第四章 三角函数、解三角形（教师用书）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第四章 三角函数、解三角形 第一节　任意角和弧度制、三角函数的概念 1.了解任意角的概念和弧度制.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，并能利用三角函数的定义解决相关问题. 教材再回首 1.角的概念 定义 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形 分类 (1)按旋转方向分为正角、负角和零角； (2)按终边位置分为象限角和轴线角 终边 相同 的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β=α+k·360°，k∈Z}或{β|β=α+2kπ，k∈Z} 2.弧度制的定义和公式 定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad 弧度数公式 |α|=(弧长用l表示，半径用r表示) 角度与 弧度的换算 (1)1°= rad；(2)1 rad=°≈57.30° 弧长公式 弧长l=|α|r 扇形 面积公式 S=lr=|α|r2 3.任意角的三角函数的定义 (1)借助单位圆:设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α=y，cos α=x，tan α=(x≠0). (2)借助终边上点的坐标:设角α终边上任意一点P(原点除外)的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r=OP=，则sin α=，cos α=，tan α=(x≠0). (3)三角函数在各个象限的符号简记为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”. 解题结论拓展 1.象限角 2.轴线角 3.若角α∈，则sin α<α<tan α . 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)锐角是第一象限角，第一象限的角也都是锐角. (　　) (2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应. (　　) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等. (　　) (4)若α是三角形的内角，则必有sin α>0. (　　) (5)三角函数值的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关. (　　) 答案:(1) ×　(2)√　(3) √　(4)√　(5)√ 2.(苏教必修①P181T6改编)已知α∈(0，2π)，sin α<0，cos α>0，则角α的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　因为sin α<0，cos α>0，所以α为第四象限角，结合α∈(0，2π)，得α∈，故选D. 3.(人A必修①P175T6改编)半径为2的圆中，有一条弧长是，则此弧所对的圆心角是 (　　) A.15° B.20° C.30° D.40° 答案:C 4.(人A必修①P180T3改编)已知角θ的终边过点P(-12，5)，则sin θ+cos θ等于 (　　) A. B.- C. D.- 解析:选D　∵OP==13，∴sin θ=，cos θ=-，∴sin θ+cos θ=-. 题点一　角的表示 [例1] (1)集合A={α|α=-2 024°+k·180°，k∈Z}中的最大负角α为 (　　) A.-2 024° B.-224° C.-44° D.-24° 解析:选C　因为-2 024°=-44°-11×180°，所以集合A={α|α=-2 024°+k·180°，k∈Z}中的最大负角α为-44°. (2)(人A必修①P176T7(2)改编)已知θ是第一象限角，那么是第　　　　象限角.  解析:因为θ是第一象限角，所以k·360°<θ<90°+k·360°，k∈Z，所以k·180°<<45°+k·180°，k∈Z，(易错提醒:易忽视对k的讨论) 当k为偶数时，是第一象限角，当k为奇数时，是第三象限角，综上所述，是第一、三象限角. 答案:一、三 价值发掘:若α，β，γ，θ分别为第一、二、三、四象限角，则的终边所在的象限如图所示. 　　　 |思维建模| 1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角 先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角. 2.确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置. [即时训练] 1.[多选]下列命题正确的是 (　　) A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α=2kπ，k∈Z} B.终边落在y轴上的角的集合为{α|α=90°+kπ，k∈Z} C.第三象限角的集合为 D.在-720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为-675°和-315° 解析:选AD　A显然正确；B项，终边落在y轴上的角的集合为，角度与弧度不能混用，故错误；C项，第三象限角的集合为，故错误；D项，所有与45°角终边相同的角可表示为β=45°+k·360°(k∈Z)，令-720°≤45°+k·360°≤0°(k∈Z)，解得-≤k≤-(k∈Z)，从而当k=-2时，β=-675°；当k=-1时，β=-315°，故正确. 2.如图，已知角θ的终边落在阴影区域内(不含边界)，角α的终边和角θ相同，则角α的集合为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　终边落在y=x上的角为+kπ(k∈Z)，终边落在y=x上的角为+kπ(k∈Z)，故角α的集合为. 题点二　弧度制及其应用 [例2]　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α=60°，R=6，求扇形的周长； (2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，此时扇形的圆心角α为多少弧度. 解:(1)因为α=60°=， 所以扇形的周长为l+2R=×6+2×6=2π+12. (2)由扇形的周长为20，得αR+2R=20， 所以R=，则扇形的面积S=αR2=α·=≤=25， 当且仅当α=，即α=2时取等号. 所以扇形面积的最大值为25，此时扇形的圆心角α为2弧度. |思维建模|　应用弧度制解决问题的注意点 (1)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个. (2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. (3)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决. [即时训练] 3.已知扇形的圆心角为3 rad，面积为24，则该扇形的弧长为 (　　) A.4 B.4π C.12 D.12π 解析:选C　设该扇形的弧长为l，圆心角为α，半径为r，由S=αr2，得×3r2=24，即r=4，故l=αr=12. 4.中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为l，的长为m，若l∶m∶AD=9∶3∶2，则扇环的圆心角的弧度数为 (　　) A.3 B.2 C. D. 解析:选A　如图，设扇环所在圆的圆心为O，圆心角为α，则==， 所以OA=3OD=3(OA-AD)，得=， 又=，所以α=×=3. 题点三　三角函数的定义及其应用 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 考法(一)　三角函数的定义 [例3] (1)设角α终边上的点的坐标为(3，-4)，则 (　　) A.sin α= B.tan α=- C.cos α=- D.tan α=- 解析:选D　设角α终边所在圆的半径为r，由题意得，r==5， 所以sin α==-，cos α==，tan α==-，所以D正确. (2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(1，y)是角θ终边上一点，且sin θ=-，则y= (　　) A.-3 B.3 C.-1 D.1 解析:选A　因为sin θ=-<0，A(1，y)是角θ终边上一点，所以y<0.由三角函数的定义，得=-，解得y=-3(正值舍去). |思维建模|　利用三角函数定义求三角函数值的方法 (1)已知角α的终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值的方法:先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解. (2)已知角α的终边所在的直线方程，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解. 考法(二)　三角函数值的符号 [例4]　若sin α·tan α<0，且<0，则角α是 (　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析:选C　由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角.由<0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角.综上可知，α为第三象限角，故选C. |思维建模|　判定三角函数值符号的关键点 　　要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那么就要进行分类讨论求解. [即时训练] 5.已知sin θcos θ<0，且|cos θ|=cos θ，则角θ是 (　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析:选D　由|cos θ|=cos θ，可知cos θ≥0，结合sin θcos θ<0，得sin θ<0，cos θ>0，故选D. 6.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2a，a-2)，且cos α=，则实数a的值是 (　　) A.-4或 B. C.-4 D.1 解析:选B　由三角函数的定义可得cos α===，则a>0，整理可得5a2+16a-16=0，解得a=. 7.已知角α的终边经过点，则tan α= (　　) A.- B. C.- D. 解析:选A　因为sin=sin=，cos=-cos=-，所以tan α==-. 数智赋能:电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.已知角α的终边经过点P，则cos α= (　　) A. B. C. D.- 解析:选B　由P，得P，则cos α==，故选B. 2.与-终边相同的角是 (　　) A.- B. C. D. 解析:选C　因为-=-4π，所以与-终边相同的角可表示为+2kπ(k∈Z)，易知C正确. 3.(2025·北京模拟)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴正半轴上，sin α<0且tan α>0，则α的终边在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选C　因为sin α<0，所以α的终边在第三、四象限或y轴负半轴上. (不要忽视终边在坐标轴上的情况) 因为tan α>0，所以α的终边在第一、三象限，所以α的终边在第三象限. 4.我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用面度制度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种度量角的制度，叫做面度制.在面度制下，若角α的面度数为，则角α的正弦值是 (　　) A.- B. C.- D. 解析:选D　设角α所在的扇形的半径为r，面积为S，则由题意可得==，解得α=，所以sin α=sin=. 5.已知角x的终边上一点的坐标为，则角x的最小正值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　因为sin>0，cos<0，所以角x的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知sin x=cos=-，故角x的最小正值为2π-=. 6.(2025·天津河东一模)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为 (　　) A.4 B.2 C.2 D.1 解析:选C　设扇形的半径为R(R>0)，圆心角为α，则αR2=4，所以α=，则扇形的周长为2R+αR=2R+≥2=8，当且仅当2R=，即R=2时，取等号，所以周长最小时半径的值为2. 7.已知角α的终边经过A(x，2)，B(-8，y)，且y-x=8，则sin α= (　　) A.- B. C.- D. 解析:选B　由题意得tan α==-， 所以xy=-16.又y-x=8，所以 故sin α==. 8.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿.如果大轮的转速为180 r/min，小轮的半径为10 cm，那么小轮圆周上一点每1 s转过的弧长是 (　　) A.5 400π cm B.90π cm C.180π cm D.40π cm 快审准解:通过大轮的转速，得到小轮的转速，从而求出小轮上每一点的转速，再根据弧长公式计算可得. 解析:选B　大轮有45齿，小轮有30齿，当大轮转动一周时，小轮转动=周，当大轮的转速为180 r/min时，小轮的转速为×180=270 r/min，小轮圆周上一点每1 s转过的弧度数为270×2π×=9π.又小轮的半径为10 cm，所以小轮圆周上一点每1 s转过的弧长为9π×10=90π cm. 9.已知△ABC为锐角三角形，若角θ的终边过点P(sin A-cos B，cos A-sin C)，则++的值为 (　　) A.1 B.-1 C.3 D.-3 解析:选B　因为△ABC为锐角三角形，所以A+B>，A+C>，即A>-B，C>-A，所以sin A>cos B，sin C>cos A，所以θ是第四象限角，所以++=-1+1-1=-1. 二、多选题 10.下列说法正确的是 (　　) A.角与角-终边相同 B.终边在直线y=-x上的角α的取值集合可表示为{α|α=k·360°-45°，k∈Z} C.若角α的终边在直线y=-3x上，则cos α的取值为 D.67°30'化成弧度是 解析:选AD　角与角-相差2π，终边相同，故A正确；终边在直线y=-x上的角α的取值集合可表示为{α|α=k·180°-45°，k∈Z}，故B错误；若角α的终边在直线y=-3x上，则cos α的取值为±，故C错误；67°30'化成弧度是，故D正确. 11.已知角θ的终边经过点(-2，-)，且θ与α的终边关于x轴对称，则 (　　) A.sin θ=- B.α为钝角 C.cos α=- D.点(tan θ，tan α)在第四象限 解析:选ACD　因为角θ的终边经过点(-2，-)，所以sin θ=-=-，故A正确；因为θ与α的终边关于x轴对称，所以α的终边经过点(-2，)，则α为第二象限角，不一定为钝角，且cos α==-，故B错误，C正确；因为tan θ=>0，tan α=-<0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，故D正确. 12.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA=，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则 (　　) A.经过1 s后，∠BOA的弧度数为+3 B.经过 s后，扇形AOB的弧长为 C.经过 s后，扇形AOB的面积为 D.经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇 解析:选ABD　经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为+3，故A正确；经过 s后，∠AOB=++2×=，故扇形AOB的弧长为×1=，故B正确；经过 s后，∠AOB=++2×=，故扇形AOB的面积为××12=，故C不正确；设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1+2)+=2π，解得t=，故D正确. 三、填空题 13.若α=1 560°，角θ与角α终边相同，且-360°<θ<360°，则θ=　　　　.  解析:因为α=1 560°=4×360°+120°，所以与α终边相同的角为k·360°+120°，k∈Z，令k=-1，得θ=-240°；令k=0，得θ=120°. 答案:120°或-240° 14.在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，且OP=2，则点P的坐标为　　　　.  解析:设点P的坐标为(x，y)，由三角函数定义得所以所以点P的坐标为(-1，). 答案:(-1，) 15.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为　　　　　　　　　　　.  解析:∵在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，∴所求角α的集合为 . 答案: 第二节　同角三角函数的基本关系及诱导公式 1.理解同角三角函数的基本关系:sin2α+cos2α=1,=tan α. 2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式. 3.能利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值. 教材再回首 1.同角三角函数的基本关系 平方关系 sin2α+cos2α=1 商数关系 tan α= 2.诱导公式 角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α -tan α -tan α — — 记忆 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变, 符号看象限 解题结论拓展 　　同角三角函数基本关系式的几种变形 (1)sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α); cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α); (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. (2)sin α=tan αcos α. (3)sin2α==; cos2α==. 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角. (　　) (2)存在角α,β有sin2α+cos2β=1. (　　) (3)若sin x=a,则cos x的值一定有两个. (　　) (4)若α为第二象限角,则sin=cos α. (　　) (5)对任意角α,sin=sin α都不成立. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3) ×　(4)√　(5)× 2.(人A必修①P184T1改编)已知cos α=-,且α为第三象限角,则sin α= (　　) A. B.- C.- D. 答案:C 3.(人A必修①P195T5)已知sin=,那么cos α= (　　) A.- B.- C. D. 解析:选B　因为sin=-cos α=,所以cos α=-. 4.(北师大必修②P149例5改编)已知tan α=3,则=　　　　.  解析:∵tan α=3,∴===2. 答案:2 5.(苏教必修①P225T13改编)设α是第三象限角,且tan α=2,则=　　　　.  解析:因为==cos α,又tan α=2,α是第三象限角,所以cos α=-. 答案:- 题点一　同角三角函数基本关系 考法(一)　知一求二 [例1]　(2023·全国乙卷)若θ∈,tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　.  解析:由且θ∈, 解得故sin θ-cos θ=-. 答案:- 考法(二)　sin α,cos α的齐次式问题 [例2]　已知=,则sin2α-2sin αcos α+3cos2α=　　　　.  解析:由=可得tan α=-3, sin2α-2sin αcos α+3cos2α====. 答案: 考法(三)　“sin α±cos α,sin αcos α”之间关系的应用 [例3]　(多选)设α∈(0,π),sin α+cos α=,则下列等式正确的是 (　　) A.sin αcos α=- B.sin α-cos α= C.tan α= D.cos2α-sin2α=- 解析:选BD　因为sin α+cos α=,所以(sin α+cos α)2=,即sin2α+2sin αcos α+cos2α=,即1+2sin αcos α=,所以sin αcos α=-, 故A错误;又α∈(0,π),sin α>0,所以cos α<0, 则α∈,则tan α<0 ,所以sin α-cos α===,故B正确,C错误;cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=×=-,故D正确. 谨记结论:(1)注意公式的逆用及变形用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. (2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二. |思维建模| (1)利用sin2α+cos2α=1可实现α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化. (2)当角所在的象限不明确时,要进行分类讨论. (3)若齐次式为分式,可将分子与分母同除以cos α的n次幂,将分式的分子与分母化为关于tan α的式子,代入tan α的值即可求解. [即时训练] 1.已知tan α=-,且α为第二象限角,则cos α= (　　) A.- B. C.- D. 