第1章 第三节 不等式及其性质（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第三节 不等式及其性质 　　 1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据,会比较两个数的大小. 2.理解不等式的概念与性质,并掌握不等式性质的简单应用. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a>b a-b>0 >1(a,b>0)或<1(a,b<0) a=b a-b=0 =1(b≠0) a<b a-b<0 <1(a,b>0)或>1(a,b<0) 2.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔　　　;a<b⇔　　　  可逆 传递性 a>b,b>c⇒　　　;  a<b,b<c⇒　 　　  同向 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 可乘性 a>b,c>0⇒　　　　;  a>b,c<0⇒　　 　　  c的 符号 同向 可加性 a>b,c>d⇒　　　　  同向 同向同正 可乘性 a>b>0,c>d>0⇒　　　  同向, 同正 可乘方性 a>b>0,n∈N*⇒an>bn 同正 可开方性 a>b>0,n∈N,n≥2⇒> 同正 解题结论拓展 1.倒数性质 (1)a>b,ab>0⇒<; (2)a<0<b⇒<; (3)a>b>0,0<c<d⇒>; (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2.分数性质 若a>b>0,m>0,则 (1)<;>(b-m>0); (2)>;<(b-m>0). 典题细发掘 1.(人B必修①P66“尝试与发现”改编)已知a=+,b=2+2,则a,b的大小关系是 (　　) A.a>b B.a=b C.a<b D.无法确定 2.(苏教必修①P76T8改编)已知a-1>0,则下列结论正确的是 (　　) A.-1<-a<a<1 B.-a<-1<1<a C.-a<-1<a<1 D.-1<-a<1<a 3.(人A必修①P43T8改编)[多选]下列命题为真命题的是 (　　) A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b>0,则a2>b2 C.若a<b<0,则a2<ab<b2 D.若a<b<0,则> 4.(人A必修①P43T5改编)已知2<a<3,-2<b<-1,则a+2b的取值范围为 (　　) A.(-2,1) B.(0,2) C.(-4,-2) D.(0,1) 题点一　比较数(式)的大小 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　 (1)若a<0,b<0,则p=+与q=a+b的大小关系为 (　　) A.p<q B.p≤q C.p>q D.p≥q (2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为　　　　　　　　(用“<”连接).  |思维建模| (1)作差法的步骤和关注点 ①步骤:作差并变形⇒判断差与0的大小⇒得结论. ②关注点:利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形. (2)作商法的步骤和关注点 ①步骤:作商并变形⇒判断商与1的大小⇒得结论. ②关注点:作商时各式的符号应相同,如果a,b均小于0,所得结果与“原理”中的结论相反.变形方法有分母(或分子)有理化,指、对数恒等变形等. [即时训练] 1.若m=x2-1,n=2(x+1)2-4(x+1)+1,则m与n的大小关系是 (　　) A.m<n B.m>n C.m≥n D.m≤n 2.若P=a2+a+1,Q=(a∈R),则P,Q的大小关系为　　　　.  拓展与建模:糖水不等式 (1)教材母题:(人A必修①P43T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立. 本题得到的不等式称为糖水不等式: ①设a>b>0,m>0,则有<. ②糖水不等式的倒数形式:设a>b>0,m>0,则有>. (2)对数型糖水不等式 ①设n∈N*,且n>1,则有logn+1n<logn+2(n+1). ②设a>b>1,m>0,则有logab<loga+m(b+m). ③上式的倒数形式:设a>b>1,m>0,则有logba>logb+m(a+m). [示例]　比较大小:log74　　　　log96.  解题观摩: 法一　log74-log96=(log74-1)-(log96-1)=log7-log9<log9-log9<0. 法二:普通型糖水不等式 log74=<=<=log96. 法三:对数型糖水不等式 由对数型糖水不等式直接可得log74<log96. 题点二　不等式的基本性质 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　(多选)已知c<0<b<a,则 (　　) A.ac+b<bc+a B.b3+c3<a3 C.< D.> |思维建模|　 判断命题真假的2种方法 (1)直接法:直接利用不等式的性质逐个验证.利用不等式的性质判断不等式是否成立时,要特别注意前提条件. (2)特殊值法:注意取值要遵循三个原则:①满足题设条件;②取值要简单,便于验证计算;③所取的值要有代表性. [即时训练] 3.[多选]下列不等式中,结论正确的是 (　　) A.若a>b,>,则ab<0 B.若<<0,则a<b C.若a>b,a2>b2,则a>b>0 D.若a>b>0,c>0,则a-c>b-c 题点三　利用不等式的性质求范围 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　(人A必修①P43T5改编)已知0<x<5,-1<y<1,则x-2y的取值范围是 (　　) A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,7) D.(-2,7) [变式拓展]　将本例条件改为“-1≤x+y≤2,-2≤x-y≤1”,求x-2y的取值范围. |思维建模| 利用不等式的性质求代数式取值范围的注意点 (1)同向不等式具有可加性与正值可乘性,但是不能相减或相除.应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围,注意变形的等价性. (2)多次运用不等式的性质有可能扩大变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求解. [即时训练] 4.已知a-b∈[5,27],a+b∈[6,30],则7a-5b的取值范围是 (　　) A.[-24,192] B.[-24,252] C.[36,252] D.[36,192] 5.已知0<β<α<,则α-β的取值范围是　　　　.  　课下作业:请完成“课时跟踪检测(三)” 学科网（北京）股份有限公司 $$