x0-=kπ+(k∈Z)⇒2x0=kπ+(k∈Z),故sin 2x0=±,D错误. 10.已知函数f(x)=|sin x|+|cos x|,则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的值域为[1,2] C.f(x)关于x=对称 D.f(x)在上单调递减 解析:选ABD　对于f(x)=|sin x|+|cos x|,因为f(-x)=|sin(-x)|+|cos(-x)|=|sin x|+|cos x|=f(x),所以函数f(x)为偶函数,图象关于y轴对称.又f(x+π)=|sin(x+π)|+|cos(x+π)|=|sin x|+|cos x|=f(x),所以函数f(x)为周期函数,且最小正周期为T=π,故A正确.当x∈时,f(x)=sin x+cos x=2sin,易得f(x)在上单调递增,在上单调递减,且f(0)=,f=2,f=1,所以f(x)∈[1,2];当x∈时,因为函数f(x)为偶函数,所以函数在上单调递增,在上单调递减,且f(x)∈[1,2].根据函数的周期性,可知函数f(x)的值域为[1,2],故B正确.因为f=+=1,f=+=+=2,所以f≠f,所以f(x)的图象并不关于x=对称,故C错误.因为函数f(x)在上单调递减,且周期为π,所以函数f(x)在上也单调递减,故D正确. 三、填空题 11.(2024·眉山三模)若f(x)=2cos(x+φ)+cos x为奇函数,则φ=　　　　　.(填写符合要求的一个值)  快审准解:根据f(x)=(2cos φ+1)cos x-2sin xsin φ为奇函数,可得cos φ=-,求解可得答案. 解析:依题意,得f(x)=2cos xcos φ-2sin xsin φ+cos x=(2cos φ+1)cos x-2sin xsin φ,当2cos φ+1=0时,f(x)为奇函数,此时cos φ=-,则φ=2kπ±,k∈Z. 答案: 12.若函数f(x)=7sin在区间上具有单调性,则实数a的最大值为　　　　.  解析:因为x∈,所以x+∈.又在y=sin x的单调递减区间内,所以a+≤,解得a≤,所以a的最大值为. 答案: 13.已知函数f(x)=cos x-ax在区间单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.  快审准解:函数是由三角函数与一般函数组成的,故利用导数参变分离,结合正弦函数的有界性分析求解. 解析:因为f(x)=cos x-ax,所以f'(x)=-sin x-a,由题意可得f'(x)=-sin x-a≥0对任意x∈恒成立,即-sin x≥a对任意x∈恒成立.又因为x∈,则-sin x∈,可得a≤-,所以实数a的取值范围是. 答案: 四、解答题 14.已知函数f(x)=2sin2ωx+2cos ωxsin ωx(ω>0)的最小正周期T=π. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的单调区间. 解:(1)依题意,得f(x)=sin 2ωx-cos 2ωx+1=2+1=2+1=2sin+1. 由f(x)的最小正周期T==π,解得ω=1. 则f(x)=2sin+1. (2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).令2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z. 所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z). 综上所述,f(x)的单调递增区间为(k∈Z),单调递减区间为(k∈Z). 15.已知函数f(x)=2cos2x+cos-1. (1)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间; (2)若f(x)在[0,m]上有两个零点,求m的取值范围. 快审准解:(1)利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式,再求出相位的范围,并借助正弦函数的性质求出单调递减区间; (2)由x的取值范围求出2x+的取值范围,再根据正弦函数的性质得到不等式组,解出即可. 解:(1)依题意,得f(x)=2cos2x+cos-1=cos 2x+cos 2xcos+sin 2xsin=sin 2x+cos 2x=sin. 当x∈[0,π]时,2x+∈, 由≤2x+≤,得≤x≤, 所以函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间为. (2)当x∈[0,m]时,2x+∈,又函数f(x)在区间[0,m]上有且只有两个零点, 即函数y=sin x在上只有两个零点, 因此2π≤2m+<3π,解得≤m<, 所以m的取值范围为. 第六节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 明确目标 1.结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响. 2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 教材再回首 1.作f(x)=Asin(ωx+φ)图象的五个关键点 ωx+φ 0 π 2π x - y=f(x) 0 A 0 -A 0 2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象变换 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P239T2改编)已知函数f(x)=sin,g(x)=sin x,要得到函数y=f(x)的图象,只需将函数y=g(x)图象上所有的点 (　　) A.横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位 B.横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位 C.横坐标伸长为原来的2倍,再向左平移个单位 D.横坐标伸长为原来的2倍,再向左平移个单位 解析:选B　由题得f(x)=sin,而g(x)=sin x,所以将函数y=g(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度得到y=f(x)的图象. 2.(人B必修③P66T8改编)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则点(ω,φ)的坐标是　 　　. 答案: 3.(人A必修①P241T5改编)已知函数f=3cos,若将函数f的图象向左平移个单位长度,再将横坐标扩大为原来的2倍,得到函数g的图象,则函数g的解析式为　　　　　　　　　　　.  解析:把函数f=3cos的图象向左平移个单位长度后,可得到y=3cos=3cos的图象,再将横坐标扩大为原来的2倍,得到函数g=3cos的图象. 答案:g(x)=3cos 二、易错小题的警醒训练 1.为了得到函数y=3sin的图象,只要把y=3sin图象上所有的点 (　　) A.向右平移个单位长度 　B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 　D.向左平移个单位长度 答案:A(易错点:图象平移时忽视自变量x的系数) 2.要得到y=cos的图象,只需将y=sinx的图象 (　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析:选C　y=cos=sin=sin,故要得到y=cos的图象,只需将函数y=sinx的图象向左平移个单位长度.(易错点:忽视函数名称的转化) 题点一　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换(自主练通) 1.(2025·本溪一模)将函数f(x)=2sin图象上所有的点向左平移个单位长度,再把所有点的横坐标变为原来的后,得到函数g(x)的图象,则g= (　　) A.　　B.　　C.　　D.1 解析:选A　将函数f(x)=2sin图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=2sin= 2sin 2x的图象, (注意:如果x的系数不是1,那么要先把x的系数提取出来,再确定平移的单位长度和方向) 再把所有点的横坐标变为原来的,得到函数g(x)=2sin 2(2x)=2sin 4x的图象, 所以g=2sin=. 2.(2025·桂林模拟)为了得到函数y=cos的图象,只需将正弦函数y=sin x图象上各点 (　　) A.横坐标向右平移-个单位长度,纵坐标不变 B.横坐标向左平移-个单位长度,纵坐标不变 C.横坐标向左平移个单位长度,纵坐标不变 D.横坐标向右平移个单位长度,纵坐标不变 解析:选B　把y=sin x=cos上的所有点向左平移-个单位长度,得到函数y=cos的图象. 易错提醒:两图象变换问题时有两个易错点:图象平移时忽略谁平移成谁和函数名统一. 3.(2025·曲靖模拟)已知函数f(x)=sin. (1)完善下面的表格并作出函数f(x)在[0,π]上的图象: 2x- - 0 π x f(x) 1 (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后再向上平移1个单位长度得到g(x)的图象,解不等式g(x)≥. 解:(1)表格如下: 2x- - 0 π x 0 π f(x) - 0 1 0 -1 - 函数f(x)在[0,π]上的图象如图所示. (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后再向上平移1个单位长度得到g(x)的图象, 则g(x)=sin+1=sin+1, 所以g(x)≥,即sin≥-, 则2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ+≤x≤kπ+π,k∈Z. 所以不等式g(x)≥的解集为. |思维建模| 1.作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象常用的两种方法 (1)五点法作图,用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,π,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象; (2)图象的变换法,由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 2.解决三角函数图象的变换问题要注意的两点 (1)掌握函数图象变换法则,即“左加右减,上加下减”; (2)掌握函数图象变换的本质,“左加右减”是相对于函数的自变量来讲的,因此对三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象进行变换时,要先将自变量的系数ω提出来. 题点二　由图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式 [例1] (1)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的部分图象如图所示,则ω= (　　) A.1 B.2 C.3 D.6 快审准解:结合正弦函数性质及图象中最大、最小值可先计算出A,b,再利用点(0,2)计算出φ,最后借助点代入计算即可得ω的值. 解析:选D　因为A>0,所以 解得所以f(0)=2sin φ+1=2,则sin φ=. 因为|φ|<,所以φ=, 可得f(x)=2sin+1, 因为f=2sin+1=3, 所以+=+2kπ,k∈Z,即ω=6+36k,k∈Z. 因为0<ω<10,所以ω=6.故选D. (2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　. 解析:由题意,设A,B,则x2-x1=,由y=sin(ωx+φ)的图象可知, ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=, 即ω(x2-x1)=,∴ω=4. 又f=sin=0,∴+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z,观察图象,可知当k=2时,φ=-满足条件, ∴f(π)=sin=-. 答案:- |思维建模|　确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤和方法 (1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=. (2)求ω.确定函数的最小正周期T,则ω=. (3)求φ.常用方法如下:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入. [即时训练] 1.