解析:选A　因为tan α=-,所以sin α=-cos α,又sin2α+cos2α=1,所以+cos2α=1,所以cos2α=.又α为第二象限角,所以cos α=-. 2.已知tan α=-,α∈,则sin α-2cos α= (　　) A. B. C.1 D.- 快审准解:根据同角三角函数的基本关系及角的取值范围,求出sin α和cos α的值,代入计算可得结果. 解析:选A　因为α∈,所以sin α>0,cos α<0, 又⇒ 所以sin α-2cos α=+=.故选A. 题点二　诱导公式 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例4] (1)若sin=,则cos= (　　) A. B.- C.- D. 解析:选C　由sin=,得cos =cos =cos =-sin=-. (2)化简等于 (　　) A.-sin θ B.sin θ C.cos θ D.-cos θ 解析:选A　原式===-sin θ. |思维建模| 1.诱导公式应用的步骤 任意负角的三角函数任意正角的三角函数0~2π内的角的三角函数锐角三角函数. 2.诱导公式的两个应用 (1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. (2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了. 3.应用技巧 常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等,常见的互补关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等. [即时训练] 3.已知cos=,则sin= (　　) A. B. C.- D.- 解析:选A　sin=sin=cos=. 4.化简:=　　　　.  解析: = = ==-sin α. 答案:-sin α 题点三　基本关系与诱导公式的综合应用 [例5]　已知=. (1)求tan x的值; (2)若sin x,cos x是方程x2-mx+n=0的两个根,求m2+3n的值. 快审准解:(1)利用诱导公式化简,再由同角三角函数的基本关系将弦化切,即可得解; (2)利用根与系数的关系得到从而得到m2+3n=1+5sin xcos x,再由同角三角函数的基本关系求出sin xcos x,即可得解. 解:(1)因为=,所以=,所以=,解得tan x=2. (2)因为sin x,cos x是方程x2-mx+n=0的两个根,所以所以m2+3n=(sin x+cos x)2+3sin xcos x=1+5sin xcos x.又sin xcos x====,所以m2+3n=1+5×=3. |思维建模| 利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的基本思路 (1)分析结构特点,寻求条件及所求之间的关系,尤其是角之间的关系; (2)选择恰当的公式,利用公式灵活变形; (3)化简求值. [即时训练] 5.已知α为第二象限角, f(α)=. (1)化简f(α); (2)若sin α=,求f(α)的值. 解:(1)f(α)= ==-cos α. (2)若sin α=,α为第二象限角, 所以f(α)=-cos α==. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.sin 1 050°的值为 (　　) A.- B. C.- D. 解析:选A　sin 1 050°=sin(3×360°-30°)=sin(-30°)=-. 2.(2025·西安模拟)已知sin2(π-θ)=cos,0<|θ|<,则θ等于 (　　) A.- B.- C. D. 解析:选D　由题意知sin2θ=sin θ,所以sin θ=或sin θ=0.又因为0<|θ|<,所以θ=. 3.(2024·成都二模)若角α的终边位于第二象限,且sin α=,则sin= (　　) A. B.- C. D.- 解析:选D　因为角α的终边位于第二象限且sin α=,则cos α=-=-,所以sin=cos α=-. 4.已知cos=-,则sin= (　　) A. B. C.- D.- 解析:选B　sin=sin=-sin=-cos=. 5.在△ABC中,sin Acos A=-,则cos A-sin A= (　　) A.- B.- C. D.± 解析:选B　∵在△ABC中,sin Acos A=-, ∴A为钝角,∴cos A-sin A<0, ∴cos A-sin A=- =- =-=-. 6.(2025·长沙模拟)若α为锐角,且=+cos α,则cos α= (　　) A. B. C. D.- 解析:选B　因为=+cos α,所以==sin α+cos α+1=+cos α,所以sin α=.因为α为锐角,所以cos α=. 7.已知角α的始边与x轴非负半轴重合,P(-2,3)是角α终边上一点,则+的值为 (　　) A.- B. C. D.- 解析:选D　+=+=-=--.根据三角函数定义sin α=,cos α=-,所以原式=--=-+=-. 8.已知x∈,sin4x+cos4x=,则sin x-cos x= (　　) A. B.- C. D.- 快审准解:先根据sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x,以及同角三角函数的关系和角的范围求出sin xcos x,再根据sin x-cos x=-即可求解. 解析:选B　∵sin4x+cos4x=-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x=, ∴sin2xcos2x=.又x∈, ∴sin x<0,cos x>0,即sin xcos x=-, ∴sin x-cos x=- =- =-=-. 9.已知α是第四象限角,α终边与单位圆O交于点P(x0,y0),若2cos-1=0,则x0= (　　) A.- B.- C. D. 快审准解:利用任意角三角函数定义结合余弦函数的性质求解即可. 解析:选C　根据任意角三角函数定义知x0=cos α,由2cos-1=0, 得cos=,所以2α+=2kπ±(k∈Z), 所以α=kπ+(k∈Z)或α=kπ-(k∈Z). 又α是第四象限角,所以α=2nπ-(n∈Z), 所以cos α=cos=(n∈Z), 即x0=.故选C. 10.若α,β∈,sin α,sin β为方程4x2+2x-1=0的两个根,则tan αtan β= (　　) A.- B.- C.- D.- 解析:选D　因为sin α,sin β是方程4x2+2x-1=0的两根, 所以sin α+sin β=-<0,sin αsin β=-<0,且α,β∈,则cos α>0,cos β>0, 可得cos αcos β=== ==, 所以tan αtan β===-. 二、多选题 11.下列化简正确的是 (　　) A.tan(π+1)=tan 1 B.=cos α C.=tan α D.=1 解析:选AB　tan(π+1)=tan 1,故A正确;==cos α,故B正确;==-tan α,故C不正确; ==-1,故D不正确. 12.在△ABC中,下列结论正确的是 (　　) A.sin(A+B)=sin C B.sin=cos C.tan(A+B)=-tan C D.cos(A+B)=cos C 解析:选ABC　在△ABC中,有A+B+C=π,则sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,A正确;sin=sin=cos,B正确;tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,C正确;cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,D错误. 三、填空题 13.若角α的终边落在第三象限,则+=　　　　.  解析:由角α的终边落在第三象限,得sin α<0,cos α<0,故原式=+=+=-1-2=-3. 答案:-3 14.已知tan θ=-3,则=　　 　.  解析:∵tan θ=-3,∴===tan θ+=-+=-1. 答案:-1 15.已知cos(75°+α)=,则cos(105°-α)+sin(15°-α)=　　　　.  解析:因为(105°-α)+(75°+α)=180°,(15°-α)+(α+75°)=90°,所以cos(105°-α)=cos[180°-(75°+α)]=-cos(75°+α)=-,sin(15°-α)=sin[90°-(α+75°)]=cos(75°+α)=. 所以cos(105°-α)+sin(15°-α)=-+=0. 答案:0 第三节　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 1.会推导两角差的余弦公式. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系,并会简单应用. 教材再回首 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.  (2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β.  (3)tan(α±β)=. 2.二倍角的正弦、余弦和正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α.  (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. (3)tan 2α=. 3.辅助角公式 一般地,函数f(α)=asin α+bcos α(a,b为常数)可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=cos(α-φ). [微点提醒] 　　在求角的三角函数值时,往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0,π)内,正弦值对应的角不唯一. 解题结论拓展 1.两角和与差的正切公式的变形 tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β); tan αtan β=1-=-1. 2.降幂公式 cos2α=,sin2α=,tan2α=. 3.升幂公式 1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α; 1+sin 2α=(sin α+cos α)2; 1-sin 2α=(sin α-cos α)2. 4.其他常用变式 sin 2α==; cos 2α==. 5.半角正切公式的有理化 (人A必修①P226T1结论)tan==. 典题细发掘 1.(人A必修①P220T1改编)sin 75°的值为 (　　) A. B. C. D.- 解析:选B　sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=. 2.(人A必修①P218例3改编)若2cos α-sin α=0,则tan= (　　) A.- B. C.-3 D.3 解析:选B　因为2cos α-sin α=0,则sin α=2cos α,所以tan α=2.因此tan===.故选B. 3.(人A必修①P220T3改编)计算cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°的结果为 (　　) A. B. C.- D. 解析:选B　cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°=cos(72°-12°)=cos 60°=. 4.(北师大必修②P168T1改编)若tan α=,则cos 2α-sin 2α=　　　　.  解析:cos 2α-sin 2α=cos2α-sin2α-2sin αcos α = ==-. 答案:- 题点一　公式的基本应用 [例1] (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)= (　　) A.-3m B.- C. D.3m 解析:选A　法一　由cos(α+β)=m,得cos αcos β-sin αsin β=m　①, 由tan αtan β=2,得=2　②, 由①②得 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.故选A. 法二　取β=,α为第一象限角, (题干中有2个未知角,由题干条件可将其中一个角特殊化处理,即取β=,从而很容易就可以求出cos α,sin α) 则tan α=2,所以sin α=,cos α=, 所以(cos α-sin α)=-. 又cos(α+β)=m,所以m=-, 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=(cos α+sin α)==-3m.故选A. |考|教|衔|接| [例1]第(1)题源自人教A版必修①P255T15(1):已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,求tan αtan β的值. 启示:高考题与教材题只是调换了结论与条件而已,这就意味着在复习中,应注重对教材题目的挖掘、关注及应用.解决此类问题的关键是掌握公式及其常见变形. (2)(2024·全国甲卷)已知=,则tan= (　　) A.2+1 B.2-1 C. D.1- 解析:选B　根据题意有=,即1-tan α=,所以tan α=1-,所以tan===2-1,故选B. |思维建模|　利用三角函数公式时应注意的问题 (1)应注意公式的结构特点和符号变化规律,例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘,符号反”. (2)应注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用. (3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用. [即时训练] 1.(2024·吕梁二模)已知角α的顶点在原点,始边在x轴的正半轴上,终边经过点(-,1),则tan= (　　) A.- B.- C. D. 解析:选A　法一　由角α终边经过点(-,1),可得tan α=-,所以tan==-. 法二　角α终边经过点(-,1),故α为第二象限角,tan α=-,则α=+2kπ,k∈Z, 则tan=tan=-. 2.已知α为锐角,且sin-sin α=,则sin= (　　) A.- B. C.- D. 快审准解:利用和、差角正余弦公式,将条件化为cos=,进而有sin=,最后由二倍角正弦公式求结果. 解析:选B　sin-sin α=sin α+cos α-sin α=cos α-sin α=cos=, 因为α为锐角,所以sin=, 所以sin=2sincos=2××=.故选B. 题点二　公式的逆用及变形应用 [例2] (1)(2022·新课标Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β,则 (　　) A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1 解析:选C　法一　由题意,得sin αcos β+sin βcos α+cos αcos β-sin αsin β=2×(cos α-sin α)sin β,整理,得sin αcos β-sin βcos α+cos αcos β+sin αsin β=0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0,所以tan(α-β)=-1,故选C. 法二　设β=0,则sin α+cos α=0,即tan α=-1,取α=,排除A、B;设α=0,则sin β+cos β=2sin β,tan β=1,取β=,排除D. (2)(2025·济宁一模)若α+β=,则tan αtan β-tan α-tan β=　　　　.  解析:∵α+β=, ∴tan(α+β)==tan=-, ∴tan α+tan β=-(1-tan αtan β), ∴tan αtan β-tan α-tan β=. 答案: |思维建模|　三角函数公式活用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式,注意公式成立的条件和角之间的关系. (2)tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一.Tα±β公式的变形:tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). [即时训练] 3.下列各式中,值为的是 (　　) A.(cos 15°-sin 15°) B.cos2-sin2 C. D.sin 15°cos 15° 解析:选C　对于A,(cos 15°-sin 15°)=cos(45°+15°)=cos 60°=,A不符合;对于B,cos2-sin2=cos=,B不符合;对于C,=×=tan 45°=,C符合;对于D,sin 15°cos 15°=sin 30°=,D不符合. 4.sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=　　　　.  解析：法一　sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=cos 80°cos 60°cos 40°·cos 20°=cos 20°cos 40°cos 80°=======. 法二：构建对偶式　令x=sin 10°sin 50°sin 70°，y=cos 10°·cos 50°cos 70°，则xy=sin 10°sin 50°sin 70°cos 10°cos 50°cos 70°=sin 20°×sin 100°×sin 140°=sin 20°sin 80°sin 40°=cos 10°cos 50°cos 70°=y，因为y≠0，所以x=，从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=×=. 答案： 题点三　角的变换问题 [例3]　已知角α,β满足cos β=,cos αcos(α+β)=,则cos(2α+β)= (　　) A. B. C. D. 快审准解:关键利用拆角求解,即β=(α+β)-α,2α+β=α+(α+β),然后利用和差角的余弦公式求值即可. 解析:选C　由cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=,结合cos αcos(α+β)=,可得sin(α+β)sin α=-=,所以cos(2α+β)=cos(α+α+β)=cos αcos(α+β)-sin αsin(α+β)=-=.故选C. |思维建模|　角的变换问题的解题策略 (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. (3)常见角的变换:2α=(α+β)+(α-β),α=+,+α=-,α=(α+β)-β=(α-β)+β,+=等. [即时训练] 5.(2025·舟山模拟)若cos=,则sin= (　　) A.-　 B. C.　 D.- 解析:选A　法一　sin=-cos =-cos=-cos=-=-=-,故选A. 法二　cos2==,解得cos=,所以sin=-cos =-cos=-,故选A. 6.(2025·株洲一模)若tan(α+2β)=2,tan β=-3,则tan(α+β)=　　　　,tan α=　　　　.  解析:∵tan(α+2β)=2,tan β=-3,∴tan(α+β)=tan(α+2β-β)===-1,tan α=tan(α+β-β)==. 答案:-1　 数智赋能:电子版随堂训练(真题集训),根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.sin 45°cos 15°+cos 45°cos 75°= (　　) A.- B.- C. D. 解析:选D　sin 45°cos 15°+cos 45°cos 75°=sin 45°cos 15°+cos 45°sin 15°=sin(45°+15°)=sin 60°=. 2.(2025·枣庄模拟)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P,则cos= (　　) A.0 B. C. D. 解析:选D　因为P,即P,角α的终边经过点P,所以sin α=,cos α=,所以cos=cos αcos+sin αsin=×+×=. 3.(2024·上海高考)下列函数中,最小正周期是2π的是 (　　) A.y=sin x+cos x B.y=sin xcos x C.y=sin2x+cos2x D.y=sin2x-cos2x 解析:选A　y=sin x+cos x=sin ,其最小正周期为2π,A正确;y=sin xcos x=sin 2x,其最小正周期为π,B错误;y=sin2x+cos2x=1,不存在最小正周期,C错误;y=sin2x-cos2x=-cos 2x,其最小正周期为π,D错误.故选A. 规律结论:常见辅助角结论 (1)sin x±cos x=sin; (2)sin x±cos x=2sin; (3)cos x±sin x=cos; (4)cos x±sin x=2cos. 4.(2024·自贡三模)已知角α满足=3,则sin 2α= (　　) A.- B. C.- D. 解析:选D　由=3,得=3,即tan α=3,∴sin 2α===. 5.已知sin=,则cos= (　　) A.- B. C.- D. 解析:选A　由sin=, 得cos=1-2sin2=, cos=cos =-cos=-.故选A. 6.(2024·北京朝阳二模)在平面直角坐标系xOy中,锐角α以O为顶点,Ox为始边.将α的终边绕O逆时针旋转后与单位圆交于点P(x,y),若cos α=,则y= (　　) A.- B.- C. D. 解析:选D　如图,由cos α=,0<α<, 得sin α==,所以y=sin=(sin α+cos α)=×=. 7.已知θ为第一象限角,且tan+tan θ=0,则= (　　) A.9 B.3 C. D. 解析:选B　由题意知θ为第一象限角,且tan+tan θ=0,故+tan θ=0,解得tan θ=或tan θ=-(舍去), 则==tan2θ=3. 8.在平面直角坐标系中,将角α的终边顺时针旋转后经过点(1,-2),则sin α= (　　) A. B.- C. D.- 解析:选B　由题意得sin==-,cos==, 故sin α=sin=sincos+cossin=-×+×=-. 9.已知α为第一象限角,β为第四象限角,tan α-tan β=3,tan αtan β=-2,则sin(α-β)= (　　) A. B.- C. D.