第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（教师用书）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 第一节　集　合 明确目标 1.了解集合的含义，了解空集与全集的含义，理解元素与集合的属于关系. 2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集. 3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求简单集合的并集、交集与补集. 4.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算. 教材再回首 1.集合的相关概念 (1)集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性. (2)元素与集合的两种关系:属于，记为∈；不属于，记为∉. (3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. (4)五个特定的集合: 集合 自然数集(非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N+ Z Q R 2.集合间的基本关系 项目 文字语言 符号语言 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B或B⊇A 真子集 集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A A⫋B或B⫌A 相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素 A⊆B且B⊆A⇔A=B 空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集 3.集合的基本运算 项目 文字语言 图形语言 符号表示 并 集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B={x|x∈A，或x∈B} 交 集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B={x|x∈A，且x∈B} 补 集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ∁UA={x|x∈U，且x∉A} 解题结论拓展 (1)子集的传递性:A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. (2)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. (3)等价关系:A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB. (4) 德·摩根定律：∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)集合{x∈N|x3=x}，用列举法表示为{-1，0，1}. (　　) (2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x，y)|y=x2+1}. (　　) (3)若1∈{x2，x}，则x=-1或x=1. (　　) (4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B). (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(苏教必修①P23T7)若M={-1，0，1，2，3，4，5，6，7}，N={x|x2-2x-3=0，x∈R}，则∁MN= (　　) A.{-1，3} B.{-1，0，1，2，3，4，5，6，7} C.{0，1，2，4，5，6，7} D.{1，2，3，4，5，6，7} 答案:C 3.(人A必修①P14T1改编)若集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}，则A∪B=　　　　.  解析:易知B={x|x≥3}，故A∪B={x|x≥2}. 答案:{x|x≥2} 4.(人A必修①P9T5改编)已知集合A={x|0<x<a}，B={x|1<x<2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是　　　　.  解析:由图可知a≥2. 答案:[2，+∞) 题点一　集合的含义与表示 [例1] (1)(2025·广州模拟)若m∈{1，3，4，m2}，则m可能取值的集合为 (　　) A.{0，1，4} B.{0，3，4} C.{-1，0，3，4} D.{0，1，3，4} 解析:选B　由{1，3，4，m2}，得m2≠1，则m≠1，由m∈{1，3，4，m2}，得m=3，此时m2=9，符合题意；或m=4，此时m2=16，符合题意；或m=m2，则m=0，此时m2=0，符合题意，所以m可能取值的集合为{0，3，4}. 易错提醒:对于含有字母的集合，在求出字母的值后，注意检验集合元素是否满足元素的互异性. (2)(2025·宝鸡一模)若集合A={x∈R|ax2-2x+1=0}中只有一个元素，则实数a= (　　) A.1 B.0 C.2 D.0或1 解析:选D　当a=0时，由ax2-2x+1=0可得x=，满足题意；当a≠0时，由ax2-2x+1=0只有一个根，得Δ=(-2)2-4a=0，解得a=1. 综上，实数a的取值为0或1. 易错提醒:本题易忽视a=0，而错选A.遇到含参数的方程务必要考虑参数为0的情况. |思维建模|　与集合中元素有关问题的求解策略 (1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合. (2)看这些元素满足什么限制条件. (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性. [即时训练] 1.(2024·乐山三模)已知集合A={-1，0，1}，B={1，2}，C={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则集合C的元素个数为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选C　由题意知，a∈{-1，0，1}，b∈{1，2}，当a∈{-1，0，1}，b=1时，a+b∈{0，1，2}；当a∈{-1，0，1}，b=2时，a+b∈{1，2，3}，所以C={0，1，2，3}，所以集合C中的元素个数为4. 2.(2024·济南二模)已知集合{x|(x-a2)(x-1)=0}的元素之和为1，则实数a所有取值的集合为 (　　) A.{0} B.{1} C.{-1，1} D.{0，-1，1} 解析:选D　因为集合{x|(x-a2)(x-1)=0}的元素之和为1，所以当一元二次方程(x-a2)(x-1)=0有两相等实根时，x=a2=1，即a=±1； 当方程有两不相等实根时，x=a2=0，即a=0. 综上，实数a所有取值的集合为{0，1，-1}. 题点二　集合间的基本关系 [例2] (1)设集合P={y|y=ex+1}，M={x|y=log2(x-2)}，则集合M与集合P的关系是 (　　) A.M=P B.P∈M C.M⊆P D.P⊆M 快审准解:求出集合P中函数的值域，集合M中函数的定义域，得到这两个集合，可判断集合间的关系. 解析:选C　因为函数y=ex+1的值域为(1，+∞)，函数y=log2(x-2)的定义域为(2，+∞)，即P=(1，+∞)，M=(2，+∞)，所以M⊆P. (2)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A⊆B，则a= (　　) A.2 B.1 C. D.-1 解析:选B　依题意有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不满足A⊆B；当2a-2=0时，解得a=1，此时A={0，-1}，B={-1，0，1}，满足A⊆B.所以a=1，故选B. |考|教|衔|接| [例2]第(2)题源自人教A版必修①P35T9:已知集合A={1，3，a2}，B={1，a+2}，是否存在实数a，使得A∪B=A?若存在，试求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 启示:高考题与教材题均考查由集合的关系求参数值.教材题虽然考查的是由集合运算求参数，但是需转化为集合的关系求解，从考查难度上来说高考题降低了难度.只要掌握教材题目，就能轻轻松松地解决高考题. |思维建模|　集合间基本关系的解题策略 (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系.如果集合中含有参数，那么需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分类讨论. (2)确定非空集合A的子集的个数，需要先确定集合A中元素的个数.不能忽略任何非空集合是它自身的子集. (3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系，常用数轴法、Venn图法求解. [即时训练] 3.(2024·汕头三模)已知集合A={x∈N|-2<x<3}，则集合A的所有非空真子集个数是 (　　) A.6 B.7 C.14 D.15 解析:选A　易知A={x∈N|-2<x<3}={0，1，2}. 法一:列举法　满足条件的集合有{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，共6个， 法二:公式法　集合A中有3个元素，则所有非空真子集的个数为23-2=6. 4.设a，b∈R，集合P={x|(x-1)2(x-a)=0}，Q={x|(x+1)(x-b)2=0}，若P=Q，则a-b= (　　) A.0 B.2 C.-2 D.1 解析:选C　由题意得P=Q=因为P=Q，所以当且仅当a=-1，b=1时，P=Q成立.故a-b=-2，故选C. 5.已知集合A={-1，0，2}，B={x|1-mx>0}，若A⊆B，则m的取值范围是 (　　) A.(-1，+∞) B. C. D.(-∞，-1)∪ 解析：选C　由题意A⊆B，则⇒-1<m<. 题点三　集合的基本运算 考法(一)　集合的运算 [例3] (1)(2024·北京高考)已知集合M={x|-3<x<1}，N={x|-1≤x<4}，则M∪N= (　　) A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3} C.{x|-3<x<4} D.{x|x<4} 解析:选C　由集合的并运算，得M∪N={x|-3<x<4}. (2)(2024·全国甲卷)已知集合A={1，2，3，4，5，9}，B={x|∈A}，则∁A(A∩B)= (　　) A.{1，4，9} B.{3，4，9} C.{1，2，3} D.{2，3，5} 解析:选D　由题意得B={1，4，9，16，25，81}，则A∩B={1，4，9}，所以∁A(A∩B)={2，3，5}.故选D. |思维建模|　解决集合运算问题的3个技巧 看元素构成 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键 对集合化简 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决 应用数形结合 离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；连续型数集的运算，常借助数轴求解 考法(二)　根据集合的运算求参数的值或范围 [例4]　已知集合A={x|x2-3x-10≤0}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若A∪B=A，则实数m的取值范围是　　　　　.  解析:x2-3x-10=(x-5)(x+2)≤0⇒A=[-2，5]， 当m+1>2m-1，即m<2时，B=⌀，满足A∪B=A；当m+1≤2m-1，即m≥2时， 由A∪B=A，得⇒2≤m≤3， 综上所述，m的取值范围是(-∞，3]. 答案:(-∞，3] 易错提醒:易忽略B为空集的情况，因为空集是任何集合的子集，所以在含参集合中若未指明集合非空，要考虑集合为空集的情况，同时注意所得结果端点值的取舍. |思维建模|　求参数的值或范围的方法 (1)根据集合运算的结果，利用集合运算的定义和数轴建立关于参数的方程(不等式)求解，注意对空集的讨论. (2)在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性). [即时训练] 6.(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5}，B={-3，-1，0，2，3}，则A∩B= (　　) A.{-1，0} B.{2，3} C.{-3，-1，0} D.{-1，0，2} 解析:选A　因为A={x|-5<x3<5}={x|-<x<}，B={-3，-1，0，2，3}，且注意到1<<2，所以A∩B={-1，0}.故选A. 7.(2024·临汾三模)已知集合A={x|x>a}，B={x|1<x≤2}，且A∪∁RB=R，则实数a的取值范围是 (　　) A.{a|a≤1} B.{a|a<1} C.{a|a≥2} D.{a|a>2} 解析:选A　因为B={x|1<x≤2}，所以∁RB={x|x≤1或x>2}，又A∪∁RB=R，所以a≤1.如图所示. 8.(2024·邵阳三模)已知全集U=R，集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|1≤x≤6}，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是 (　　) A.{x|-1≤x≤6} B.{x|x<-1} C.{x|x>6} D.{x|x<-1或x>6} 解析:选D　因为A={x|-1≤x≤2}，B={x|1≤x≤6}，所以A∪B={x|-1≤x≤6}，所以题图中阴影部分表示的集合为∁U(A∪B)={x|x<-1或x>6}. 习得方略:集合混合运算中的Venn图 数智赋能:电子版随堂训练(集合的新定义问题)，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 课时跟踪检测赋降维升维训练，第一章较简单未设置，从第二章开始设置 一、单选题 1.(2024·衡阳三模)已知集合A={1，5}，B={1，a+3}，若A=B，则实数a的值为 (　　) A.-1 B.0 C.-2 D.2 解析:选D　由题意，得a+3=5，a=2，故选D. 2.(2024·全国甲卷)若集合A={1，2，3，4，5，9}，B={x|x+1∈A}，则A∩B= (　　) A.{1，3，4} B.{2，3，4} C.{1，2，3，4} D.{0，1，2，3，4，9} 解析:选C　因为A={1，2，3，4，5，9}，B={x|x+1∈A}={0，1，2，3，4，8}， 所以A∩B={1，2，3，4}.故选C. 3.