第2章 第一节 函数的概念及表示（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第二章　函　数 第一节　函数的概念及表示 　 1.了解构成函数的要素,会求简单函数的定义域和值域. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.函数的概念 (1)一般地,设A,B是　　　　　　　　　,如果对于集合A中的　　　一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有　　　　　的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.  (2)在函数的定义中,非空数集A,B,A即为函数的定义域,值域为B的子集. 2.构成函数的三要素 (1)函数的三要素:函数由　　　　、　　　和对应关系三个要素构成,在函数y=f(x),x∈A中,　　　　　　　　　　(即数集A)称为这个函数的定义域.　　　　　　组成的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.  (2)同一个函数:如果两个函数的　　　　相同,并且　　　　　完全一致,即相同的自变量对应的函数值也　　　,那么这两个函数是同一个函数.  3.函数的表示法 表示函数的常用方法有　　　　　、图象法和　　　　　.  4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. (2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的　　　　.  　　[微点提醒] (1)直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点. (2)注意以下几种特殊函数的定义域: ①分式型函数,分母不为零的实数集合. ②偶次方根型函数,被开方式非负的实数集合. ③f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. ④若f(x)=x0,则定义域为{x|x≠0}. 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同,则这两个函数是同一个函数. (　　) (2)任何一个函数都可以用图象法表示. (　　) (3)直线y=a与函数y=f(x)的图象可以有多个交点. (　　) (4)函数f(x)=的定义域为R. (　　) 2.(北师大必修①P59T3改编)函数y=2x-1(x∈{1,2,3})的值域为 (　　) A.[1,5] B.{1,3,5} C.[2,6] D.{2,4,6} 3.(人B必修①P97T6改编)下列四个图象中,不是函数图象的是 (　　) 4.(苏教必修①P115T7改编)已知函数f(x)=则f(f(2))= (　　) A. B. C.2 D.-2 5.(人A必修①P65例2改编)已知函数f(x)=x+3+,若f(a)=,则a=　　　　.  题点一　函数的概念 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1] (1)[多选]下列说法正确的有 (　　) A.f(x)=与g(x)=表示同一个函数 B.函数f(x)=-的定义域是[-1,0)∪(0,+∞) C.f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一个函数 D.若f(x)=|x-1|-x,则f=0 (2)(2025·扬州开学考试)已知函数y=f(x)的定义域为[-1,4],则y=的定义域为 (　　) A.[-5,5] B. C.(1,5] D. |易错提醒| 　　求解复合函数的定义域问题时,易搞不清函数的自变量是哪一个而致误.解决抽象函数与复合函数的定义域问题要谨记定义域指的是x的范围,同一个“f”下括号内的范围是一样的. |思维建模|　 (1)判断两个函数是否为同一个函数,关键有两点:定义域是否相同,对应关系即解析式是否相同. (2)求具体函数的定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合,如分式的分母不等于0、对数的真数大于0且不等于1等,所以往往归结为求解自变量满足的不等式(组),不等式(组)的解集即为定义域. (3)对于抽象函数,若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数y=f(g(x))的定义域由不等式组a≤g(x)≤b求出;若复合函数y=f(g(x))的定义域为[a,b],则函数f(x)的定义域为g(x)(x∈[a,b])的值域. [即时训练] 1.(2025·晋中阶段练习)下列函数与y=是相等函数的是 (　　) A.y= B.y= C.y=(a>0且a≠1) D.y=logaax(a>0且a≠1) 2.已知函数y=f(x)的定义域为[1,10],则y=(x-3)0f(3x)的定义域为 (　　) A.[1,3)∪(3,30] B.∪ C.[1,3)∪(3,10] D.[1,3)∪ 题点二　函数的解析式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2] (1)(换元法或配凑法)若函数f(x)满足f(x-1)=x2,求f(x)的解析式; (2)(待定系数法)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式; (3)(方程组法)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,求f(x)的解析式. |思维建模|　函数解析式的求法 (1)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. (2)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式. (3)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法. (4)方程组法:已知关于f(x)与f或f(-x)等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). [即时训练] 3.若函数f(x)满足f(g(x))=9x+3,g(x)=3x+1,则f(x)= (　　) A.3x B.3 C.27x+10 D.27x+12 4.已知函数f(1-x)=(x≠0),则f(x)= (　　) A.-1(x≠0) B.-1(x≠1) C.-1(x≠0) D.-1(x≠1) 5.已知f(x)满足2f(x)+f=3x,则f(x)的解析式为　　　　.  题点三　分段函数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考法(一)　分段函数求值 [例3]　设函数f(x)=则f= (　　) A. B. C. D.-1 考法(二)　分段函数与方程结合 [例4]　(2024·大兴三模)已知f(x)=若f(m)=8, 则m=　　　　.  考法(三)　分段函数与不等式结合 [例5]　设函数f(x)=则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是　　　　.  |思维建模|　 (1)当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值. (3)涉及与分段函数有关的不等式问题,主要是解不等式,当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解,有时可以数形结合求解. [即时训练] 6.(2025·武汉模拟)已知f(x)=则f= (　　) A.2 B. C. D.1 7.[多选]已知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论正确的是 (　　) A.f(f(-1))=1 B.若f(x)=3,则x的值是 C.f(x)<1的解集为(-∞,1) D.f(x)的值域为(-∞,4) 　课下作业:请完成“课时跟踪检测(八)” 学科网（北京）股份有限公司 $$