第2章 第十节 函数与方程（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第十节 函数与方程 明确目标 1.理解函数的零点与方程解的关系.了解函数零点存在定理,并能简单应用. 2.能借用工具用二分法求方程的近似解,了解二分法求方程的近似解具有一般性. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.课时跟踪检测 3 课前·“四基”落实 01 教材再回首 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y=f(x),我们把使________的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图象与____有公共点⇔函数y=f(x)有_____. (3)函数零点的判定(函数零点存在定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有_________,那么,函数y=f(x)在区间______内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得_______,这个c也就是方程f(x)=0的解. f(x)=0 x轴 零点 f(a)f(b)<0 (a,b) f(c)=0 2.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且___________的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. f(a)f(b)<0 3.二次函数图象与零点的关系 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0),(x2,0) _______ 无 零点个数 _____ _____ _____ (x1,0) 2 1 0 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(人A必修①P155T2改编)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,部分对应关系如表所示,则该函数的零点个数至少为(　　) x 1 2 3 4 5 6 Y 126.1 15.15 -3.92 16.78 -45.6 -232.64 A.2 B.3 C.4 D.5 解析:由题表可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,所以函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点. √ 2.(人B必修①P126T3改编)若函数f(x)=+a的零点为1,则实数a的值为(　　) A.-2 B.- C. D.2 解析:由题意知,f(1)=+a=0,解得a=-. √ 3.(苏教必修①P253T8改编)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　　) A.2 B.-2,0 C. D.0 解析:当x≤1时,令f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时, 令f(x)=1+log2x=0,解得x=(舍去).综上,函数f(x)的零点为0. √ 二、易错小题的警醒训练 1.函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,则实数a的值为(　　) A.-　　　B.0　　　C.　　　D.0或- 解析:当a=0时,f(x)=-x-1,令f(x)=0,得x=-1,故f(x)只有一个零点-1.当a≠0时, Δ=1+4a=0,解得a=-.综上,a=0或a=-. (易错点:忽略二次项系数为零) √ 2.设f(x)=lg x+x-3,用二分法求方程lg x+x-3=0在(2,3)内近似解的过程中得到f(2.25)<0,f(2.75)>0,f(2.5)<0,f(3)>0,则方程的根所在区间为 (　　) A.(2,2.25) B.(2.25,2.5) C.(2.5,2.75) D.(2.75,3) 解析:因为f(2.5)<0,f(2.75)>0,由函数零点存在定理知,方程的根所在区间为(2.5,2.75). (易错点:忽略函数零点存在定理的条件) √ 课堂·题点精研 02 题点一　对函数零点存在定理的理解(自主练通) 1.已知函数f(x)在区间[a,b]上具有单调性,且图象是连续不断的, 若f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上 (　　) A.至少有一个实数解 B.至多有一个实数解 C.没有实数解 D.必有唯一的实数解 解析:因为函数f(x)在区间[a,b]上具有单调性且连续,所以f(a)f(b)<0 ⇒f(a)<0<f(b)或f(b)<0<f(a).由函数零点存在定理,知必有唯一的实数解c∈(a,b),使得f(c)=0,故D正确. (当y=f(x)在[a,b]上具有单调性时,它仅有一个零点) √ 2.若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同时在区间(1,5),(1,3),(2,3),内,则与f(1)符号相同的是(　　) A.f(5) B.f(3) C.f D.f(2) 解析:因为函数f(x)有唯一零点,在区间内,所以零点左侧的函数值同号,零点右侧的函数值同号,所以与f(1)符号相同的是f(2). √ 3.(2025·蚌埠监测)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,则“f(a)f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,由函数零点存在定理,可知f(a)f(b)<0时,函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点,充分性成立;函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点时,f(a)f(b)<0不一定成立,如函数y=x2,在开区间(-1,1)内有零点x=0,但f(-1)f(1)>0,必要性不成立.故“f(a)f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点”的充分不必要条件.