- 快审准解:根据正切的差角公式可得sin(α-β)=-3cos(α-β),即可结合角的范围,根据同角关系求解. 解析:选C　因为tan α-tan β=3,tan αtan β=-2, 所以tan(α-β)===-3,故sin(α-β)=-3cos(α-β). 又α是第一象限角,β为第四象限角, 故2mπ<α<+2mπ,-+2nπ<β<2nπ,m,n∈Z, 因此(2m-2n)π<α-β<π+(2m-2n)π,m,n∈Z, 因此sin(α-β)>0,由于sin2(α-β)=1-cos2(α-β), 则sin2(α-β)=1-sin2(α-β),故sin(α-β)=.故选C. 10.设α∈,β∈,且tan α=tan β+,则 (　　) A.3α-β= B.2α-β= C.3α+β= D.2α+β= 快审准解:根据题意,将正切化为正弦和余弦,进而逆运用两角差的正弦公式即可得到其关系. 解析:选B　因为tan α=tan β+,所以=+所以sin αcos β=sin βcos α+cos α,所以sin(α-β)=cos α=sin. 因为α∈,β∈,所以-<α-β<,0<-α<,所以α-β=-α,所以2α-β=.故选B. 二、多选题 11.已知≤α≤π,sin 2α=,则下列结论正确的是 (　　) A.sin α=- B.sin α-cos α= C.cos α= D.sin α+cos α= 快审准解:根据sin 2α>0得到≤α≤,计算cos 2α=-,再利用二倍角公式得到sin α=和cos α=,对比选项得答案. 解析:选BC　由≤α≤π,得≤2α≤2π,又sin 2α=>0,故≤2α≤π,≤α≤,cos 2α=-=-.由cos 2α=-=1-2sin2α,得sin α=,A错误;cos 2α=-=2cos2α-1,得cos α=,C正确;sin α-cos α=-=,B正确;sin α+cos α=+=,D错误. 12.已知α,β∈,cos(α+β)=,sin(α-β)=,则下列结论正确的是 (　　) A.sin(α+β)= B.cos(α-β)=- C.sin 2α= D.= 解析:选ACD　由α,β∈,得α+β∈(0,π),sin(α+β)==,故A正确;由α,β∈,得α-β∈,cos(α-β)==,故B错误;因为2α=(α+β)-(α-β),所以sin 2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=×+×=,故C正确; 由= ==,得=,故D正确. 三、填空题 13.已知tan=4,则sin 2α=　　　　.  解析:由tan=4, 可得tan α=tan ==-,所以sin 2α===-. 答案:- 14.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,则lo=　　　　.  解析:因为sin(α+β)=,sin(α-β)=, 所以sin αcos β+cos αsin β=,sin αcos β-cos αsin β=, 所以sin αcos β=,cos αsin β=, 所以==5, 所以lo=lo52=4. 答案:4 15.已知sin α+sin β=,cos α+cos β=-,则cos(α-β)=　　　　.  解析:已知sin α+sin β=　①,cos α+cos β=-　②, 则①2+②2得1+2sin αsin β+1+2cos αcos β=+=,整理得cos αcos β+sin αsin β=-,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-. 答案:- 习得方略:已知求cos(α-β),或已知求sin(α+β)时,可以将等式两边同时平方,再进行求解. 第四节　简单的三角恒等变换 1.会根据相关公式进行化简和求值. 2.会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题. 题点一　三角函数式的化简 [例1]　 (1)化简:; (2)证明:=. 解:(1)原式= == ===1. (2)证明:左边 = ====右边,所以原等式成立. |思维建模|　三角函数式的化简要遵循“三看”原则 [即时训练] 1.(2025·济南一模)若<θ<π,化简:. 解:因为<θ<π,所以cos θ<0,sin θ>0, 所以 = = ==cos2θ-sin2θ=cos 2θ. 2.证明:=cos 2x. 证明:左边= == ==cos 2x=右边, 所以原等式成立. 题点二　三角函数的求值问题 考法(一)　给角求值 [例2]　(2025·西安一模)等于 (　　) A. B. C. D.1 解析:选C　 = = ==cos 30°=. |思维建模|　给角求值问题的基本思路 　　观察所给角与特殊角之间的关系,利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为特殊角的三角函数值、正负相消的项和特殊角的三角函数值、可约分的项和特殊角的三角函数值等. 考法(二)　给值(式)求值 [例3] (1)已知sin(α+β)=,sin αcos β=,则cos(4α-4β)= (　　) A. B. C.- D.- 解析:选B　由sin(α+β)=,可得sin αcos β+cos αsin β=.因为sin αcos β=,所以cos αsin β=,所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=-=,所以cos[2(α-β)]=1-2sin2(α-β)=1-=,所以cos[4(α-β)]=2cos2[2(α-β)]-1=. (2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=+1，则sin(α+β)=　　　　　　.  解析：法一　由题意得tan(α+β)===-2，因为α∈，β∈，k，m∈Z，所以α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z. 又因为tan(α+β)=-2<0， 所以α+β∈，k，m∈Z，则sin(α+β)<0，则=-2，联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1，解得sin(α+β)=-. 法二　因为α为第一象限角，β为第三象限角， 所以cos α>0，cos β<0，cos α==， cos β==， 则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β·(tan α+tan β)=4cos αcos β= ===-. 答案：- |思维建模|　给值(式)求值问题的解题策略 　　将所给的一个或几个三角函数式根据问题的需要进行三角恒等变换,使其转化为所求函数式能够使用的条件,然后用代入法求出三角函数式的值,也可以将所求的函数式经过适当的变形,再利用条件求值. 考法(三)　给值求角 [例4]　(2024·九江二模)已知α,β∈,cos(α-β)=,tan αtan β=,则α+β= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　因为cos(α-β)=,tan αtan β=,所以解得所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=. 又α,β∈, 所以α+β∈(0,π),所以α+β=. |思维建模|　给值求角的技法 　　“给值求角”实质上可转化为“给值求值”,即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围),在选取函数时,遵循以下原则: (1)已知正切函数值,选正切函数; (2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数. ①若角的范围是,选余弦函数; ②若角的范围是,选正弦函数. [即时训练] 3.化简:= (　　) A. B.2 C. D.-1 解析:选A　 = ===. 4.已知sin(α-2β)=,sin α=,则sin(α-β)cos β= (　　) A. B. C. D. 快审准解:利用凑角法得到方程,两式相加得到sin(α-β)cos β=. 解析:选A　sin(α-2β)=sin[(α-β)-β]=sin(α-β)cos β-cos(α-β)sin β=　①, sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=　②, 由①②相加,得2sin(α-β)cos β=,所以sin(α-β)cos β=.故选A. 5.已知α为钝角,sin α+sin2β=sin2+sin2,则α= (　　) A. B. C. D. 快审准解:利用和、差角的正弦公式将右边化简,结合平方关系求出sin α,即可得解. 解析:选D　因为sin α+sin2β=sin2+sin2= 2+ =+=sin2β+cos2β=sin2β+, 所以sin α=.又α为钝角,所以α=.故选D. 题点三　三角恒等变换的综合应用 [例5]　已知f(x)=sin+2sin·cos. (1)求f的值; (2)若锐角α满足f(α)=,求sin 2α的值. 解:(1)由题意得f(x) =sin+2sincos =sin-2sincos =sin-2sincos =sin-sin =sin 2xcos-cos 2xsin+cos 2x =sin 2x+cos 2x=sin, 故f=sin=0. (2)∵α∈,∴2α+∈. 又∵f(α)=, ∴f(α)=sin=<, ∴2α+∈, ∴cos=-=-, ∴sin 2α=sin =sincos-cossin =×+×=. |思维建模| (1)进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形应用. (2)形如y=asin x+bcos x化为y=sin(x+φ),可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性. [即时训练] 6.已知0<α<,0<β<,cos α=,cos(β+α)=. (1)求sin β的值; (2)求的值. 解:(1)由0<α<,0<β<,cos α=,cos(β+α)=,得sin α=,sin(β+α)=. 所以sin β=sin[(β+α)-α]=sin(β+α)cos α-cos(β+α)sin α=×-×=. (2)因为cos α=,sin α=,所以===12. 数智赋能:电子版随堂训练(三角恒等变换与其他知识综合),根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin = (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由题意,cos α==1-2sin2,得sin2===. 又α为锐角,所以sin>0, 所以sin=,故选D. 2.化简 +的结果是 (　　) A.cos 10° B.sin 10° C.2sin 10°+cos 10° D.2cos 10°-sin 10° 解析:选D　原式化简为 +=+=cos 10°+cos 10°-sin 10°=2cos 10°-sin 10°. 3.(2024·保定二模)若4tan α=,则cos 2α= (　　) A. B.- C. D.- 解析:选D　由4tan α=,得4sin2α=15cos α>0,即4cos2α+15cos α-4=0,解得cos α=或cos α=-4(舍去),所以cos 2α=2cos2α-1=-. 4.(2025·天门模拟)已知cos(π+θ)=,若θ是第二象限角,则tan= (　　) A.2 B. C.- D. 解析:选B　因为cos(π+θ)=, 所以cos θ=-. 又θ是第二象限角,所以sin θ=. 法一　由tan======.故选B. 法二　由半角公式得tan==.故选B. 5.已知sin α=,cos(α+β)=-,则β的值可能为 (　　) A.π B. C.- D. 解析:选B　由sin α=,cos(α+β)=-,得cos α=±,sin(α+β)=±,而sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α,从而sin β=1或sin β=-.当sin β=1时,只有B符合;当sin β=-时,四个选项均不符合. 6.(2024·淄博二模)设β∈,若sin α=3sin(α+2β),tan β=,则tan(α+2β)= (　　) A.- B. C.- D. 解析:选A　由sin α=3sin(α+2β),得sin [(α+2β)-2β]=3sin(α+2β), 则sin(α+2β)cos 2β-cos(α+2β)sin 2β=3sin(α+2β),即sin(α+2β)(cos 2β-3)=cos(α+2β)sin 2β, 因此tan(α+2β)====-,而tan β=,所以tan(α+2β)=-=-. 7.(2024·保定三模)已知锐角α,β(α≠β)满足sin α+2cos α=sin β+2cos β,则sin(α+β)的值为 (　　) A. B. C. D. 快审准解:利用辅助角公式化简已知函数,得到正弦型函数,再利用自变量的范围得到函数不具有单调性,所以自变量不相等但函数值相等的情形就是两角互补,从而就可以通过运算得到结果. 解析:选D　设f(x)=sin x+2cos x=sin(x+φ),其中sin φ=,cos φ=,φ∈. 当x∈时,x+φ∈⊆(0,π), 此时f(x)=sin x+2cos x=sin(x+φ)在(0,π)上有增有减.又因为f(α)=f(β),且α≠β,所以α+φ+β+φ=π,所以α+β=π-2φ,所以sin(α+β)=sin(π-2φ)=sin 2φ=2sin φcos φ=. 二、多选题 8.下列各式中,值为的是 (　　) A.sin 21°cos 261°-sin 111°cos 171° B.cos275°-cos215° C. D.sin 50°(1+tan 10°) 解析:选AC　sin 21°cos 261°-sin 111°cos 171°=-sin 21°sin 9°+cos 21°cos 9°=cos(21°+9°)=cos 30°=,A是;cos275°-cos215°=cos275°-sin275°=cos 150°=-,B不是;===,C是;sin 50°(1+tan 10°)====1,D不是. 9.已知sin α=-,180°<α<270°,则下列选项正确的是 (　　) A.sin 2α=- B.sin= C.cos=- D.tan=-2 解析:选BCD　因为sin α=-,180°<α<270°,所以cos α=-,所以sin 2α=2sin αcos α=2××=,故A错误.因为90°<<135°,所以sin===,cos=-=-=-,tan==-2,故B、C、D均正确. 三、填空题 10.已知函数f(x)=sin x-cos x,且f(x0)=3f'(x0),则=　　　　.  快审准解:求导,由f(x0)=3f'(x0)整理可得tan x0=-2,然后利用二倍角公式将目标式化为齐次式,弦化切可得. 解析:求导得f'(x)=cos x+sin x,由f(x0)=3f'(x0),得sin x0-cos x0=3(cos x0+sin x0),解得tan x0=-2, 所以===-. 答案:- 11.(2024·晋城二模)已知tan α=2tan β,sin(α+β)=,则sin(β-α)=　　　　.  解析:因为tan α=2tan β,即=, 可得sin αcos β=2cos αsin β. 又因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =3cos αsin β=,可得cos αsin β=, 所以sin(β-α)=cos αsin β-sin αcos β =-cos αsin β=-. 答案:- 12.已知cos(α+2β)=,tan(α+β)tan β=-4,写出符合条件的一个角α的值为　　　　.  解析:cos(α+2β)=cos[(α+β)+β]=cos(α+β)·cos β-sin(α+β)sin β=,tan(α+β)tan β=-4,即=-4,故sin(α+β)sin β=-4cos(α+β)cos β,故5cos(α+β)cos β=,即cos(α+β)cos β=,则sin(α+β)sin β=-4cos(α+β)·cos β=-,则cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=-=-,可取α=. 答案: 四、解答题 13.(10分)(1)化简:;(5分) (2)求值:(1+tan 5°)(1+tan 40°).(5分) 解:(1)==cos2α·=cos2α·=cos2α·tan α=cos2α·=sin αcos α=sin 2α. (2)因为tan 45°=tan(5°+40°)==1,所以tan 5°+tan 40°=1-tan 5°tan 40°,则tan 5°+tan 40°+tan 5°tan 40°=1, 所以(1+tan 5°)(1+tan 40°)=1+tan 5°+tan 40°+tan 5°tan 40°=1+1=2. 谨记结论:若A+B=,则(1+tan A)(1+tan B)=2. 14.(13分)已知f(x)=sin x-cos x. (1)若过原点的直线l与函数f(x)相切,切点的横坐标为x0(x0≠1),求证:tan x0=;(5分) (2)若f(α)=,0≤α≤π,求sin的值.(8分) 解:(1)证明:设切点为A(x0,sin x0-cos x0),f'(x)=cos x+sin x,f'(x0)=cos x0+sin x0=kAO=.所以(x0+1)cos x0=(1-x0)sin x0,所以tan x0=. (2)将sin α-cos α=平方得1-2sin αcos α=,所以2sin αcos α=,所以α∈. 所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+=,从而sin α+cos α=. 联立得 所以sin 2α=2sin αcos α=,cos 2α=cos2α-sin2α=-=-. 故sin=(sin 2α-cos 2α)=×=. 第五节　三角函数的图象与性质 1.能画出三角函数(正弦、余弦、正切)的图象.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值. 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上、正切函数在上的性质. 教材再回首 1.用“五点法”作图的原理 (1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是(0,0),,(π,0),,(2π,0). (2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是(0,1),,(π,-1),,(2π,1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在 (k∈Z)上单调递增,在 (k∈Z)上单调递减 在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上单调递增,在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减 在每个 (k∈Z)上都单调递增 周 期 性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期是π 对 称 性 对称轴是x=+kπ(k∈Z),对称中心是(kπ,0)(k∈Z) 对称轴是x=kπ(k∈Z), 对称中心是 (k∈Z) 对称中心是(k∈Z) 典题细发掘 1.(苏教必修①P204T2改编)函数y=tan 2x的定义域是 (　　) A. B. C. D. 答案:D 2.(苏教必修①P224T7)下列各组函数中,在区间上都单调递增的函数为 (　　) A.y=sin x,y=cos x B.y=sin x,y=tan x C.y=cos x,y=tan x D.y=-sin x,y=-cos x 答案:B 3.(人A必修①P199例1改编)函数y=1+cos x(x∈[0,2π])的简图是 (　　) 答案:D 4.(人A必修①P214T10改编)函数y=cos,x∈的值域是　　　　.  解析:由x∈得x+∈, 所以y=cos∈. 答案: 第1课时　三角函数的定义域、值域及单调性　　　　　 题点一　三角函数的定义域 [例1]　函数f(x)=的定义域为 (　　) A.(k∈Z) B.∪(k∈Z) C.(k∈Z) D.∪(k∈Z) 解析:选B　由函数式知 ∴ 即x∈∪,k∈Z. |思维建模| 求三角函数的定义域,实际上是构造简单的三角不等式(组),有时候还需要借助三角函数图象求解. [即时训练] 1.函数y=lg(sin x)+的定义域为　　　　　　　　　　　.  解析:要使函数有意义,则有 即解得k∈Z,所以2kπ<x≤+2kπ,k∈Z.所以函数的定义域为. 答案: 2.函数y=的定义域为　　　　　　　　　　　.  解析:法一　要使函数有意义,必须使sin x-cos x≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示.在[0,2π]内,满足sin x≥cos x的x范围为,再结合正弦、余弦函数的最小正周期是2π,所以原函数的定义域为. 法二　sin x-cos x=sin≥0,将x-视为一个整体,由正弦函数y=sin x的图象和性质可知2kπ≤x-≤π+2kπ(k∈Z),解得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),所以原函数的定义域为. 答案: 题点二　三角函数的值域 [例2] (1)(人A必修①P227例9改编)函数f(x)=3sin在区间上的值域为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　当x∈时,2x-∈,sin∈,故3sin∈,∴函数f(x)的值域为. (2)已知x∈(0,π),则f(x)=cos 2x+2sin x的值域为 (　　) A. B. C. D.(-3,2] 解析:选B　由f(x)=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x,设sin x=t,∵x∈(0,π),∴t∈(0,1], ∴g(t)=-2+,∴g(t)∈, 即f(x)=cos 2x+2sin x的值域为. |思维建模| 求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型 (1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,可先化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值); (2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数,再求值域(最值); (3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数,再求值域(最值). [即时训练] 3.