函数f(x)=2cos2(ωx+φ)+b的部分图象如图所示,则以下说法正确的是 (　　) A.ω=,b=1 B.ω=,b=-1 C.ω=π,b=1 D.ω=π,b=-1 解析:选B　因为f(x)=2cos2(ωx+φ)+b=cos(2ωx+2φ)+b+1,所以由函数图象可知b+1=0⇒b=-1.又=-=1,所以T=2.所以T=⇒ω=.故选B. 2.如图,某港口某天从6 h到18 h的水深y(单位:m)与时间x(单位:h)之间的关系可用函数f(x)=Asin(ωx+φ)+5近似刻画,据此可估计当天12 h的水深为 (　　) A. m B.4 m C.m D.m 解析:选A　由题图可得=18-6=12,则ω=,当sin(ωx+φ)=-1时,y取得最小值,为-A+5=2,得A=3.∵函数y=3sin+5的图象过点,∴3sin+5=,即sin φ=-.又|φ|<,∴φ=-,∴y=3sin+5.当x=12时,y=3sin+5=-+5=. 题点三　三角函数图象与性质的综合应用 [例2]　已知函数f(x)=cos-sin xcos x+(cos4x-sin4x). (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)若方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围. 快审准解:(1)先把函数化成y=Asin(ωx+φ)的形式,再求函数的周期与单调递增区间. (2)问题转化成2sin x=m在一定范围内有两解,利用数形结合的方法,求m的取值范围. 解:(1)因为f(x)=cos-sin xcos x+(cos4x-sin4x)=-sin 2x+ (cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=-sin 2x+cos 2x=cos 2x+sin 2x=2sin, 所以T==π,即f(x)的最小正周期为π. 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (2)由-≤x≤0,得-≤2x+≤. 作出y=2sin x,x∈的图象,如图所示,由图可知,当m∈(-2,-]时,方程2sin x=m有两个不同的实根. 所以实数m的取值范围是(-2,-]. |思维建模| (1)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性及最值等. (2)与三角函数相关的方程根的问题(零点问题)常通过函数与方程思想转化为图象交点问题,再借助图象分析. [即时训练] 3.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为 (　　) A.3 B.4 C.6 D.8 解析:选C　因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π,函数y=2sin的最小正周期为T=,所以在x∈[0,2π]上函数y=2sin有三个周期的图象.在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如图所示, 由图可知,两函数图象有6个交点.故选C. |考|教|衔|接| 　 源自人教A版必修①P237例1:画出函数y=2sin的简图. 我们经常说高考题源于教材,但高于教材或改编太多,所以有时候教材还是不能引起我们的足够重视.以上两题,我们只要掌握了教材题,高考题直接就出来了,这更好地诠释了教材的重要性. 4.已知函数f(x)=2sin xcos x+2sin2x-,x∈R,且将函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度得到函数g(x)的图象. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)若函数g(x)是奇函数,求φ的值; (3)若cos φ=,当x=θ时,函数g(x)取得最大值,求f的值. 解:(1)由题意得f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin,则其最小正周期T==π. 令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (2)将f(x)的图象向左平移φ个单位长度得到g(x)的图象,则g(x)=2sin, 若函数g(x)是奇函数,则2φ-=kπ,k∈Z,即φ=+,k∈Z. 因为0<φ<,所以当k=0时,φ=. (3)由题知sin=1,则2θ+2φ-=+2kπ,从而θ=-φ+kπ,k∈Z, 因此f=f=2sin=2sin. 因为cos φ=,且0<φ<,所以sin φ=, 因此sin 2φ=2××=,cos 2φ=2×-1=-. 所以sin=×+×=, 所以f=. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.(2024·保定三模)将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)= (　　) A.sin 2x B.-sin 2x C.sin D.cos 解析:选C　将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)=f=sin. 2.(2024·青岛三模)为了得到y=sin 2x+cos 2x的图象,只要把y=cos 2x图象上所有的点 (　　) A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 解析:选A　y=sin 2x+cos 2x=sin,由诱导公式可知y=cos 2x=sin=sin.又y=sin=sin,则-=,所以只需把图象向右平移个单位长度. 3.已知函数f(x)=tan(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则ωφ= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由题图可知,f(x)的最小正周期T=-==,则ω=2.由题图,得-φ=+kπ,k∈Z,则φ=-kπ, k∈Z.由0<φ<π,得φ=,则ωφ=. 4.(2024·安庆三模)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)两个相邻的零点为,,距离y轴最近的对称轴为x=-,则f= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　由题意,知T=2=,又T=,所以ω=3.又距离y轴最近的对称轴为x=-,所以-×3+φ=kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z.因为0<φ<,所以φ=,所以f(x)=cos,所以f=cos=cos=coscos-sinsin=,故选A. 5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,若g(x)是奇函数,则图中a的值为 (　　) A.-1 B.- C.- D.- 快审准解:由图象求出A,f(x)的图象上的所有点向左平移个单位长度后得到g(x),为奇函数,得函数f(x)的图象过点,求出ω,进而得到函数的解析式,求解参数a即可. 解析:选A　由f(x)max=2得A=2,又f(x)的图象上的所有点向左平移个单位长度后得到g(x),为奇函数,所以g(x)的图象关于原点对称,得函数f(x)的图象过点,所以-=,所以T==π,故ω=2.又ω+φ=0,即φ=-,所以f(x)=2sin,a=2sin=-1,故选A. 6.已知函数f(x)=(x-4)3cos ωx(ω>0),存在常数a∈R,使f(x+a)为偶函数,则ω的最小值为 (　　) A. B. C. D. 快审准解:求出f(x+a),由题意确定a的值,进而可得y=cos[ω(x+a)]为奇函数,即可得出ω的最小值. 解析:选B　因为f(x)=(x-4)3cos ωx(ω>0),所以f(x+a)=(x+a-4)3cos[ω(x+a)],因为存在常数a∈R,使f(x+a)为偶函数,所以a=4,此时y=cos[ω(x+a)]=cos(ωx+4ω)为奇函数,所以4ω=+kπ,k∈Z,即ω=+,k∈Z.因为ω>0,所以ω的最小值为. 7.(2025·福建模拟)将函数f(x)=8sin x的图象向右平移个单位长度后,再将所得图象上各点的横坐标扩大为原来的4倍,得到g(x)的图象,若方程g(x)=4在[0,8π]内有两不等实根α,β,则cos= (　　) A.- B. C.-1 D.- 解析:选A　将函数f(x)=8sin x的图象向右平移个单位长度后,可得平移后的解析式为f=8sin,再将所得图象上各点的横坐标扩大为原来的4倍,可得g(x)=8sin.由方程g(x)=4,可得8sin=4,所以sin=.因为x∈[0,8π],所以-≤x-≤.因为方程g(x)=4在[0,8π]内有两不等实根α,β,所以=,所以α+β=5π,所以cos=cos=cos=-cos=-. 二、多选题 8.将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数f(x)的图象,则 (　　) A.f(x)=cos B.是f(x)图象的一个对称中心 C.当x=-时,f(x)取得最大值 D.函数f(x)在区间上单调递增 解析:选BD　将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数f(x)=sin 2=sin=-cos,A错误;f=sin=0,则是f(x)图象的一个对称中心,B正确;f=sin=-1,故当x=-时,f(x)取得最小值,C错误;由x∈,可得2x-∈,则函数f(x)=sin在区间上单调递增,D正确. 9.已知函数f(x)=Asin(2x+φ)的部分图象如图所示,且f(a)=f(b)=0,对不同的x1,x2∈[a,b],若f(x1)=f(x2),有f(x1+x2)=,则 (　　) A.f(0)= B.a+b= C.f(x)在区间上单调递增 D.f(x)在区间上有极小值 解析:选ACD　由题图可得A=2,由f(a)=f(b)=0得b-a=(T为f(x)的最小正周期).又T==π,∴b-a=.∵x1,x2∈[a,b],f(x1)=f(x2),∴x1+x2=a+b.由题图可得f=2sin(x1+x2+φ)=2sin(a+b+φ)=2,∴a+b+φ=,即a+b=-φ.∵f(x1+x2)=,∴f(a+b)=,∴2sin(2a+2b+φ)=,∴sin(2a+2b+φ)=sin(π-2φ+φ)=sin(π-φ)=sin φ=.又|φ|≤,∴φ=,f(x)=2sin,则f(0)=2sin=,故A正确;a+b=-φ=-=,故B错误;当x∈时,2x+∈,函数f(x)单调递增,故C正确;当x∈时,2x+∈(π,2π),f(x)有极小值,故D正确. 三、填空题 10.(2024·赤峰三模)将函数y=sin x-cos x的图象向左平移m(0<m<π)个单位长度后, 所得图象关于y轴对称,则实数 m的值为　　　　　　. 解析:y=sin x-cos x=sin,将函数y=sin x-cos x的图象向左平移m(0<m<π)个单位长度后,得到的函数的解析式为y=sin.又y=sin的图象关于y轴对称,所以函数y=sin为偶函数,因此有m-=kπ+(k∈Z)⇒m=kπ+(k∈Z).因为0<m<π,所以k=0,即m=. 答案: 11.蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹,取其中一段水波纹,其形状可近似于用函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象来描述,如图所示,则f(x)=　　　　. 解析:由题知A=1,T==4=,∴ω=,即f(x)=sin.又∵f=1,|φ|<,∴×+φ=,故φ=,即f(x)=sin. 答案:sin 12.(2025·无锡模拟)如图,函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,已知点A,D为f(x)的零点,B,C为f(x)的极值点,·=-,则f(2)=　　　. 快审准解:先由题中条件,求出A,B,C,D的坐标,得出,的坐标,根据·=-,求出ω和φ,得出函数解析式,进而即可求出结果. 解析:由题意,得函数f(x)的最小正周期为T=,D,则A,B,C,所以=,=.因为·=-,所以-3=-×,解得ω=,所以f(x)=sin.又f=f=sin=,所以-+φ=+2kπ,k为整数.又0<φ<π,所以φ=,则f(x)=sin,因此f(2)=sin=-. 答案:- 四、解答题 13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的最小正周期及解析式; (2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的最大值和最小值. 解:(1)由题图可知y=f(x)的最大值为1,最小值为-1,故A=1. 