故选A. √ 习得方略:由函数y=f(x)(图象是一条连续不断的曲线)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0,所以f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 深化理解 几个“不一定”与“一定”（假设f(x)在区间(a,b)连续） (1)若f(a)·f(b)<0,则f(x)“一定”存在零点,但“不一定”只有一个零点. 要分析f(x)的性质与图象,如果f(x)具有单调性,则“一定”只有一个零点. (2)若f(a)·f(b)>0,则f(x)“不一定”存在零点,也“不一定”没有零点. 如果f(x)具有单调性,那么“一定”没有零点. (3)如果f(x)在区间(a,b)内存在零点,则f(a)·f(b)的符号是“不确定”的,受函数性质与图象的影响.如果f(x)具有单调性,那么f(a)·f(b)“一定”小于0. 题点二　函数零点所在区间的判定 [例1]　(多选)函数f(x)=2x2-4ln x-3,则 (　　) A.f(x)在内有零点 B.f(x)在内有零点 C.f(x)在内有零点 D.f(x)在(e,e2)内有零点 解析:作出函数y=2x2-3和y=4ln x的图象,如图所示,由图象可知,f(x)最多有两个零点,因为f=+4-3>0,f()=2e-2-3>0,f(1)=2-3<0,f(e)=2e2-4-3>0,f(e2)=2e4-8-3>0,所以ff(1)<0,f(1)f()<0,由函数零点存在定理可知f(x)在内有零点,在(1,)内有零点. √ √ 思维建模 确定函数零点所在区间的常用方法 利用函数 零点存在定理 首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)<0,若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点 数形结合法 通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 即时训练 1.已知函数f(x)=x+2x的零点在区间(n,n+1)内,n∈Z,则n的值为 (　 ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 解析:因为函数f(x)=x+2x定义域为R,且f(x)在R上单调递增,f(0)=1>0, f(-1)=-1+=-<0,即f(0)·f(-1)<0,由函数零点存在定理可得,f(x)的零点所在区间为(-1,0),所以n=-1. √ 2.函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的区间是(　　) A.(0,1) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2) 解析:易知函数f(x)=ln(x+1)-的定义域为(-1,0)∪(0,+∞),且函数在(0,+∞)上是连续不断的.因为f(1)=ln(1+1)-=ln 2-2<0,f(2)=ln(2+1)-1= ln 3-1>0,由函数零点存在定理,可知f(x)在区间(1,2)上有零点,又f(x)= ln(x+1)-在区间(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上只有一个零点.故选D. √ 题点三　函数零点个数的判定 [例2] (1)函数f(x)=2x|log2x|-1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 √ 解析:令f(x)=0,得|log2x|=,在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=|log2x|与y=的图象如图所示, 由图可知,函数y=|log2x|与y=的图象有2个交点,即函数f(x)有2个零点,故选C. (2)(2024·湛江二模)已知函数f(x)=|2x-1|-a,g(x)=x2-4|x|+2-a,则 (　　) A.当g(x)有2个零点时,f(x)只有1个零点 B.当g(x)有3个零点时,f(x)有2个零点 C.当f(x)有2个零点时,g(x)有2个零点 D.当f(x)有2个零点时,g(x)有4个零点 解析:作出y=|2x-1|,y=x2-4|x|+2的大致图象,如图所示.两个函数的零点个数转化为图象与y=a的图象公共点的个数. 由图可知,当g(x)有2个零点时,f(x)无零点或只有1个零点;当g(x)有3个零点时, f(x)只有1个零点;当f(x)有2个零点时,g(x)有4个零点. √ 思维建模 函数零点个数的判定方法 直接求零点 令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点 利用函数 零点存在定理 利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点 图象法 画两个函数的图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点 即时训练 3.已知函数f(x)=则当k>0时,函数y=f(x)的零点个数为(　　) A.8　　　　　B.6　　　　　C.4　　　　　D.2 解析:当x>0时,由f(x)=0,可得ln x=0,解得x=1,符合题意;当x≤0时,由于k>0,由f(x)=0,可得kx+1=0,解得x=-<0,符合题意.因此,函数y=f(x)的零点个数为2. √ 4.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x, 则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数为 (　　) A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.4 √ 解析:由题意知,f(x)是周期为2的 偶函数.在同一平面直角坐标系内, 分别作出函数y=f(x)及y=log3|x|的图象, 如图所示,观察图象可知它们有4个交点,即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点,故选D. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 03 (标★题目难度稍大，可据自身学情选做) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 一、单选题 1.下列函数图象与x轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是(　　) 解析:由题意知,利用二分法求函数的零点时,该函数的零点必须是变号零点,所以根据这个条件可知,不宜用二分法求函数零点的是B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 2.