(2025·嘉兴模拟)已知集合U={x|1<x<9，x∈N}，∁UA={4，5，6}，则 (　　) A.2∈A B.3∉A C.6∈A D.7∉A 解析:选A　因为U={x|1<x<9，x∈N}={2，3，4，5，6，7，8}，∁UA={4，5，6}，所以A={2，3，7，8}，所以2∈A，3∈A，6∉A，7∈A. 4.(2025·广州一模)设集合A={1，3，a2}，B={1，a+2}，若B⊆A，则a= (　　) A.2 B.1 C.-2 D.-1 解析:选A　由A={1，3，a2}，得a2≠1， 即a≠±1，此时a+2≠1，a+2≠3， 由B⊆A，得a2=a+2，而a≠-1，所以a=2. 5.(2024·安庆二模)若集合P={x|-2≤x<m-m2，x∈Z}，当m=时，集合P的非空真子集个数为 (　　) A.8 B.7 C.6 D.4 解析:选C　根据题意，当m=时，集合P=={-2，-1，0}， 集合P中有3个元素，所以集合P的非空真子集的个数为23-2=6. 6.已知集合A={x||2-x|<1}，B={x|a<x<a+3}，若A∪B={x|1<x<5}，则a= (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选C　因为A=(1，3)，A∪B=(1，5)， 又B=(a，a+3)，所以a+3=5，即a=2. 7.已知集合A={x|x>4}，B={x|x<2m}，且∁RB⊆A，则实数m的取值范围是 (　　) A.(2，+∞) B.[2，+∞) C.(-∞，2) D.(-∞，2] 解析:选A　因为B={x|x<2m}，所以∁RB={x|x≥2m}，又A={x|x>4}，且∁RB⊆A，所以2m>4，得m>2. 8.已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且满足A∪B=B，则下列集合表示空集的是 (　　) A.(∁UA)∩B B.A∩B C.(∁UA)∩(∁UB) D.A∩(∁UB) 解析:选D　由Venn图表示集合U，A，B如图所示， 由图可得(∁UA)∩B=∁BA，A∩B=A，(∁UA)∩(∁UB)=∁UB，A∩(∁UB)=⌀. 9.已知集合A={(x，y)|y=|x|}，B=，则集合A∩B的真子集的个数为 (　　) A.3 B.7 C.15 D.31 快审准解:法一联立方程求解方程组的解，根据解的个数可得A∩B的真子集个数.法二数形结合求解交点个数，进而得交集中的元素个数，由真子集个数公式即可求解. 解析:选A　法一　联立解得或 ∵A={(x，y)|y=|x|}，B=，∴A∩B=， 故集合A∩B的真子集的个数为22-1=3. 法二　在同一直角坐标系中画出函数y=|x|以及+y2=1的图象，如图所示.由图象可知两图形有2个交点，所以A∩B的元素个数为2，进而其真子集的个数为22-1=3. 10.已知集合A={x||x-1|>2}，B={x|x2+px+q≤0}，若A∪B=R，且A∩B=[-2，-1)，则p，q的值分别为 (　　) A.-1，-6 B.1，-6 C.3，2 D.-3，2 解析:选A　由|x-1|>2可得x-1>2或x-1<-2，解得x>3或x<-1， 所以A=(-∞，-1)∪(3，+∞).又因为A∪B=R，A∩B=[-2，-1)，所以B=[-2，3]， 所以-2，3是方程x2+px+q=0的两个根，由根与系数的关系可得 解得p=-1，q=-6. 二、多选题 11.设集合M={x|x=6k+1，k∈Z}，N={x|x=6k+4，k∈Z}，P={x|x=3k-2，k∈Z}，则下列说法正确的是 (　　) A.M=N⫋P B.(M∪N)⫋P C.M∩N=⌀ D.∁PM=N 解析:选CD　因为M={x|x=6k+1，k∈Z}={x|x=3(2k+1)-2，k∈Z}，N={x|x=6k+4，k∈Z}={x|x=3(2k+2)-2，k∈Z}，当k∈Z时，2k+1为奇数，2k+2为偶数，则M≠N，M∪N=P，M∩N=⌀，∁PM=N. 12.(2025·南通模拟)设U为全集，集合A，B，C满足条件A∪B=A∪C，那么下列各式不一定成立的是 (　　) A.B⊆A B.C⊆A C.A∩(∁UB)=A∩(∁UC) D.(∁UA)∩B=(∁UA)∩C 解析:选ABC　当U={1，2，3}，A={1}，B={2，3}，C={1，2，3}时，满足A∪B=A∪C， 此时，B，C不是A的子集，所以A、B不一定成立；由上得∁UB={1}，∁UC=⌀，A∩(∁UB)={1}，A∩(∁UC)=⌀，所以C不一定成立；若∀x∈(∁UA)∩B，则x∉A，x∈B，因为A∪B=A∪C，所以x∈C，于是x∈(∁UA)∩C，所以(∁UA)∩B⊆(∁UA)∩C，同理若∀x∈(∁UA)∩C，则x∈(∁UA)∩B，∁UA∩C⊆(∁UA)∩B，因此(∁UA)∩B=(∁UA)∩C成立，所以D成立. 三、填空题 13.已知集合A={3，5}，B=，C={x|x=ab，a∈A，b∈B}，则集合C中所有元素之和为　　　　.  解析:由题意，得C=，则集合C中所有元素之和为+++=5. 答案:5 14.设集合U={x∈N|x≤7}，S={0，2，4，5}，T={3，5，7}，则S∩(∁UT)=　　　.  解析:因为U={x∈N|x≤7}={0，1，2，3，4，5，6，7}，∁UT={0，1，2，4，6}，所以S∩(∁UT)={0，2，4}. 答案:{0，2，4} 15.(2025·济宁一模)设集合A={x|x2-x-6<0}，B={x|-a≤x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是　　　.  解析:由集合A={x|x2-x-6<0}={x|(x-3)·(x+2)<0}={x|-2<x<3}，B={x|-a≤x≤a}，且A⊆B， 可得即解得a∈[3，+∞). 答案:[3，+∞) 第二节 常用逻辑用语 明确目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，能正确从集合角度理解充分条件与必要条件的判断方法. 2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系、数学定义与充要条件的关系. 3.理解全称量词命题与存在量词命题的意义，能正确地对两种命题进行否定. 教材再回首 1.充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果p⇒q，则p是q的充分条件； (2)如果q⇒p，则p是q的必要条件； (3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件. 2.充分、必要条件与对应集合间的关系 设A={x|p(x)}，B={x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件. (2)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件. (3)若A=B，则p是q的充要条件. 3.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有的、一切、任意一个、每一个、任给等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、对某些等 ∃ 4.全称(存在)量词命题及含一个量词的命题的否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M， ¬p(x) ∀x∈M， ¬p(x) 5.常见词语的否定词语 原词 等于(=) 大于(>) 小于(<) 是 都是 至多有一个 至多有n个 至少有一个 否定 不等于 (≠) 不大于 (≤) 不小于 (≥) 不是 不都是 至少有 两个 至少有 (n+1)个 一个也 没有 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件. (　　) (2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题. (　　) (3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件. (　　) (4)命题“∃x∈R，sin2+cos2=”是真命题. (　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2.(人A必修①P22T2改编)命题“三角形是等腰三角形”是命题“三角形是等边三角形”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B　由三角形是等边三角形可得到该三角形一定是等腰三角形，但反之不成立. 3.(人A必修①P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是　　　　　　　　　　　　.  答案:任意一个偶数都不是素数 4.(人B必修①P38T5改编)已知A=(-∞，a]，B=(-∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为　　　　.  解析:因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以A⫋B，所以a<3. 答案:(-∞，3) 题点一　充分、必要条件的判断 [例1] (1)(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选C　由函数y=x3单调递增可知，若a3=b3，则a=b；由函数y=3x单调递增可知，若3a=3b，则a=b.故“a3=b3”是“3a=3b”的充要条件，故选C. (2)已知向量a=(m-2，m+1)，b=(3，m-7)，则“m=1”是“a∥b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A　由a∥b可得3(m+1)=(m-2)(m-7)，解得m=1或m=11， 故“m=1”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A. |思维建模|　 1.充分、必要条件的判断方法 (1)定义法:直接判断“若p，则q”与“若q，则p”的真假，例如p⇒q为真，则p是q的充分条件； (2)集合法:若A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；若A、B没有任何包含关系，则A是B的既不充分也不必要条件. 2.判断充要条件需注意3点 (1)要分清条件与结论分别是什么； (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断； (3)直接判断比较困难时，可举反例进行判断. [即时训练] 1.(2024·梅州二模)常言道:“不经历风雨，怎么见彩虹”.就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B　由题意，经历风雨不一定会见彩虹，但见彩虹一定会经历风雨，所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件. 2.“|x-3|≠1”是“x≠2”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 快审准解:化简条件，根据充分条件和必要条件的定义判断“|x-3|≠1”与“x≠2”的关系. 解析:选A　由|x-3|≠1，得x-3≠±1，即x≠4且x≠2.所以|x-3|≠1能推出x≠2成立，但x≠2不能推出|x-3|≠1成立.所以“|x-3|≠1”是“x≠2”的充分不必要条件.故选A. 题点二　充分、必要条件的应用 [例2]　已知集合P={x|-1≤x≤5}，S={x|2-m≤x≤3+2m}，是否存在实数m，使得“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件? 解:若“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件，则S⫋P.当S=⌀时，(注意:对S是否为空集进行讨论)2-m>3+2m，得m<-；当S≠⌀时，需满足2-m≤3+2m，且等号不同时成立，解得-≤m≤1.综上所述，存在实数m使得“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件，且m的取值范围为(-∞，1]. [变式拓展]　本例条件不变，是否存在实数m，使得“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件? 解:若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则P⫋S，所以等号不同时成立，解得m≥3.故存在实数m∈[3，+∞)，使得“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件. 易错提醒:解决充分、必要条件求参数时，易混淆A是B 的充分不必要条件(A⇒B且BA)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB). |思维建模|　由充分、必要条件求参数范围的策略 巧用转化求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形 端点值慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍 [即时训练] 3.若集合A={x|x>2}，B={x|bx>1}，其中b为实数. (1)若A是B的充要条件，则b=　　　　；  (2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是　　　　.  解析:(1)由已知可得A=B，则x=2是方程bx=1的解，且有b>0，解得b=. (2)若不等式bx>1对任意的x>2恒成立， 则b>对任意的x>2恒成立. 当x>2时，∈，则b≥，因为A是B的充分不必要条件，所以b的取值范围是. 答案:(1)　(2) 题点三　全称量词与存在量词 考法(一)　含量词命题的否定 [例3]　(2024·青岛三模)已知命题p:∀x∈，sin x<x，则¬p为 (　　) A.∃x∉，sin x>x B.∃x∈，sin x>x C.∃x∉，sin x≥x D.∃x∈，sin x≥x 解析:选D　命题p:∀x∈，sin x<x为全称量词命题，则¬p为∃x∈，sin x≥x. |思维建模|　含量词命题否定的步骤 改写 量词 确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写 否定 结论 对原命题的结论进行否定 考法(二)　含量词命题的真假判断 [例4]　(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R，|x+1|>1；命题q:∃x>0，x3=x，则 (　　) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 解析:选B　法一　对于p，由|x+1|>1，得x2+2x>0，解得x>0或x<-2，显然∀x∈R，|x+1|>1不恒成立，所以命题p为假命题， ¬p为真命题. 对于q，由x3=x，解得x=0或x=1或x=-1，所以∃x>0使得x3=x，所以q是真命题. 法二　对于p，取x=-1，则有|x+1|=0<1，故p是假命题， ¬p是真命题.对于q，取x=1，则有x3=13=1=x，故q是真命题， ¬q是假命题.