又=-==,∴ω=2,将点代入y=f(x),f=sin=-1,∴+φ=+2kπ,k∈Z,φ=+2kπ,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=, 故f(x)的最小正周期为π,f(x)=sin. (2)由y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)=sin=sin, ∵x∈,∴2x-∈, ∴当2x-=-,即x=0时,g(x)min=-; 当2x-=,即x=时,g(x)max=1. 故函数g(x)在区间上的最大值为1,最小值为-. 14.(2025·黄冈一模)函数f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx,ω>0,函数f(x)的最小正周期为π. (1)求函数f(x)的单调递增区间以及对称中心; (2)将函数f(x)的图象先向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,在函数g(x)图象上从左到右依次取点A1,A2,…,A2 024,该点列的横坐标依次为x1,x2,…,x2 024,其中x1=,xn+1-xn=(n∈N*),求g(x1)+g(x2)+…+g(x2 024). 快审准解:(1)利用三角变换可得f(x)=+sin,结合周期可求ω=1,再利用整体法可求单调递增区间和对称中心. (2)根据图象变换可得g(x)=sin 2x,根据其周期性和特殊角的三角函数值可求g(x1)+g(x2)+…+g(x2 024)的值. 解:(1)f(x)=sin 2ωx+=+sin, 因为f(x)的最小正周期为π,故=π,即ω=1, 所以f(x)=+sin. 令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 则kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 故f(x)的单调递增区间为,k∈Z. 令2x+=lπ,l∈Z,则x=-,l∈Z, 故f(x)图象的对称中心为,l∈Z. (2)由题设有g(x)=-+sin=sin 2x, 则g(x)的周期为π,而xn+3-xn=×3=π,故g(xn+3)=g(xn),而g(x1)=, g(x2)=g=sin=-, g(x3)=g=sin=-, 故g(x1)+g(x2)+…+g(x2 024)=g(x1)+g(x2)+674[g(x1)+g(x2)+g(x3)]=-+674×=. 第七节　正弦定理和余弦定理 明确目标 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2.理解三角形的面积公式并能应用. 3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 教材再回首 1.余、正弦定理的内容及其变形 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径,则 定理 余弦定理 正弦定理 内容 a2=b2+c2-2bccos A; b2=c2+a2-2cacos B; c2=a2+b2-2abcos C ===2R 变形 cos A=; cos B=; cos C= (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (3) ==2R 2.三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形常用的面积公式 (1)S=aha(ha表示边a上的高). (2)S=absin C=acsin B=bcsin A. (3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径). 解题结论拓展 (1)大边对大角,大角对大边,如a>b⇔A>B⇔sin A>sin B. (2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (3)在△ABC中,内角A,B,C成等差数列⇔B=,A+C=. (4)有关三角形内角的三角函数关系式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-tan C; sin=cos;cos=sin. (5)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C. (6)合分比:=======2R. 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(苏教必修②P114T7)在△ABC中,若=1,则A= (　　) A.150°　　B.120°　　C.90°　　D.60° 答案:C 2.(人A必修②P44T2改编)在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理得cos∠BAC===-.因为∠BAC为△ABC的内角,所以∠BAC=,故选C. 3.(人A必修②P48T2(2)改编)在△ABC中,已知b=2,A=45°,C=75°,则c=　　　　. 解析:由题意得B=180°-45°-75°=60°,由正弦定理,得=,得c=+. 答案:+ 4.(人A必修②P55引用“阅读与思考”:海伦和秦九韶)若一个三角形的三边长分别为a,b,c,设p=(a+b+c),则该三角形的面积S=,这就是著名的“海伦—秦九韶公式”.若△ABC的三边长分别为5,6,7,则该三角形的面积为　　　　. 解析:∵p=(a+b+c)=×(5+6+7)=9, ∴S△ABC= ==6. 答案:6 　　　　　　　　　 　　　　 二、易错小题的警醒训练 1.已知△ABC中,三个内角A,B,C,sin 2A=sin 2B,则△ABC是 (　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析:选D　由sin 2A=sin 2B,得2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=,故选D. (易错点:本题易忽视2A+2B=π的情况) 2.在△ABC中,已知B=30°,b=,c=2,则C=　　　　.  解析:由正弦定理得sin C===,因为c>b,B=30°,所以C=45°或C=135°.(易错点:本题易忽视c>b而漏解,利用正弦定理解题时,一定要避免漏解或增根) 答案:45°或135° 题点一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 [例1] (1)在△ABC中,sin(B-A)=,2a2+c2=2b2,则sin C= (　　) A. B. C. D.1 解析:选C　a2+c2-b2=2accos B,b2+c2-a2=2bccos A,两式相减,得2a2-2b2=2accos B-2bccos A=-c2,∴2acos B-2bcos A=-c.由正弦定理,得2sin Acos B-2sin Bcos A=-2sin(B-A)=-sin C,∴sin C=.故选C. 谨记结论:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则 (1)b2+c2-a2=bc⇒A=; (2)b2+c2-a2=bc⇒A=; (3)b2+c2-a2=bc⇒A=; (4)b2+c2+bc=a2⇒A=; (5)b2+c2+bc=a2⇒A=; (6)b2+c2+bc=a2⇒A=. (2)(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+sin C= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　法一　由正弦定理得sin Asin C=sin2B,因为B=,所以sin Asin C=sin2B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac,所以a2+c2=ac,所以sin2A+sin2C=sin Asin C,所以(sin A+sin C)2= sin2A+sin2C+2sin Asin C=sin Asin C=.又sin A>0,sin C>0,所以sin A+sin C=,故选C. 法二　由正弦定理得sin2B=sin Asin C,由B=,可得sin Asin C=,则sin A+sin C=sin A+≥2×=,当且仅当sin A=,即sin A=时等号成立,即sin A+sin C的最小值为,由于=,=,=均小于,而>,可排除A、B、D,故选C. 反思领悟:(1)本题法二对条件化简,得到了两角之间的联系,利用基本不等式确定了待求式的范围,估算获得正确选项,避免了复杂的转化运算. (2)估算法是一种重要的数学技巧,这种方法可以帮助我们在没有进行精确计算的情况下,对结果进行合理的估计.估算法有取中间数法、区间框定法、凑整法等多种方法,估算的关键在于理解问题的本质和所需的精度,选择合适的近似方法,并结合经验和直觉进行判断,同时,也需要不断地练习和反馈,才能提高估算的准确性和效率.估算法一般用于各选项差距较大的选择题中,也适用于比较大小的问题. |思维建模| 　　解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,则要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;如果以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. [即时训练] 1.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin 2A=asin B,且c=2b,则等于 (　　) A.2 B.3 C. D. 解析:选D　由正弦定理及bsin 2A=asin B,得2sin Bsin Acos A=sin Asin B.又sin A≠0,sin B≠0,所以cos A=.又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-4b2×=3b2,得=. 2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=. (1)求A; (2)若b=4,sin B+cos B=,求△ABC的周长. 解:(1)在△ABC中,由正弦定理得=, 因为=,所以=, 化简得b2+c2-a2=bc. 在△ABC中,由余弦定理得cos A==. 又因为0<A<π,所以A=. (2)由sin B+cos B=,可得sin=1, 又B∈(0,π),所以B+∈,得B+=,即B=, 所以C=π-A-B=, sin C=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=×+×=.又b=4,由正弦定理==,得==, 解得a=2,c=2+2, 故△ABC的周长为6+2+2. 拓展与建模 三角形中的射影定理 设△ABC的三边是a,b,c,它们所对的角分别是A,B,C,则有a=bcos C+ccos B;b=ccos A+acos C;c=acos B+bcos A. 注:以“a=bcos C+ccos B”为例,b,c在a上的射影分别为bcos C,ccos B,故名射影定理. 证明:如图,在△ABC中,AD⊥BC,则bcos C=CD,ccos B=BD, 故bcos C+ccos B=CD+BD=BC=a,即a=bcos C+ccos B. 同理可证b=ccos A+acos C,c=acos B+bcos A. [示例]　已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3bcos C+3ccos B=5asin A,且A为锐角,则当取最小值时,的值为　　　　. 解题观摩:由3bcos C+3ccos B=5asin A及射影定理得3a=5asin A,可得sin A=①. 而A是锐角,所以cos A=,则由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc②, 所以==-≥-=, 当且仅当b=c时,取得最小值③, 此时a2=b2,即a=b,所以=. 习得方略:①处还可以这样解,由正弦定理得3sin Bcos C+3sin Ccos B=5sin2A,即3sin(B+C)=5sin2A,则由sin(B+C)= sin A>0可得sin A=; ②处,由题设中的结构形式联想利用余弦定理化简变形; ③处,借助基本不等式求最值,注意写出等式成立的条件. 题点二　判断三角形的形状 [例2] (1)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,C=,则△ABC的形状是 (　　) A.等腰三角形 　　　　B.等边三角形 C.等腰直角三角形 　　　　D.等腰三角形或直角三角形 解析:选B　法一　因为=,所以A,B∈,且acos B=bcos A.由余弦定理得a·=b·,整理得a=b.