第1章 第四节 基本不等式（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第四节 基本不等式 　 1.掌握基本不等式≤(a>0,b>0),了解基本不等式的推导过程. 2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 第1课时　基本不等式的简单应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.基本不等式:≤ (1)基本不等式成立的条件:　　　　　.  (2)等号成立的条件:当且仅当　　　时,等号成立.  2.三个重要的不等式 (1)a2+b2≥　　　(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.  (2)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (3)若a>0,b>0,则≤≤ ≤ ,当且仅当a=b时,等号成立. 3.算术平均数与几何平均数 设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为　　　,几何平均数为　　　.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.  4.利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当　　　时,x+y有最小值　　　.(简记:积定和最小)  (2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当　　　时,xy有最大值　　　.(简记:和定积最大)  典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)不等式ab≤与≥ 成立的条件是相同的. (　　) (2)函数y=x+的最小值是2. (　　) (3)函数y=sin x+,x∈的最小值是4. (　　) (4)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件. (　　) 2.(人A必修①P48T1(1)改编)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取得最小值,则a等于 (　　) A.1+ B.1+ C.3 D.4 3.(苏教必修①P61T1)若m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是 (　　) A.4 B.4 C.9 D.18 4.(人A必修①P48T1(2)改编)函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是　　　　.  方法一　直接法求最值 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　 (1)已知a>0,b>0,则++2的最小值是 (　　) A.2 B.2 C.4 D.5 (2)已知x,y为正实数,且满足4x+3y=12,则xy的最大值为　　　　.  |思维建模|　 利用基本不等式求最值的策略 (1)求“和”式的最小值时,一般运用变形a+b≥2,这时必须确保“积”是定值;求“积”式的最大值时,一般运用变形ab≤,这时必须确保“和”是定值(a>0,b>0). (2)注意检验等号成立的条件是否满足. [即时训练] 1.若正数a,b满足ab=2,则(a+1)(b+2)的最小值为 (　　) A.2 B.4 C.8 D.16 2.已知a,b∈R,且2a-b-2=0,则9a+的最小值为 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 方法二　配凑法求最值 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2] (1)若x<,则f(x)=3x+1+有 (　　) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-3 (2)已知0<x<,则x的最大值为　　　　.  |思维建模|　配凑法的运用技巧 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项、配系数、凑常数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式,如凑成x+(a>0)、+的形式等,然后利用基本不等式求解最值.拆项、添项时应注意检验利用基本不等式的条件. [即时训练] 3.已知实数x>1,则函数y=2x+的最小值为 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 4.(2025·重庆部分学校联考)已知a>b>0,则a++的最小值为 (　　) A.2 B. C.3 D.3 方法三　常数代换法求最值 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　(2025·扬州模拟)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则的最小值为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.4 B.4 C.6 D.2+3 |习得方略| 　　常数代换法,主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求+的最值”的问题,先将+转化为·,再用基本不等式求最值. |思维建模| 常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值. (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式. (4)利用基本不等式求解最值. [即时训练] 5.(2025·安庆模拟)已知m,n∈(0,+∞),+n=4,则m+的最小值为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 6.已知正实数x,y满足+=1,则4xy-3x-6y的最小值为 (　　) A.2 B.4 C.8 D.12 方法四　构造不等式法求最值 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例4] (1)(人A必修①P58T5改编)若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab的最小值为 (　　) A.9 B.6 C.3 D.12 (2)若本例(1)条件不变,则a+b的最小值为　　　　.  |思维建模|　 构建目标式的不等式求最值,在既含有和式又含有积式的等式中,对和式或积式利用基本不等式,构造目标式的不等式求解. [即时训练] 7.若正数x,y满足x+y-2xy=0,则x+y的最小值为 (　　) A.4 B.1 C.5 D.2 拓展与建模:基本不等式的推广 (1)三元基本不等式 a3+b3+c3≥3abc (a,b,c均为正实数)⇒ 当且仅当a=b=c时等号成立. (2)推广到n元基本不等式为≥(a1,a2,…,an均为正实数), 当且仅当a1=a2=…=an时等号成立. (3)利用三元基本不等式求最值需满足的条件和方法与基本不等式求最值完全一致. [针对训练] 1.若x>0,则4x+的最小值是 (　　) A.9 B.3 C.13 D.不存在 2.若a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,则(1-a)·(1-b)(1-c)的最大值为 (　　) A. B. C. D. 　课下作业:请完成“课时跟踪检测(四)” 第2课时　基本不等式的综合应用 题点一　利用基本不等式求参数值或范围 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　若存在m∈,使不等式+≤k成立,则k的最小值是 (　　) A.8 B.10 C.16 D.24 |思维建模| 含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或取值范围. (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时,往往将已知不等式看作关于参数的不等式,体现了主元与次元的转化. [即时训练] 1.对任意的x∈(-∞,0),x2-mx+1>0恒成立,则m的取值范围为 (　　) A.{m|-2<m<2} B.{m|m>2} C.{m|m>-2} D.{m|m≤-2} 2.已知x>1时,不等式2x+m+>0恒成立,则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞,-8) B.(-8,+∞) C.(-∞,-6) D.(-6,+∞) 题点二　基本不等式与其他知识相结合 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　已知函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,若点P在直线mx+ny+1=0上,其中m>0,n>0,则+的最小值为 (　　) A.4 B.9 C.3+2 D.8 |思维建模| 　　当基本不等式与其他知识相结合时,往往是提供一个应用基本不等式的条件,然后利用常数代换法求最值.解题时注意基本不等式成立的条件. [即时训练] 3.(2025·赣州模拟)已知平面向量a=(2λ2+1,λ),b=(μ,1),其中λ>0,若a∥b,则实数μ的取值范围是 (　　) A.[2,+∞) B.[2,+∞) C.[,+∞) D.[1,+∞) 4.已知圆C:x2+y2-4x-6y+4=0关于直线l:ax+by-1=0对称,则+的最小值是 (　　) A.2 B.3 C.6 D.4 题点三　基本不等式的实际应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示,要求每个矩形用地的面积为36 m2且需用篱笆围住,菜园间留有一个十字形过道,纵向部分路宽为1 m,横向部分路宽为2 m. (1)当矩形用地的长和宽分别为多少时,所用篱笆最短?此时该菜园的总面积为多少? (2)为节省土地,使菜园的总面积最小,此时矩形用地的长和宽分别为多少? 快审准解:(1)设矩形用地平行于横向过道的一边长度为x m,用x表示出篱笆长度后结合基本不等式求解即可; (2)用x表示出菜园的总面积后结合基本不等式求解即可. |思维建模|　 基本不等式实际应用问题的解题技巧 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值. (2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围. (3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,则可利用函数的单调性求解. [即时训练] 5.在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位:平方米)的计算公式是W=(长+4)×(宽+4),在不测量长和宽的情况下,若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米,每平方米收费1元,则平整完这块场地所需的最少费用是 (　　) A.10 000元 B.10 480元 C.10 816元 D.10 818元 6.李明自主创业,经营一家网店,每售出一件A商品获利8元.现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销,假设售出A商品的件数m(单位:万件)与广告费用x(单位:万元)符合函数模型m=3-.若要使这次促销活动获利最多,则应投入广告费用　　　万元,获得总利润为　　　万元.  　课下作业:请完成“课时跟踪检测(五)” 学科网（北京）股份有限公司 $$