第1章 第六节 一元二次不等式恒成立问题（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第六节　一元二次不等式恒成立问题 题点一　在实数集R上的恒成立问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　若不等式kx2+(k-6)x+2>0的解为全体实数,则实数k的取值范围是 (　　) A.[2,18] B.(-18,-2) C.(2,18) D.(0,2) |思维建模| 　　不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象来决定. (1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或 [即时训练] 1.已知函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围为 (　　) A.(0,1] B.[0,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 题点二　在给定区间上的恒成立问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围. 方法引入:解决此题可从两方面入手,一是函数法,对m>0,m<0分别讨论,从而确定g(x)在[1,3]上的单调性,求出最大值;二是分离参数,再求出对应函数在[1,3]上的最小值. |思维建模|　 在给定区间上恒成立问题的求解策略 策略一:若f(x)>0在给定区间上恒成立,可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围. 策略二:转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a. [即时训练] 2.已知函数f(x)=ax2-2x+a,对x∈都有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围是 (　　) A.[1,+∞) B. C. D. 3.已知函数f(x)=x2-x+1. (1)若f(x)≥0在R上恒成立,求实数a的取值范围; (2)若∃x∈[1,2],f(x)≥2成立,求实数a的取值范围. |习得方略|　 解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数的最值,即a>f(x)能成立⇒a>f(x)min;a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max. 题点三　变换主元解决恒成立问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　已知a∈[-1,1]时,不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为 (　　) A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3) |思维建模|　 给定参数范围的恒成立问题,常采用变更主元的方法,即交换主元与参数的位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解.常见的是转化为一次函数f(x)=ax+b(a≠0)在[m,n]上恒成立问题,若f(x)>0恒成立⇔即直线上两点的函数值均大于零,则由直线的特点可知,两点之间的所有点的函数值均大于零.同理,若f(x)<0恒成立⇔ [即时训练] 4.若命题“∃-1≤a≤3,ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则实数x的取值范围为 (　　) A.{x|-1≤x≤4} B. C. D. 　课下作业:请完成“课时跟踪检测(七)” 学科网（北京）股份有限公司 $$