又C=,所以A=B===C,故△ABC是等边三角形. 法二　因为=,所以A,B∈,且acos B=bcos A.由正弦定理可得sin Acos B=sin Bcos A,所以sin(A-B)=0.因为-π<A-B<π,所以A-B=0,即A=B.又C=,所以A=B===C,故△ABC是等边三角形. (2)在△ABC中,角A,B,C分别为a,b,c三边所对的角,=,则△ABC的形状是 (　　) A.等腰三角形但一定不是直角三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形但一定不是等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析:选C　由=,得(a2+b2)·sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),且a≠b,∴(a2+b2)·(sin Acos B-cos Asin B)= (a2-b2)(sin Acos B+cos Asin B),且a≠b,∴(a2+b2)(acos B-bcos A)=(a2-b2)(acos B+bcos A),∴(a2+b2)·=(a2-b2),化简整理得(a2+b2)·(a2-b2)=(a2-b2)c2,即(a2+b2-c2)(a2-b2)=0,∴a2=b2或a2+b2=c2.又a≠b,∴△ABC是直角三角形但一定不是等腰三角形. 谨记结论:三角形形状的判别 (1)cos A=cos B⇔A=B⇒△ABC为等腰三角形; (2)sin 2A=sin 2B,即A=B或A+B=⇒△ABC为等腰三角形或直角三角形; (3)sin A=1,即△ABC是以A为直角的直角三角形; (4)(a2-b2)(a2+b2-c2)=0⇒△ABC为等腰三角形或直角三角形; a=b且a2+b2=c2⇒△ABC为等腰直角三角形; (5)a2+b2=c2⇔△ABC是以C为直角的直角三角形; a2+b2>c2,a2+c2>b2,b2+c2>a2⇔△ABC是锐角三角形; a2+b2<c2⇔△ABC是以C为钝角的钝角三角形. |思维建模|　判断三角形形状的途径 (1)化边为角,通过三角变换找出角之间的关系. (2)化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正(余)弦定理是转化的桥梁. [即时训练] 3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3b=2asin B,cos A=cos C,则△ABC的形状为 (　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析:选C　因为3b=2asin B,所以由正弦定理可得3sin B=2sin Asin B.因为0°<B<180°,所以sin B≠0,所以sin A=,又0°<A<180°,所以A=60°或120°.又因为cos A=cos C,所以A=C=60°,故△ABC为等边三角形,故选C. 4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,则△ABC的形状为 (　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析:选D　由正弦定理、余弦定理及a2cos Asin B=b2cos Bsin A,得a2··b=b2··a,∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),即a4-b4+c2(b2-a2)=0,则(a2+b2)(a2-b2)+c2(b2-a2)=(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a=b或a2+b2=c2,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形. 题点三　三角形的面积 [例3]　(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,且a2+b2-c2=ab. (1)求B; (2)若△ABC的面积为3+,求c. 快审准解:(1)已知三边之间的关系式,利用余弦定理求得C→由sin C=cos B得cos B→根据0<B<π得B. (2)法一:已知两角,边c是待求边,利用正弦定理用c将a,b表示出来,再利用面积公式列方程求解. 法二:B,C是特殊角,作出BC边上的高AD,利用S△ABC=S△ABD+S△ACD列方程求解. 解:(1)因为a2+b2-c2=ab,所以由余弦定理有cos C===, 因为C∈(0,π),所以C=. 因为sin C=cos B=,所以cos B=. 因为B∈(0,π),所以B=. (2)法一　由(1)知B=,C=, 所以A=π--=,sin A=sin =sin=×+×=, 由正弦定理有==, 从而a=·c=c,b=·c=c. 所以S△ABC=absin C=·c·c·=c2=3+,解得c=2. 法二　由(1)知B=,C=. 如图,作出△ABC,过A作BC边上的垂线,垂足为D, 则BD=,AD=CD=.因为△ABC的面积为3+,所以××=3+,解得c=2. 谨记结论:在解三角形问题时,掌握并识记一些常见的三角函数值,如cos=sin=,sin=cos=等,可以提升解题速度. |思维建模|　与三角形面积有关问题的解题策略 (1)利用正弦、余弦定理解三角形,求出三角形的相关边、角之后,直接求三角形的面积. (2)把面积作为已知条件之一,与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量. [即时训练] 5.在锐角△ABC中,已知asin A=csin C+(b-c)sin B. (1)求角A; (2)若a=7,c=8,求△ABC的面积. 解:(1)因为asin A=csin C+(b-c)sin B,所以由正弦定理的边角互化可得a2=c2+b2-bc,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A===,且△ABC为锐角三角形,所以A=. (2)因为a=7,c=8,所以由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A, 即49=b2+64-8b,解得b=3或b=5. 因为△ABC为锐角三角形,当b=3时,边c最大,所以角C为最大角, 而cos C===-<0, 此时角C为钝角,与△ABC为锐角三角形矛盾,故b≠3; 当b=5时,边c最大,所以角C为最大角, 而cos C===>0,此时角C为锐角,所以b=5符合条件. 所以S△ABC=bcsin A=×5×8×=10. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.在△ABC中,A=,C=,b=,则a= (　　) A.1 B. C. D.2 解析:选D　由题意可得B=π-A-C=,由正弦定理=可得a===2. 2.在△ABC中,C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c= (　　) A. B. C.6 D.5 解析:选B　因为sin A=6sin B,所以由正弦定理得a=6b.又a+2b=8,所以a=6,b=1.因为C=60°,所以由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=62+12-2×6×1×=31,解得c=. 3.(2025·长沙质检)在△ABC中,AC=,BC=,cos A=,则△ABC的面积为 (　　) A.　　B.5　　C.　　D. 解析:选A　在△ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos A,则10=5+AB2-2×AB×,整理得AB2-4AB-5=0,解得AB=5或AB=-1(舍去).由cos A=,可得sin A==,∴S△ABC=AB·AC·sin A= ×5××=. 4.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且满足b-a=2bsin2,则△ABC的形状为 (　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形或等腰三角形 D.等腰直角三角形 解析:选A　由题知,b-a=2bsin2,所以=sin2=,所以b-a=b-bcos C,得a=bcos C,所以a=b·,得a2+c2=b2.所以△ABC的形状为直角三角形,故选A. 5.(2025·济南模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+c2-b2=ac,=,则角A的大小为 (　　) A. B. C. D. 快审准解:借助余弦定理计算可得B=,借助三角恒等变换公式化简可得sin B=sin,代入计算即可得角A的大小. 解析:选B　因为a2+c2-b2=ac,由余弦定理得2accos B=ac,所以cos B=.又B∈(0,π),所以B=.因为===,所以cos C+sin Acos C=sin C-cos Asin C,即sin(A+C)=sin C-cos C.又A+C=π-B,所以sin B=sin,则sin=.因为0<C<,所以-<C-<,所以C-=,即C=+=,所以A=π-B-C=π--=. 习得方略:出现a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理,有时可配方把式子化为(a+b)2=c2+(λ+2)ab,整体代入求值. 6.(2024·泰安三模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且-a=,延长BC至点D,使得BC=CD,若AD=2,AB=2,则a= (　　) A.1 B. C.2 D.3 解析:选C　由-a=,可得bsin B=asin A+(c-a)sin C①,  由正弦定理得b2=a2+(c-a)c②,即a2+c2-b2=ac, 所以cos B===. 如图所示,在△ABD中,BD=2a,且AD=2,AB=2,由余弦定理得AD2=4+(2a)2-2×2×2a×=4+4a2-4a=12,解得a=2或a=-1(舍去). 习得方略:①处,等号两侧同时存在边或正弦角、分式分号上下同时存在齐次的边或正弦角,可以将正弦角转化为边; ②处,三边的平方同时出现时,优先选择余弦定理. 7.(2024·日照三模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+bc,且A∈,则的取值范围为 (　　) A.(1,) B. C.(,) D.(,2) 快审准解:联立题干所给式子以及余弦定理可得c=b(1+2cos A),再把c=b(1+2cos A)代入题干可表示出=,再根据A的范围求解. 解析:选C　∵在△ABC中,a2=b2+bc,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,∴b2+bc=b2+c2-2bccos A,整理可得c=b(1+2cos A).又a2=b2+bc,则a2=b2+b2(1+2cos A)=b2(2+2cos A),∴=.由A∈,则cos A∈,可得2+2cos A∈(2,3),则∈(,),即∈(,),故选C. 二、多选题 8.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,则下列条件能确定C为锐角的是 (　　) A.a2+b2-c2=ab B.ab=c2 C.(a+2b)cos C+ccos A=0 D.sin(A-B)=1-2cos Asin B 解析:选AB　cos C===,即C=,故A正确;∵c2=ab=a2+b2-2abcos C≥2ab(1-cos C),∴≥1-cos C,∴cos C≥,∴C≤,故B正确;∵(a+2b)cos C+ccos A=0,∴(sin A+2sin B)cos C+sin Ccos A=0,∴sin(A+C)+ 2sin Bcos C=0,∴1+2cos C=0,∴C=,故C错误;∵sin(A-B)=1-2cos Asin B,∴sin Acos B-cos Asin B=1-2cos Asin B,∴sin(A+B)=1,∴C=,故D错误. 9.(2024·南宁三模)在锐角△ABC中,角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,下列结论一定成立的有 (　　) A.sin2A+sin2B<sin2C B.sin(A+B)=sin C C.若A>B,则sin A>sin B D.若A=,则<B< 解析:选BCD　因为△ABC为锐角三角形,所以cos C>0.由余弦定理得cos C=>0,即a2+b2-c2>0,由正弦定理得sin2A+sin2B>sin2C,故A错误;sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,故B正确;因为△ABC为锐角三角形,且A>B,所以>A>B>0.