若本例(1)变为函数f(x)=3sin的定义域是[0,m],值域为,则m的最大值是 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　∵x∈[0,m],∴2x-∈.∵f(x)的值域为, ∴≤2m-≤,解得≤m≤,∴m的最大值为.故选A. 4.若x是三角形的最小内角,则函数y=sin x+cos x+sin xcos x的值域是 (　　) A.[-1,+∞) B.[-1,] C.(0,] D. 解析:选D　设t=sin x+cos x=sin, ∵x∈,∴x+∈, ∴t∈(1,], (注意x的范围) ∴y=t+=t2+t-∈, ∴所求函数的值域为. 题点三　三角函数的单调性及其应用 考法(一)　求三角函数的单调区间 [例3] (1)函数y=|tan x|在上的单调递减区间为　　　　　　　　　　.  解析:如图,观察图象可知,y=|tan x|在上的单调递减区间为和. 答案:和 (2)函数y=sin的单调递减区间为　　　　　　　　　　　.  解析:y=-sin的单调递减区间即为y=sin的单调递增区间.令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故所求函数的单调递减区间为,k∈Z. 答案:,k∈Z |思维建模| 求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的技巧 (1)数形结合:结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间; (2)整体代换:确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间,采用“换元法”整体代换:将ωx+φ看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asin z的单调区间从而求出函数的单调区间.若ω<0,则可利用诱导公式将x的系数转化为正数,需将最终结果写成区间形式. 考法(二)　已知三角函数的单调性求参数 [例4]　若f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,则ω的取值范围是　　　　.  解析:法一:反子集法　因为x∈,ω>0, 所以ωx∈. 因为f(x)=2sin ωx在上单调递增, 所以(ω>0),故0<ω≤. 法二:数形结合法　画出函数f(x)=2sin ωx(ω>0)的图象如图所示. 要使f(x)在上单调递增,需(ω>0),即0<ω≤. 法三:子集法　由-+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z),得-+≤x≤+(k∈Z),故f(x)的单调递增区间是(k∈Z). 由题意,得⊆(k∈Z,ω>0),从而有即0<ω≤. 答案: |思维建模|　由单调性求参数范围的方法 反子 集法 由所给区间求出整体角的范围,由该范围是相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解 周期 性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解 子集法 求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求区间的子集,列不等式(组)求解 [即时训练] 5.下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间上单调递减的是 (　　) A.y=|cos x| B.y=tan x C.y=cos D.y=|sin x| 解析:选D　对于A,y=|cos x|的图象是由y=cos x的图象将x轴下方的图象关于x轴对称上去,x轴及x轴上方部分不变,其函数图象如图1所示. 则y=|cos x|的最小正周期为π,但是在上单调递增,故A错误;对于B,y=tan x的最小正周期为π,但是在上单调递增,故B错误;对于C,y=cos的最小正周期T==4π,故C错误;对于D,y=|sin x|的图象是由y=sin x的图象将x轴下方的图象关于x轴对称上去,x轴及x轴上方部分不变,其函数图象如图2所示. 则y=|sin x|的最小正周期为π,且在上单调递减,故D正确. 6.(2024·唐山二模)若函数f(x)=sin(2x-φ)在上单调递增,则φ的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由x∈可得2x-φ∈. 又|φ|≤,则≤-φ≤,且f(x)在上单调递增,所以解得≤φ≤,即φ的取值范围为. 数智赋能:电子版随堂训练(真题集训),根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.函数y=的定义域为 (　　) A. B. C.{x|x≠kπ,k∈Z} D. 解析:选D　要使函数有意义,必须有即故函数的定义域为. 2.函数f(x)=sin,x∈的最大值和最小值分别为 (　　) A.1,- B.1,- C.,-1 D.1,-1 解析:选A　由x∈,得2x+∈,则当2x+=,即x=时,f(x)max=1, 当2x+=,即x=时,f(x)min=-, 所以所求最大值、最小值分别为1,-. 3.函数 y=的定义域为 (　　) A.,k∈Z B.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z 解析:选D　由题意,得|sin x|-cos x≥0,即或 解得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z. 4.函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　设t=sin x-cos x,则t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,sin xcos x=,且-≤t≤.∴y=-+t+=-(t-1)2+1,t∈[-,].当t=1时,ymax=1;当t=-时,ymin=--.∴原函数的值域为. 5.若函数f(x)=sin在(-a,a)上单调递增,则实数a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　因为x∈(-a,a),所以a>0,且0∈(-a,a).因为函数f(x)=sin在(-a,a)上单调递增,所以⇒a≤,所以0<a≤. 6.已知函数f(x)=cos ωx-2sin 2ωxsin ωx(ω>0)在(0,2π)上有最小值没有最大值,则ω的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 快审准解:根据给定条件,利用差角的余弦公式化简函数f(x),再由指定范围求出相位的取值范围,结合余弦函数的性质列式求解即得. 解析:选D　依题意,f(x)=cos(2ωx-ωx)-2sin 2ωxsin ωx=cos(2ωx+ωx)=cos 3ωx, 当x∈(0,2π)时,3ωx∈(0,6ωπ),若f(x)在(0,2π)上有最小值没有最大值, 则π<6ωπ≤2π,所以<ω≤.故选D. 7.若直线x=是曲线y=sin(ω>0)图象的一条对称轴,且函数y=sin在区间上不具有单调性,则ω的最小值为 (　　) A.7 B.9 C.11 D.15 快审准解:首先根据对称轴的性质求出ω的表达式,再根据函数的单调区间确定ω的取值范围,从而得出ω的最小值. 解析:选C　因为直线x=是y=sin(ω>0)图象的一条对称轴, 所以ω-=kπ+,k∈Z, 整理可得ω=kπ++,即ω=4k+3,k∈Z. 由-≤ωx-≤,得-≤x≤. 则函数y=sin在上单调递增. 因为函数y=sin在区间上不具有单调性,所以<. 解得ω>9.因为ω=4k+3,k∈Z且ω>9,所以ω的最小值为11.故选C. 二、多选题 8.下列函数中,在区间上单调递减的函数是 (　　) A.y=sin B.y=sin x-cos x C.y=|sin 2x| D.y=cos 解析:选AC　A选项,对于y=sin,由<x<,得<x+<,所以y=sin在区间上单调递减,A正确.B选项,对于y=sin x-cos x=2sin,由<x<,得<x-<,不符合题意.C选项,由<x<,得<2x<π,且y=|sin 2x|=sin 2x,所以y=|sin 2x|在区间上单调递减,C正确.D选项,对于y=cos,由<x<,得-<x-<,不符合题意. 9.(2024·济南二模)已知函数f(x)=sin x·|cos x|,则 (　　) A.f(x)是奇函数 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)的最小值为- D.f(x)在上单调递增 解析:选AC　对于A,函数f(x)的定义域为R,有f(-x)=sin(-x)·|cos(-x)|=-sin x·|cos x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,A正确; 对于B,有f=sin·=-,f=sin·=. 所以f≠f,这表明π不是f(x)的周期,B错误; 对于C,f(x)=sin x·≥-=-≥-,由B得f=-,故f(x)的最小值为-,C正确; 对于D,由于f=sin·=0,f(0)=sin 0·|cos 0|=0,所以f(x)在上不具有单调性,D错误. 三、填空题 10.已知函数f(x)=2sin,则f(x)在[-1,1]上的单调递增区间为　　　　　.  解析:令2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,得x∈,k∈Z,所以f(x)在[-1,1]上的单调递增区间为. 答案: 11.已知函数f(x)=sin(ω>0),x∈的值域是,则ω的取值范围为　　　　.  解析:因为x∈,ω>0,所以ωx-∈.又当x∈时,f(x)∈,所以≤-≤,解得≤ω≤3. 答案: 四、解答题 12.(10分)已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x. (1)求f(x)的单调递增区间;(5分) (2)当x∈时,求f(x)的最大值和最小值,并指出取得最值时x的值.(5分) 解:(1)f(x)=sin 2x+cos 2x=2 =2 =2sin, 令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z, 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (2)因为x∈,所以2x+∈, 所以当2x+=-,即x=-时,有f(x)min=2sin=-1, 当2x+=,即x=时, 有f(x)max=2sin=2. 13.(13分)已知函数f(x)=sin+cos,g(x)=2sin2. (1)若α是第一象限角,且f(α)=,求g(α)的值;(5分) (2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.(8分) 解:f(x)=sin+cos =sin x-cos x+cos x+sin x=sin x, g(x)=2sin2=1-cos x. (1)由f(α)=,得sin α=, 因为α是第一象限角,所以cos α>0,从而g(α)=1-cos α=1-=1-=. (2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1-cos x, 即sin x+cos x≥1, 于是sin≥, 从而2kπ+≤x+≤2kπ+π,k∈Z, 即2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z, 故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为. 第2课时　三角函数的周期性、奇偶性及对称性 题点一　三角函数的周期性 [例1] (1)已知函数f(x)=sin+cos ωx(ω>0),f(x1)=0,f(x2)=,且|x1-x2|的最小值为π,则ω的值为 (　　) A. B. C.1 D.2 解析:选B　f(x)=sin ωx+cos ωx=sin,是函数的最大值,由题意可知,的最小值是个周期,所以×=π,得ω=. (2)函数f(x)=sin 2x+|sin 2x|的最小正周期为　　　　.  解析:作出函数f(x)的大致图象,如图所示.根据图象可知f(x)为周期函数,最小正周期为π. 答案:π |思维建模|　 1.三角函数最小正周期的求解方法 (1)定义法. (2)公式法:函数y=Asin(ωx+φ)(y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=. (3)图象法:求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象,通过观察图象得出周期. 2.有关周期的2个结论 (1)函数y=|Asin(ωx+φ)|,y=|Acos(ωx+φ)|,y=|Atan(ωx+φ)|的最小正周期均为T=. (2)函数y=|Asin(ωx+φ)+b|(b≠0),y=|Acos(ωx+φ)+b|(b≠0)的最小正周期均为T=. [即时训练] 1.下列函数中,以2π为周期的函数是 (　　) A.y=tan B.y=sin C.y=|sin x| D.y=sin|x| 解析:选C　对于A,因为函数y=tan x的最小正周期为T=π,所以函数y=tan的最小正周期为T==4π,故A错误;对于B,因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π,所以函数y=sin的最小正周期为T==4π,故B错误;对于C,因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π,所以根据图象变换可知函数y=|sin x|的最小正周期为π,所以2π也是它的一个周期,故C正确;对于D,作出函数y=sin|x|的图象,如图所示, 根据图象可知该函数不是周期函数,故D错误. 2.若函数f(x)=tan(ω>0)的图象与直线y=a(a∈R)的相邻两交点间的距离为2π,则ω=　　　　.  解析:由题意可知,函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为2π,因此,ω==. 答案: 题点二　三角函数的奇偶性与对称性 [例2] (1)已知函数f(x)=cos,则 (　　) A.f(x)的图象关于点对称 B.f(x)的图象关于直线x=对称 C.f为偶函数 D.f(x)的最小正周期为2π 解析:选C　∵f=cos=cos=1,∴f(x)的图象不关于点对称,故A错误. ∵f=cos=cos=, ∴f(x)的图象不关于直线x=对称,故B错误. ∵f=cos =cos=cos 2x, 又f=cos(-2x)=cos 2x, 即f=f,∴f为偶函数,故C正确. f(x)的最小正周期为T==π,故D错误. (2)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f= (　　) A.- B.- C. D. 解析:选D　由题意得×=-,解得ω=2.易知x=是f(x)的最小值点,所以×2+φ=+2kπ(k∈Z),得φ=+2kπ(k∈Z). 不妨取k=0,于是f(x)=sin, f=sin=sin=,故选D. [变式拓展]　若本例(2)的条件变为已知函数f(x)=sin(ωx+φ),f=-f,f=f,且f(x)在区间上具有单调性,则f的值为 (　　) A.- B. C. D.1 解析:选B　因为f=-f,所以函数f(x)的图象关于点中心对称. 又f=f,所以f(x)的图象关于直线x=对称,且f(x)在区间上具有单调性,所以-=,即T=,ω=3.又3×+φ=kπ,k∈Z,|φ|<,所以φ=0, 所以f(x)=sin 3x,所以f=. |思维建模| 1.判断三角函数奇偶性的方法 三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式. 2.三角函数对称性问题的2种求解方法 定义法 正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线,对称中心是图象与x轴的交点,即函数值为0的点 公式法 函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴为x=-+,对称中心为;函数y=Acos(ωx+φ)的对称轴为x=-,对称中心为;函数y=Atan(ωx+φ)的对称中心为.上述k∈Z 3.(1)函数y=sin x与y=cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线. (2)①正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. ②正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期. [即时训练] 3.函数f(x)=(1+cos 2x)sin2x是 (　　) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 解析:选D　f(x)=(1+cos 2x)sin2x=2cos2xsin2x=sin22x=,则f(x)的最小正周期为T==且为偶函数. 4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且与点M相邻的f(x)的图象的一条对称轴为直线x=,则ω=　　　　,φ=　　　　.  解析:∵f(x)是偶函数,∴φ=kπ+,k∈Z, ∵0≤φ≤π,∴φ=,∴f(x)=sin=cos ωx.设f(x)的最小正周期为T,由题知=-=,则T=π,得ω==2. 答案:2　 题点三　三角函数性质的综合应用 [例3]　(2024·新课标Ⅱ卷)[多选]对于函数f(x)=sin 2x和 g(x)=sin,下列说法正确的有 (　　) A.f(x)与g(x)有相同零点 B.f(x)与g(x)有相同最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 解析:选BC　令f(x)=sin 2x=0,解得x=(k∈Z),即为f(x)零点,令g(x)=sin=0,解得x=+(k∈Z),即为g(x)零点,显然f(x),g(x)零点不同,故A错误; 显然f(x)max=g(x)max=1,故B正确; f(x),g(x)的最小正周期均为=π,故C正确; 根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+(k∈Z)⇔x=+(k∈Z),g(x)的对称轴满足2x-=kπ+(k∈Z)⇔x=+(k∈Z),显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,故D错误.故选BC. |思维建模|　解决三角函数图象与性质综合问题的方法 先将y=f(x)化为y=asin x+bcos x的形式,然后用辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再借助 y=Asin(ωx+φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题. [即时训练] 5.(2025·青岛阶段练习)[多选]已知函数f(x)=+,则 (　　) A.f(x)的定义域为(k∈Z) B.x=是y=f(x)图象的一条对称轴 C.f(x)在区间上单调递增 D.f(x)的最大值为 快审准解:由可得定义域判断A,证明f=f(x)判断B,平方后化简函数式,再结合正弦函数的单调性判断C,根据单调性求得最大值判断D. 解析:选ABD　由得2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z,A正确; f=+=+=f(x), 所以x=是y=f(x)图象的一条对称轴,B正确;由y=+,得y2=sin x+cos x+2=sin+,当x∈时,x+∈,y=sin单调递减,2x∈,y=sin 2x单调递减,从而y=单调递减,所以y2=sin+单调递减,所以f(x)单调递减,C错误; 当x∈时,x+∈,2x∈,由C可得f(x)在上单调递增,f(x)的最小正周期是2π,所以f(x)max=f=+=2×=,D正确. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.(2025·盐城一模)函数f(x)=sin+cos的最小正周期是 (　　) A.6π B.3π C. D. 解析:选A　由题意,得f(x)=sin,所以f(x)的最小正周期为=6π. 2.(2024·北京朝阳二模)下列函数中,既是奇函数又在其定义域上是增函数的是 (　　) A.f(x)=sin x B.f(x)=cos x C.f(x)= D.f(x)=x3 解析:选D　f(x)=sin x是奇函数,它在区间,k∈Z上单调递增,在定义域内不是增函数,所以A是错误的;f(x)=cos x是偶函数,所以B是错误的;f(x)=既不是奇函数又不是偶函数,所以C是错误的;f(x)=x3满足既是奇函数又在其定义域上是增函数,所以D是正确的.故选D. 3.(2024·泸州二模)已知函数f(x)=sin 2x+bcos 2x的图象关于直线x=对称,则b的值为 (　　) A.- B.-1 C. D.1 解析:选D　因为f(x)=sin 2x+bcos 2x=sin(2x+φ)(其中tan φ=b), 又函数f(x)的图象关于直线x=对称,所以=,所以1+b2=(1+b)2,解得b=1. 4.(2024·乐山三模)已知f(x)=(x-3)2cos ωx,若存在常数a∈R,使得f(x+a)为奇函数,则ω的可能值为 (　　) A. B. C. D.π 解析:选A　函数f(x)=(x-3)2cos ωx的定义域为R,由f(x+a)为奇函数, 得f(x+a)=(x+a-3)2cos(ωx+ωa)是奇函数, 则必有函数y=(x+a-3)2是偶函数,函数y=cos(ωx+ωa)是奇函数, 此时a=3,ωa=+kπ,k∈Z, 因此ω=+,k∈Z,当k=0时,ω=, 不存在整数k,使得ω的值为B、C、D, 当a=3,ω=时,f(x+3)=x2cos=-x2sinx是奇函数. 5.已知f(x)=2tan(ωx+φ),f(0)=,最小正周期T∈,f(x)图象的一个对称中心为点,则f的值为 (　　) A.- B. C. D.- 解析:选D　由f(0)=,可得2tan φ=,tan φ=.又|φ|<,所以φ=.因为f(x)图象的一个对称中心为点,所以ω+=,k∈Z,得ω=3k-1,k∈Z. (易错提醒:根据正切函数图象的对称中心的有关结论,写出参数ω满足的关系式,注意不要想当然地认为ω+=kπ,k∈Z,而是ω+=,k∈Z)因为T∈,所以<<,解得<ω<4,所以ω=2.