函数y=4x-2x+1的零点为 (　　) A.x=1 B.2 C.1 D.x=2 解析:令4x-2x+1=0,整理得2x(2x-2)=0,解得x=1,所以函数y=4x-2x+1的零点为1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 3.函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是(　　) A. B.(1,2) C.(2,3) D.(3,5) 解析:易知f(x)在(0,+∞)上单调递增.又f(2)=ln 2->ln -=>0, f(1)=ln 1-=-1<0,故函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是(1,2). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 4.已知实数a<b<c,则方程(x-a)(x-b)+(x-b)·(x-c)+(x-c)(x-a)=0的两个实根分别属于区间 (　　) A.(-∞,a)和(a,b) B.(b,c)和(c,+∞) C.(a,b)和(b,c) D.(-∞,a)和(c,+∞) 解析:设f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a),由a<b<c,则f(a)=(a-b) (a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函数零点存在定理,知f(x)的零点分别位于区间(a,b)和(b,c),故方程(x-a) ·(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) =0的两个实根分别属于区间(a,b)和(b,c). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 5.已知函数f(x)=则方程f(x)-2|x|=0的解的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:由f(x)-2|x|=0可得f(x)=2|x|,则方程f(x)-2|x|=0的解的个数等于函数y=2|x|与函数y=f(x)的图象交点的个数,作出函数y=2|x|与函数y=f(x)的图象如图所示,由图可知,函数y=2|x|与函数y=f(x)的图象有且只有一个交点,即方程f(x)-2|x|=0的解的个数为1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 6.已知x0是函数f(x)=-x+4的一个零点,若x1∈(2,x0),x2∈(x0,+∞),则(　　) A.x0∈(2,4) 　 B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)<0,f(x2)<0 　 D.f(x1)>0,f(x2)>0 解析:因为函数y=在区间(2,+∞)上单调递减,函数y=-x+4在区间(2,+∞) 上单调递减,所以函数f(x)=-x+4在区间(2,+∞)上单调递减.又f(2)>0,f(3)>0, f(4)>0,f(5)<0,所以x0∈(4,5),因为f(x0)=0,x1∈(2,x0),x2∈(x0,+∞),所以由单调性知f(x1)>0,f(x2)<0,即f(x1)>f(x2). √ 习得方略:若f(x)在(a,b)内单调递减,x0是f(x)的零点且x0∈(a,b),则当x∈(a,x0)时, f(x)>0,当x∈(x0,b)时,f(x)<0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 7.函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点-1,1,x0,若c∈(2,3),则零点x0所在区间为 (　　) A.(2,3) B.(3,4) C.(4,5) D.(5,6) 快审准解:首先可得a+c=0,b=-1,从而得到f(x)=x3-cx2-x+c,再由函数零点存在定理判断即可. 解析:依题意可得则所以f(x)= x3-cx2-x+c,显然f(x)为连续函数,又c∈(2,3),所以f(2)=6-3c<0,f(3)=24-8c>0, f(4)=60-15c>0,f(5)=120-24c>0,f(6)=210-35c>0,根据函数零点存在定理可知f(x)的第三个零点x0∈(2,3). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 8.已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=2sin x+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为 (　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 解析:由h(x)=2sin x+x=0得x=0,∴c=0,由f(x)=0得2x=-x,由g(x)=0得log2x=-x.如图,在同一平面直角坐标系中画出y=2x,y=log2x, y=-x的图象,由图象知a<0,b>0,∴a<c<b. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 习得方略:与函数零点有关的函数值比较大小,可以通过函数性质结合函数零点存在定理确定,也可考虑在同一平面直角坐标系中画出图象,根据交点及图象位置关系确定. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 9.(2025·四川江油中学段考)函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1),且当x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2.已知函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6,6]内的零点个数为(　　) A.14 B.13 C.12 D.11 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 解析:易知函数y=f(x)的定义域为R,因为f(x+1)=f(x-1),所以f(x)是周期为2的周期函数.