又因为y=sin x在上单调递增,所以sin A>sin B,故C正确;由A=得C=π-A-B=π-B,由△ABC为锐角三角形得,即解得<B<,故D正确. 10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 (　　) A.若a2tan B=b2tan A,则a=b B.若cos2=,则此三角形为直角三角形 C.若a=3,b=4,B=,则解此三角形必有两解 D.若△ABC是锐角三角形,则sin A+sin B>cos A+cos B 解析:选BD　由a2tan B=b2tan A,及正弦定理可得sin2Atan B=sin2Btan A,则=.又A,B∈(0,π),所以sin A≠0,sin B≠0,2A,2B∈(0,2π),可得=,整理得sin 2A=sin 2B.又因为A+B∈(0,π),可得2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,所以a=b或a2+b2=c2,故A错误;因为==,则2sin C+2cos Asin C=2sin B+2sin C,所以cos Asin C=sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Acos C=0.在△ABC中,sin A>0,所以cos C=0,所以C=,则此三角形为直角三角形,故B正确;因为a=3,b=4,B=,所以asin B=,所以asin B<a<b,则解此三角形只有一解,故C错误;因为△ABC是锐角三角形,所以0<C<,所以<A+B<π,则0<-B<A<,所以sin<sin A,即cos B<sin A,同理cos A<sin B,则sin A+ sin B>cos A+cos B,故D正确. 知识拓展:在锐角△ABC中,任意一个角的正弦大于另一个角的余弦,如sin A>cos B.事实上,由A+B>⇒A>-B⇒sin A>sin=cos B,由此对任意锐角△ABC,总有sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. 三、填空题 11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=,a=2,B=30°,则C=　　　　.  解析:在△ABC中,b=,a=2,B=30°,则由正弦定理得=,即=,得sin A=.因为0°<A<150°,所以A=45°或A=135°,当A=45°时,C=180°-45°-30°=105°,当A=135°时,C=180°-135°-30°=15°. 答案:15°或105° 12.(2024·葫芦岛二模)在△ABC中,B=45°,AB=,M是BC的中点,AM=,则AC=　　　,cos∠MAC=　　　　 .  解析:依题作出图象,如图所示. 在△ABM中,B=45°,AB=,AM=, 由余弦定理得AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM,解得BM=4(舍负), 则MC=4,BC=8,所以AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,解得AC=5, 故cos∠MAC===. 答案:5　 四、解答题 13.(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2. (1)求A. (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长. 解:(1)∵sin A+cos A=2, ∴2=2,即sin=1, ∵A+∈,∴A+=,∴A=. (2)由正弦定理得sin Bsin C=sin Csin 2B, ∴sin Bsin C=2sin Csin Bcos B. ∵sin B≠0,sin C≠0,∴=2cos B,∴cos B=. ∵B∈,∴B=,∴C=. ∵==,∴==, ∴b=2,c=+, ∴△ABC的周长为2++3. 14.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2. (1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积; (2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)因为2sin C=3sin A,所以2c=3a.又因为c=a+2,所以2(a+2)=3a, 则a=4,b=a+1=5,c=a+2=6,所以cos C==,所以C为锐角,则sin C==,因此S△ABC=absin C=×4×5×=. (2)显然c>b>a,若△ABC为钝角三角形, 则C为钝角,故由余弦定理可得cos C===<0,又a>0,故解得0<a<3. 又由三角形三边关系可得a+a+1>a+2,可得a>1,故1<a<3. 又a为正整数,故a=2. 综上,存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形,且a的值为2. 15.如图,在平面四边形ABCD中,AC与DB的交点为E,DB平分∠ADC,AB=BC=CD=2,AD>2. (1)证明:BD2=2(AD+2); (2)若∠ABD=,求. 解:(1)证明:由题意知∠ADB=∠CDB, 则cos∠ADB=cos∠CDB, 由余弦定理得 =, 即=, 整理得(AD-2)·BD2=2(AD2-4),因为AD>2,所以BD2=2(AD+2). (2)因为BC=CD,所以∠CDB=∠CBD, 因为∠ADB=∠CDB,所以∠ADB=∠CBD,所以AD∥BC. 又因为AB=CD,AD>BC,所以四边形ABCD是等腰梯形,所以∠ABC=∠BCD.设∠ADB=∠CDB=∠CBD=α,则+α=π-2α,解得α=,sin =sin=.在△ABD中,由正弦定理可得==== +1.又因为AD∥BC,所以===+1. 第八节　解三角形中的综合问题 第1课时　解三角形中的“三线”问题 题点一　三角形的高线 [例1]　设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且向量m=(a,b),n=(-cos A,sin B)满足m∥n. (1)求A; (2)若a=,b=3,求BC边上的高h. 解:(1)因为m∥n,所以asin B+bcos A=0,由正弦定理得sin Asin B+sin Bcos A=0.因为B∈(0,π),所以sin B≠0,所以tan A=-.又A∈(0,π),所以A=. (2)因为a=,b=3,A=,所以a2=b2+c2-2bccos A,即()2=32+c2-2×3c×, 化简得c2+3c-4=0,解得c=1或c=-4(舍去). 由△ABC的面积S=bcsin A,及S=ah, 得×3×1×=×h,解得h=. |思维建模|　高线问题的处理策略 如图,在△ABC中,AD⊥BC. (1)等面积法:AD·BC=AB·AC·sin ∠BAC. (2)AD=AB·sin B=AC·sin C. (3)a=c·cos B+b·cos C. [即时训练] 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b(1+cos C)=csin B. (1)求角C的大小; (2)若c=2,b-a=4,求AC边上的高. 解:(1)因为b(1+cos C)=csin B,所以由正弦定理可得sin B(1+cos C)=sin Csin B. 又因为B∈(0,π),则sin B≠0, 所以1+cos C=sin C.整理得2sin=1,即sin=. 因为C∈(0,π),所以C-∈, 所以C-=,所以C=. (2)由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,且c=2,有40=a2+b2-ab, 又b-a=4,即b=4+a,所以上式可化为a2+4a-24=0,解得a=-2+2或a=-2-2(舍去), 所以AC边上的高为asin C=(-2+2)×=-+. 题点二　三角形的中线 [例2]　在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c2=·-2S,其中S为△ABC的面积. (1)求角A的大小; (2)设D是边BC的中点,若AB⊥AD,求AD的长. 解:(1)据c2=·-2S,可得c2=cacos B-2×acsin B,即c=acos B-asin B, 结合正弦定理可得sin C=sin Acos B-sin Asin B. 在△ABC中,sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin Acos B+cos Asin B=sin Acos B-sin Asin B, 整理得cos Asin B=-sin Asin B. 因为B∈(0,π),所以sin B>0,故cos A=-sin A, 即tan A=-,又A∈(0,π),所以A=. (2)法一　结合已知由正弦定理可得=,代入数据化简后可得sin B=sin,再由两角差的正弦展开式和同角三角函数关系求出sin B=,即可得到结果. 因为D是边BC的中点,a=2,所以BD=CD=1. 在△ABD中,AB⊥AD,则AD=BDsin B=sin B. 在△ACD中,∠CAD=-=,C=π--B=-B,CD=1, 据正弦定理可得,=, 即=,所以AD=sin. 所以sin B=sin, 即sin B=cos B-sin B, 所以cos B=2sin B. 又sin2B+cos2B=1,B∈(0,π), 所以sin2B+(2sin B)2=1,解得sin B=, 所以AD=. 法二　由三角形的面积公式结合已知可得c=b,再在△ABC中,据余弦定理得b2+c2+bc=4,解出b,c,然后在Rt△ABD中,据勾股定理解出结果即可. 因为D是边BC的中点,故S△ABD=S△ACD, 所以c·AD=b·AD·sin∠DAC,即c·AD=b·AD·sin, 整理得c=b　①. 在△ABC中,据余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos∠BAC, 即b2+c2+bc=4　②, 联立①②,可得b=,c=. 在Rt△ABD中,据勾股定理得AD2=BD2-AB2=1-=, 所以AD=. 法三　延长BA到点H,使得CH⊥AB,由三角形中位线的性质结合勾股定理和三角函数定义关系求出即可. 延长BA到点H,使得CH⊥AB. 在Rt△CHB中,AD⊥AB,CH⊥AB,故AD∥CH. 又D是BC的中点,所以A是BH的中点,所以AH=AB=c,CH=2AD,且HB2+HC2=a2=4. 在Rt△CHA中,∠CAH=π-∠BAC=π-=,AC=b,AH=c, 所以CH=bsin∠CAH=b,且c=bcos∠CAH=b.所以(2c)2+=4,即+=4,解得b=(舍负),所以AD=CH=×b=b=. 法四　延长AD到E,使AD=DE,连接EB,EC,由已知结合三角函数的定义和勾股定理解出即可. 延长AD到E,使AD=DE,连接EB,EC. 因为D是BC的中点,且AD=DE,所以四边形ABEC是平行四边形,BE=AC=b.又∠BAC=,所以∠ABE=π-∠BAC=π-=. 在Rt△BAE中,AB⊥AD,∠ABE=,AB=c,BE=b, 所以AE=BE·sin∠ABE=b,且c=BE·cos∠ABE=b. 在Rt△BAD中,AB⊥AD,AB=c,AD=AE=b,BD=a=1, 据勾股定理AB2+AD2=BD2,可得c2+=1, 将c=b代入上式,可得b=(舍负),所以AD=b=. |思维建模|　中线问题的处理策略 如图①,在△ABC中,AD为BC的中线,已知AB,AC及∠BAC,求中线AD的长. (1)倍长中线:如图②,构造全等,再用余弦定理即可; (2)向量法:=(+),平方即可; (3)余弦定理:邻补角余弦值为相反数,即cos∠ADB+cos∠ADC=0. 补充:若将条件“AD为BC的中线”换为“=λ”,则可以考虑方法(2)或方法(3). [即时训练] 2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知2ccos C+acos B+bcos A=0. (1)求角C的大小; (2)若c=3,AB边上的中线CD=1,求△ABC的周长. 快审准解:(1)根据正弦定理边化角,再结合两角和的正弦公式、诱导公式,可得cos C=-,从而可求解; (2)根据余弦定理可得9=a2+b2+ab,再根据中线向量公式可得4=a2+b2-ab,从而求得ab=,a2+b2=. 解:(1)由正弦定理得2sin Ccos C+sin Acos B+sin Bcos A=0,即2sin Ccos C+sin(A+B)=2sin Ccos C+sin C=0.因为sin C≠0,所以cos C=-.