故f(x)=2tan,所以f=2tan=-,故选D. 6.已知函数f(x)=sin(x+φ)的图象关于点对称,若当x∈时,f(x)的最小值是-1,则m的最大值是 (　　) A.- B.- C. D. 解析:选B　由题意可得+φ=kπ(k∈Z),则φ=-+kπ(k∈Z).又-<φ<0,故φ=-,即f(x)=sin. 当x∈时,x-∈,又f(x)的最小值是-1,则m-≤-,故m≤-+=-,即m的最大值是-. 二、多选题 7.关于函数f(x)=sin 2x-cos 2x,下列说法正确的是 (　　) A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)的最大值为2 C.直线x=是函数f(x)的图象的一条对称轴 D.点是函数f(x)的图象的一个对称中心 解析:选AD　由已知得函数f(x)=sin 2x-cos 2x=sin.函数f(x)的最小正周期T==π,所以A正确;当sin=1时,函数取得最大值f(x)max=,所以B不正确;当x=时,f=sin=1,即f不是函数f(x)的最值,所以x=不是函数f(x)的对称轴,所以C不正确;当x=时,f=sin=0,所以点是函数f(x)的图象的一个对称中心,所以D正确.故选AD. 8.(2024·南通三模)已知f(x)=sin,则 (　　) A.f(π+x)=f(x) 　B.f=f(x) C.x∈,f(x)>1 　D.x∈,f'(x)<0 解析:选AC　f(x)的周期为=π,∴f(π+x)=f(x),故A正确;令2x+=+kπ,k∈Z,则x=+,k∈Z,若f=f(x)成立,则f(x)关于x=对称,令+=,解得k=,k∉Z,故B错误; ∵x∈,∴2x+∈, ∴sin∈,∴f(x)∈(1,],故C正确;f'(x)=2cos,当x=时,f'(x)=0,故D错误.故选AC. 9.已知函数g(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<π,0<φ<π),对于任意x∈R,有g=g=-g,则以下结论正确的为 (　　) A.函数g(x)的最小正周期为 B.函数g(x)的图象关于点对称 C.函数g(x)在上单调递减 D.函数g(x)在(-π,π)上共有6个极值点 解析:选ACD　因为g=-g,所以g=-g(x),因此g=g(x),从而=×n(n∈N*),注意到0<ω<π,故n=1,ω=3,所以g(x)=sin(3x+φ).又g=g,即g(x)的图象关于直线x=对称, 从而sin=±1,即+φ=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ-,k∈Z.又0<φ<π,所以φ=,所以g(x)=sin,所以g(x)的最小正周期为,A正确.因为g=-1,所以函数g(x)的图象不关于点对称,B错误.当x∈时,3x+∈,故函数g(x)在上单调递减,C正确.令3x+=kπ+,k∈Z,得x=-,k∈Z.令-π<-<π,得-<k<,k∈Z,故k=-2,-1,0,1,2,3,易知函数g(x)在,,,上单调递增,在,,上单调递减,故函数g(x)在(-π,π)上共有6个极值点,D正确. 三、填空题 10.(2025·深圳一模)若函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,其图象关于点中心对称,则φ=　　　　.  解析:由T==π(ω>0),得ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ). 又f(x)=sin(2x+φ)的图象关于点中心对称,所以+φ=kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z.又|φ|<,所以k=1,φ=-. 答案:- 11.若函数f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件:①f(x)为偶函数;②对于任意的x∈R,都有f=f,则其解析式可以是f(x)=　　　　.  解析:因为对于任意的x∈R,都有f=f,所以函数的图象关于直线x=对称.又由于函数为偶函数,所以函数的解析式可以为f(x)=cos 3x.因为f(-x)=cos(-3x)=cos 3x=f(x),所以函数f(x)是偶函数.令3x=kπ,k∈Z,所以x=,k∈Z,所以函数f(x)的图象关于直线x=对称. 答案:cos 3x(答案不唯一) 四、解答题 12.(10分)已知函数f(x)=2sin xcos x+cos2x-sin2x. (1)把f(x)化为y=Asin(ωx+φ)的形式,并求f(x)的最小正周期;(5分) (2)求f(x)的单调递增区间以及对称中心.(5分) 解:(1)f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin, 所以f(x)的最小正周期为T==π. (2)由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z. 由2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z, 所以f(x)的对称中心为,k∈Z. 13.(13分)已知函数y=f(x)=2sin xcos x+2cos2x. (1)求y=f(x)在上的最大值;(5分) (2)若函数y=f(x+θ)-1为奇函数,求θ的值.(8分) 解:(1)f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=2sin+1. 因为x∈,所以2x+∈, 故当2x+=,即x=时,f(x)max=3. (2)设g(x)=f(x+θ)-1=2sin, 若函数y=f(x+θ)-1为奇函数, 则g(x)=2sin为奇函数, 由g(0)=0可得sin=0,则2θ+=kπ(k∈Z),解得θ=-(k∈Z).又θ∈,故得θ=-或θ=,经验证,满足题设. 故θ的值为-或. 第六节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响. 2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 教材再回首 1.作f(x)=Asin(ωx+φ)图象的五个关键点 ωx+φ 0 π 2π x - y=f(x) 0 A 0 -A 0 2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象变换 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,所得图象对应的函数解析式为y=sinx. (　　) (2)将y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,得到y=sin的图象. (　　) (3)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-A. (　　) (4)y=2sin的初相为-. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(人A必修①P239T2改编)已知函数f(x)=sin,g(x)=sin x,要得到函数y=f(x)的图象,只需将函数y=g(x)图象上所有的点 (　　) A.横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位 B.横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位 C.横坐标伸长为原来的2倍,再向左平移个单位 D.横坐标伸长为原来的2倍,再向左平移个单位 解析:选B　由题得f(x)=sin,而g(x)=sin x,所以将函数y=g(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度得到y=f(x)的图象. 3.(人B必修③P66T8改编)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则点(ω,φ)的坐标是　 　　.  答案: 4.(人A必修①P241T5改编)已知函数f=3cos,若将函数f的图象向左平移个单位长度,再将横坐标扩大为原来的2倍,得到函数g的图象,则函数g的解析式为　　　　　　　　　　　.  解析:把函数f=3cos的图象向左平移个单位长度后,可得到y=3cos=3cos的图象,再将横坐标扩大为原来的2倍,得到函数g=3cos的图象. 答案:g(x)=3cos 题点一　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 [例1]　已知函数f(x)=sin. (1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的简图; (2)请说明由g(x)=sin x到f(x)的变换过程. 解:(1)函数f(x)=sin在上的取值,列表为 x 2x- 0 π 2π f(x) 0 1 0 -1 0 描点,连线,即得函数f(x)的图象,如图所示. (2)先将g(x)的图象向右平移个单位长度得到y=sin的图象,再将所得函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到y=sin,即f(x)的图象. |思维建模| 1.作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象常用的两种方法 (1)五点法作图,用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,π,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象; (2)图象的变换法,由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 2.解决三角函数图象的变换问题要注意的两点 (1)掌握函数图象变换法则,即“左加右减,上加下减”; (2)“五点法”作图中,相邻两点的横向距离均为; (3)由y=sin ωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移个单位长度而非φ个单位长度. [即时训练] 1.(2025·桂林模拟)为了得到函数y=cos的图象,只需将正弦函数y=sin x图象上各点 (　　) A.横坐标向右平移-个单位长度,纵坐标不变 B.横坐标向左平移-个单位长度,纵坐标不变 C.横坐标向左平移个单位长度,纵坐标不变 D.横坐标向右平移个单位长度,纵坐标不变 解析:选B　把y=sin x=cos上的所有点向左平移-个单位长度,得到函数y=cos的图象. 2.(2025·本溪一模)将函数f(x)=2sin图象上所有的点向左平移个单位长度,再把所有点的横坐标变为原来的后,得到函数g(x)的图象,则g= (　　) A. B. C. D.1 解析:选A　将函数f(x)=2sin图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=2sin=2sin 2x的图象, (注意:如果x的系数不是1,那么要先把x的系数提取出来,再确定平移的单位长度和方向) 再把所有点的横坐标变为原来的,得到函数g(x)=2sin 2(2x)=2sin 4x的图象, 所以g=2sin=. 题点二　由图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式 [例2]　(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　.  解析:由题意,设A,B,则x2-x1=,由y=sin(ωx+φ)的图象可知, ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=,即ω(x2-x1)=,∴ω=4.又f=sin=0,∴+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z,观察图象,可知当k=2时,φ=-满足条件,∴f(π)=sin=-. 答案:- |思维建模|　确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤和方法 (1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=. (2)求ω.确定函数的最小正周期T,则ω=. (3)求φ.常用方法如下:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入. [即时训练] 3.函数f(x)=2cos2(ωx+φ)+b的部分图象如图所示,则以下说法正确的是 (　　) A.ω=,b=1 B.ω=,b=-1 C.ω=π,b=1 D.ω=π,b=-1 快审准解:先把函数解析式化成y=Acos(ωx+φ)的形式,再结合函数的周期和值域求值. 解析:选B　因为f(x)=2cos2(ωx+φ)+b=cos(2ωx+2φ)+b+1,所以由函数图象可知b+1=0⇒b=-1.又=-=1,所以T=2.所以T=⇒ω=.故选B. 4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若图象上的所有点向左平移个单位长度得到g(x)的图象,且g(x)是奇函数,则图中的a值为 (　　) A.-1 B.- C.- D.- 解析:选A　由f(x)max=2得A=2,f(x)的图象上的所有点向左平移个单位长度后得到g(x)的图象,且g(x)为奇函数,所以g(x)的图象关于原点对称,得函数f(x)的图象过点,所以-=,所以T==π,故ω=2.又ω+φ=0,得φ=-,所以f(x)=2sin,a=2sin=-1,故选A. 题点三　三角函数的综合问题 考法(一)　三角函数图象与性质的综合问题 [例3]　已知函数f(x)=cos-sin xcos x+(cos4x-sin4x). (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)若方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围. 方法引入:(1)先把函数化成y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用整体思想求解. (2)将问题转化成2sin x=m在一定范围内有两解,利用数形结合的方法求解. 解:(1)因为f(x)=cos-sin xcos x+(cos4x-sin4x)=-sin 2x+(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=-sin 2x+cos 2x=cos 2x+sin 2x=2sin, 所以T==π,即f(x)的最小正周期为π. 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (2)由-≤x≤0,得-≤2x+≤.作出y=2sin x,x∈的图象,如图所示,由图可知,当m∈(-2,-]时,方程2sin x=m有两个不同的实根.所以实数m的取值范围是(-2,-]. |思维建模| (1)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性及最值等. (2)与三角函数相关的方程根的问题(零点问题)常通过函数与方程思想转化为图象交点问题,再借助图象分析. 考法(二)　三角函数模型的应用 [例4]　(多选)如图,一个半径为3 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,筒车的轴心O距离水面的高度为2.2 m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下则d为负数).若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,d与时间t(单位:s)之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+b ,则下列结论正确的是 (　　) A.A=3 B.ω= C.sin φ=- D.b=-0.8 解析:选AC　对于A、D,由题意,dmax=3+2.2=5.2(m),dmin=2.2-3=-0.8(m),所以解得故A正确,D错误;对于B,因为逆时针方向每分钟转1.5圈,所以ω==,故B错误;对于C,由题意知,当t=0时,d=0,所以0=3sin φ+2.2,所以sin φ=-=-,故C正确.故选AC. |思维建模|　三角函数模型的实际应用类型及解题关键 (1)已知函数解析式,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系; (2)函数解析式未知时,需把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模. [即时训练] 5.某个弹簧振子做简谐运动,已知在完成一次全振动的过程中,时间t(单位:s)与位移y(单位:cm)之间满足函数关系y=sin t+cos,则这个简谐运动的振幅是 (　　) A.1 cm B.2 cm C. cm D.2 cm 快审准解:利用两角差的余弦公式以及辅助角公式化简函数解析式,即可得出这个简谐运动的振幅. 解析:选C　因为y=sin t+cos=sin t+cos tcos+sin tsin=sin t+cos t=sin,所以这个简谐运动的振幅是 cm.故选C. 6.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为 (　　) A.3 B.4 C.6 D.8 解析:选C　因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π,函数y=2sin的最小正周期为T=,所以在x∈[0,2π]上函数y=2sin有三个周期的图象.在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如图所示,由图可知,两函数图象有6个交点.故选C. |考|教|衔|接| 本题源自人教A版必修①P237例1:画出函数y=2sin的简图. 启示:我们经常说高考题源于教材,但高于教材或改编太多,所以有时候教材还是不能引起我们的足够重视.以上两题,我们只要掌握了教材题,高考题直接就出来了,这更好地诠释了教材的重要性. 7.(2024·芜湖三模)[多选]已知g(x)=2sincos(ω>0),则下面结论正确的是 (　　) A.当ω=1时,g(x)在上单调递增 B.若g(x1)=1,g(x2)=-1,且|x1-x2|的最小值为π,则ω=1 C.若g(x)在[0,2π]上恰有7个零点,则ω的取值范围是 D.存在ω∈(1,3),使得g(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称 解析:选CD　对于A,g(x)=2sin ·cos=sin,当x∈时,t=2x+∈,而y=sin t在上不具有单调性,故A错误; 对于B,g(x)=sin,由的最小值为π,则函数周期为2π,所以=2π,ω>0,解得ω=,故B错误; 对于C,g(x)=sin在[0,2π]上恰有7个零点,结合正弦曲线可知,2ω·2π+∈[7π,8π),解得ω∈,故C正确; 对于D,由g(x)=sin的图象向右平移个单位长度后得到y=sin的图象,由它关于y轴对称,可知-+=+kπ,k∈Z,解得ω=-1-3k,k∈Z,当ω∈(1,3)时,ω=2,故D正确.故选CD. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.用“五点法”作函数y=cos在一个周期内的图象时,第四个关键点的坐标为 (　　) A. B. 　 C. 　D. 解析:选A　令4x-=,得x=,∴第四个关键点的坐标为. 2.(2024·青岛三模)为了得到y=sin 2x+cos 2x的图象,只要把y=cos 2x图象上所有的点 (　　) A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 解析:选A　y=sin 2x+cos 2x=sin,由诱导公式可知y=cos 2x=sin=sin.又y=sin=sin,则-=,所以只需把图象向右平移个单位长度. 3.已知函数f(x)=tan(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则ωφ= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由题图可知,f(x)的最小正周期T=-==,则ω=2.由题图,得-φ=+kπ,k∈Z,则φ=-kπ,k∈Z.由0<φ<π,得φ=,则ωφ=. 4.设函数f(x)=cos在[-π,π]的图象大致如图所示,则f(x)的最小正周期为 (　　) A. 　　　　B. C. 　　　　D. 解析:选C　法一　由题图知,f=0, ∴-ω+=+kπ(k∈Z), 解得ω=-(k∈Z). 设f(x)的最小正周期为T, 易知T<2π<2T,∴<2π<, ∴1<|ω|<2, 当且仅当k=-1时,符合题意,此时ω=, ∴T==.故选C. 法二　由题图知,f=0且f(-π)<0,f(0)>0,∴-ω+=-(ω>0),解得ω=, ∴f(x)的最小正周期T==.故选C. 5.(2025·常德一模)将函数f(x)=2sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,若函数y=g(x)的一个极值点是,且在上单调递增,则ω的值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　由题意得,g(x)=2sin=2sin,又函数y=g(x)的一个极值点是,即x=是函数g(x)的一条对称轴,所以++=+kπ(k∈Z),则ω=+2k(k∈Z).函数 g(x)在上单调递增,则函数g(x)的周期T=≥2,结合ω>0,解得0<ω≤2,则k=0,ω=,故选A. 6.将函数g(x)=cos(ω∈N*)的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的2倍,得到函数f(x)的图象,若f(x)在上只有一个极大值点,则ω的最大值为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 快审准解:根据伸缩变换规则可得f(x)=2cos(ω∈N*),再由余弦函数图象性质以及极值点个数解不等式可得结果. 解析:选B　由题可知f(x)=2cos (ω∈N*), 当0<x<时,<2ωx+<ωπ+,作出y=2cos x的草图,如图所示. 若f(x)在上只有一个极大值点, 则由y=2cos x的图象可得2π<ωπ+≤4π, 解得<ω≤.因为ω∈N*,所以ω的最大值为3. 二、多选题 7.