第1章 第二节 常用逻辑用语（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第二节 常用逻辑用语 　　 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义,能正确从集合角度理解充分条件与必要条件的判断方法. 2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系、数学定义与充要条件的关系. 3.理解全称量词命题与存在量词命题的意义,能正确地对两种命题进行否定. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果　　　,则p是q的充分条件;  (2)如果　　　,则p是q的必要条件;  (3)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作　　　　　,则p是q的充要条件.  2.充分、必要条件与对应集合间的关系 设A={x|p(x)},B={x|q(x)}, (1)若A⊆B,则p是q的　　　　条件,q是p的　　　　条件.  (2)若AB,则p是q的　　　　　　条件,q是p的　　　　　　条件.  (3)若A=B,则p是q的　　　　　.  3.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有的、一切、任意一个、每一个、任给等 　　  存在量词 存在一个、至少有一个、有些、对某些等 　　  4.全称(存在)量词命题及含一个量词的命题的否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x,p(x)成立 存在M中的元素x,p(x)成立 简记 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 否定 ∃x∈M,¬p(x) ∀x∈M, ¬p(x) 5.常见词语的否定词语 原词 等于 (=) 大于 (>) 小于 (<) 是 都是 至多 有一个 至多 有n个 至少 有一个 否定 不等 于 (≠) 不大 于 (≤) 不小 于 (≥) 不是 不 都是 至少有 两个 至少有 (n+1)个 一个也 没有 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)当p是q的充分条件时,q是p的必要条件. (　　) (2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题. (　　) (3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件. (　　) (4)命题“∃x∈R,sin2+cos2=”是真命题. (　　) 2.(人A必修①P22T2改编)命题“三角形是等腰三角形”是命题“三角形是等边三角形”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(人A必修①P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是　　　　　　　　　　　　.  4.(人B必修①P38T5改编)已知A=(-∞,a],B=(-∞,3),且x∈A是x∈B的充分不必要条件,则a的取值范围为　　　　.  题点一　充分、必要条件的判断 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1] (1)(2024·天津高考)设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知向量a=(m-2,m+1),b=(3,m-7),则“m=1”是“a∥b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 |思维建模| 1.充分、必要条件的判断方法 (1)定义法:直接判断“若p,则q”与“若q,则p”的真假,例如p⇒q为真,则p是q的充分条件; (2)集合法:若A⊆B,则A是B的充分条件,B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件;若A、B没有任何包含关系,则A是B的既不充分也不必要条件. 2.判断充要条件需注意3点 (1)要分清条件与结论分别是什么; (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断; (3)直接判断比较困难时,可举反例进行判断. [即时训练] 1.(2024·梅州二模)常言道:“不经历风雨,怎么见彩虹”.就此话而言,“经历风雨”是“见彩虹”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.“|x-3|≠1”是“x≠2”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题点二　充分、必要条件的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　已知集合P={x|-1≤x≤5},S={x|2-m≤x≤3+2m},是否存在实数m,使得“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件? [变式拓展]　本例条件不变,是否存在实数m,使得“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件? |易错提醒| 　　解决充分、必要条件求参数时,易混淆A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/ A),与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/ B). |思维建模| 由充分、必要条件求参数范围的策略 (1)巧用转化求参数:把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系,然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解,注意条件的等价变形. (2)端点值慎取舍:在求参数范围时,要注意区间端点值的检验,从而确定取舍. [即时训练] 3.若集合A={x|x>2},B={x|bx>1},其中b为实数. (1)若A是B的充要条件,则b=　　　　;  (2)若A是B的充分不必要条件,则b的取值范围是　　　　.  题点三　全称量词与存在量词 　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 考法(一)　含量词命题的否定 [例3]　(2024·青岛三模)已知命题p:∀x∈,sin x<x,则¬p为 (　　) A.∃x∉,sin x>x B.∃x∈,sin x>x C.∃x∉,sin x≥x D.∃x∈,sin x≥x |思维建模|　 含量词命题否定的步骤 (1)改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写. (2)否定结论:对原命题的结论进行否定. 考法(二)　含量词命题的真假判断 [例4]　(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x,则 (　　) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D. ¬p和¬q都是真命题 |思维建模|　 判断含量词命题真假的方法 (1)要判断全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立; (2)要判断存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只要在限定集合内找到一个x,使p(x)成立即可; (3)命题p和¬p的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难时,可判断此命题否定的真假. 考法(三)　由含量词命题的真假求参数 [例5]　若命题“∀x<2,2x<a”为真命题,则实数a的取值范围为 (　　) A.(-∞,4] B.(-∞,4) C.[4,+∞) D.(4,+∞) |思维建模|　 由含量词命题的真假求参数的思路 与全称(存在)量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题.解决此类问题时,一般先利用等价转化思想将条件合理转化,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围. [即时训练] 4.(2025·梅州一模)命题“∃x∈(0,+∞),ln x=x-1”的否定是 (　　) A.∃x∈(0,+∞),ln x≠x-1 B.∃x∉(0,+∞),ln x=x-1 C.∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1 D.∀x∉(0,+∞),ln x=x-1 5.下列命题为真命题的是 (　　) A.任意两个等腰三角形都相似 B.所有的梯形都是等腰梯形 C.∀x∈R,x+|x|≥0 D.∃x∈R,x2-x+1=0 6.若命题“∃x∈R,x2+x-a=0”为假命题,则实数a的取值范围为　　　　.  　课下作业:请完成“课时跟踪检测(二)” 学科网（北京）股份有限公司 $$