因为0<C<π,所以C=. (2)已知c=3,CD=1, 在△ABC中,由余弦定理得9=a2+b2+ab　①, 由CD为△ABC的中线,得2=+, 两边平方得4=a2+b2-ab　②, 联立①②得ab=,a2+b2=,所以△ABC的周长为a+b+c=+3=+3. 题点三　三角形的角平分线 [例3]　在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=4,且4cos C=b-csin A. (1)求A; (2)已知AM为∠BAC的平分线,且与BC交于点M,若AM=,求△ABC的面积. 快审准解: 设问 已知量 模型应用 (1)求角 4cos C=b-csin A,a=4 利用正弦定理边化角,结合两角和的正弦公式即可求出A (2)求面积 角平分线AM= 利用三角形面积公式求得bc与b+c的关系,结合余弦定理求得b+c的值→bc的值→利用S△ABC=bcsin A求面积 解:(1)根据题意可得acos C+csin A=b①,  由正弦定理得sin Acos C+sin Asin C=sin B, 又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Asin C=cos Asin C. 又sin C≠0②,所以sin A=cos A,则tan A=.  因为A∈(0,π),所以A=. (2)如图,由图可知S△ABC=S△ABM+S△ACM,所以bcsin∠BAC=AM·c·sin∠BAM+AM·b·sin∠CAM, 又AM平分∠BAC, 所以∠BAM=∠CAM=∠BAC=, 所以bc×=×c×+×b×③, 则bc=(b+c),即bc=(b+c). 在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC, 即16=b2+c2-bc,所以16=(b+c)2-3bc=(b+c)2-(b+c),解得b+c=2(舍负), 所以bc=(b+c)=×2=, 故S△ABC=bcsin∠BAC=××=,即△ABC的面积为. 习得方略:①处,已知条件形似边的齐次式,但是4cos C中缺少一个边,想到另一个已知条件a=4,利用逆向思维,将数字变为边a,成功得到边的齐次式,后续过程就十分轻松了; ②处,注意等式性质使用的条件,同时消去一个数或式,这个数或式不能为零; ③处,通过面积相等将两边之和与积进行转化. |思维建模|　角平分线问题的处理策略 　　在△ABC中,AD平分∠BAC. (1)角平分线定理:=; (2)利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理. [即时训练] 3.在△ABC中,A,B,C分别为边a,b,c所对的角,且满足2a+c=2bcos C. (1)求B的大小; (2)A的角平分线AD交BC边于点D,当c=2,AD= 时,求CD. 解:(1)∵2a+c=2bcos C,∴2sin A+sin C=2sin Bcos C,2sin(B+C)+sin C=2sin Bcos C,2cos Bsin C+sin C=0, ∵sin C≠0,∴cos B=-. 又B∈(0,π),∴B=. (2)在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B,可得BD2+2BD-3=0,解得BD=1(舍负). ∵AD是角A的平分线,∴==2. 设CD=m,则AC=2m,在△ABC中,由余弦定理可得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B, 即4m2=4+(1+m)2-2×2×(1+m)×, 整理得3m2-4m-7=0,解得m=(舍负),∴CD=. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,且4S=(b2-a2-c2). (1)求B; (2)若a=2,b=2,D为AC边的中点,求BD的长. 解:(1)由三角形面积公式及条件可知4S=2acsin B=(b2-a2-c2), 由余弦定理知b2-a2-c2=-2accos B, 所以-cos B=sin B,解得tan B=-. 因为B∈(0,π),所以B=. (2)结合(1)的结论,根据余弦定理有a2+c2-b2=2accos B⇒c2+2c-24=0,所以c=4(舍负). 易知2=+,所以4=++2·=16+4+2×2×4×=12, 故BD=. 2.(2024·新余二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积S=(a2+c2-b2)sin B. (1)求角B; (2)若∠ABC的平分线交AC于点D,a=3,c=4,求BD的长. 解:(1)在△ABC中,S=acsin B=(a2+c2-b2)sin B,而0<B<π, 即sin B>0,所以a2+c2-b2=ac, 由余弦定理得cos B==, 又B∈(0,π),所以B=. (2)在△ABC中,由等面积法得S△ABC=S△BAD+S△BCD, 即BC·BA·sin∠ABC=BA·BD·sin+BC·BD·sin,即×3×4×=×4×BD×+×3×BD×,所以BD=. 3.(2024·青岛三模)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin(B+C)=2sin2. (1)求角A的大小; (2)若b=3,BC边上的高为,求△ABC的周长. 解:(1)因为A,B,C为△ABC的内角,所以sin(B+C)=sin A. 因为sin2=,所以sin(B+C)=2sin2可化为sin A=(1-cos A), 即sin A+cos A=,即sin=. 由A+∈,解得A+=,即A=. (2)由三角形面积公式得bcsin A=×a,将b=3代入得×3csin=×a, 所以a=c,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A=c2得c2+4c-12=0, 解得c=2或c=-6(舍去),则a=, 所以△ABC的周长为5+. 4.(2024·长沙三模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,b=4. (1)若cos B+2cos A=ccos C,求C的值; (2)若D是边AB上的一点,且CD平分∠ACB,cos∠ACB=-,求CD的长. 快审准解:(1)由已知可得acos B+bcos A=2ccos C,边化角,可得sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C,利用三角恒等变换可求C; (2)由已知可得cos=,利用S△ABC=S△ADC+S△BDC,可得CD=,可得解. 解:(1)由题意得2cos B+4cos A=2ccos C, 所以acos B+bcos A=2ccos C. 由正弦定理,得sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C, 即sin(A+B)=2sin Ccos C. 又sin(A+B)=sin C,所以sin C=2sin Ccos C. 又sin C≠0,所以cos C=. 因为C∈(0,π),所以C=. (2)由cos∠ACB=-,得2cos2-1=-,解得cos=. 由S△ABC=S△ADC+S△BDC, 得absin∠ACB=b·CDsin+a·CDsin, 即2abcos=(a+b)CD,又a=2,b=4, 所以CD===. 第2课时　解三角形中的最值、范围问题　　 方法一　利用基本不等式求最值、范围 [例1]　(2024·宝鸡二模)在△ABC中,D为BC边的中点,AD=1. (1)若△ABC的面积为2,且∠ADC=,求sin C的值; (2)若AB2+AC2=10,求△ABC周长的最大值. 快审准解: 设问 已知量 模型应用 (1)求角的正弦值 △ABC的面积为2,中线AD=1,∠ADC= 根据△ABD与△ADC的面积之和等于△ABC的面积求得BC→求得CD→在△ADC中,已知两边与夹角→结合余弦定理求得AC→由正弦定理求得sin C (2)求周长的最大值 AB2+AC2=10 根据∠ADB+∠ADC=π,利用“两次余弦法”求得BD,进而得BC→利用基本不等式得(AB+AC)max→△ABC周长的最大值 解:(1)如图,设BC=a,则sin∠ADC·AD·BC=2, 即××1×a=2,解得a=8. 在△ADC中,DC=a=4,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC=1+16-2×1×4×=21,解得AC=. 由正弦定理得=,即=,解得sin C=. (2)设∠ADC=θ,则在△ADB中,AB2=BD2+1-2·BD·1·cos(π-θ)=BD2+1+2BDcos θ, 在△ADC中,AC2=CD2+1-2·CD·1·cos θ=BD2+1-2BDcos θ. 又AB2+AC2=10,可得BD=2,所以BC=4. 由基本不等式得(AB+AC)2≤2(AB2+AC2)=20,所以AB+AC≤2,当且仅当AB=AC=②时取等号. 此时AB+AC+BC=4+2.所以△ABC周长的最大值为4+2. 习得方略:①处,解三角形问题一般不在题干上给出已知图形,需要我们自己动手画图、标注数据.从图中发现等量关系.如本题,根据图形得到大三角形的面积可转化为两个小三角形的面积和; ②处,注意基本不等式的变形使用及等号成立的条件,特别是在三角形中,注意验证三条边能否构成三角形,此时AB+AC+BC=4+2,所以△ABC的周长的最大值为4+2. |思维建模| 求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法 　　在△ABC中,如果已知一个角及其对边,假设已知A,a,根据余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,即可得到“b2+c2”与“bc”的等量关系. (1)求面积最值时,S=bcsin A,即求bc的最值,在等量关系中,利用基本不等式b2+c2≥2bc,即可求得bc的最值. (2)求周长a+b+c的最值,即求b+c的最值,在等量关系中,把b2+c2换成(b+c)2-2bc,再利用基本不等式bc≤,即可求得b+c的最值. [即时训练] 1.(2025·新乡模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2-a2=2acsin B. (1)求A; (2)若a=2,求△ABC面积的最大值. 解:(1)因为b2+c2-a2=2acsin B, 由余弦定理可得cos A===,由正弦定理知=, 所以sin A==cos A,即tan A=1. 又因为A∈(0,π),所以A=. (2)因为a=2且A=,所以由余弦定理得b2+c2-a2=2bccos A,即b2+c2-4=bc. 又因为b2+c2-4=bc≥2bc-4,当且仅当b=c时,等号成立, 即2bc-4≤bc,解得bc≤4+2, 所以△ABC的面积S=bcsin A=bc≤1+, 即△ABC面积的最大值为1+. 方法二　利用三角函数的性质求最值、范围 [例2]　(2025·盐城模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B是A与C的等差中项. (1)若=,试判断△ABC的形状; (2)若△ABC是锐角三角形,求的取值范围. 快审准解: 设问 已知量 模型应用 (1)判断三角形的形状 B是A与C的等差中项,= 由B是A与C的等差中项得B=→由=和余弦定理得三边的两个关系→化简后判断三角形的形状 (2)求代数式的取值范围 △ABC是锐角三角形 切化弦,利用两角和的变换式和辅助角公式将待求式化为三角函数的标准形式→根据三角函数的有界性求取值范围 解:(1)∵B是A与C的等差中项,∴2B=A+C. 又A+B+C=π,∴B=. ∵=,∴b2=a2+ac①,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac×=a2+c2-ac,则a2+ac=a2+c2-ac,化简得c=2a, ∴b2=a2+ac=a2+2a2=3a2,即b=a, ∴a2+b2=a2+3a2=4a2=c2. ∵b=a≠a,∴△ABC是以c为斜边的直角三角形. (2)∵B=,△ABC是锐角三角形, ∴∴<A<②, ∴= == ==2cos Acos C=2cos Acos =2cos A =-cos2A+sin Acos A=-+ =sin 2A-cos 2A-=sin-③.  由<A<得<2A-<, ∴<sin≤1,∴0<sin-≤,即0<≤,故的取值范围为. 习得方略:①处,式子中出现平方项,联想余弦定理; ②处,锐角三角形的每个角都必须是锐角,对本题而言,除了限制角A以外,还要求-A,即角C为锐角; ③处,求出角的范围后,尽量配合图象研究三角函数的取值范围,注意保证角A的系数为正数,不易出错. |思维建模|　三角形中的最值、范围问题 　　如果三角形为锐角三角形或其他的限制,一般采用正弦定理边化角,利用三角函数的范围求出最值或范围. [即时训练] 2.