已知函数f(x)=tan(ω>0)图象的相邻两个对称中心之间的距离为,则 (　　) A.ω=4 B.f(x)的最小正周期为 C.f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)=tan 2x的图象 D.f(x)的单调递增区间为(k∈Z) 快审准解:由题设知周期,得ω的值,求出函数的解析式,由正切函数的图象性质逐项判断即可. 解析:选BCD　对于A、B,因为函数f(x)=tan(ω>0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为,则该函数的最小正周期为T=,所以ω==2,故A错误,B正确; 对于C,f(x)=tan,f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)=tan =tan 2x的图象,故C正确; 对于D,由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z),可得-<x<+(k∈Z), 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z),故D正确.故选BCD. 8.将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数f(x)的图象,则 (　　) A.f(x)=cos B.是f(x)图象的一个对称中心 C.当x=-时,f(x)取得最大值 D.函数f(x)在区间上单调递增 解析:选BD　将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数f(x)=sin 2=sin=-cos,A错误;f=sin=0,则是f(x)图象的一个对称中心,B正确;f=sin=-1,故当x=-时,f(x)取得最小值,C错误;由x∈,可得2x-∈⫋,则函数f(x)=sin在区间上单调递增,D正确. 9.如图是函数f(x)=Ksin(ωx+φ)的部分图象,A是图象的一个最高点,D是图象与y轴的交点,B,C是图象与x轴的交点,且D(0,-1),△ABC的面积等于,则下列说法正确的是 (　　) A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)的图象关于直线x=对称 C.函数f(x)的图象可由y=2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到 D.函数f(x)与g(x)=cos x在[0,π]上有2个交点 解析:选ABC　设f(x)的最小正周期为T, 由题图可知K=2,S△ABC=BC×K=BC=,即T=,可得T=π,故A正确; 且ω>0,所以=π,解得ω=2. 又因为图象过点D(0,-1),可得2sin φ=-1, 即sin φ=-,且-<φ<,可得φ=-, 所以f(x)=2sin.因为f=2sin=2sin=-2,为最小值,所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确;将y=2cos 2x的图象向右平移个单位长度,得到y=2cos 2=2cos=2sin,所以函数f(x)的图象可由y=2cos(2x)的图象向右平移个单位长度得到,故C正确;注意到f(π)=f(0)=-1, 在同一平面直角坐标系内,分别作出函数f(x)与g(x)=cos x在[0,π]上的图象,如图所示. 由图象可知,函数f(x)与g(x)=cos x在[0,π]上有3个交点,故D错误. 三、填空题 10.去年某地的月平均气温y(℃)与月份x(月)近似地满足函数y=a+bsin(a,b为常数).若6月份的月平均气温约为22 ℃,12月份的月平均气温约为4 ℃,则该地8月份的月平均气温约为　　　　 ℃.  解析:将(6,22),(12,4)代入函数解析式,解得a=13,b=-18,所以y=13-18sin.当x=8时,y=13-18sin=31. 答案:31 11.蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹,取其中一段水波纹,其形状可近似于用函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象来描述,如图所示,则f(x)=　　　　.  解析:由题知A=1,T==4=,∴ω=,即f(x)=sin.又∵f=1,|φ|<,∴×+φ=,故φ=,即f(x)=sin. 答案:sin 四、解答题 12.(13分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的最小正周期及解析式;(5分) (2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的最大值和最小值.(8分) 解:(1)由题图可知y=f(x)的最大值为1,最小值为-1,故A=1. 又=-==,∴ω=2,将点代入y=f(x),f=sin=-1,∴+φ=+2kπ,k∈Z,φ=+2kπ,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=, 故f(x)的最小正周期为π,f(x)=sin. (2)由y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)=sin=sin, ∵x∈,∴2x-∈, ∴当2x-=-,即x=0时,g(x)min=-; 当2x-=,即x=时,g(x)max=1.故函数g(x)在区间上的最大值为1,最小值为-. 13.(15分)已知函数f(x)=sin2+sin·cos-. (1)求f(x)的单调递增区间;(5分) (2)若函数y=|f(x)|-m在区间上恰有两个零点x1,x2,求m的取值范围.(10分) 解:(1)f(x)=sin2+sin·cos-=+sin-=-cos 2x+sin 2x+cos 2x-=sin 2x+cos 2x=sin.结合正弦函数的图象与性质,可得当-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),即-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)时,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)令t=2x+,当x∈时,t∈,sin t∈,所以y= ∈,如图所示.所以要使y=|f(x)|-m在区间上恰有两个零点,则<m<或m=0,所以m的取值范围为∪{0}. 第七节　正弦定理和余弦定理 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2.理解三角形的面积公式并能应用. 3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 教材再回首 1.余、正弦定理的内容及其变形 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径,则 定理 余弦定理 正弦定理 内容 a2=b2+c2-2bccos A; b2=c2+a2-2cacos B; c2=a2+b2-2abcos C ===2R 变形 cos A=; cos B=; cos C= (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (3) ==2R 2.三角形解的判断 A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A< a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形常用的面积公式 (1)S=aha(ha表示边a上的高). (2)S=absin C=acsin B=bcsin A.  (3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径). 解题结论拓展 (1)大边对大角,大角对大边,如a>b⇔A>B⇔sin A>sin B. (2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (3)在△ABC中,内角A,B,C成等差数列⇔B=,A+C=. (4)有关三角形内角的三角函数关系式: ①sin(A+B)=sin C; ②cos(A+B)=-cos C; ③tan(A+B)=-tan C; ④sin=cos; ⑤cos=sin. (5)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C. 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B. (　　) (2)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形. (　　) (3)在△ABC中,已知a,b,A,则三角形有唯一解. (　　) (4)在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.(苏教必修②P114T7)在△ABC中,若=1,则A= (　　) A.150° B.120° C.90° D.60° 答案:C 3.(人A必修②P44T2改编)在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理得cos∠BAC===-.因为∠BAC为△ABC的内角,所以∠BAC=,故选C. 4.(人A必修②P48T2(2)改编)在△ABC中,已知b=2,A=45°,C=75°,则c=　　　　.  解析:由题意得B=180°-45°-75°=60°,由正弦定理,得=,得c=+. 答案:+ 5.(人A必修②P55引用“阅读与思考”:海伦和秦九韶)若一个三角形的三边长分别为a,b,c,设p=(a+b+c),则该三角形的面积S=,这就是著名的“海伦—秦九韶公式”.若△ABC的三边长分别为5,6,7,则该三角形的面积为　　　　.  解析:∵p=(a+b+c)=×(5+6+7)=9, ∴S△ABC= ==6. 答案:6 题点一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 [例1] (1)在△ABC中，sin(B-A)=，2a2+c2=2b2，则sin C= (　　) A. B. C. D.1 解析：选C　(1)a2+c2-b2=2accos B，b2+c2-a2=2bccos A，两式相减，得2a2-2b2=2accos B-2bccos A=-c2，∴2acos B-2bcos A=-c.由正弦定理，得2sin Acos B-2sin Bcos A=-2sin(B-A)=-sin C，∴sin C=.故选C. 谨记结论:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则 (1)b2+c2-a2=bc⇒A=; (2)b2+c2-a2=bc⇒A=; (3)b2+c2-a2=bc⇒A=; (4)b2+c2+bc=a2⇒A=; (5)b2+c2+bc=a2⇒A=; (6)b2+c2+bc=a2⇒A=. (2)(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+sin C= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　法一　由正弦定理得sin Asin C=sin2B,因为B=,所以sin Asin C=sin2B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac,所以a2+c2=ac,所以sin2A+sin2C=sin Asin C,所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=sin Asin C=.又sin A>0,sin C>0,所以sin A+sin C=,故选C. 法二　由正弦定理得sin2B=sin Asin C,由B=,可得sin Asin C=,则sin A+sin C=sin A+≥2×=,当且仅当sin A=,即sin A=时等号成立,即sin A+sin C的最小值为,由于=,=,=均小于,而>,可排除A、B、D,故选C. 微技法:本题法二对条件化简,得到了两角之间的联系,利用基本不等式确定了待求式的范围,估算获得正确选项,避免了复杂的转化运算. |思维建模| (1)解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,则要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;如果以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. (2)掌握并识记一些常见的三角函数值,如cos=sin=,sin=cos=等,可以提升解题速度. [即时训练] 1.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin 2A=asin B,且c=2b,则等于 (　　) A.2 B.3 C. D. 解析:选D　由正弦定理及bsin 2A=asin B,得2sin Bsin Acos A=sin Asin B.又sin A≠0,sin B≠0,所以cos A=.又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-4b2×=3b2,得=. 2.在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且b2-bcsin A+c2=a2. (1)求角A的大小; (2)若b=2,c=3,求a和sin 2B的值. 解:(1)由余弦定理可知b2-2bccos A+c2=a2, 所以bcsin A=2bccos A⇒tan A=. 因为A∈(0,π),所以A=. (2)由余弦定理可得b2-2bccos A+c2=a2=4-6+9=7,所以a=. 再根据正弦定理可知asin B=bsin A=⇒sin B=. 因为c>b⇒C>B,故cos B==, 所以sin 2B=2sin Bcos B=, 即a=,sin 2B=. 拓展与建模 三角形中的射影定理 设△ABC的三边是a,b,c,它们所对的角分别是A,B,C,则有a=bcos C+ccos B;b=ccos A+acos C;c=acos B+bcos A. 注:以“a=bcos C+ccos B”为例,b,c在a上的射影分别为bcos C,ccos B,故名射影定理. 证明:如图,在△ABC中,AD⊥BC,则bcos C=CD,ccos B=BD, 故bcos C+ccos B=CD+BD=BC=a,即a=bcos C+ccos B. 同理可证b=ccos A+acos C,c=acos B+bcos A. [示例]　已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3bcos C+3ccos B=5asin A,且A为锐角,则当取最小值时,的值为　　　　.  解题观摩:由3bcos C+3ccos B=5asin A及射影定理得3a=5asin A,可得sin A=①.  而A是锐角,所以cos A=,则由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc②,  所以==-≥-=, 当且仅当b=c时,取得最小值③, 此时a2=b2,即a=b,所以=. 习得方略:①处还可以这样解,由正弦定理得3sin Bcos C+3sin Ccos B=5sin2A,即3sin(B+C)=5sin2A,则由sin(B+C)=sin A>0可得sin A=; ②处,由题设中的结构形式联想利用余弦定理化简变形; ③处,借助基本不等式求最值,注意写出等式成立的条件. 题点二　判断三角形的形状 [例2]　在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,C=,则△ABC的形状是 (　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 解析:选B　法一　因为=,所以A,B∈,且acos B=bcos A, 所以由余弦定理得a·=b·,整理得a=b.又C=,所以A=B===C,故△ABC是等边三角形. 法二　因为=,所以A,B∈,且acos B=bcos A,由正弦定理可得sin Acos B=sin Bcos A,所以sin(A-B)=0,因为-<A-B<,所以A-B=0,即A=B.又C=,所以A=B===C,故△ABC是等边三角形. 谨记结论:三角形形状的判别 (1)cos A=cos B⇔A=B⇒△ABC为等腰三角形; (2)sin 2A=sin 2B,即A=B或A+B=⇒△ABC为等腰三角形或直角三角形; (3)sin A=1,即△ABC是以A为直角的直角三角形; (4)(a2-b2)(a2+b2-c2)=0⇒△ABC为等腰三角形或直角三角形;a=b且a2+b2=c2⇒△ABC为等腰直角三角形; (5)a2+b2=c2⇔△ABC是以C为直角的直角三角形;a2+b2>c2,a2+c2>b2,b2+c2>a2⇔△ABC是锐角三角形; a2+b2<c2⇔△ABC是以C为钝角的钝角三角形. |思维建模| 1.判断三角形形状的途径 (1)化边为角,通过三角变换找出角之间的关系. (2)化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正(余)弦定理是转化的桥梁. 2.解题注意点 无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件,重视角的范围对三角函数值的限制. [即时训练] 3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3b=2asin B,cos A=cos C,则△ABC的形状为 (　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 快审准解:利用正弦定理将边化角,即可求出A,再由cos A=cos C求出C,即可得解. 解析:选C　因为3b=2asin B,所以由正弦定理可得3sin B=2sin Asin B.因为0°<B<180°,所以sin B≠0,所以sin A=,又0°<A<180°,所以A=60°或120°.又因为cos A=cos C,所以A=C=60°,故△ABC为等边三角形,故选C. 4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,则△ABC的形状为 (　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 快审准解:由正弦定理、余弦定理化角为边,化简已知等式可得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,即可判断△ABC的形状. 解析:选D　由正弦定理、余弦定理及a2cos Asin B=b2cos Bsin A,得a2··b=b2··a,∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),即a4-b4+c2(b2-a2)=0,则(a2+b2)(a2-b2)+c2(b2-a2)=(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a=b或a2+b2=c2,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形. 题点三　三角形的面积问题 [例3]　(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,且a2+b2-c2=ab. (1)求B; (2)若△ABC的面积为3+,求c. 解:(1)因为a2+b2-c2=ab,所以由余弦定理有cos C===,因为C∈(0,π),所以C=.因为sin C=cos B=,所以cos B=.因为B∈(0,π),所以B=. (2)法一　由(1)知B=,C=, 所以A=π--=,sin A=sin=sin=×+×=, 由正弦定理有==,从而a=·c=c,b=·c=c. 所以S△ABC=absin C=·c·c·=c2=3+,解得c=2. 法二　由(1)知B=,C=.如图,作出△ABC,过A作BC边上的垂线,垂足为D,则BD=,AD=CD=. 因为△ABC的面积为3+,所以××=3+,解得c=2. |思维建模|　与三角形面积有关问题的解题策略 (1)利用正弦、余弦定理解三角形,求出三角形的相关边、角之后,直接求三角形的面积. (2)把面积作为已知条件之一,与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量. [即时训练] 5.在锐角△ABC中,已知asin A=csin C+(b-c)sin B. (1)求角A; (2)若a=7,c=8,求△ABC的面积. 解:(1)因为asin A=csin C+(b-c)sin B,所以由正弦定理的边角互化可得a2=c2+b2-bc,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A===,且△ABC为锐角三角形,所以A=. (2)因为a=7,c=8,所以由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即49=b2+64-8b,解得b=3或b=5.因为△ABC为锐角三角形,当b=3时,边c最大,所以角C为最大角,而cos C===-<0, 此时角C为钝角,与△ABC为锐角三角形矛盾,故b≠3;当b=5时,边c最大,所以角C为最大角,而cos C===>0,此时角C为锐角,所以b=5符合条件. 所以S△ABC=bcsin A=×5×8×=10. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.在△ABC中,A=,C=,b=,则a= (　　) A.1 B. C. D.2 解析:选D　由题意可得B=π-A-C=,由正弦定理=可得a===2. 2.在△ABC中,C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c= (　　) A. B. C.6 D.5 解析:选B　因为sin A=6sin B,所以由正弦定理得a=6b.又a+2b=8,所以a=6,b=1.因为C=60°,所以由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=62+12-2×6×1×=31,解得c=. 3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且满足b-a=2bsin2,则△ABC的形状为 (　　) A.