综上， ¬p和q都是真命题. |思维建模|　判断含量词命题真假的方法 (1)要判断全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立； (2)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可； (3)命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题否定的真假. 考法(三)　由含量词命题的真假求参数 [例5]　若命题“∀x<2，2x<a”为真命题，则实数a的取值范围为 (　　) A.(-∞，4] B.(-∞，4) C.[4，+∞) D.(4，+∞) 解析:选C　函数y=2x在R上单调递增， (指数函数y=ax(a>1)在R上单调递增) 当x<2时，2x<22=4，由“∀x<2，2x<a”为真命题，得a≥4，即实数a的取值范围为[4，+∞). |思维建模|　由含量词命题的真假求参数的思路 与全称(存在)量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题.解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围. [即时训练] 4.(2025·梅州一模)命题“∃x∈(0，+∞)，ln x=x-1”的否定是 (　　) A.∃x∈(0，+∞)，ln x≠x-1 B.∃x∉(0，+∞)，ln x=x-1 C.∀x∈(0，+∞)，ln x≠x-1 D.∀x∉(0，+∞)，ln x=x-1 解析:选C　因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“∃x∈(0，+∞)，ln x=x-1”的否定是“∀x∈(0，+∞)，ln x≠x-1”. 5.下列命题为真命题的是 (　　) A.任意两个等腰三角形都相似 B.所有的梯形都是等腰梯形 C.∀x∈R，x+|x|≥0 D.∃x∈R，x2-x+1=0 解析:选C　任意两个等腰三角形不一定相似，故A错误；所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误；因为∀x∈R，|x|≥-x，所以x+|x|≥0，故C正确；∀x∈R，x2-x+1=2+≥>0，故D错误. 6.若命题“∃x∈R，x2+x-a=0”为假命题，则实数a的取值范围为　　　　.  解析:命题“∃x∈R，x2+x-a=0”为假命题，等价于“方程x2+x-a=0无实根”，则Δ=1+4a<0，解得a<-，即实数a的取值范围为. 答案: 数智赋能:电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.命题“∃a>0，a2+1<2”的否定为 (　　) A.∃a>0，a2+1≥2 B.∃a≤0，a2+1≥2 C.∀a>0，a2+1≥2 D.∀a≤0，a2+1≥2 快审准解:根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断. 解析:选C　“∃a>0，a2+1<2”的否定是“∀a>0，a2+1≥2”.故选C. 2.下列命题既是全称量词命题，又是真命题的是 (　　) A.菱形的四条边都相等 　B.∃x∈N，使2x为偶数 C.∀x∈R，x2+2x+1>0 　D.π是无理数 解析:选A　对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题.对于B，∃x∈N，使2x为偶数，是存在量词命题.对于C，∀x∈R，x2+2x+1>0，是全称量词命题，当x=-1时，x2+2x+1=0，故是假命题.对于D，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题. 3.(2025·天津模拟)已知a，b∈R，则“a=b=0”是“|a+b|=0”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 快审准解:根据题意可直接判断充分性，举例说明必要性不成立即可. 解析:选A　若a=b=0，则|a+b|=0，即充分性成立；若|a+b|=0，例如a=1，b=-1，满足条件，但a=b=0不成立，即必要性不成立.综上所述，“a=b=0”是“|a+b|=0”的充分不必要条件. 4.已知命题“∀x∈R，方程x2+4x+a=0有解”是真命题，则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞，4) B.(-∞，4] C.(4，+∞) D.[4，+∞) 解析:选B　“∀x∈R，方程x2+4x+a=0有解”是真命题，故Δ=16-4a≥0，解得a≤4. 5.(2024·日照二模)已知a，b∈R，则“a>b”是“a3>b3”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选C　因为函数y=x3在定义域R上单调递增，所以由a>b可推出a3>b3，故充分性成立；由a3>b3可推出a>b，故必要性成立.所以“a>b”是“a3>b3”的充要条件. 6.已知p:x-a>0，q:x>1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 (　　) A.{a|a<1} B.{a|a≤1} C.{a|a>1} D.{a|a≥1} 解析:选C　p:x>a，因为p是q的充分不必要条件，所以a>1. 7.“x+y=0”是“+=-2”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 快审准解:根据充分条件与必要条件，结合反例，可得答案. 解析:选B　因为x+y=0，当x=0，y=0时，方程+=-2不成立，所以“x+y=0”不是“+=-2”的充分条件；由+=-2，整理可得y2+x2=-2xy，即(x+y)2=0，则x+y=0，所以“x+y=0”是“+=-2”的必要条件.故选B. 8.若“∃x∈，sin x<m”是假命题，则实数m的最大值为 (　　) A. B.- C. D.- 解析:选D　因为“∃x∈，sin x<m”是假命题，所以“∀x∈，m≤sin x”是真命题，即m≤sin x对于∀x∈恒成立，所以m≤(sin x)min.因为y=sin x在上单调递增，所以当x=-时，y=sin x最小，其最小值为y=sin=-sin=-，所以m≤-， 所以实数m的最大值为-. 二、多选题 9.使≥1成立的一个充分不必要条件是 (　　) A.0<x<1 B.0<x<2 C.x<2 D.0<x≤2 解析:选AB　由≥1得≥0，解不等式得0<x≤2，所以使≥1成立的一个充分不必要条件是0<x<1或0<x<2. 习得方略:把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面: (1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件； (2)注意问题的形式，看清“p是q的…”，还是“p的…是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断； (3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断. 　10.下列命题为真命题的是 (　　) A.∃x∈R，sin x= B.∃x∈R，ln x=-1 C.∀x∈R，x2>0 D.∀x∈R，3x>0 解析:选ABD　当x=时，sin x=，故A正确；当x=时，ln x=ln=-1，故B正确；当x=0时，x2=0，故C错误；y=3x的值域为(0，+∞)，故D正确. 11.下列命题正确的是 (　　) A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B.命题“对任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x≥1，使得x2≥1” C.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥8”的必要不充分条件 D.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 解析:选AD　由<1，即-1<0，得<0，即>0，解得a<0或a>1，所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确；命题“对任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x<1，使得x2≥1”，故B错误；因为x≥2且y≥2，所以x2≥4，y2≥4，由不等式的性质得x2+y2≥8.当x2+y2≥8时，取x=0，y=3，不满足x≥2且y≥2，所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥8”的充分不必要条件，故C错误；当a≠0，b=0时，ab=0，由ab≠0可得a≠0且b≠0，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确. 三、填空题 12.已知命题p:∀x≠y，x2≠y2，则p的否定是　　　　　　　　　　　　，命题p是　　　　(填“真”或“假”)命题.  快审准解:根据全称量词命题的否定为存在量词命题，求解判断. 解析:命题p的否定是∃x≠y，x2=y2.当x=-y，且不为0时，有x2=y2，所以命题p是假命题. 答案:∃x≠y，x2=y2　假 13.已知命题“∃x∈{x|-2<x<3}，使得等式2x-m=0成立”是假命题，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　.  解析:若原命题为真命题，则∃x∈{x|-2<x<3}，使得m=2x成立，则-4<m<6，故若原命题为假命题，则实数m的取值范围为(-∞，-4]∪[6，+∞). 答案:(-∞，-4]∪[6，+∞) 14.已知命题p:2<x<3，命题q:|2x-a|<2，若命题¬q是命题¬p的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　　　　.  快审准解:将问题转化为p是q的充分不必要条件，即p所表示的集合是命题q所表示集合的真子集，可列不等式求解. 解析:由|2x-a|<2，得<x<， 由于命题¬q是命题¬p的充分不必要条件，故命题p是命题q的充分不必要条件， 即{x|2<x<3}⫋. 所以(等号不同时成立)，可得4≤a≤6， 即实数a的取值范围是[4，6]. 答案:[4，6] 15.已知函数f(x)的定义域为[a，b]，若“∃x∈[a，b]，f(x)+f(-x)≠0”是假命题，则f(a+b)=　　　　.  解析:“∃x∈[a，b]，f(x)+f(-x)≠0”的否定是“∀x∈[a，b]，f(x)+f(-x)=0”，依题意得，命题“∀x∈[a，b]，f(x)+f(-x)=0”为真命题，故函数y=f(x)，x∈[a，b]为奇函数，所以a+b=0，所以f(a+b)=f(0)=0. 答案:0 第三节　不等式及其性质 明确目标 1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据，会比较两个数的大小. 2.理解不等式的概念与性质，并掌握不等式性质的简单应用. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a>b a-b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0) a=b a-b=0 =1(b≠0) a<b a-b<0 <1(a，b>0)或>1(a，b<0) 2.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔b<a；a<b⇔b>a 可逆 传递性 a>b，b>c⇒a>c；a<b，b<c⇒a<c 同向 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 同向可加性 a>b，c>d⇒a+c>b+d 同向 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向，同正 可乘方性 a>b>0，n∈N*⇒an>bn 同正 可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2⇒> 同正 解题结论拓展 1.倒数性质 (1)a>b，ab>0⇒<； (2)a<0<b⇒<； (3)a>b>0，0<c<d⇒>； (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2.分数性质 若a>b>0，m>0，则 (1)<>(b-m>0)； (2)><(b-m>0). 典题细发掘 1.(人B必修①P66“尝试与发现”改编)已知a=+，b=2+2，则a，b的大小关系是 (　　) A.a>b B.a=b C.a<b D.无法确定 解析:选A　因为(+)2-(2+2)2=16+2-(16+2)=2(-)>0，所以(+)2>(2+2)2，所以+>2+2，即a>b. 2.(苏教必修①P76T8改编)已知a-1>0，则下列结论正确的是 (　　) A.-1<-a<a<1 B.-a<-1<1<a C.-a<-1<a<1 D.-1<-a<1<a 解析:选B　因为a-1>0，所以a>1，由不等式基本性质可得-a<-1，故-a<-1<1<a. 3.(人A必修①P43T8改编)[多选]下列命题为真命题的是 (　　) A.若ac2>bc2，则a>b B.若a>b>0，则a2>b2 C.若a<b<0，则a2<ab<b2 D.若a<b<0，则> 答案:ABD 4.(人A必修①P43T5改编)已知2<a<3，-2<b<-1，则a+2b的取值范围为 (　　) A.(-2，1) B.(0，2) C.(-4，-2) D.(0，1) 解析:选A　因为-2<b<-1，所以-4<2b<-2，又2<a<3，所以-2<a+2b<1. 题点一　比较数(式)的大小 [例1]　 (1)若a<0，b<0，则p=+与q=a+b的大小关系为 (　　) A.p<q B.p≤q C.p>q D.p≥q 解析:选B　法一:特殊值排除法　令a=b=-1，则p=q=-2，排除A、C；令a=-1，b=-2，则p<q，排除D.故选B. (注意:当两个式子比较大小时，可直接赋值求解) 法二:作差法　p-q=+-a-b=+=(b2-a2)==.因为a<0，b<0，所以a+b<0，ab>0.若a=b，则p-q=0，故p=q；若a≠b，则p-q<0，故p<q.综上，p≤q.故选B. (2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为　　　　　　(用“<”连接).  解析:因为==π-e，又0<<1，0<π-e<1，所以π-e<1，即<1，故eπ·πe<ee·ππ. 答案:eπ·πe<ee·ππ |思维建模| (1)作差法的步骤和关注点 ①步骤:作差并变形⇒判断差与0的大小⇒得结论. ②关注点:利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形. (2)作商法的步骤和关注点 ①步骤:作商并变形⇒判断商与1的大小⇒得结论. ②关注点:作商时各式的符号应相同，如果a，b均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反.