第4章 第五节 三角函数的图象与性质（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第五节　三角函数的图象与性质 　　 1.能画出三角函数(正弦、余弦、正切)的图象.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值. 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上、正切函数在上的性质. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.用“五点法”作图的原理 (1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是(0,0),　　　　,　　　　,,　　　　.  (2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是　　　　,,　　　　,,(2π,1).  2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 　　  　　  　　　　　 　  值域 [-1,1] [-1,1] R 奇偶 性 　　　  　　　  　　　  单 调 性 在　　　　　　　　　上单调递增,在　　　　　　　　　　　上单调递减  在　　　　　　　　上单调递增,在　　　　　　　　上单调递减  在每个　　　　　　　　　　　　　　　　上都单调递增  周 期 性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期是　  周期是2kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期是　　  周期是kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期是　　  对 称 性 对称轴是　　　　　　　　　,对称中心是　　　　　　　　　  对称轴是　　　　　　　,  对称中心是　　　　　  对称中心是 　　　　  典题细发掘 1.(苏教必修①P204T2改编)函数y=tan 2x的定义域是 (　　) A. B. C. D. 2.(苏教必修①P224T7)下列各组函数中,在区间上都单调递增的函数为 (　　) A.y=sin x,y=cos x B.y=sin x,y=tan x C.y=cos x,y=tan x D.y=-sin x,y=-cos x 3.(人A必修①P199例1改编)函数y=1+cos x(x∈[0,2π])的简图是 (　　) 4.(人A必修①P214T10改编)函数y=cos,x∈的值域是　　　　.  第1课时　三角函数的定义域、值域及单调性 题点一　三角函数的定义域 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　函数f(x)=的定义域为 (　　) A.(k∈Z) B.∪(k∈Z) C.(k∈Z) D.∪(k∈Z) |思维建模| 求三角函数的定义域,实际上是构造简单的三角不等式(组),有时候还需要借助三角函数图象求解. [即时训练] 1.函数y=lg(sin x)+的定义域为　　　　　　　　　　　.  2.函数y=的定义域为　　　　　　　　　 　　　　　.  题点二　三角函数的值域 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2] (1)(人A必修①P227例9改编)函数f(x)=3sin在区间上的值域为 (　　) A. B. C. D. (2)已知x∈(0,π),则f(x)=cos 2x+2sin x的值域为 (　　) A. B. C. D.(-3,2] |思维建模|　 求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型 (1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,可先化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值); (2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数,再求值域(最值); (3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数,再求值域(最值). [即时训练] 3.若本例(1)变为函数f(x)=3sin的定义域是[0,m],值域为,则m的最大值是 (　　) A. B. C. D. 4.若x是三角形的最小内角,则函数y=sin x+cos x+sin xcos x的值域是 (　　) A.[-1,+∞) B.[-1,] C.(0,] D. 题点三　三角函数的单调性及其应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考法(一)　求三角函数的单调区间 [例3] (1)函数y=|tan x|在上的单调递减区间为　　　　　　.  (2)函数y=sin的单调递减区间为　　　　　　　　 　.  |思维建模| 求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的技巧 (1)数形结合:结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间; (2)整体代换:确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间,采用“换元法”整体代换:将ωx+φ看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asin z的单调区间从而求出函数的单调区间.若ω<0,则可利用诱导公式将x的系数转化为正数,需将最终结果写成区间形式. 考法(二)　已知三角函数的单调性求参数 [例4]　若f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,则ω的取值范围是　　　　.  |思维建模|　 由单调性求参数范围的方法 (1)反子集法:由所给区间求出整体角的范围,由该范围是相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解. (2)周期性法:由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解. (3)子集法:求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求区间的子集,列不等式(组)求解. [即时训练] 5.下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间上单调递减的是 (　　) A.y=|cos x| B.y=tan x C.y=cos D.y=|sin x| 6.(2024·唐山二模)若函数f(x)=sin(2x-φ)在上单调递增,则φ的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 　课下作业:请完成“课时跟踪检测(三十)” 第2课时　三角函数的周期性、奇偶性及对称性 题点一　三角函数的周期性 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1] (1)已知函数f(x)=sin+cos ωx(ω>0),f(x1)=0,f(x2)=,且|x1-x2|的最小值为π,则ω的值为 (　　) A. B. C.1 D.2 (2)函数f(x)=sin 2x+|sin 2x|的最小正周期为　　　　.  |思维建模|　 1.三角函数最小正周期的求解方法 (1)定义法. (2)公式法:函数y=Asin(ωx+φ)(y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=. (3)图象法:求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象,通过观察图象得出周期. 2.有关周期的2个结论 (1)函数y=|Asin(ωx+φ)|,y=|Acos(ωx+φ)|,y=|Atan(ωx+φ)|的最小正周期均为T=. (2)函数y=|Asin(ωx+φ)+b|(b≠0),y=|Acos(ωx+φ)+b|(b≠0)的最小正周期均为T=. [即时训练] 1.下列函数中,以2π为周期的函数是 (　　) A.y=tan B.y=sin C.y=|sin x| D.y=sin|x| 2.若函数f(x)=tan(ω>0)的图象与直线y=a(a∈R)的相邻两交点间的距离为2π,则ω=　　　　.  题点二　三角函数的奇偶性与对称性 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2] (1)已知函数f(x)=cos,则 (　　) A.f(x)的图象关于点对称 B.f(x)的图象关于直线x=对称 C.f为偶函数 D.f(x)的最小正周期为2π (2)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f= (　　) A.- B.- C. D. [变式拓展]　若本例(2)的条件变为已知函数f(x)=sin(ωx+φ),f=-f,f=f,且f(x)在区间上具有单调性,则f的值为 (　　) A.- B. C. D.1 |思维建模| 1.判断三角函数奇偶性的方法 三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式. 2.三角函数对称性问题的2种求解方法 (1)定义法:正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线,对称中心是图象与x轴的交点,即函数值为0的点. (2)公式法:函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴为x=-+,对称中心为;函数y=Acos(ωx+φ)的对称轴为x=-,对称中心为;函数y=Atan(ωx+φ)的对称中心为.上述k∈Z. 3.(1)函数y=sin x与y=cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线. (2)①正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. ②正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期. [即时训练] 3.函数f(x)=(1+cos 2x)sin2x是 (　　) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且与点M相邻的f(x)的图象的一条对称轴为直线x=,则ω=　　　　,φ=　　　　.  题点三　三角函数性质的综合应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　(2024·新课标Ⅱ卷)[多选]对于函数f(x)=sin 2x和 g(x)=sin,下列说法正确的有 (　　) A.f(x)与g(x)有相同零点 B.f(x)与g(x)有相同最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 |思维建模|　 解决三角函数图象与性质综合问题的方法 先将y=f(x)化为y=asin x+bcos x的形式,然后用辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再借助y=Asin(ωx+φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题. [即时训练] 5.(2025·青岛阶段练习)[多选]已知函数f(x)=+,则 (　　) A.f(x)的定义域为(k∈Z) B.x=是y=f(x)图象的一条对称轴 C.f(x)在区间上单调递增 D.f(x)的最大值为 　课下作业:请完成“课时跟踪检测(三十一)” 学科网（北京）股份有限公司 $$