直角三角形 　　　B.等边三角形 C.直角三角形或等腰三角形 　　　D.等腰直角三角形 解析:选A　由题知,b-a=2bsin2,所以=sin2=,所以b-a=b-bcos C,得a=bcos C,所以a=b·,得a2+c2=b2.所以△ABC的形状为直角三角形,故选A. 方法结论:三角形形状的判别 ① cos A=cos B⇔A=B⇒△ABC为等腰三角形 ② sin 2A=sin 2B,即A=B或A+B=⇒△ABC为等腰三角形或直角三角形 ③ sin A=1,即△ABC是以A为直角的直角三角形 ④ (a2-b2)(a2+b2-c2)=0⇒△ABC为等腰三角形或直角三角形; a=b且a2+b2=c2⇒△ABC为等腰直角三角形 ⑤ a2+b2=c2⇔△ABC是以C为直角的直角三角形; a2+b2>c2,a2+c2>b2,b2+c2>a2⇔△ABC是锐角三角形; a2+b2<c2⇔△ABC是以C为钝角的钝角三角形 4.(2025年1月·八省高考适应性演练)在△ABC中,BC=8,AC=10,cos∠BAC=,则△ABC的面积为 (　　) A.6 B.8 C.24 D.48 解析:选C　设AB=x,根据余弦定理BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC,已知BC=8,AC=10,cos∠BAC=,代入可得82=102+x2-2×10×x×,即x2-12x+36=0,解得x=6.由于BC2+AB2=64+36=100=AC2,则△ABC为直角三角形,则S=×6×8=24. 故选C. 5.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=1,C=,△ABC的面积S=2,则△ABC的外接圆的半径为 (　　) A.4 B.2 C.5 D. 解析:选D　因为b=1,C=,△ABC的面积S=2,所以S=a×1×sin=2,解得a=4.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(4)2+12-2×4×1×=25,解得c=5(舍负),所以结合正弦定理可知,△ABC的外接圆的半径为=,故选D. 6.(2024·秦皇岛三模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2C,b=a,则 (　　) A.△ABC为直角三角形 B.△ABC为锐角三角形 C.△ABC为钝角三角形 D.△ABC的形状无法确定 解析:选A　由b=a,可得sin B=sin A,则sin 2C=sin(π-3C)=sin 3C=sin 2Ccos C+cos 2Csin C,∵C∈(0,π),∴sin C≠0, ∴2cos C=2cos2C+(2cos2C-1), 即4cos2C-2cos C-=0,由B=2C>C,故C只能为锐角,可得cos C=. 因为0<C<,所以C=,B=. 7.(2024·福州三模)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若面积S=,则tan= (　　) A. B. C. D. 快审准解:先利用余弦定理的变形a2+b2-c2=2abcos C,结合三角形的面积公式S=absin C,可把条件转化为4cos C+4=3sin C,再根据同角三角函数的基本关系和三角形中sin C≠0,可求得sin C,cos C,tan C,利用倍角公式计算即可得出结果. 解析:选D　因为S=absin C,所以absin C==. 又由c2=a2+b2-2abcos C⇒a2+b2-c2=2abcos C,所以absin C=⇒4cos C+4=3sin C. 所以4cos C=3sin C-4⇒(4cos C)2=(3sin C-4)2⇒16cos2C=9sin2C-24sin C+16⇒16(1-sin2C)=9sin2C-24sin C+16, 所以25sin2C-24sin C=0.又因为在△ABC中,sin C≠0,所以sin C=. 又因为4cos C=3sin C-4,解得cos C=-, 所以tan C=-,C为钝角,tan C= =-,结合为锐角,解得tan=. 二、多选题 8.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c且a=3,b=,c=,则下列结论正确的是 (　　) A.△ABC是锐角三角形 　B.B= C.△ABC的面积为 　D.AB的中线长为 解析:选BC　对于A,由题意可知a边最大,所以A为△ABC的最大内角, 易知cos A===-<0,因此角A为钝角,即A错误; 对于B,易知cos B===.又B∈(0,π),可得B=,即B正确; 对于C,由S=acsin B=×3××=,可得△ABC的面积为,即C正确; 对于D,设AB的中线为CD,易知CD2=a2+-2a×cos B=9+-3=,可得CD=,即D错误. 9.在△ABC中,AB=2,AC=+1,BC=,∠BAC的平分线交BC于D,则 (　　) A.△ABC是钝角三角形 　　B.∠BAC= C.AD=2 　　D.BD=- 解析:选BCD　由题意可知AC边长最大,即B是最大角, 由余弦定理知cos B===×-×=cos=cos>0, 则B=<,△ABC是锐角三角形,故A错误; 由余弦定理知cos∠BAC==, 则∠BAC=,故B正确;由上可知C=,如图所示,由AD平分∠BAC,可知∠BDA=π--=,即AD=AB=2,故C正确;作EB⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,易得△EBC,△DFC均为等腰直角三角形,且DF=AD=1,AF=,所以CF=1⇒CD=,BD=-,故D正确. 三、填空题 10.(2024·成都三模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=2ac且sin C=2sin A,则cos A的值为　　　　　.  解析:因为sin C=2sin A,由正弦定理得c=2a.又因为b2=2ac,可得b2=4a2,所以b=2a,由余弦定理得cos A===. 答案: 11.(2024·南昌二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asin B=2bcos A,则tan A=　　　　.  解析:由asin B=2bcos A知cos A==>0,故tan A存在. 再由正弦定理=,即可得到tan A=====2. 答案:2 四、解答题 12.(13分)(2025·益阳一模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin C-ccos A-c=0. (1)求A;(3分) (2)若a=4,△ABC的面积为2,求b+c的值.(10分) 解:(1)由正弦定理得a=2Rsin A,c=2Rsin C. 又asin C-ccos A-c=0,∴sin Asin C-sin Ccos A-sin C=0.∵C∈(0,π),∴sin C≠0,∴sin A-cos A-1=0, ∴2sin=1.∵A∈(0,π),∴A=. (2)∵△ABC的面积为2,∴2=bcsin A=bcsin=bc,∴bc=8. ∵a=4,A=,由a2=b2+c2-2bccos A得16=b2+c2-2bc×, 即(b+c)2=16+3bc=40,∴b+c=2. 13.(13分)(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2. (1)求A.(3分) (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长.(10分) 解:(1)∵sin A+cos A=2, ∴2=2,即sin=1, ∵A+∈,∴A+=,∴A=. (2)由正弦定理得sin Bsin C=sin Csin 2B, ∴sin Bsin C=2sin Csin Bcos B. ∵sin B≠0,sin C≠0,∴=2cos B,∴cos B=. ∵B∈,∴B=,∴C=. ∵==,∴==, ∴b=2,c=+, ∴△ABC的周长为2++3. 第八节　解三角形中的综合问题 第1课时　解三角形中的“三线”问题 题点一　三角形的高线 [例1]　设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且向量m=(a,b),n=(-cos A,sin B)满足m∥n. (1)求A; (2)若a=,b=3,求BC边上的高h. 解:(1)因为m∥n,所以asin B+bcos A=0,由正弦定理得sin Asin B+sin Bcos A=0.因为B∈(0,π),所以sin B≠0,所以tan A=-.又A∈(0,π),所以A=. (2)因为a=,b=3,A=,所以a2=b2+c2-2bccos A,即()2=32+c2-2×3c×, 化简得c2+3c-4=0,解得c=1或c=-4(舍去). 由△ABC的面积S=bcsin A,及S=ah, 得×3×1×=×h,解得h=. |思维建模|　高线问题的处理策略 　　如图,在△ABC中,AD⊥BC. (1)等面积法:AD·BC=AB·AC·sin ∠BAC. (2)AD=AB·sin B=AC·sin C. (3)a=ccos B+bcos C. [即时训练] 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b(1+cos C)=csin B. (1)求角C的大小; (2)若c=2,b-a=4,求AC边上的高. 解:(1)因为b(1+cos C)=csin B,所以由正弦定理可得sin B(1+cos C)=sin Csin B. 又因为B∈(0,π),则sin B≠0, 所以1+cos C=sin C.整理得2sin=1,即sin=. 因为C∈(0,π),所以C-∈, 所以C-=,所以C=. (2)由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,且c=2,有40=a2+b2-ab, 又b-a=4,即b=4+a,所以上式可化为a2+4a-24=0,解得a=-2+2或a=-2-2(舍去), 所以AC边上的高为asin C=(-2+2)×=-+. 题点二　三角形的中线 [例2]　在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=5,c=3,b=acos C-. (1)求角A; (2)若D是BC中点,求AD的长度. 方法引入:(1)法一:由b=acos C-及正弦定理得sin B=sin Acos C-sin C,再由sin B=sin Acos C+cos Asin C,得cos A=-,可求角A; 法二:已知条件结合余弦定理求出a2,再由余弦定理求得cos A=-,可求角A; (2)法一:利用向量数量积求; 法二:由∠ADB+∠ADC=π,有cos ∠ADB=-cos ∠ADC,利用余弦定理求AD的长度. 解:(1)法一　因为b=acos C-,由正弦定理得sin B=sin Acos C-sin C.又sin B=sin Acos C+cos Asin C,得cos Asin C=-sin C. 在△ABC中,sin C≠0,所以cos A=-.又因为在△ABC中,所以A=. 法二　因为b=acos C-,b=5,c=3,由余弦定理得5=a·-,解得a2=49,所以cos A===-.又因为在△ABC中,所以A=. (2)法一　在△ABC中,D是BC中点, 所以=+,=+·+=×9+×3×5×+×25=,=,即AD的长为. 法二　由(1)法二,知a=7,又D是BC中点,BD=CD=, 在△ABD中,由余弦定理有cos ∠ADB=, 在△ACD中,由余弦定理有cos ∠ADC=. 因为∠ADB+∠ADC=π, 所以cos ∠ADB=-cos ∠ADC, 即=-, 解得AD=,即AD的长为. |思维建模|　中线问题的处理策略 　　如图①,在△ABC中,AD为BC的中线,已知AB,AC及∠BAC,求中线AD的长. (1)倍长中线:如图②,构造全等,再用余弦定理即可; (2)向量法:=(+),平方即可; (3)余弦定理:邻补角余弦值为相反数,即cos∠ADB+cos∠ADC=0. 补充:若将条件“AD为BC的中线”换为“=λ”,则可以考虑方法(2)或方法(3). [即时训练] 2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知2ccos C+acos B+bcos A=0. (1)求角C的大小; (2)若c=3,AB边上的中线CD=1,求△ABC的周长. 快审准解:(1)根据正弦定理边化角,再结合两角和的正弦公式、诱导公式,可得cos C=-,从而可求解; (2)根据余弦定理可得9=a2+b2+ab,再根据中线向量公式可得4=a2+b2-ab,从而求得ab=,a2+b2=. 解:(1)由正弦定理得2sin Ccos C+sin Acos B+sin Bcos A=0,即2sin Ccos C+sin(A+B)=2sin Ccos C+sin C=0. 因为sin C≠0,所以cos C=-. 因为0<C<π,所以C=. (2)已知c=3,CD=1, 在△ABC中,由余弦定理得9=a2+b2+ab　①, 由CD为△ABC的中线,得2=+, 两边平方得4=a2+b2-ab　②, 联立①②得ab=,a2+b2=,所以△ABC的周长为a+b+c=+3=+3. 题点三　三角形的角平分线 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos B(ccos B+bcos C)+a=0. (1)求角B的大小; (2)设D是边AC上一点,BD为角平分线且AD=2DC,求cos A的值. 解:(1)由cos B(ccos B+bcos C)+a=0和正弦定理,可得cos B(sin Ccos B+cos Csin B)+sin A=0,因为sin Ccos B+cos Csin B=sin(B+C)=sin A,代入可得sin A=0.又0<A<π,所以sin A>0,故cos B=-.又因为0<B<π,所以B=. (2)如图,因为BD平分∠ABC,且AD=2DC,则==2,即c=2a,在△ABC中,由余弦定理,b2=a2+c2-2accos B,得b2=a2+4a2+2a2=7a2,则b=a,故cos A====. |思维建模|　角平分线问题的处理策略 　　在△ABC中,AD平分∠BAC. (1)角平分线定理:=; (2)利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理. [即时训练] 3.在△ABC中,A,B,C分别为边a,b,c所对的角,且满足2a+c=2bcos C. (1)求B的大小; (2)A的角平分线AD交BC边于点D,当c=2,AD= 时,求CD. 解:(1)∵2a+c=2bcos C,∴2sin A+sin C=2sin Bcos C,2sin(B+C)+sin C=2sin Bcos C,2cos Bsin C+sin C=0, ∵sin C≠0,∴cos B=-. 又B∈(0,π),∴B=. (2)在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B,可得BD2+2BD-3=0,解得BD=1(舍负). ∵AD是角A的平分线, ∴==2. 设CD=m,则AC=2m,在△ABC中,由余弦定理可得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B, 即4m2=4+(1+m)2-2×2×(1+m)×, 整理得3m2-4m-7=0,解得m=(舍负),∴CD=. 数智赋能:电子版随堂训练（一道高考真题，总结“爪形”三角形特点） [课时跟踪检测] 1.(15分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,且4S=(b2-a2-c2). (1)求B;(5分) (2)若a=2,b=2,D为AC边的中点,求BD的长.(10分) 解:(1)由三角形面积公式及条件可知4S=2acsin B=(b2-a2-c2), 由余弦定理知b2-a2-c2=-2accos B, 所以-cos B=sin B,解得tan B=-. 因为B∈(0,π),所以B=. (2)结合(1)的结论,根据余弦定理有a2+c2-b2=2accos B⇒c2+2c-24=0,所以c=4(舍负). 易知2=+,所以4=++2·=16+4+2×2×4×=12, 故BD=. 2.(15分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积S=(a2+c2-b2)sin B. (1)求角B;(5分) (2)若∠ABC的平分线交AC于点D,a=3,c=4,求BD的长.(10分) 解:(1)在△ABC中,S=acsin B=(a2+c2-b2)sin B,而0<B<π, 即sin B>0,所以a2+c2-b2=ac, 由余弦定理得cos B==,所以B=. (2)在△ABC中,由等面积法得S△ABC=S△BAD+S△BCD, 即BC·BA·sin∠ABC=BA·BD·sin+BC·BD·sin,即×3×4×=×4×BD×+×3×BD×,所以BD=. 3.(15分)(2024·青岛三模)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin(B+C)=2sin2. (1)求角A的大小;(5分) (2)若b=3,BC边上的高为,求△ABC的周长.(10分) 解:(1)因为A,B,C为△ABC的内角,所以sin(B+C)=sin A. 因为sin2=,所以sin(B+C)=2sin2可化为sin A=(1-cos A), 即sin A+cos A=,即sin=. 由A+∈,解得A+=,即A=. (2)由三角形面积公式得bcsin A=×a,将b=3代入得×3csin=×a, 所以a=c,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A=c2得c2+4c-12=0, 解得c=2或c=-6(舍去),则a=, 所以△ABC的周长为5+. 4.(15分)(2024·长沙三模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,b=4. (1)若cos B+2cos A=ccos C,求C的值;(6分) (2)若D是边AB上的一点,且CD平分∠ACB,cos∠ACB=-,求CD的长.(9分) 快审准解:(1)由已知可得acos B+bcos A=2ccos C,边化角,可得sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C,利用三角恒等变换可求C; (2)由已知可得cos=,利用S△ABC=S△ADC+S△BDC,可得CD=,可得解. 解:(1)由题意得2cos B+4cos A=2ccos C, 所以acos B+bcos A=2ccos C. 由正弦定理,得sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C, 即sin(A+B)=2sin Ccos C. 又sin(A+B)=sin C,所以sin C=2sin Ccos C. 又sin C≠0,所以cos C=. 因为C∈(0,π),所以C=. (2)由cos∠ACB=-, 得2cos2-1=-,解得cos=. 由S△ABC=S△ADC+S△BDC, 得absin∠ACB=bCDsin+a·CDsin, 即2abcos=(a+b)CD, 所以CD===. 第2课时　解三角形中的最值、范围问题　　　 方法一　利用基本不等式求最值、范围 [例1]　在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且+=+. (1)求证:a+c=3b; (2)若b=4,且D是边AC的中点,求BD的最小值. 解:(1)证明:∵+=+, ∴+=+,整理得sin A+sin C=3(sin Acos C+cos Asin C)=3sin B,由正弦定理得a+c=3b. (2)∵b=4,且D是边AC的中点,∴AD=CD=2, 由余弦定理得,=-, 则2BD2=a2+c2-8. ∵b=4,∴a+c=3b=12, 由a2+c2≥2ac,得a2+c2≥=72, 当且仅当a=c=6时,等号成立. ∴2BD2=a2+c2-8≥64,∴BD≥4, 故BD的最小值为4. |思维建模|　利用基本不等式解决三角形最值问题的策略 　　在解决三角形问题时,主要涉及边与角的关系,特别是在运用余弦定理、计算周长、计算面积时,会出现三角形两边的平方和、两边的和、两边的积等代数式,这就为基本不等式的应用提供了条件.因此在解决最值或范围问题时,应注意基本不等式的合理运用. [即时训练] 1.(2025·新乡模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2-a2=2acsin B. (1)求A; (2)若a=2,求△ABC面积的最大值. 解:(1)因为b2+c2-a2=2acsin B, 由余弦定理可得 cos A===, 由正弦定理知=, 所以sin A==cos A. 又因为A∈(0,π),所以A=. (2)因为a=2且A=, 所以由余弦定理得b2+c2-a2=2bccos A, 即b2+c2-4=bc. 又因为b2+c2-4=bc≥2bc-4, 当且仅当b=c时,等号成立, 即2bc-4≤bc,解得bc≤4+2,所以△ABC的面积S=bcsin A=bc≤1+, 即△ABC面积的最大值为1+. 方法二　利用三角函数的性质求最值、范围 [例2]　在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=btan A,且B为钝角. (1)求B-A; (2)求sin A-cos B+sin C的取值范围. 解:(1)因为a=btan A, 由正弦定理得==,又sin A≠0, 故sin B=cos A=sin, 由于在△ABC中,B为钝角,所以B+-A=π或B=-A(舍去),所以B-A=. (2)由于C=π-(A+B)=π-=-2A,0<C<,所以A∈,故sin A-cos B+sin C=sin A-cos+sin=2sin A+cos 2A=2sin A+1-2sin2A=-2+,由于A∈,所以0<sin A<, 故1<-2+≤,故sin A-cos B+sin C的取值范围为. |思维建模|　 借助三角函数性质解决三角形中最值或范围问题的策略 　　解决三角形问题时,通过正弦定理与余弦定理,将问题转化为某一内角的三角函数,然后借助三角恒等变换,求出三角函数的最值或值域,解决相关的最值或范围问题. [即时训练] 2.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a2-b2=(a-c)c. (1)求角B; (2)若b=,求△ABC周长的最大值. 解:(1)由a2-b2=(a-c)c,即b2=a2+c2-ac, ∵b2=a2+c2-2accos B,∴cos B=. 