变形方法有分母(或分子)有理化，指、对数恒等变形等. [即时训练] 1.若m=x2-1，n=2(x+1)2-4(x+1)+1，则m与n的大小关系是 (　　) A.m<n B.m>n C.m≥n D.m≤n 解析:选D　由题设得n-m=2(x+1)2-4(x+1)+1-(x2-1)=2x2+4x+2-4x-4+1-x2+1=x2≥0，所以n≥m.故选D. 2.若P=a2+a+1，Q=(a∈R)，则P，Q的大小关系为　　　　.  解析:因为P=a2+a+1=+>0，a2-a+1=+>0，则Q>0.因为=(a2+a+1)(a2-a+1)=(a2+1)2-a2=a4+a2+1≥1，所以P≥Q. 答案:P≥Q 拓展与建模 糖水不等式 (1)教材母题:(人A必修①P43T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 本题得到的不等式称为糖水不等式: ①设a>b>0，m>0，则有<. ②糖水不等式的倒数形式:设a>b>0，m>0，则有>. (2)对数型糖水不等式 ①设n∈N*，且n>1，则有logn+1n<logn+2(n+1). ②设a>b>1，m>0，则有logab<loga+m(b+m). ③上式的倒数形式:设a>b>1，m>0，则有logba>logb+m(a+m). [示例]　比较大小:log74　　　　log96.  解题观摩: 法一　log74-log96=(log74-1)-(log96-1)=log7-log9<log9-log9<0. 法二:普通型糖水不等式 log74=<=<=log96. 法三:对数型糖水不等式 由对数型糖水不等式直接可得log74<log96. 糖水不等式拓展训练 题点二　不等式的基本性质 [例2]　(多选)已知c<0<b<a，则 (　　) A.ac+b<bc+a B.b3+c3<a3 C.< D.> 解析:选ABD　因为c<0<b<a，所以ac<bc⇒ac+b<bc+a，故A正确；因为c<0<b<a，所以b3<a3，c3<0⇒b3+c3<a3，故B正确；由c<0<b<a，不妨令a=3，b=2，c=-1，得=2，=，此时>，故C错误； (易错提醒:因为b+c可正可负，所以不容易化简解决，一般当乘以或除以一个不知正负的数时，我们只需要找到反例即可)因为c<0<b<a，所以>>0⇒<⇒>，故D正确. |思维建模|　判断命题真假的2种方法 (1)直接法:直接利用不等式的性质逐个验证.利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意前提条件. (2)特殊值法:注意取值要遵循三个原则: ①满足题设条件； ②取值要简单，便于验证计算； ③所取的值要有代表性. [即时训练] 3.[多选]下列不等式中，结论正确的是 (　　) A.若a>b，>，则ab<0 B.若<<0，则a<b C.若a>b，a2>b2，则a>b>0 D.若a>b>0，c>0，则a-c>b-c 解析:选AD　显然a，b均不为0，若a>b>0，则<，不满足要求；若a>0>b，则>，满足要求，所以ab<0；若0>a>b，则<，不满足要求，故ab<0，A正确； (易错提醒:本选项易忽视对a，b大小的讨论)因为<<0，所以a<0，b<0，ab>0，<两边同时乘以ab，得b<a，B错误；令a=2，b=-1，满足a2>b2，a>b，但是a>0>b，C错误；由不等式性质知，若a>b>0，c>0，则a-c>b-c，D正确. 巧用结论:(1)同向不等式的两边可以相加，不能相减； (2)一个不等式的两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变；同时乘以同一个负数，不等号方向改变. 　 题点三　利用不等式的性质求范围 [例3]　(人A必修①P43T5改编)已知0<x<5，-1<y<1，则x-2y的取值范围是 (　　) A.(2，3) B.(-2，3) C.(2，7) D.(-2，7) 解析:选D　因为-1<y<1，所以-2<-2y<2，又0<x<5，所以-2<x-2y<7. [变式拓展]　将本例条件改为“-1≤x+y≤2，-2≤x-y≤1”，求x-2y的取值范围. 解:设x-2y=m(x+y)+n(x-y)， 则x-2y=(m+n)x+(m-n)y， ∴解得 ∴x-2y=-(x+y)+(x-y). ∵-1≤x+y≤2，-2≤x-y≤1， ∴-1≤-(x+y)≤，-3≤(x-y)≤， ∴-4≤-(x+y)+(x-y)≤2， 即-4≤x-2y≤2，即-4≤x-2y≤2,即x-2y的取值范围为［-4，2］. |思维建模| 利用不等式的性质求代数式取值范围的注意点 (1)同向不等式具有可加性与正值可乘性，但是不能相减或相除.应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性. (2)多次运用不等式的性质有可能扩大变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解. [即时训练] 4.已知a-b∈[5，27]，a+b∈[6，30]，则7a-5b的取值范围是 (　　) A.[-24，192] B.[-24，252] C.[36，252] D.[36，192] 解析:选D　设7a-5b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b，所以解得 所以7a-5b=6(a-b)+(a+b).又a-b∈[5，27]，a+b∈[6，30]，所以7a-5b=6(a-b)+(a+b)∈[36，192]，故选D. 5.已知0<β<α<，则α-β的取值范围是　　　　.  解析:∵0<β<，∴-<-β<0， 又0<α<，∴-<α-β<. 又β<α，∴α-β>0，故0<α-β<. 答案: 数智赋能:电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.已知a>0，b>0，设m=a-2+2，n=2-b，则 (　　) A.m≥n B.m>n C.m≤n D.m<n 解析:选A　由题意可知，m-n=a-2+2-2+b=(-1)2+(-1)2≥0，当且仅当a=b=1时，等号成立，即m≥n. 2.若a>b>c，且a+b+c=0，则b2-4ac是 (　　) A.负数 B.零 C.正数 D.正负不确定 快审准解:根据题意得出a，c的正负，进而可得答案. 解析:选C　因为a+b+c=0，且a>b>c， 所以a>0，c<0，b不确定，所以b2≥0，ac<0. 所以b2-4ac>0.故选C. 3.若1<α<3，-2<β<4，则α-|β|的取值范围是 (　　) A.(-3，1) B.(-3，3) C.(0，3) D.(-3，5) 解析:选B　∵-2<β<4，∴0≤|β|<4，-4<-|β|≤0，又1<α<3，∴-3<α-|β|<3. 4.(2024·济南二模)若a<b<0，则下列不等式成立的是 (　　) A.a2<b2 B.a+b<b+c C.< D.< 解析:选D　由于a<b<0，所以a2>b2，故A错误； 由于a，c关系不确定，所以a+b<b+c不一定成立，故B错误；由于a<b<0，所以>，故C错误；由于a<b<0，所以|a|>|b|>0，<，故D正确.故选D. 5.(2024·驻马店二模)已知a>b>c>0，则下列说法一定正确的是 (　　) A.a>b+c B.a2<bc C.ac>b2 D.ab+bc>b2+ac 解析:选D　当a=3，b=2，c=1时，a=b+c，且ac<b2，故A、C错误；因为a>b>0，a>c>0，所以a2>bc，故B错误；ab+bc-(b2+ac)=(b-c)(a-b)>0，故D正确. 6.已知-3<a<-2，3<b<4，则的值满足的条件为 (　　) A.<< B.<< C.1<<3 D.<<1 解析:选C　因为-3<a<-2，3<b<4，所以4<a2<9，<<，由不等式性质可得4×<<9×，即1<<3. 7.已知实数m，n，p满足m2+n+4=4m+p，且m+n2+1=0，则下列说法正确的是 (　　) A.n≥p>m B.p≥n>m C.n>p>m D.p>n>m 解析:选B　因为m2+n+4=4m+p，移项得m2-4m+4=p-n，所以p-n=(m-2)2≥0，可得p≥n.由m+n2+1=0，得m=-n2-1，可得n-m=n-(-n2-1)=n2+n+1=+>0，所以n>m.综上所述，不等式p≥n>m成立，故选B. 8.(2025·咸阳模拟)若ab>a2，且a，b∈(0，1)，则下列不等式一定正确的是 (　　) A.< B.ab>b2 C.1+ab<a+b D.< 解析:选A　因为a，b∈(0，1)且ab>a2， 可得ab-a2=a(b-a)>0，所以b-a>0. 由-=<0， 得<，所以A正确；由ab-b2=b(a-b)<0，得ab<b2，所以B不正确；因为1+ab-(a+b)=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1)，且a，b∈(0，1)，所以a-1<0，b-1<0，可得1+ab-(a+b)>0，所以1+ab>a+b，所以C不正确；由-=>0，得>，所以D不正确. 9.(2025·成都模拟)已知a，b为实数，则使得“a>b>0”成立的一个必要不充分条件为 (　　) A.> B.ln(a+1)>ln(b+1) C.a3>b3>0 D.> 快审准解:利用不等式的性质，结合对数函数、幂函数的单调性、充分条件、必要条件的定义判断即得. 解析:选B　>，不能推出a>b>0，如>，反之a>b>0，则有<，即>是a>b>0的既不充分也不必要条件，A错误；由ln(a+1)>ln(b+1)，得a+1>b+1>0，即a>b>-1，不能推出a>b>0，反之a>b>0，则a>b>-1，因此“ln(a+1)>ln(b+1)”是“a>b>0”的必要不充分条件，B正确；a3>b3>0⇔a>b>0，“a3>b3>0”是“a>b>0”的充要条件，C错误；由>，得a>b≥1>0，反之a>b>0不能推出a>b≥1，因此“>”是“a>b>0”的充分不必要条件，D错误. 二、多选题 10.已知a>b>0，c>0，则下列式子正确的是 (　　) A.c-b>c-a B.< C.≥ D.< 解析:选ABC　由a>b>0，c>0，得-a<-b<0，所以c-a<c-b，A正确. 因为a>b>0，c>0，所以ac>bc>0，所以>>0，所以>>0，B正确. 因为a>b>0，所以a+2≤a+(a+2b)=2(a+b)，当且仅当a=2b时取等号， 所以≥=，C正确.因为-==>0，所以>，D错误. 11.若实数a，b满足1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，则下列结论正确的是 (　　) A.0≤a≤4 B.-1≤b≤3 C.-2≤3a-2b≤10 D.-6≤3a-2b≤14 解析:选ABC　由题意，1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，两式相加得0≤2a≤8，即0≤a≤4，故A正确；由-1≤a-b≤3，得-3≤b-a≤1，又1≤a+b≤5，所以两式相加得-2≤2b≤6，即-1≤b≤3，故B正确；设3a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b，则解得则3a-2b=(a+b)+(a-b).因为1≤a+b≤5，所以≤(a+b)≤，因为-1≤a-b≤3，所以-≤(a-b)≤，所以-2≤(a+b)+(a-b)≤10，即-2≤3a-2b≤10，故C正确，D错误.故选ABC. 易错提醒:对于C，常见的错误解法如下:由A知0≤a≤4，所以0≤3a≤12，由B知-1≤b≤3，所以-6≤-2b≤2，从而-6≤3a-2b≤14.该方法求出来的范围比正确范围要大，原因是此方法忽略了a和b的关系，事实上a和b有相互制约的关系，两者不可能在各自的范围内随意取值，比如取a=4，b=-1，满足0≤a≤4，-1≤b≤3，但不满足条件-1≤a-b≤3，从而3a-2b取不到14.所以此类题型注意结合“整体代换”思想求解. 12.已知实数a，b，c满足a>b>c，且abc=1，则下列说法正确的是 (　　) A.(a+c)2> B.< C.a2>b2 D.(a2b-1)(ab2-1)>0 解析:选ABD　根据abc=1可得=ac，故(a+c)2>，即(a+c)2>ac，即a2+ac+c2>0.因为a2+ac+c2=+>0恒成立，所以(a+c)2>成立，故A正确；因为a>b>c，所以a-c>b-c>0，故<成立，故B正确；当a=，b=-1，c=-2时，满足a>b>c且abc=1，但a2>b2不成立，故C错误；因为abc=1，(a2b-1)·(ab2-1)==，a>b>c，所以>0，故D正确. 三、填空题 13.已知a>0，-1<b<0，则a，ab，ab2由小到大依次排列是　　　　　　　　.  解析:因为a>0，-1<b<0， 所以ab<0，0<b2<1，0<ab2<a，故ab<ab2<a. 答案:ab<ab2<a 14.若a，b同时满足下列两个条件: ①a+b>ab；②>. 请写出一组a，b的值　　　　.  解析:容易发现，若将①式转化为②式，需使(a+b)ab<0，即a+b与ab异号，显然应使a+b>0，ab<0，当a<0，b>0时，要使a+b>0，则|a|<|b|，可取a=-1，b=2；当a>0，b<0时，要使a+b>0，则|a|>|b|，可取a=2，b=-1. 综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案. 答案:a=-1，b=2(答案不唯一) 15.已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a+b+c=0，那么的取值范围是　　　　.  解析:由于a>b>c，且a+b+c=0，所以a>0，c<0，b=-a-c，则-a-c<a，2a>-c，>-2，-a-c>c，-a>2c，<-，所以-2<<-. 答案: 第四节　基本不等式 明确目标 1.掌握基本不等式≤(a>0，b>0)，了解基本不等式的推导过程. 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 第1课时　基本不等式的简单应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.基本不等式:≤ (1)基本不等式成立的条件:a>0，b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时，等号成立. 2.三个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a=b时取等号. (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a=b时取等号. (3)若a>0，b>0，则≤≤ ≤ ，当且仅当a=b时，等号成立. 3.算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值2.(简记:积定和最小) (2)如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值.(简记:和定积最大) 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)不等式ab≤与≥ 成立的条件是相同的. (　　) (2)函数y=x+的最小值是2. (　　) (3)函数y=sin x+，x∈的最小值是4. (　　) (4)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.