(2025·襄阳模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos(B-C)+acos A-2csin Bcos A=0. (1)求A. (2)若△ABC外接圆的直径为2,求2c-b的取值范围. 快审准解: 设问 已知量 模型应用 (1)求角 acos(B-C)+acos A-2c·sin Bcos A=0 将角A转化为π-(B+C),化简得到边角齐次式→利用正弦定理将边化为角→求得角A (2)求代数式的取值范围 △ABC外接圆的直径为2 利用正弦定理将2c-b转化为关于角C的三角函数式→根据三角函数的有界性求取值范围 解:(1)由A+B+C=π可得A=π-(B+C), 所以cos A=-cos(B+C),所以acos(B-C)-acos(B+C)=2csin Bcos A①,  所以acos Bcos C+asin Bsin C-acos Bcos C+asin Bsin C=2csin Bcos A, 即asin Bsin C=csin Bcos A, 由正弦定理可得sin Asin Bsin C=sin Csin Bcos A. 因为sin C>0,sin B>0,所以sin A=cos A, 所以tan A=.又A∈(0,π),所以A=. (2)由正弦定理可得===2R=2,所以b=2sin B,c=2sin C, 故2c-b=4sin C-2sin B=2(2sin C-sin B). 又A+B+C=π,所以B=-C,C∈, 所以2c-b=2=2=6sin②. 因为C∈,所以C-∈,所以2c-b=6sin∈(-3,6),所以2c-b的取值范围为(-3,6). 习得方略:①处,已知等式并不是边角齐次式,显然acos A是突兀的,所以为了构造边角齐次式,我们利用三角形的内角和为π,将acos A变为了-acos(B+C); ②处,利用辅助角公式减少函数名,化简为正弦型函数,进而利用三角函数的有界性求取值范围. 方法三　利用函数、导数求最值、范围 [例3]　已知锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=. (1)若A=,求B; (2)若asin C=1,求+的最大值. 解:(1)由题意知=, 所以sin(A-B)cos C=sin(A-C)cos B, 所以sin Acos Bcos C-cos Asin Bcos C=sin Acos Ccos B-cos Asin Ccos B, 所以cos Asin Bcos C=cos Asin Ccos B, 因为A=,所以sin Bcos C=sin Ccos B, 所以tan B=tan C. 因为B,C∈,所以B=C.由A=,得B=. (2)由(1)知B=C,所以sin B=sin C,b=c. 因为asin C=1,所以=sin C.由正弦定理得asin C=csin A=bsin A=1,所以=sin A. 因为A=π-B-C=π-2C, 所以=sin A=sin 2C, 所以+=sin2C+sin22C=+1-cos22C=-cos22C-cos 2C+. 因为△ABC为锐角三角形,且B=C,则有<C<,得<2C<π,所以-1<cos 2C<0. 由二次函数的性质可得,当cos 2C=-时,+取得最大值,所以+的最大值为. |思维建模| 解决此类题目,一是利用正、余弦定理转化成边的函数或转化成关于正弦、余弦或正切的函数,根据函数的单调性求解;二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数,根据函数的单调性求解. [即时训练] 3.已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足=. (1)若C=,求B; (2)求的取值范围. 解:(1)由=及正弦定理,可得=,即c2=b2+ab, ∵C=,∴c2=a2+b2,∴b2+ab=a2+b2,解得a=b,即A=B.又C=,∴B=. (2)由(1)知,c2=b2+ab,∴a=,c>b, 由三角形三边关系可得代入化简可得b<c<2b, ∴==+-1. 令x=,则x∈(1,2),f(x)=x2+x-1,1<x<2, ∴f(x)=-∈(1,5), ∴+-1∈(1,5),∴的取值范围是(1,5). 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 1.(2024·宝山二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin2A+sin2C=sin2B+sin Asin C. (1)求角B的大小; (2)若△ABC的面积为,求a+c的最小值,并判断此时△ABC的形状. 解:(1)由正弦定理得a2+c2=b2+ac, 又由余弦定理得cos B===, 因为B∈(0,π),所以B=. (2)由三角形面积公式得 S△ABC=acsin B=acsin=ac=,解得ac=4. 因为a+c≥2=4,当且仅当a=c=2时取等号, 所以a+c的最小值为4,此时△ABC为等边三角形. 2.在锐角△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求A的大小; (2)求cos B+2cos C的取值范围. 快审准解:(1)借助正弦定理将角化边后,借助余弦定理计算即可得; (2)由△ABC为锐角三角形可得角C的范围,再借助三角恒等变换化简cos B+2cos C后计算即可得. 解:(1)由正弦定理得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2, 则cos A==, ∵A∈,∴A=. (2)由△ABC为锐角三角形知,故<C<, 则cos B+2cos C=-cos+2cos C=cos C+sin C=sin, ∵<C+<,∴<sin<, 故cos B+2cos C的取值范围为. 3.已知△ABC为锐角三角形,其内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos B=cos 2A. (1)求的取值范围; (2)若a=1,求△ABC周长的取值范围. 解:(1)因为△ABC为锐角三角形,所以0<A<,0<B<,0<2A<π.又因为cos B=cos 2A,所以B=2A,由正弦定理得====2cos A. 因为△ABC为锐角三角形, 所以即 解得<A<,所以<cos A<,即<2cos A<,所以的取值范围为(,). (2)因为a=1,由(1)知,b=2cos A, 所以由正弦定理=,得c======4cos2A-1,故△ABC的周长a+b+c=4cos2A+2cos A,令t=cos A,由(1)知<cos A<,则t∈.因为函数y=4t2+2t=4-在上单调递增,所以△ABC周长的取值范围为(2+,3+). 4.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcos(A-C)+=2asin Bsin C. (1)求B; (2)若四边形ABDC内接于圆O,∠ACB=,AB=2,求△ABD面积的最大值. 解:(1)因为==, 所以sin Bcos(A-C)+=2sin Asin Bsin C, 又因为在△ABC中,sin B≠0,所以cos(A-C)+=2sin Asin C, 所以cos Acos C+sin Asin C+=2sin Asin C,所以cos(A+C)=-,即cos B=. 因为B∈(0,π),所以B=. (2)法一:利用正弦定理和三角恒等变换得S△ABD=2sin+,再利用正弦型函数的性质即可求出最值 在△ABC中,∠ABC=,∠ACB=,所以∠CAB=. 设∠CAD=∠CBD=α,则α∈,所以∠ACB=∠ADB=,∠DAB=-α,∠ABD=+α.因为===4, 所以DB=4sin=4cos α,DA=4sin, 所以S△ABD=DA·DB·sin=4cos αsin=2sin αcos α+2cos2α=sin 2α+cos 2α+=2sin+,所以当2α+=,即α=时,△ABD的面积最大,为2+. 法二:利用余弦定理得DA2+DB2=DA·DB+4,再利用基本不等式和三角形面积公式即可得到最值 在△ABD中,已知AB=2,∠ADB=,所以cos∠ADB===,所以DA2+DB2=DA·DB+4≥2DA·DB, 所以DA·DB≤4(2+),当且仅当DA=DB=+时取等号.所以△ABD面积的最大值为DA·DB·sin=2+. 法三:利用几何法,找到面积最大时的情况,求出高的最大值即可得到面积的最大值 在四边形ABDC的外接圆内考虑,因为∠ABC=,∠ACB=,则∠BAC=, 则Rt△BAC的外接圆直径为BC=2AB=4, D是圆O上动点,所以△ABD面积取最大值时高最大,即点D到AB距离最大, 此时最大距离为圆心O到AB的距离加半径2, 在Rt△BAC中,可知圆心O到AB的距离为=,所以高的最大值为2+, 所以△ABD面积的最大值为×2×(2+)=2+. 第九节 　解三角形的应用举例 题点一　测量距离问题 明确目标 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. [例1]　如图,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°,北偏东45°方向,再往正东方向行驶20海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为 (　　) A.20海里 B.10海里 C.20(1+)海里 D.10(1+)海里 解析:选B　在△ACD中,∠ADC=90°+15°=105°,∠ACD=90°-60°=30°,∠CAD=180°-105°-30°=45°, 由正弦定理得=,AC===10(+1).在△BCD中, ∠BDC=45°,∠BCD=90°,所以∠CBD=45°,所以BC=CD=20.在△ABC中,由余弦定理得AB===10海里. |思维建模|　求解距离问题的2个注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. 知识拓展:实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫做仰角,目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图1). (2)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等. (3)方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如点B的方位角为α(如图2). (4)坡度: 坡面与水平面夹角的度数. [即时训练] 1.某湖中有一小岛C,沿湖有一条正南方向的公路,一辆汽车在公路A处测得小岛在南偏西的方向上,汽车行驶2公里到达B处后,又测得小岛在南偏西的方向上,如图所示,则小岛到公路的距离为 (　　) A. 公里　　B. 公里　　C. 公里　　D. 公里 解析:选C　由题图易知∠CAB=,∠CBA=π-=,∠ACB=π--=,AB=2公里.在△ABC中,由正弦定理得=,所以BC=×sin=sin,所以点C到直线AB的距离为BC·sin=sin ·cos =sin=公里. 2.如图,设M,N为某海边相邻的两座山峰,到海平面的距离分别为100米,50米.现欲在M,N之间架设高压电网,需计算M,N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点,利用测角仪从P点测得的M,N点的仰角分别为30°,45°,并从P点观测到M,N点的视角(即∠MPN)为45°,则M,N之间的距离为　　　米. 解析:由题意得MM1=100米,NN1=50米,∠MPM1=30°,∠NPN1=45°,∠MPN=45°.在Rt△MM1P中,MP=2MM1=200米.在Rt△NN1P中,NP=NN1=50米.在△MNP中,由余弦定理得MN2=MP2+NP2-2MP·NPcos∠MPN=2002+(50)2-2×200×50×=25 000,故MN=50 米. 答案:50 题点二　测量高度问题 [例2]　如图,已知AA1为某建筑物的高,BB1,CC1分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高,A1,B1,C1分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上,A,B,C分别为该建筑物、甲、乙的顶点,经测量得A1B1=80米,CC1=86米,∠C1A1B1=48.60°,∠A1C1B1=30°,在C点测得B点的仰角为33.69°,在B点测得A点的仰角为51.34°,则该建筑物的高AA1约为(参考数据:tan 33.69°≈0.667,tan 51.34°≈1.250,sin 48.60°≈0.750) (　　) A.268米　　B.265米　　C.266米　　D.267米 解析:选C　如图,分别过B,C作BF⊥AA1,CD⊥BB1,垂足分别为F,D,过D作DE⊥AA1,垂足为E.根据题意易得∠ABF=51.34°,∠BCD=33.69°.