又B∈(0,π),∴B=. (2)由==可得,a=2sin A,c=2sin C,△ABC的周长l=a+b+c=2sin A+2sin C+, ∵A+C=,∴l=2sin A+2sin+=3sin A+cos A+=2sin+. ∵0<A<,∴l的最大值为3. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 1.(15分)(2024·宝山二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin2A+sin2C=sin2B+sin Asin C. (1)求角B的大小;(5分) (2)若△ABC的面积为,求a+c的最小值,并判断此时△ABC的形状.(10分) 解:(1)由正弦定理得a2+c2=b2+ac, 又由余弦定理得cos B===, 因为B是三角形的内角,所以B=. (2)由三角形面积公式得S△ABC=acsin B=acsin=ac=,解得ac=4. 因为a+c≥2=4,当且仅当a=c=2时取等号, 所以a+c的最小值为4,此时△ABC为等边三角形. 2.(15分)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a-c=2ccos B. (1)求证:B=2C;(5分) (2)若∠ABC的角平分线交AC于D,且a=6,求线段BD长度的取值范围.(10分) 快审准解:(1)利用正弦定理以及三角恒等变换可求得sin(B-C)=sin C,再由角的范围可得B=2C; (2)由正弦定理可得BD=,再由锐角三角形限定出角的范围,根据三角函数值可得BD长度的取值范围. 解:(1)证明:由a-c=2ccos B,根据正弦定理可得sin A-sin C=2sin Ccos B, 即sin(B+C)-sin C=2sin Ccos B,所以sin Bcos C+cos Bsin C-sin C=2sin Ccos B, 所以sin Bcos C-cos Bsin C=sin C, 即sin(B-C)=sin C,显然B>C.又在锐角△ABC中,故0<B-C<,所以B=2C. (2)在△BCD中,由正弦定理可得=, 即=,所以BD===. 因为△ABC是锐角三角形,且B=2C, 所以解得<C<, 可得<cos C<,所以2<BD<3, 所以线段BD长度的取值范围是(2,3). 3.(15分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足asin B=bcos. (1)求角A;(5分) (2)若a=2,求△ABC周长的取值范围.(10分) 解:(1)由asin B=bcos及正弦定理得sin Asin B=sin Bcos,故sin Asin B=sin B=sin Bcos A+sin Bsin A,所以sin Asin B=sin Bcos A.因为B∈(0,π),sin B≠0,所以sin A-cos A=sin=0.因为A∈(0,π),所以A=. (2)由(1)可知,A=,由余弦定理,得b2+c2-a2=bc.又a=2,所以b2+c2=bc+4. 由基本不等式得b2+c2≥2bc,即bc+4≥2bc,所以bc≤4,当且仅当b=c=2时,等号成立.又(b+c)2=b2+c2+2bc=3bc+4≤16,即0<b+c≤4.又b+c>a=2,所以2<b+c≤4,所以4<a+b+c≤6,即△ABC周长的取值范围是(4,6]. 4.(15分)已知函数f(x)=2sin xcos-cos xcos +sin2x-. (1)若f(α)=,且<α<,求cos 2α;(6分) (2)若△ABC为锐角三角形,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(B)=,c=2,求△ABC面积的取值范围.(9分) 解:(1)f(x)=2sin x+sin xcos x-cos2x=sin 2x-cos 2x=2sin, 因为f(α)=,所以2sin=, 即sin=. 因为<α<,所以0<2α-<, 则cos==, 所以cos 2α=cos=cos×-sin×=×-×=. (2)由f(B)=,可得f(B)=2sin=,即sin=. 又0<B<,所以-<2B-<, 所以B=, 则可得<C<,所以tan C>. 由正弦定理=及c=2, 得a====1+∈(1,4), 所以S△ABC=acsin B=a∈, 即△ABC面积的取值范围为. 第九节　解三角形的应用举例 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 教材再回首 　　实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫做仰角,目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图1). (2)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等. (3)方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如点B的方位角为α(如图2). (4)坡度:坡面与水平面夹角的度数. 典题细发掘 1.(人A必修②P51T2改编)如图所示,某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000米后到达S处,又测得山顶的仰角∠DSB=75°,则山高BC为 (　　) A.1 000米 B.1 000米 C.500(+1)米 D.500(+)米 解析:选B　∵∠SAB=45°-30°=15°,∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-(90°-75°)=30°,∴∠ASB=180°-15°-30°=135°.在△ABS 中,AB===1 000,∴BC=ABsin 45°=1 000×=1 000米. 2.(北师大必修②P115例2改编)如图是古希腊数学家特埃特图斯(约前417—前369)用来构造无理数,,,…的图形,此图形中∠BAD的余弦值是 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　在△ABC中,∠ACB=45°,在△BCD中,∠DCB=90°+45°=135°,∴BD2=1+1+2×1×1×=2+,在△BAD中,cos∠BAD==. 3.(苏教必修②P95T2改编)牵牛星和织女星分别距离地球约17光年和26光年,从地球上观测这两颗星的张角为34°,则牵牛星与织女星之间的距离约为　　　　光年.(精确到0.01光年)  解析:设两颗星之间的距离为x光年,由余弦定理得x2=172+262-2×17×26×cos 34°=289+676-2×17×26×0.829 0≈232.164,解得x≈15.24,所以牵牛星与织女星之间的距离约为15.24光年. 答案:15.24 题点一　测量距离问题 [例1]　如图,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°,北偏东45°方向,再往正东方向行驶20海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为 (　　) A.20海里 B.10海里 C.20(1+)海里 D.10(1+)海里 解析:选B　在△ACD中,∠ADC=90°+15°=105°,∠ACD=90°-60°=30°,∠CAD=180°-105°-30°=45°,由正弦定理得=,AC===10(+1).在△BCD中,∠BDC=45°,∠BCD=90°, 所以∠CBD=45°,所以BC=CD=20.在△ABC中,由余弦定理得AB===10海里. |思维建模|　求解距离问题的2个注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. [即时训练] 1.某湖中有一小岛C,沿湖有一条正南方向的公路,一辆汽车在公路A处测得小岛在南偏西的方向上,汽车行驶2公里到达B处后,又测得小岛在南偏西的方向上,如图所示,则小岛到公路的距离为 (　　) A. 公里 B. 公里 C. 公里 D. 公里 解析:选C　由题图易知∠CAB=,∠CBA=π-=,∠ACB=π--=,AB=2公里.在△ABC中,由正弦定理得=,所以BC=×sin=sin,所以点C到直线AB的距离为BC·sin=sin·cos=sin=公里. 2.如图,设M,N为某海边相邻的两座山峰,到海平面的距离分别为100米,50米.现欲在M,N之间架设高压电网,需计算M,N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点,利用测角仪从P点测得的M,N点的仰角分别为30°,45°,并从P点观测到M,N点的视角(即∠MPN)为45°,则M,N之间的距离为　　　米.  解析:由题意得MM1=100米,NN1=50米,∠MPM1=30°,∠NPN1=45°,∠MPN=45°. 在Rt△MM1P中,MP=2MM1=200米. 在Rt△NN1P中,NP=NN1=50米. 在△MNP中,由余弦定理得MN2=MP2+NP2-2MP·NPcos∠MPN=2002+(50)2-2×200×50×=25 000,故MN=50 米. 答案:50 题点二　测量高度问题 [例2]　如图,已知AA1为某建筑物的高,BB1,CC1分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高,A1,B1,C1分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上,A,B,C分别为该建筑物、甲、乙的顶点,经测量得A1B1=80米,CC1=86米,∠C1A1B1=48.60°,∠A1C1B1=30°,在C点测得B点的仰角为33.69°,在B点测得A点的仰角为51.34°,则该建筑物的高AA1约为(参考数据:tan 33.69°≈0.667,tan 51.34°≈1.250,sin 48.60°≈0.750) (　　) A.268米 B.265米 C.266米 D.267米 解析:选C　如图,分别过B,C作BF⊥AA1,CD⊥BB1,垂足分别为F,D,过D作DE⊥AA1,垂足为E.根据题意易得∠ABF=51.34°,∠BCD=33.69°.在△A1B1C1中,由正弦定理得B1C1==≈=120,在Rt△BDC中,DC=B1C1=120,则BD=120tan 33.69°≈120×0.667=80.04.在Rt△AFB中,BF=A1B1=80,则AF=80tan 51.34°≈80×1.250=100,所以AA1=CC1+BD+AF≈86+80.04+100≈266米. |思维建模|　求解高度问题的3个注意事项 (1)在处理有关高度问题时,理解仰角、俯角(它们是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键. (2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错. (3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题. [即时训练] 3.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图(右栏),点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB= (　　) A.+表高 B.-表高 C.+表距 D.-表距 解析:选A　由题意,知△ABH∽△EDH, 所以=,所以EH=. ① 由题意,知△ABC∽△GFC,所以=, 所以GC==. ② ②-①,得GC-EH==,所以AB===+DE, 所以AB=+表高.故选A. 4.为测量某塔的高度,在塔旁的水平地面上共线的三点A,B,C处测得其顶点P的仰角分别为30°,60°,45°,且AB=BC=50米,则塔的高度OP=　　　　米.  快审准解:设PO=h,在Rt△POA,Rt△POB,Rt△POC分别根据锐角三角函数定义求出OA,OB,OC,最后利用余弦定理进行求解即可. 解析:设塔的高度PO=h,在Rt△POA中,OA==h,同理可得OB=h,OC=h,在△OAC中,∠OBA+∠OBC=π,则cos∠OBA=-cos∠OBC,∴=-,即=-,解得h=10.所以塔的高度为10米. 答案:10 题点三　测量角度问题 [例3]　如图,位于A处的信息中心获悉,在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cos θ的值为　　　.  解析:由已知,∠CAB=135°,在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠CAB=400+1 800+1 200=3 400,则BC=10,所以cos∠ACB==,sin∠ACB=,所以cos θ=cos(45°+∠ACB)=cos∠ACB-sin∠ACB=×-×=. 答案: |思维建模|　求解角度问题的3个注意事项 (1)测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义. (2)求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值. (3)在解应用题时,要根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题.解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点. [即时训练] 5.某海域A处的甲船获悉,在其正东方向相距50 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援,同时把信息通知在A处南偏东30°,且与A处相距25 n mile的C处的乙船,那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东 (　　) A.30° B.45° C.90° D.60° 解析:选D　如图所示,∠MAC=∠NCA=30°,则∠CAB=60°,由题意可知,AC=25,AB=50.由余弦定理得BC2=(25)2+(50)2-2×25×50×cos 60°,解得BC=75,由正弦定理得=,解得∠ACB=90°,所以∠NCB=60°,故选D. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.如图,海面上有相距10 n mile的A,B两个小岛,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离为 (　　) A.10 n mile B. n mile C.5 n mile D.5 n mile 解析:选D　由题意得,A=60°,B=75°,AB=10,则C=45°,所以=,所以BC==5,即B,C间的距离为5 n mile. 2.如图,河边有一座塔OP,其高为20 m,河对面岸上有A,B两点与塔底O在同一水平面上,在塔顶部测得A,B两点的俯角分别为45°和30°,在塔底部O处测得A,B两点形成的视角为150°,则A,B两点之间的距离为 (　　) A.10 m B.10 m C.20 m D.10 m 解析:选C　因为在塔顶部测得A,B两点的俯角分别为45°和30°,所以在Rt△POA中,∠PAO=45°,可得OA=OP=20 m,在Rt△POB中,∠PBO=30°,可得OB==20 m.在△AOB中,由题意知∠AOB=150°,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB=400+1 200-2×20×20×=2 800,所以AB=20 m. 3.一艘船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是 (　　) A.5海里/小时 B.5海里/小时 C.10海里/小时 D.10海里/小时 解析:选C　如图所示,由题意知∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,可得CD=CA=10,在Rt△ABC中,AB=ACcos 60°=5,所以这艘船的速度为=10(海里/小时).故选C. 4.如图,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,sin 15°=,且山坡对于地平面的坡度为θ,则cos θ等于 (　　) A. B. C.-1 D.-1 解析:选C　因为∠CBD=45°,所以∠ACB=45°-15°=30°,在△ABC中,由正弦定理可得=,解得BC=50(-),在△BCD中,由正弦定理可得=,解得sin∠BDC=-1,即sin(θ+90°)=-1,所以cos θ=-1. 5.如图,已知某无人机的航线和B,C,D三艘潜艇在同一个铅垂平面内,若某时刻测得C,D相距200米,且在C,D两艘潜艇上测得该无人机所在位置A的仰角分别为75°,30°,且A在B的正上方,则AB= (　　) A.50米 B.50(1+)米 C.100米 D.100(1+)米 解析:选B　sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°=,在△ACD中,∠DAC=75°-30°=45°,∠ACD=180°-75°=105°,由正弦定理得=,AD===100(+1)米,在Rt△ABD中,AB=AD=50(+1)米. 二、多选题 6.如图,甲船从A1出发以每小时25海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船出发时,乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处,此时两船相距5海里.当甲船航行12分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处,此时两船相距5海里,下面结论正确的是 (　　) A.乙船的行驶速度与甲船相同 B.乙船的行驶速度是15海里/时 C.甲、乙两船相遇时,甲船行驶了小时 D.甲、乙两船不可能相遇 解析:选AD　如图,连接A1B2.依题意,A1A2=25×=5(海里),而B2A2=5海里,∠A1A2B2=60°,则△A1A2B2是正三角形,所以∠A2A1B2=60°,A1B2=5海里.在△A1B1B2中,∠B1A1B2=180°-75°-60°=45°,A1B1=5海里,由余弦定理得B1=A1+A1-2A1B1·A1B2cos 45°=(5)2+52-2×5×5×=25,则有A1+B1=A1,所以∠A1B2B1=90°,所以∠A1B1B2=45°,所以乙船的行驶速度是=25(海里/时),故A正确,B不正确.延长B1B2与A1A2交于点O,显然有∠A1B2O=90°,即A1B2⊥OB2,易得OA1=10海里,OB2=5海里,OB1=5(+1)海里,甲船从出发到点O用时t1==(小时),乙船从出发到点O用时t2==(小时),t1<t2,即甲船先到达点O,所以甲、乙两船不可能相遇,故C不正确,D正确. 三、填空题 7.(2024·银川三模)某同学为测量塔的高度AB,选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=15°,∠BDC=135°,CD=20 m,在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB=　　　　m.  解析:因为在△BCD中,CD=20 m,∠BDC=135°,∠BCD=15°,所以∠CBD=180°-135°-15°=30°,由正弦定理得=,即=,解得BC=20 m.在Rt△ABC中,∠ACB=60°,所以AB=BCtan 60°=20 m. 答案:20 8.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A沿直线步行到C,线路2是先从A沿直线步行到景点B处,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行,甲的速度是乙的速度的倍,甲走线路2,乙走线路1,最后他们同时到达C处.经测量,AB=1 040 m,BC=500 m,则sin∠BAC等于　　　　.  解析:依题意,设乙的速度为x m/s,则甲的速度为x m/s,因为AB=1 040 m,BC=500 m,所以=,解得AC=1 260 m.在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC===,所以sin∠BAC===. 答案: 9.如图,要测量海岛上一座山峰的高度AH,立两根高48丈的标杆BC和DE,两竿相距BD=800步,D,B,H三点共线且在同一水平面上,从点B退行100步到点F,此时A,C,F三点共线,从点D退行120步到点G,此时A,E,G三点也共线,则山峰的高度AH=　　　　 步.(古制单位:180丈=300步)  解析:由题可知BC=DE=48×=80步,BF=100步,DG=120步,BD=800步,在Rt△AHF中,==,在Rt△AHG中,==,所以HF=AH,HG=AH,则HG-HF=800-100+120=820=AH,所以AH=3 280步. 答案:3 280 四、解答题 10.(10分)(2024·合肥三模)如图,某人开车在山脚下的水平公路上自A向B行驶,在A处测得山顶P处的仰角∠PAO=30°,该车以45 km/h的速度匀速行驶4分钟后,到达B处,此时测得仰角∠PBO=45°,且cos∠AOB=-. (1)求此山的高OP的值;(4分) (2)求该车从A到B行驶过程中观测P点仰角正切值的最大值.(6分) 快审准解:(1)设OP=x km,由锐角三角函数表示出AO,BO,再在△AOB中利用余弦定理计算可得; (2)设C是线段AB上一动点,连接OC,PC,即可得到点C处观测P点的仰角为∠PCO,且tan∠PCO=,求出OC的最小值,即可得解. 解:(1)设OP=x km,在Rt△POA中, 因为tan∠PAO=,所以AO==x, 同理,在Rt△POB中,BO==x. 在△AOB中,由余弦定理得AB2=AO2+BO2-2AO·BOcos∠AOB=6x2, 因为AB=45×=3,所以9=6x2,解得x=(舍负),所以此山的高OP的值为 km. (2)由(1)得BO=,AO=,AB=3,设C是线段AB上一动点,连接OC,PC,如图所示, 则在点C处观测P点的仰角为∠PCO,且tan∠PCO==. 因为cos∠AOB=-,0<∠AOB<π, 所以sin∠AOB==. 当OC⊥AB时,OC最短,记最小值为d, 由S△AOB=AO·BOsin∠AOB=AB·d, 即×××=×3d,解得d=, 所以tan∠PCO=≤=, 所以该车从A到B行驶过程中观测P点仰角正切值的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$