(人A必修①P48T1(1)改编)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取得最小值，则a等于 (　　) A.1+ B.1+ C.3 D.4 解析:选C　当x>2时，x-2>0，f(x)=(x-2)++2≥2+2=4，当且仅当x-2=，即x=3时取等号. 3.(苏教必修①P61T1)若m>0，n>0，mn=81，则m+n的最小值是 (　　) A.4 B.4 C.9 D.18 答案:D 4.(人A必修①P48T1(2)改编)函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是　　　　.  解析:因为0≤x≤1，所以3-2x>0，所以y=·2x·(3-2x)≤=，当且仅当2x=3-2x，即x=时取等号. 答案: 方法一　直接法求最值 [例1]　 (1)已知a>0，b>0，则++2的最小值是 (　　) A.2 B.2 C.4 D.5 解析:选C　++2≥2+2≥4=4，当且仅当=且 =，即a=b=1时取等号. 易错提醒:连续使用基本不等式时忽略等号成立的一致性. (2)已知x，y为正实数，且满足4x+3y=12，则xy的最大值为　　　　.  解析:由已知，得12=4x+3y≥2，解得xy≤3，当且仅当4x=3y时取等号. 答案:3 |思维建模|　利用基本不等式求最值的策略 (1)求“和”式的最小值时，一般运用变形a+b≥2，这时必须确保“积”是定值；求“积”式的最大值时，一般运用变形ab≤，这时必须确保“和”是定值(a>0，b>0). (2)注意检验等号成立的条件是否满足. [即时训练] 1.若正数a，b满足ab=2，则(a+1)(b+2)的最小值为 (　　) A.2 B.4 C.8 D.16 解析:选C　由正数a，b满足ab=2，得(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=4+2a+b≥4+2=8，当且仅当b=2a=2时取等号，所以当a=1，b=2时，(a+1)(b+2)取得最小值8. 2.已知a，b∈R，且2a-b-2=0，则9a+的最小值为 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:选C　因为2a-b-2=0，所以2a-b=2，因为32a>0，3-b>0，所以9a+=32a+3-b≥2=2=2=6，当且仅当即时，取等号，故9a+的最小值为6. 方法二　配凑法求最值 [例2] (1)若x<，则f(x)=3x+1+有 (　　) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-3 解析:选C　因为x<，所以3x-2<0，所以f(x)=3x-2++3=-+3≤-2+3=-3， (注意:本题易忽视把负数转化为正数)当且仅当2-3x=，即x=-时，取等号. (2)已知0<x<，则x的最大值为　　　　.  解析:因为0<x<，所以1-2x2>0，所以x=·≤·=，当且仅当2x2=1-2x2，即x=时等号成立. 答案: |思维建模|　配凑法的运用技巧 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、配系数、凑常数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式，如凑成x+(a>0)、+的形式等，然后利用基本不等式求解最值.拆项、添项时应注意检验利用基本不等式的条件. [即时训练] 3.已知实数x>1，则函数y=2x+的最小值为 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:选B　∵实数x>1，∴x-1>0， ∴y=2x+=2(x-1)++2≥2+2=6， 当且仅当2(x-1)=，即x=2时等号成立，∴函数y=2x+的最小值为6. 4.(2025·重庆部分学校联考)已知a>b>0，则a++的最小值为 (　　) A.2 B. C.3 D.3 解析：选C　法一：利用基本不等式　∵a>b>0，∴a+b>0，a-b>0，∴a++=+++≥2+2=3，当且仅当a+b=2，a-b=，即a=，b=时等号成立.故选C. 法二：利用柯西不等式　由a>b>0，得a-b>0，则(a+b+a-b)≥=9，当且仅当=a-b时等号成立，可得a++≥a+≥2=3.当且仅当a=，即a=，b=时等号成立，故选C. 方法三　常数代换法求最值 [例3]　(2025·扬州模拟)已知x>0，y>0，且2x+y=1，则的最小值为 (　　) A.4 　　　B.4 C.6 　　　D.2+3 解析:选D　因为x>0，y>0，且2x+y=1，所以=+==++3≥2+3=2+3，当且仅当=，即x=，y=-1时取等号. 习得方略:常数代换法，主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求+的最值”的问题，先将+转化为·，再用基本不等式求最值. |思维建模|　的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值. (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式. (4)利用基本不等式求解最值. [即时训练] 5.(2025·安庆模拟)已知m，n∈(0，+∞)，+n=4，则m+的最小值为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选B　由题意得m+= =≥=4， 当且仅当mn=，即m=1，n=3时等号成立. 6.已知正实数x，y满足+=1，则4xy-3x-6y的最小值为 (　　) A.2 B.4 C.8 D.12 解析:选C　由x>0，y>0且+=1，可得xy=x+2y，所以4xy-3x-6y=4x+8y-3x-6y=x+2y==4++≥4+2=8，当且仅当=，即x=4，y=2时取等号. 方法四　构造不等式法求最值 [例4]　 (1)(人A必修①P58T5改编)若a>0，b>0，且ab=a+b+3，则ab的最小值为 (　　) A.9 B.6 C.3 D.12 解析:选A　因为a>0，b>0，所以a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立. 所以ab=a+b+3≥2+3，整理可得ab-2-3≥0，解得 ≥3或 ≤-1(舍去). 所以 ≥3，即ab≥9.所以当a=b=3时，ab的最小值为9. (2)若本例(1)条件不变，则a+b的最小值为　　　　.  解析:因为a>0，b>0，所以a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立. 所以ab=a+b+3≤，整理可得(a+b)2-4(a+b)-12≥0， 解得a+b≥6或a+b≤-2(舍去). 所以当a=b=3时，a+b的最小值为6. 答案:6 |思维建模|　 构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解. [即时训练] 7.若正数x，y满足x+y-2xy=0，则x+y的最小值为 (　　) A.4 B.1 C.5 D.2 解析:选D　法一　由x+y-2xy=0，得x+y=2xy，又x>0，y>0，xy≤， 所以x+y≤，解得x+y≥2， 当且仅当x=y=1时，等号成立. 法二　由x+y-2xy=0，得x+y=2xy， 所以+=2，则x+y=(x+y)=≥=2， 当且仅当即时，等号成立. 拓展与建模 基本不等式的推广 (1)三元基本不等式 a3+b3+c3≥3abc(a，b，c均为正实数)⇒ 当且仅当a=b=c时等号成立. (2)推广到n元基本不等式为≥(a1，a2，…，an均为正实数)， 当且仅当a1=a2=…=an时等号成立. (3)利用三元基本不等式求最值需满足的条件和方法与基本不等式求最值完全一致. 　　　　　　　　　　　　　　　　[针对训练] 1.若x>0，则4x+的最小值是 (　　) A.9 B.3 C.13 D.不存在 解析:选B　4x+=2x+2x+≥3=3，当且仅当2x=，即x=时，等号成立，故选B. 2.若a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，则(1-a)·(1-b)(1-c)的最大值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由于a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，所以0<a<1，0<b<1，0<c<1.所以(1-a)(1-b)(1-c)≤==，当且仅当1-a=1-b=1-c，即a=b=c=时，等号成立. 数智赋能:电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.(2025·定西一模)x2++的最小值为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选B　由题意知x≠0，所以x2>0，>0，所以x2++≥2+=3， 当且仅当x2=，即x2=时，等号成立. 2.当x>a时，2x+的最小值为10，则a= (　　) A.1 B. C.2 D.4 解析:选A　因为x>a，所以x-a>0，所以2x+=2(x-a)++2a≥2+2a=8+2a，当且仅当=2(x-a)时，等号成立，则8+2a=10，故a=1. 3.若a>1，b>1，且a≠b，则a2+b2，2ab，a+b，2中的最大值是 (　　) A.a2+b2 B.2ab C.a+b D.2 解析:选A　因为a>1，b>1，所以a2+b2>a+b，根据基本不等式可知a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立.因为a≠b，所以a2+b2>2ab，同理，a+b>2.所以四个式子中的最大值为a2+b2. 4.若x>0，y>0，且2x+3y=12，则xy的最大值为 (　　) A.9 B.6 C.3 D. 解析:选B　因为x>0，y>0，且2x+3y=12，所以xy=·2x·3y≤=6，当且仅当2x=3y，即x=3，y=2时，等号成立， 所以xy的最大值为6. 5.(2024·达州二模)已知实数a，b满足a+=2，则4a+2b的最小值为 (　　) A.4 B.8 C.4 D.8 解析:选B　因为a+=2，所以2a+b=4，所以4a+2b=22a+2b≥2=2=2=8，当且仅当22a=2b且2a+b=4，即a=1，b=2时等号成立. 6.(2024·哈尔滨二模)已知正实数x，y满足+=1，则2xy-3x的最小值为 (　　) A.8 B.9 C.10 D.11 解析:选B　易知+=1⇒2x+y=xy，则2xy-3x=2(2x+y)-3x=x+2y=(x+2y)· =5++≥5+2=9，当且仅当=，即x=y=3时取等号. 7.函数f(x)=(x>1)的最小值为 (　　) A.2 B.3+2 C.2+2 D.5 解析:选B　因为x>1，所以x-1>0，所以f(x)===x-1++3≥2+3=2+3，当且仅当x-1=，即x=+1时取等号，所以函数f(x)的最小值为3+2.故选B. 8.已知实数x>0>y，且+=，则x-y的最小值是 (　　) A.21 B.25 C.29 D.33 解析:选A　∵x>0>y，等式+=恒成立， ∴(x-y+3)=(x+2+1-y). 由于x>0>y，∴1-y>0，2+x>0， ∴(x+2+1-y)=2++≥2+2=4， 当且仅当x+2=1-y， 即x=10，y=-11时取等号. ∴(x-y+3)≥4， ∴x-y≥21，故x-y的最小值为21. 二、多选题 9.(2025·泉州模拟)已知a>0，b>0，且a+b=4，则下列结论正确的是 (　　) A.a+2b>4 B.(a-1)(b-1)>1 C.log2a+log2b≥2 D.2a+≥8 解析:选AD　由题意，得0<a<4，0<b<4，a=4-b，所以a+2b=(a+b)+b=4+b>4，故A正确；取a=1，b=3，则(a-1)(b-1)=0<1，log2a+log2b=log23<2，故B、C错误；2a+=2a+2b≥2=8，当且仅当a=b=2时，等号成立，故D正确. 10.下列结论正确的是 (　　) A.若x<0，则x+≤-2 B.若x∈R，则≥2 C.若x∈R且x≠0，则≥2 D.若a>1，则(1+a)≥6 解析:选ABC　若x<0，则-x>0，所以x+=-≤-2=-2，当且仅当-x=-，即x=-1时，等号成立，A正确；==+≥2=2，当且仅当=，即x=0时，等号成立，B正确；若x∈R且x≠0，则===|x|+≥2=2，当且仅当|x|=，即x=±1时，等号成立，C正确；若a>1，取a=，则(1+a)=×=<6，D错误. 11.(2022·新课标Ⅱ卷)若x，y满足x2+y2-xy=1，则 (　　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 解析:选BC　注意到问题的目标表达式中不含交叉项xy，所以应利用代数恒等变换或不等式简单放缩去掉xy.对于A、B，由x2+y2-xy=1，得(x+y)2-1=3xy≤32，当且仅当x=y时取等号，解得-2≤x+y≤2，所以A不正确， (也可用特例排除法，取x=1，y=1排除A)B正确；由x2+y2-xy=1，得x2+y2-1=xy≤，当且仅当x=y=±1时取等号，所以x2+y2≤2，所以C正确，注意x2+y2=1+xy，如果x，y异号就会有x2+y2≥1不成立，令x=-y，易发现存在x=-y=±，使x2+y2=<1，D不正确.故选BC. 巧记结论:(1)若x≠0，则≥2，当且仅当x=±1时，等号成立. (2)若ab≠0，则≥2，当且仅当a=±b时，等号成立. (3)若ab>0，x≠0，则≥2，当且仅当x=± 时，等号成立. (4)若a>0，b>0，则≤≤≤ ，当且仅当a=b时，等号成立. (5)a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 三、填空题 12.(2025·商丘模拟)若正数a，b满足a2b=a3+b2，则a的最小值是　　　　.  解析:因为a，b为正数，a2b=a3+b2， 所以1=+≥2，即a≥4， 当且仅当a3=b2，即a=4，b=8时，等号成立. 答案:4 13.若a>-1，则的最小值是　　　　.  解析:法一:通解　由a>-1可得a+1>0，则==a-1+=a+1+-2≥2-2=0，当且仅当a+1=，即a=0时，等号成立. 法二:秒解　由a>-1可得a+1>0，a2≥0，则≥0，当a=0时取等号. 答案:0 14.若∃x∈，使得2x2-λx+1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是　　　　.  快审准解:写出存在量词命题的否定，参变分离得到2x+≥λ，由基本不等式求出2x+≥2，从而得到实数λ的取值范围为(-∞，2]. 解析:由题意得∀x∈，2x2-λx+1≥0为真命题，即2x+≥λ.由基本不等式得2x+≥2=2，当且仅当2x=，即x=时，等号成立，故实数λ的取值范围为(-∞，2]. 答案: 15.(2025·赣州二十校联考)若-1<a<2，则+的最小值是　　　　.  解析:法一　+=， 设t=a+2，t∈(1，4)，则a=t-2. 