易知当x∈(-∞,0)时,g(x)单调递增,且0<g(x)<1;当x∈(0,1]时,g(x)单调递减,且g(x)≥0;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增,且g(x)≥0.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x),y=g(x)的大致图象,如图所示. 要求函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6,6]内的零点个数,也就是求函数f(x),g(x)的图象在区间[-6,6]内的交点个数,因此,准确作出两个函数的图象是求解本题的关键.准确作图的准备工作:研究函数图象的走势(通过判断单调性、周期性等),确定函数图象所过的关键点(观察函数解析式确定)等 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 由h(x)=0得f(x)=g(x),即函数h(x)在[-6,6]内的零点个数就是函数y=f(x),y=g(x)的图象在[-6,6]内的交点个数.观察图象知,函数y=f(x),y=g(x)的图象在[-6,6]内有12个交点,所以函数h(x)在[-6,6]内有12个零点.故选C. 函数g(x)是分段函数,作图时一定要注意分界点处图象是实心点还是空心点,这个一旦出错,会影响最终的答案 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 二、多选题 10.某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示: f(2)≈-1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈-0.084 f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066 则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度为0.1)可取为 (　　) A.2.62 B.2.56 C.2.531 D.2.75 快审准解:利用函数的性质及函数零点存在定理,结合精确度的理解就可以确定答案. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 解析:因为函数f(x)=ln x+2x-6在其定义域内单调递增,结合题表中数据可知方程ln x+2x-6=0的近似解所在区间可以是(2,3),(2.5,3), (2.5,2.75),(2.5,2.625),(2.5,2.562 5),根据区间的长度计算分别为1,0.5,0.25,0.125,0.062 5,根据精确度为0.1,可知方程ln x+2x-6=0 的近似解在区间(2.5,2.562 5)上,根据精确度为0.1的要求,可在区间(2.5,2.562 5)上任选一个值作为该方程的近似解,故选BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 11.已知a是函数f(x)=ex+2x-3的零点,则下列各数为正数的是 (　　) A.ea-1 B.a2-a C.ln a D.a2-a3 解析:易得f(x)=ex+2x-3是R上的增函数,因为f(0)=-2<0,f(1)=e-1>0,所以a∈(0,1),则ea-1>0,a2-a=a(a-1)<0,ln a<0,a2-a3=a2(1-a)>0,故选AD. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 12.下列函数在区间(-1,3)内存在唯一零点的是 (　　) A.f(x)=x2-2x-8 B.f(x)=(x+1-2 C.f(x)=-1 D.f(x)=1-ln(x+2) 解析:∵x2-2x-8=0的解为x1=-2,x2=4,∴f(x)在区间(-1,3)内没有零点,故A错误;∵f(x)=(x+1-2在[-1,+∞)上为增函数,且f(-1)=-2<0,f(3)=8-2= 6>0,即f(-1)f(3)<0,∴f(x)在区间(-1,3)内存在唯一零点,故B正确;∵f(x)= 2x-1-1在R上为增函数,且f(-1)=-<0,f(3)=3>0,即f(-1)f(3)<0,∴f(x)在区间(-1,3)内存在唯一零点,故C正确;∵f(x)=1-ln(x+2)在(-2,+∞)上为减函数,且f(-1)=1>0,f(3)=1-ln 5<0,即f(-1)f(3)<0,∴f(x)在区间(-1,3)内存在唯一零点,故D正确. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 三、填空题 13.函数f(x)=的零点是　　　　. 解析:由已知可得,当x≥0时,f(x)≥3;当x<0时,由f(x)=x+7=0,得x=-7,故f(x)的零点是-7. -7 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 14.定义开区间(a,b)的长度为b-a.经过估算,函数f(x)=-的 零点属于开区间　　　　 . 解析:因为y=,y=-都是减函数,所以f(x)=-是减函数. 又f(1)=-1=-<0,f=-<0,f=->0,即f·f<0,所以函数f(x)在上有零点,且-=. （答案不唯一） 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 15.(2024·金华二模)函数f(x)=至多有　　　个零点. 解析:当x>a时,令x2-a=0,解得x=±,但x>a,所以只有x=可能是零点,且a>0,>a.当x≤a时,令x-2a=0,解得x=2a,又x≤a,所以只有2a≤a,即a≤0时,x=2a可能是零点.综上,当a>0时,至多1个零点; 当a≤0时,至多1个零点.即函数f(x)=至多1个零点. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 16.(2024·西宁二模)记τ(x)是不小于x的最小整数,例如τ(1.2)=2,τ(2)=2, τ(-1.3)=-1,则函数f(x)=τ(x)-x-2-x+的零点个数为　　　　. 3 解析:令f(x)=0,则τ(x)-x=2-x-,令g(x)=τ(x)-x, h(x)=2-x-,则g(x)与h(x)的交点个数即为f(x)的零点个数.当-1<x≤0时,g(x)=0-x=-x∈[0,1),又g(x+1)=τ(x+1)-(x+1)=τ(x)-x=g(x),所以g(x)是周期为1的周期函数.又h(x)在R上单调递减,且h(-1)>1,h(0)=,h(3)=0,所以可作出y=g(x)与y=h(x)的图象如图所示, 所以y=g(x)与y=h(x)有3个交点,故f(x)的零点个数为3. $$