在△A1B1C1中,由正弦定理得B1C1==≈ =120,在Rt△BDC中,DC=B1C1=120,则BD=120tan 33.69°≈120×0.667=80.04.在Rt△AFB中, BF=A1B1=80,则AF=80tan 51.34°≈80×1.250=100,所以AA1=CC1+BD+AF≈86+80.04+100≈266米. |思维建模|　求解高度问题的3个注意事项 (1)在处理有关高度问题时,理解仰角、俯角(它们是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键. (2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错. (3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题. [即时训练] 3.为测量某塔的高度,在塔旁的水平地面上共线的三点A,B,C处测得其顶点P的仰角分别为30°,60°,45°,且AB=BC=50米,则塔的高度OP=　　　　米. 快审准解:设PO=h,在Rt△POA,Rt△POB,Rt△POC分别根据锐角三角函数定义求出OA,OB,OC,最后利用余弦定理进行求解即可. 解析:设塔的高度PO=h,在Rt△POA中,OA==h,同理可得OB=h,OC=h,在△OAC中, ∠OBA+∠OBC=π,则cos∠OBA=-cos∠OBC,∴=-,即=-, 解得h=10.所以塔的高度为10米. 答案:10 题点三　测量角度问题 [例3]　如图,位于A处的信息中心获悉,在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cos θ的值为　　　. 解析:由已知,∠CAB=135°,在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠CAB=400+1 800+ 1 200=3 400,则BC=10,所以cos∠ACB==,sin∠ACB=,所以cos θ=cos(45°+∠ACB)= cos∠ACB-sin∠ACB=×-×=. 答案: |思维建模|　求解角度问题的3个注意事项 (1)测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义. (2)求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值. (3)在解应用题时,要根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题.解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点. [即时训练] 4.某海域A处的甲船获悉,在其正东方向相距50 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援,同时把信息通知在A处南偏东30°,且与A处相距25 n mile的C处的乙船,那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东 (　　) A.30°　　B.45°　　C.90°　　D.60° 解析:选D　如图所示,∠MAC=∠NCA=30°,则∠CAB=60°,由题意可知,AC=25,AB=50.由余弦定理得BC2=(25)2+(50)2-2×25×50×cos 60°,解得BC=75,由正弦定理得=,解得∠ACB=90°,所以∠NCB=60°,故选D. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] (标题目难度稍大,可据自身学情选做) 一、单选题 1.如图,海面上有相距10 n mile的A,B两个小岛,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离为 (　　) A.10 n mile B. n mile C.5 n mile D.5 n mile 解析:选D　由题意得,A=60°,B=75°,AB=10,则C=45°,所以=,所以BC==5,即B,C间的距离为5 n mile. 2.如图,河边有一座塔OP,其高为20 m,河对面岸上有A,B两点与塔底O在同一水平面上,在塔顶部测得A,B两点的俯角分别为45°和30°,在塔底部O处测得A,B两点形成的视角为150°,则A,B两点之间的距离为 (　　) A.10 m B.10 m C.20 m D.10 m 解析:选C　因为在塔顶部测得A,B两点的俯角分别为45°和30°,所以在Rt△POA中,∠PAO=45°,可得OA=OP=20 m,在Rt△POB中,∠PBO=30°,可得OB==20 m.在△AOB中,由题意知∠AOB=150°,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB=400+1 200-2×20×20×=2 800,所以AB=20 m. 3.一艘船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是 (　　) A.5海里/小时 B.5海里/小时 C.10海里/小时 D.10海里/小时 解析:选C　如图所示,由题意知∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,可得CD=CA=10,在Rt△ABC中,AB=ACcos 60°=5,所以这艘船的速度为=10(海里/小时).故选C. 4.如图,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,sin 15°=,且山坡对于地平面的坡度为θ,则cos θ等于 (　　) A. B. C.-1 D.-1 解析:选C　因为∠CBD=45°,所以∠ACB=45°-15°=30°,在△ABC中,由正弦定理可得=,解得BC=50(-),在△BCD中,由正弦定理可得=,解得sin∠BDC=-1,即sin(θ+90°)=-1,所以cos θ=-1. 5.如图,已知某无人机的航线和B,C,D三艘潜艇在同一个铅垂平面内,若某时刻测得C,D相距200米,且在C,D两艘潜艇上测得该无人机所在位置A的仰角分别为75°,30°,且A在B的正上方,则AB= (　　) A.50米 B.50(1+)米 C.100米 D.100(1+)米 解析:选B　sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°=,在△ACD中,∠DAC=75°-30°=45°, ∠ACD=180°-75°=105°,由正弦定理得=,AD===100(+1)米,在Rt△ABD中, AB=AD=50(+1)米. 6.如图,某市人民广场正中央有一座铁塔,为了测量塔高AB,某同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为45°,然后从点C处沿南偏东30°方向前进140 m到达点D处,在D处测得塔顶的仰角为30°,则铁塔AB的高度是 (　　) A.70 m B.80 m C.90 m D.100 m 解析:选A　由题意知∠ACB=45°,∠BCD=90°-30°=60°,∠ADB=30°,CD=140,所以BC=AB,BD=AB,故在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD,所以3AB2=AB2+1402-280ABcos 60°,即AB2+70AB-9 800=0,解得AB=-140(舍去)或AB=70,故铁塔AB的高度是70 m. 二、多选题 7.(2025·兰州一模)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动,学生需通过建立模型、实地测量、迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中,可计算出旗杆高度的方案有 (　　) A.在水平地面上任意寻找两点A,B,分别测量旗杆顶端的仰角α,β,再测量A,B两点间的距离 B.在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆),测得建筑物的高度h,在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β C.在地面上任意寻找一点A,测量旗杆顶端的仰角α,再测量A到旗杆底部的距离 D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α,正对旗杆前行5 m到达B处,再次测量旗杆顶端的仰角β 解析:选BCD　设旗杆CD的高度为x,对于A,当A,B,旗杆底部三点不共线时,如图1,已知AB的长度, ∠CAD=α,∠CBD=β,无法求出x,故A错误;对于B,如图2,设旗杆对面的某建筑物为AB,则BD==,可求出x的值,故B正确;对于C,如图3,=tan α,可求出x的值,故C正确;对于D,如图4或图5,-=5或+=5,可求出x的值,故D正确.综上,选BCD. 8.如图,甲船从A1出发以每小时25海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船出发时,乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处,此时两船相距5海里.当甲船航行12分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处,此时两船相距5海里,下面结论正确的是 (　　) A.乙船的行驶速度与甲船相同 B.乙船的行驶速度是15海里/时 C.甲、乙两船相遇时,甲船行驶了小时 D.甲、乙两船不可能相遇 解析:选AD　如图,连接A1B2.依题意,A1A2=25×=5(海里),而B2A2=5海里,∠A1A2B2=60°,则△A1A2B2是正三角形,所以∠A2A1B2=60°,A1B2=5海里.在△A1B1B2中,∠B1A1B2=180°-75°-60°=45°,A1B1=5海里,由余弦定理得B1=A1+A1-2A1B1·A1B2cos 45°=(5)2+52-2×5×5×=25(海里),则有A1+B1=A1,所以∠A1B2B1=90°,所以∠A1B1B2=45°,所以乙船的行驶速度是=25(海里/时),故A正确,B不正确.延长B1B2与A1A2交于点O,显然有∠A1B2O=90°,即A1B2⊥OB2,易得OA1=10海里,OB2=5海里,OB1=5(+1)海里,甲船从出发到点O用时t1==(小时),乙船从出发到点O用时t2==(小时),t1<t2,即甲船先到达点O,所以甲、乙两船不可能相遇,故C不正确,D正确. 三、填空题 9.如图,一架飞机从A地飞往B地,两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层,从A点起飞以后,就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行,飞行到中途C点,再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点.这样飞机的飞行路程比原来的路程500 km大约多飞了　　　　 km.(sin 12°≈0.21,sin 18°≈0.31) 解析:在△ABC中,由A=12°,B=18°,得C=150°,由正弦定理得==,所以≈≈,所以AC=310 km,BC=210 km,所以AC+BC-AB=20 km. 答案:20 10.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A沿直线步行到C,线路2是先从A沿直线步行到景点B处,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行,甲的速度是乙的速度的倍,甲走线路2,乙走线路1,最后他们同时到达C处.经测量,AB=1 040 m,BC=500 m,则sin∠BAC等于　　　　. 解析:依题意,设乙的速度为x m/s,则甲的速度为x m/s,因为AB=1 040 m,BC=500 m,所以=,解得AC=1 260 m.在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC===,所以sin∠BAC= ==. 答案: 11.如图,要测量海岛上一座山峰的高度AH,立两根高48丈的标杆BC和DE,两竿相距BD=800步, D,B,H三点共线且在同一水平面上,从点B退行100步到点F,此时A,C,F三点共线,从点D退行120步到点G,此时A,E,G三点也共线,则山峰的高度AH=　　　　 步.(古制单位:180丈=300步) 解析:由题可知BC=DE=48×=80步,BF=100步,DG=120步,BD=800步,在Rt△AHF中,==,在Rt△AHG中,==,所以HF=AH,HG=AH,则HG-HF=800-100+120=820=AH,所以AH=3 280步. 答案:3 280 学科网（北京）股份有限公司 $$