所以==- =-≥-=3， 当且仅当t=，即t=2，即a=0时，等号成立， 所以+的最小值是3. 法二　因为-1<a<2，所以a+1>0，2-a>0，且(1+a)+(2-a)=3， 所以+=(1+a+2-a)=≥ =3，当且仅当=，即a=0时，等号成立. 所以+的最小值是3. 答案:3 第2课时　基本不等式的综合应用 题点一　利用基本不等式求参数值或范围 [例1]　若存在m∈，使不等式+≤k成立，则k的最小值是 (　　) A.8 B.10 C.16 D.24 解析:选A　因为m∈，所以0<2m<1，2m+(1-2m)=1，则+=[2m+(1-2m)]=++4≥2+4=8，当且仅当=，即m=时取等号.因为存在m∈，使不等式+≤k成立，所以k≥8，即k的最小值为8. |思维建模|　含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围. (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化. [即时训练] 1.对任意的x∈(-∞，0)，x2-mx+1>0恒成立，则m的取值范围为 (　　) A.{m|-2<m<2} B.{m|m>2} C.{m|m>-2} D.{m|m≤-2} 解析:选C　因为对任意的x∈(-∞，0)，x2-mx+1>0恒成立， 所以mx<x2+1对任意的x∈(-∞，0)恒成立， 即m>=x+对任意的x∈(-∞，0)恒成立.因为x∈(-∞，0)，则-x∈(0，+∞)，所以x+=-≤-2=-2，当且仅当-x=，即x=-1时取等号，所以m>-2. 2.已知x>1时，不等式2x+m+>0恒成立，则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞，-8) B.(-8，+∞) C.(-∞，-6) D.(-6，+∞) 解析:选D　不等式2x+m+>0化为2(x-1)+>-m-2， ∵x>1，∴2(x-1)+≥2×=4，当且仅当x=2时，等号成立. ∵不等式2x+m+>0对一切x∈{x|x>1}恒成立，∴-m-2<4，解得m>-6. 题点二　基本不等式与其他知识相结合 [例2]　已知函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，若点P在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则+的最小值为 (　　) A.4 B.9 C.3+2 D.8 解析:选B　因为函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(-2，-1)，所以-2m-n+1=0，即2m+n=1，所以+=(2m+n)=++5≥2+5=9，当且仅当=且2m+n=1，即n=m=时取等号. |思维建模| 　　当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.解题时注意基本不等式成立的条件. [即时训练] 3.(2025·赣州模拟)已知平面向量a=(2λ2+1，λ)，b=(μ，1)，其中λ>0，若a∥b，则实数μ的取值范围是 (　　) A.[2，+∞) B.[2，+∞) C.[，+∞) D.[1，+∞) 解析:选A　因为a∥b，所以λμ=2λ2+1.又λ>0，所以μ==2λ+≥2=2，当且仅当2λ=，即λ=时，等号成立. 4.已知圆C:x2+y2-4x-6y+4=0关于直线l:ax+by-1=0对称，则+的最小值是 (　　) A.2 B.3 C.6 D.4 快审准解:转化为直线l过圆心，得2a+3b=1，再利用基本不等式可得答案. 解析:选D　因为圆C:(x-2)2+=9关于直线l:ax+by-1=0(ab>0)对称，所以直线l过圆心(2，3)，即2a+3b=1，则+=(2a+3b)=2++.因为ab>0，且2a+3b=1，所以a>0，b>0，所以+=2++≥2+2=4，当且仅当=，即a=，b=时，等号成立，故+的最小值是4. 题点三　基本不等式的实际应用 [例3]　某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为36 m2且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为1 m，横向部分路宽为2 m. (1)当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短?此时该菜园的总面积为多少? (2)为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少? 快审准解:(1)设矩形用地平行于横向过道的一边长度为x m，用x表示出篱笆长度后结合基本不等式求解即可； (2)用x表示出菜园的总面积后结合基本不等式求解即可. 解:(1)设矩形用地平行于横向过道的一边长度为x m， 则所需篱笆的长度为4×2×，因为x+≥2=12，当且仅当x=6时，等号成立，所以当矩形用地的长和宽均为6 m时，所用篱笆最短，此时该菜园的总面积为(2×6+1)×(2×6+2)=182 m2. (2)设菜园的总面积为y m2， 则y=(2x+1)=146+4x+≥146+2=146+24，当且仅当4x=，即x=3时，等号成立，此时另一边为=6.故当矩形用地的长和宽分别为6 m，3 m时，菜园的总面积最小. |思维建模|　基本不等式实际应用问题的解题技巧 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值. (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围. (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解. [即时训练] 5.在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位:平方米)的计算公式是W=(长+4)×(宽+4)，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米，每平方米收费1元，则平整完这块场地所需的最少费用是 (　　) A.10 000元 B.10 480元 C.10 816元 D.10 818元 快审准解:设矩形场地的长为x米，则W=4x++10 016，结合基本不等式计算即可求解. 解析:选C　设矩形场地的长为x米，则宽为米， 所以W=(x+4)=4x++10 016≥2+10 016=10 816，当且仅当4x=，即x=100时，等号成立.所以平整完这块场地所需的最少费用为1×10 816=10 816元. 6.李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元.现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m(单位:万件)与广告费用x(单位:万元)符合函数模型m=3-.若要使这次促销活动获利最多，则应投入广告费用　　　　万元，获得总利润为　　　　万元.  解析:设李明获得的利润为f(x)万元，x≥0， 则f(x)=8m-x=8-x=24--x=25-≤25-2=25-8=17，当且仅当x+1=，即x=3时，等号成立.此时总利润为17. 答案:3　17 数智赋能:电子版随堂训练(基本不等式的综合应用)，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则该模型的最大面积为 (　　) A.9 cm2 B.16 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2 解析:选C　设矩形的长为x cm，宽为y cm，0<x<4，0<y<4，则2(x+y)=8，即x+y=4，所以该模型的面积为xy≤=4，当且仅当x=y=2时取等号，所以该模型的最大面积为4 cm2. 2.已知a，b都是正数，则“ab≥4”是“ab≥a+b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 快审准解:举出反例以及结合基本不等式判断“ab≥4”和“ab≥a+b”的逻辑关系，即得答案. 解析:选B　由题意可知，当ab≥4时，可取a=1，b=4，显然不能推出ab≥a+b； 当ab≥a+b时，且a>0，b>0，所以ab≥a+b≥2，即(ab)2≥4ab，解得ab≥4， 所以“ab≥4”是“ab≥a+b”的必要不充分条件. 3.已知二次函数f(x)=ax2-2x+2b(a>0)的图象与x轴仅有一个交点，则+的最小值为 (　　) A. B.2 C.3 D.4 解析:选B　依题意，二次函数f(x)=ax2-2x+2b(a>0)的图象与x轴仅有一个交点，令ax2-2x+2b=0，所以Δ=(-2)2-4a·2b=0，所以ab=1.因为a>0，所以b>0，所以+≥2=2，当且仅当=，即a=，b=时，等号成立. 4.若不等式+-m≥0对任意x∈恒成立，则实数m的最大值为 (　　) A.7 B.8 C.9 D.10 解析:选C　将不等式化为+≥m，只需当x∈时，≥m即可.因为0<x<，所以0<1-4x<1，所以+=(4x+1-4x)=4+++1≥5+2=5+4=9， 当且仅当x=时取等号，故m≤9，故m的最大值为9. 5.若两个正实数x，y满足4x+y=2xy，且不等式x+<m2-m有解，则实数m的取值范围是 (　　) A.{m|-1<m<2} B.{m|m<-1或m>2} C.{m|-2<m<1} D.{m|m<-2或m>1} 快审准解:根据题意，利用基本不等式求得x+的最小值，把不等式x+<m2-m有解，转化为不等式m2-m>2，即可求解. 解析:选B　由两个正实数x，y满足4x+y=2xy，得+=2， 则x+= =≥=2， 当且仅当=，即y=4x=4时取等号. 又由不等式x+<m2-m有解，可得m2-m>2，解得m<-1或m>2，所以实数m的取值范围为{m|m<-1或m>2}.故选B. 6.(2024·宁夏二模)若直线ax+by-1=0过函数f(x)=x+图象的对称中心，则+的最小值为 (　　) A.9 B.8 C.6 D.5 快审准解:先利用函数图象平移与奇函数的性质求得f(x)的对称中心，从而得到a+b=1，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 解析:选A　因为y=x+为奇函数，所以函数图象关于(0，0)中心对称，函数图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度可得函数f(x)=x+的图象，所以f(x)的对称中心为(1，1)，所以a+b=1，所以+=(a+b)·=5++≥5+2=9，当且仅当=，即a=2b=时，等号成立，故+的最小值为9. 7.函数f(x)=2x-+ln x，若f(m)+f=0，则3m+的最小值为 (　　) A.2 B.4 C.2 D.1 解析:选C　由f'(x)=2++>0得函数f(x)单调递增，由f(x)=-2·+-ln=-f，∴f(x)+f=0，则=，即m=n2，3m+=3n2+≥2=2，当且仅当n2=时，等号成立，故选C. 二、多选题 8.已知正实数x，y满足x+y=4，则下列选项正确的是 (　　) A.ex+ey的最小值为2e2 B.lg x+lg y的最大值为lg 4 C.x2+y2的最小值为8 D.x(y+4)的最大值为16 解析:选ABC　由于ex+ey≥2=2=2e2，当且仅当ex=ey，即x=y=2时取等号，故A正确；由基本不等式得xy≤=4， 故lg x+lg y=lg(xy)≤lg 4，当且仅当x=y=2时取等号，故B正确； x2+y2=(x+y)2-2xy=16-2xy≥8，当且仅当x=y=2时取等号，故C正确； 由正实数x，y满足x+y=4，得y=4-x，x∈(0，4)， 故x(y+4)=x(8-x)=-(x-4)2+16∈(0，16)，故D错误. 三、填空题 9.已知x>0，y>0，向量a=(x，y)，b=(2，1)，a·b=1，则xy的最大值为　　　　.  解析:由题意得2x+y=1， 又x>0，y>0，所以1=2x+y≥2， 故xy≤，当且仅当2x=y，2x+y=1， 即2x=y=时取等号，故xy的最大值为. 答案: 10.早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项、几何中项的定义与今天大致相同.若2a+2b=1，则(4a+1)(4b+1)的最小值为　　　　.  快审准解:令m=2a，n=2b，结合基本不等式可得0<mn≤，(4a+1)(4b+1)可化为(mn-1)2+1，求二次函数在区间上的最小值即可. 解析:不妨设m=2a，n=2b，则m>0，n>0， 所以1=m+n≥2，即0<mn≤， 当且仅当m=n=时取等号. 所以(4a+1)(4b+1)=(m2+1)(n2+1)=(mn)2+m2+n2+1=(mn)2+(m+n)2-2mn+1=(mn)2-2mn+2=(mn-1)2+1，所以当m=n=时，(4a+1)(4b+1)取得最小值. 答案: 四、解答题 11.(10分)已知x>0，y>0，且x+y=2. (1)求+的最小值；(5分) (2)若4x+y-mxy≥0恒成立，求m的最大值.(5分) 解:(1)因为x>0，y>0，且x+y=2， 所以1=(x+y)，所以+=(x+y)=≥=8， 当且仅当=，即x=，y=时取等号， 所以+的最小值为8. (2)因为4x+y-mxy≥0(x>0，y>0)恒成立，所以m≤+恒成立.因为1=(x+y)，x>0，y>0， 所以+=(x+y)=≥=，当且仅当=，即x=，y=时取等号.所以+的最小值为，所以m≤，故m的最大值为. 12.(10分)(2025·吉林模拟)李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入.调研过程中发现，此珍稀水果树的单株产量W(单位:千克)与投入成本30x(单位:元)满足如下关系:W(x)=已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求，水果树单株获得的利润为f(x)(单位:元). (1)求f(x)的函数关系式；(5分) (2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?(5分) 快审准解:(1)由题意可知f(x)=10W(x)-30x，结合题意代入运算即可； (2)分0≤x≤2和2<x≤5，结合二次函数和基本不等式求最大值. 解:(1)由题意可知f(x)=10W(x)-30x= (2)由(1)可知， 若0≤x≤2，则f(x)=30x2-30x+， 可知其图象开口向上，对称轴为x=， 此时f(x)的最大值为f(2)=； 若2<x≤5， 则f(x)=-20x=340-20≤340-20×2=180， 当且仅当x+1=，即x=3时，等号成立， 此时f(x)的最大值为f(3)=180. 又因为180>，可知f(x)的最大值为f(3)=180， 所以当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是180元. 第五节　二次函数与一元二次方程、不等式 明确目标 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.了解一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数方程的联系. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.三个“二次”间的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异 实根x1，x2 (x1<x2) 有两相等 实根x1= x2=- 没有 实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x>x2， 或x<x1} R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ⌀ ⌀ 2.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a=b a>b (x-a)·(x-b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b，或x>a} (x-a)·(x-b)<0 {x|a<x<b} ⌀ {x|b<x<a} 3.分式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若方程ax2+bx+c=0无实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R. (　　) (2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1，x2)，则a<0. (　　) (3)若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0且Δ<0. (　　) (4)不等式≥0等价于(x-a)(x-b)≥0. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.(人A必修①P55T1改编)不等式-x2+3x+10>0的解集为 (　　) A.{x|-2<x<5} B.{x|x<-2或x>5} C.{x|-5<x<2} D.{x|x<-5或x>2} 答案:A 3.(人B必修①P75T5改编)设m+n>0，则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 (　　) A.{x|x<-n或x>m} 　B.{x|-n<x<m} C.{x|x<-m或x>n} 　D.{x|-m<x<n} 解析:选B　不等式变形为(x-m)(x+n)<0，方程(x-m)(x+n)=0的两根为m，-n，显然由m+n>0得m>-n，所以不等式的解集为{x|-n<x<m}. 4.(人A必修①P50“思考”:一元二次方程的根与不等式解集端点值的关系)若二次函数y=ax2+bx+2，使函数值大于0的x的取值范围是，则a+b=　　　　.  解析:依题意知解得故a+b=-14. 答案:-14 5.(湘教必修①P57例9改编)甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x的最小值是　　　　.  解析:要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则2×100≥3 000，整理得5x-14-≥0.又1≤x≤10，所以5x2-14x-3≥0，解得3≤x≤10.故x的最小值是3. 答案:3 题点一　不含参数的一元二次不等式的解法 [例1]　(多选)下列选项正确的是 (　　) A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R，则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件 解析:选ABD　因为方程x2+x-2=0的解为x1=1，x2=-2，所以不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1}，故A正确；因为-1=≤0，即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0)，解得-3≤x<2，所以不等式的解集为{x|-3≤x<2}，故B正确；由|x-2|≥1，可得x-2≤-1或x-2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误；由|x-1|<1，可得-1<x-1<1，解得0<x<2，由<0，可得-4<x<5，因此，“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确. 习得方略:解分式不等式的实质就是将分式不等式转化为整式不等式.当分式右侧不为0时，可通过移项、通分、合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母. 　 |思维建模|　解一元二次不等式的4个步骤 (1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)计算对应方程的判别式. (3)求出对应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有没有实根. (4)利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. [即时训练] 1.已知集合A={x|1<2x-1<}，B={x|y=}，则A∪B= (　　) A.{x|1≤x≤2} B. C. D. 解析:选A　因为A==，B={x|-x2+3x-2≥0}={x|1≤x≤2}，所以A∪B={x|1≤x≤2}. 2.(2024·上海高考)不等式x2-2x-3<0的解集为　　　　　　　　　.  解析:方程x2-2x-3=0的解为x=-1或x=3，故不等式x2-2x-3<0的解集为{x|-1<x<3}. 答案:{x|-1<x<3} 题点二　含参数的一元二次不等式的解法 [例2]　解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a∈R). 解:原不等式变为(ax-1)(x-1)<0. (易错提醒:二次项系数为参数时，不要忽略参数为0的情况) 当a>0时，原不等式可化为(x-1)<0， 所以当a>1时，解得<x<1； 当a=1时，解集为⌀； 当0<a<1时，解得1<x<. 当a=0时，原不等式等价于-x+1<0，解得x>1. 当a<0时，<1，原不等式可化为(x-1)>0，解得x>1或x<. 综上，当0<a<1时，不等式的解集为， 当a=1时，不等式的解集为⌀， 当a>1时，不等式的解集为， 当a=0时，不等式的解集为{x|x>1}， 当a<0时，不等式的解集为. |思维建模|　含参数的不等式分类讨论的关键点 　　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有: (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. [即时训练] 3.解关于x的不等式x2-(a-2)x-2a>0(a∈R). 解:原不等式可化为(x-a)(x+2)>0(a∈R). 当a=-2时，不等式的解集为(-∞，-2)∪(-2，+∞)； 当a>-2时，不等式的解集为(-∞，-2)∪(a，+∞)； 当a<-2时，不等式的解集为(-∞，a)∪(-2，+∞). 题点三　三个“二次”之间的关系 [例3]　(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-4或x≥5}，则下列说法正确的是 (　　) A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-5} C.不等式cx2-bx+a<0的解集为 D.a+b+c>0 解析:选AC　由题意得，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，即a>0，故A正确；因为-4，5是方程ax2+bx+c=0的根，所以解得所以bx+c>0，即-ax-20a>0，解得x<-20，故B错误；不等式cx2-bx+a<0等价于-20ax2+ax+a<0，即20x2-x-1>0，即(5x+1)·(4x-1)>0，解得x<-或x>，故C正确；因为1∉{x|x≤-4或x≥5}，所以a+b+c<0，故D错误. |思维建模| 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负. [即时训练] 4.[多选]若关于x的一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为，则下列说法正确的是 (　　) A.a<0 B.a+b=-5 C.不等式ax2+x-b>0的解集是 D.不等式ax2+x-b>0的解集是∪(1，+∞) 解析:选ABC　由题意得，a<0，且ax2+bx+1=0的两个实数根是x1=-1，x2=， 则解得a+b=-3-2=-5，故A、B正确； 由上知ax2+x-b>0，即-3x2+x-(-2)>0，即(3x+2)(x-1)<0，解得-<x<1，故不等式ax2+x-b>0的解集为，故C正确，D不正确. 谨记结论:对于不等式ax2+bx+c>0，若其解集为(-∞，m)∪(n，+∞)，则a>0且方程ax2+bx+c=0的两根为m，n，且m<n；若其解集为(m，n)，则a<0且方程ax2+ax+c=0的两根为m，n，且m<n. 5.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，且x2-x1=15，求a的值. 解:由题知x1，x2是一元二次方程x2-2ax-8a2=0(a>0)的实数根，所以Δ=4a2+32a2=36a2>0，且x1+x2=2a，x1x2=-8a2.又因为x2-x1=15，所以152=(x1+x2)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2，又a>0，解得a=. 数智赋能:电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.不等式x2+x-2<0的解集为 (　　) A.{x|-2<x<1} B.{x|-1<x<2} C.{x|x<-2或x>1} D.{x|x<-1或x>2} 解析:选A　因为x2+x-2<0，即(x+2)(x-1)<0，解得-2<x<1，所以不等式x2+x-2<0的解集为{x|-2<x<1}. 2.不等式≤1的解集为 (　　) A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2<x≤1} C.{x|x≤-2或x>1} D.{x|x<-2或x≥1} 解析:选D　由≤1，即≤0， 得解得x≥1或x<-2. 3.若0<m<1，则不等式(x-m)<0的解集为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　因为0<m<1，所以>m，所以(x-m)<0的解集为. 4.若不等式>1的解集为{x|x<-1或x>4}，则不等式≥0的解集为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　因为不等式>1可转化为>0， 其解集为或， 所以a>1，且方程=0的两个根为x1=-1，x2=4， 则或解得或(舍去). 所以≥0，即解得-6≤x<-. 所以不等式≥0的解集为. 5.已知关于x的一元二次不等式mx2-3x+1<0的解集为(a，b)，则+3ab的最小值是 (　　) A.2 B.2 C.3 D.3 解析:选A　由一元二次不等式mx2-3x+1<0的解集为(a，b)可得m>0， 利用根与系数的关系可得即可得a+b=3ab，且a>0，b>0，+=3，所以+3ab=+3ab=3a-1+a+b=4a+b-1. 易知4a+b-1=(4a+b)-1 =-1≥-1=2，当且仅当=，即a=，b=1时等号成立， 故+3ab的最小值是2. 6.若关于x的不等式组的整数解只有-2，则k的取值范围为 (　　) A.(1，2) B.[1，2] C.(1，2] D.[-3，2) 解析:选D　易得x2-x-2>0的解集为(-∞，-1)∪(2，+∞)，2x2+(5+2k)x+5k=(2x+5)·(x+k)<0，当k<时，2x2+(5+2k)x+5k<0的解集为， 因为关于x的不等式组的整数解只有-2，所以-2<-k≤3，即-3≤k<2； 当k=时，2x2+(5+2k)x+5k<0的解集为空集，不满足题意； 当k>时，2x2+(5+2k)x+5k<0的解集为，不满足题意. 综上，k的取值范围为[-3，2). 二、多选题 7.已知不等式ax2+2x+c>0的解集为，则下列选项正确的是 (　　) A.a=-12 B.c=-12 C.c=2 D.a=2 解析:选AC　由于不等式ax2+2x+c>0的解集为， 所以x1=-和x2=是方程ax2+2x+c=0的两个实数根，故-+=-且-×=， 解得a=-12，c=2，故选AC. 8.若存在m，n(m<n-1)，使得0≤x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m≤x≤m+1或x=n}，则下列结论正确的是 (　　) A.x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1或x≥n} B.x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m+1≤x≤n} C.c=-n D.a2+2a>4b-4c 解析:选AD　因为m<n-1，所以m+1<n，由题意得x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m≤x≤n}，x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1或x≥n}，A正确，B错误；x2+(a+1)x+b-c=0的两个根为m，n，x2+ax+b=0的两个根为m+1，n，故m+n=-a-1，mn=b-c，m+1+n=-a，(m+1)n=b，由于mn=b-c，(m+1)n=b，故b-c+n=b，所以n=c，C错误；因为n-m>1，所以n-m==>1，两边平方得a2+2a>4b-4c，D正确. 9.已知a∈R，关于x的不等式>0的解集可能是 (　　) A.(1，a) B.(-∞，1)∪(a，+∞) C.(-∞，a)∪(1，+∞) D.⌀ 解析:选BCD　当a<0时，不等式等价于(x-1)·(x-a)<0，解得a<x<1； 当a=0时，不等式的解集是⌀； 当0<a<1时，不等式等价于(x-1)(x-a)>0，解得x>1或x<a； 当a=1时，不等式等价于(x-1)2>0，解得x≠1； 当a>1时，不等式等价于(x-1)(x-a)>0，解得x>a或x<1. 三、填空题 10.不等式>2的解集为　　　　.  解析:因为>2，所以-2=>0，等价于(1-2x)(x+2)>0，解得-2<x<， 即不等式>2的解集为. 答案: 11.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(-3，2)，乙写错了常数c，得到的解集为(-3，4).那么原不等式的解集为　　　　.  解析:依题意知，c=-3×2=-6，-b=-3+4=1，即b=-1， 因此不等式x2+bx+c<0，即x2-x-6<0， 解得-2<x<3， 所以原不等式的解集为(-2，3). 答案:(-2，3) 四、解答题 12.(10分)已知二次函数f(x)=x2-ax-2a2，a∈R. (1)若f(1)<0，求实数a的取值范围；(4分) (2)求关于x的不等式f(x)>0的解集.(6分) 解:(1)由已知得f(1)=1-a-2a2<0， 即(a+1)(2a-1)>0，解得a<-1或a>. 所以实数a的取值范围为(-∞，-1)∪. (2)f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0， 令f(x)=0，得x1=2a，x2=-a， 当2a<-a，即a<0时，解得x<2a或x>-a； 当2a=-a，即a=0时，解得x≠0； 当2a>-a，即a>0时，解得x<-a或x>2a. 综上所述，当a<0时， 不等式的解集为(-∞，2a)∪(-a，+∞)； 当a=0时，不等式的解集为(-∞，0)∪(0，+∞)； 当a>0时，不等式的解集为(-∞，-a)∪(2a，+∞). 13.(10分)已知关于x的一元二次不等式ax2+x+b>0的解集为(-∞，-2)∪(1，+∞). (1)求a和b的值；(3分) (2)求不等式ax2-(2a+b+2)x+1-c2<0的解集.(7分) 解:(1)由题意知-2和1是方程ax2+x+b=0的两个根且a>0， 由根与系数的关系得解得 (2)由a=1，b=-2，得不等式可化为x2-2x+1-c2<0，即[x-(1+c)][x-(1-c)]<0，则该不等式对应方程的实数根为1+c和1-c. 当c>0时，1+c>1-c，解得1-c<x<1+c，即不等式的解集为(1-c，1+c)； 当c=0时，1+c=1-c，不等式的解集为空集； 当c<0时，1+c<1-c，解得1+c<x<1-c，即不等式的解集为(1+c，1-c). 综上，当c>0时，不等式的解集为(1-c，1+c)， 当c=0时，不等式的解集为空集， 当c<0时，不等式的解集为(1+c，1-c). 第六节　一元二次不等式恒成立问题　　　　 题点一　在实数集R上的恒成立问题 [例1]　若不等式kx2+(k-6)x+2>0的解为全体实数，则实数k的取值范围是 (　　) A.[2，18] B.(-18，-2) C.(2，18) D.(0，2) 解析:选C　当k=0时，不等式kx2+(k-6)x+2>0可化为-6x+2>0，显然不符合题意；当k≠0时，因为kx2+(k-6)x+2>0的解为全体实数，所以解得2<k<18.综上，2<k<18. |思维建模| 不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象来决定. (1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或 [即时训练] 1.已知函数f(x)=的定义域为R，则实数a的取值范围为 (　　) A.(0，1] B.[0，1] C.(1，+∞) D.[1，+∞) 解析:选B　由题意，不等式ax2+2ax+1≥0对任意的x∈R恒成立. 当a=0时，1≥0恒成立，符合题意.当a≠0时，则解得0<a≤1. 综上，a的取值范围是[0，1]. 题点二　在给定区间上的恒成立问题 [例2]　设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)<-m+5恒成立，求m的取值范围. 方法引入:解决此题可从两方面入手，一是函数法，对m>0，m<0分别讨论，从而确定g(x)在[1，3]上的单调性，求出最大值；二是分离参数，再求出对应函数在[1，3]上的最小值. 解:法一　要使f(x)<-m+5在区间[1，3]上恒成立，则mx2-mx+m-6<0，即m+m-6<0在[1，3]上恒成立. 令g(x)=m+m-6，x∈[1，3]， 当m>0时，g(x)在区间[1，3]上单调递增， 所以g(x)max=g(3)=7m-6<0， 所以m<，则0<m<； 当m<0时，g(x)在区间[1，3]上单调递减，所以g(x)max=g(1)=m-6<0，所以m<6，所以m<0. 综上所述，m的取值范围是. 法二　要使f(x)<-m+5在区间[1，3]上恒成立，则mx2-mx+m-6<0，即m(x2-x+1)-6<0. 又x2-x+1=+>0， 所以m<. 因为函数y==在区间[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可.因为m≠0，所以m的取值范围是. |思维建模|　在给定区间上恒成立问题的求解策略 策略一 若f(x)>0在给定区间上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围 策略二 转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a [即时训练] 2.已知函数f(x)=ax2-2x+a，对x∈都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是 (　　) A.[1，+∞) B. C. D. 快审准解:根据不等式恒成立，分离参数，可得a≥，对x∈恒成立，构造函数，结合函数的单调性求其最小值，即可求得答案. 解析:选A　由题意知ax2-2x+a≥0对x∈恒成立，即a≥=，对x∈恒成立.设g(x)=x+，由于g(x)在上单调递减，在[1，2]上单调递增， 所以g(x)min=g(1)=2，则≤1，当且仅当x=1时等号成立，故a≥1，即实数a的取值范围为[1，+∞)，故选A. 3.已知函数f(x)=x2-x+1. (1)若f(x)≥0在R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若∃x∈[1，2]，f(x)≥2成立，求实数a的取值范围. 解:(1)由题意得Δ=-4≤0，解得-4≤a≤4，∴实数a的取值范围为[-4，4]. (2)由题意∃x∈[1，2]，使得≤x-成立.令g(x)=x-，x∈[1，2]，则g(x)在区间[1，2]上单调递增，∴g(x)max=g(2)=，∴≤，解得a≤3，∴实数a的取值范围为(-∞，3]. 习得方略:解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数的最值，即a>f(x)能成立⇒a>f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max. 题点三　变换主元解决恒成立问题 [例3]　已知a∈[-1，1]时，不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立，则x的取值范围为 (　　) A.(-∞，2)∪(3，+∞) B.(-∞，1)∪(2，+∞) C.(-∞，1)∪(3，+∞) D.(1，3) 解析:选C　把不等式的左端看成关于a的函数， 记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4， 则由f(a)>0对于任意的a∈[-1，1]恒成立， 得f(-1)=x2-5x+6>0，且f(1)=x2-3x+2>0，解不等式组得x<1或x>3. |思维建模|　 给定参数范围的恒成立问题，常采用变更主元的方法，即交换主元与参数的位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.常见的是转化为一次函数f(x)=ax+b(a≠0)在[m，n]上恒成立问题，若f(x)>0恒成立⇔即直线上两点的函数值均大于零，则由直线的特点可知，两点之间的所有点的函数值均大于零.同理，若f(x)<0恒成立⇔ [即时训练] 4.若命题“∃-1≤a≤3，ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题，则实数x的取值范围为 (　　) A.{x|-1≤x≤4} B. C. D. 解析:选C　由题意可得命题“∀-1≤a≤3，ax2-(2a-1)x+3-a≥0”为真命题， 即ax2-(2a-1)x+3-a=(x2-2x-1)a+x+3≥0对a∈[-1，3]恒成立， 则 解得-1≤x≤0或≤x≤4， 即实数x的取值范围为. 数智赋能:电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单选题 1.已知命题p:∀x∈R，(a+1)x2-2(a+1)x+3>0为真命题，则实数a的取值范围是 (　　) A.(-1，2) B.[1，+∞] C.(-∞，-1) D.[-1，2) 解析:选D　当a=-1时，3>0恒成立； 当a≠-1时，需满足 解得-1<a<2.综上所述，-1≤a<2. 2.若不等式x2-ax+4≥0对任意x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是 (　　) A.[0，4] B.(-∞，4] C. D.(-∞，5] 解析:选B　不等式x2-ax+4≥0对任意x∈[1，3]恒成立，则∀x∈[1，3]，a≤x+恒成立， 而x+≥2=4，当且仅当x=，即x=2时取等号，因此a≤4， 所以实数a的取值范围是(-∞，4]. 3.若命题“∃x∈[-1，1]，x2-4x-2m+1>0”为假命题，则m的取值范围为 (　　) A.[3，+∞) B. C. D. 解析:选A　因为命题“∃x∈[-1，1]，x2-4x-2m+1>0”为假命题， 所以命题“∀x∈[-1，1]，x2-4x-2m+1≤0”为真命题.因为函数f(x)=x2-4x-2m+1在(-∞，2]上单调递减，所以只需f(-1)=(-1)2-4×(-1)-2m+1≤0，解得m≥3， 即m的取值范围为[3，+∞). 4.若关于x的不等式x2+ax-2>0在[1，5]上有解，则实数a的取值范围是 (　　) A. B. C. D.(1，+∞) 解析:选C　关于x的不等式x2+ax-2>0在[1，5]上有解，即a>-x在[1，5]上有解， (关键点拨:对于一元二次不等式在给定区间上有解的问题，一般通过分离参数求解) 所以a>.设f(x)=-x，x∈[1，5]，易知f(x)在[1，5]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(5)=-5=-，所以实数a的取值范围是. 5.“关于x的不等式(2a-3)x2-(2a-3)x+4≥0的解集为R”是“<a<9”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 快审准解:求出不等式(2a-3)x2-(2a-3)x+4≥0的解集为R时的a的取值范围，再由必要不充分条件的定义判断可得答案. 解析:选B　当2a-3=0，即a=时，不等式0×x2-0×x+4≥0的解集为R，符合题意； 当2a-3≠0，即a≠时，若不等式(2a-3)x2-(2a-3)x+4≥0的解集为R， 则解得<a≤. 综上，当不等式(2a-3)x2-(2a-3)x+4≥0的解集为R时，≤a≤，充分性不成立； 若<a<9，则不等式(2a-3)x2-(2a-3)x+4≥0的解集为R，必要性成立， 所以“不等式(2a-3)x2-(2a-3)x+4≥0的解集为R”是“<a<9”的必要不充分条件.故选B. 6.已知∀x∈[1，2]，∀y∈[2，3]，y2-xy-mx2≤0，则实数m的取值范围是 (　　) A.[4，+∞) B.[0，+∞) C.[6，+∞) D.[8，+∞) 快审准解:首先将不等式转化为关于的不等式，再根据参变分离，转化为求函数的最值. 解析:选C　因为x∈[1，2]，y∈[2，3]，则∈，所以∈[1，3].又y2-xy-mx2≤0，所以m≥-.令t=∈[1，3]，则原命题等价于∀t∈[1，3]，m≥t2-t，即m≥(t2-t)max.因为y=t2-t=-，当t=3时，y=t2-t取到最大值ymax=9-3=6，所以实数m的取值范围是[6，+∞). 二、多选题 7.已知函数f(x)=的定义域为R，则实数a的取值可能是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选ABC　由题意可知ax2-2ax+3≠0对一切实数恒成立.当a=0时，3≠0对∀x∈R恒成立；当a≠0时，Δ=(-2a)2-4a×3<0，解得0<a<3.综上所述，实数a的取值范围为[0，3). 8.已知关于x的一元二次不等式x2+5x+m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是 (　　) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:选AB　画出函数f(x)=x2+5x+m的大致图象如图所示，关于x的一元二次不等式x2+5x+m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合，由函数f(x)=x2+5x+m图象的对称轴为x=-，知为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，只需使得解得4≤m<6. 三、填空题 9.对任意x∈[1，+∞)，不等式(m-3)x2≥x+1恒成立，则实数m的取值范围是　　　　.  解析:由题意得m≥3++=+对任意x∈[1，+∞)恒成立， 由复合函数的单调性可知y=+在[1，+∞)上单调递减，所以m≥3+1+1=5，即实数m的取值范围是[5，+∞). 答案:[5，+∞) 10.若mx2-1<0对于m∈[0，2]恒成立，则实数x的取值范围为　　　　　　　.  解析:令f(m)=x2m-1(m∈[0，2])，因为x2m-1<0对于m∈[0，2]恒成立，所以即解得-<x<，所以实数x的取值范围为. 答案: 四、解答题 11.(10分)已知不等式mx2-mx+2≥0. (1)当x∈R时，不等式恒成立，求实数m的取值范围；(5分) (2)当3≤x≤5时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.(5分) 解:(1)若m=0，则原不等式可化为2≥0，显然恒成立；若m≠0，则不等式mx2-mx+2≥0恒成立，等价于解得0<m≤8. 综上，实数m的取值范围是{m|0≤m≤8}. (2)当m=0时，原不等式可化为2≥0，显然恒成立；当m>0时，函数y=mx2-mx+2的图象开口向上，对称轴为直线x=， 若x∈[3，5]不等式恒成立， 则解得m>0； 当m<0时，函数y=mx2-mx+2的图象开口向下，对称轴为直线x=，若x∈[3，5]不等式恒成立，则解得-≤m<0.综上，实数m的取值范围是. 12.(10分)已知集合A={x|x2+x-2<0}，B={x|x2-3mx+2m2<0}. (1)若m=-1，且A，B同时成立，求x的取值范围；(4分) (2)设命题p:∀x∈A，x2+(1-2a)x+a2+a>8，若命题¬p为真命题，求a的取值范围.(6分) 解:(1)解不等式x2+x-2<0，得-2<x<1，故A={x|-2<x<1}. 当m=-1时，解不等式x2+3x+2<0，得-2<x<-1，故B={x|-2<x<-1}.因为A，B同时成立，所以x的取值范围为(-2，-1). (2)因为p:∀x∈A，x2+(1-2a)x+a2+a>8， 所以¬p:∃x∈A，x2+(1-2a)x+a2+a≤8为真命题，设f(x)=x2+(1-2a)x+a2+a-8，则f(x)≤0在(-2，1)上有解， 所以f(-2)=a2+5a-6≤0或f(1)=a2-a-6≤0⇒-6≤a≤1或-2≤a≤3，即-6≤a≤3. 所以a的取值范围为[-6，3]. 37 / 70 学科网（北京）股份有限公司 $$