第2章 第五节 函数性质的综合应用（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第五节　函数性质的综合应用 题点一　单调性与奇偶性相结合 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1] (1)设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x总有f(-x)=f(x),当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 (　　) A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3) (2)(2025·淄博模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(3)=0,则满足(x+1)f(x)≥0的x的取值范围是 (　　) A.[-3,-1]∪[0,+∞) B.[-3,0]∪[0,+∞) C.[-3,-1]∪[0,3] D.(-∞,-3]∪[0,3] |价值发掘|　 (1)若奇函数f(x)在[a,b]上具有单调性,则f(x)在[-b,-a]上也具有单调性,且单调性相同; (2)若偶函数f(x)在[a,b]上具有单调性,则f(x)在[-b,-a]上也具有单调性,且单调性相反. |思维建模|　 奇偶性与单调性综合的2种题型及解法 (1)比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小. (2)解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组). [即时训练] 1.设函数f(x)=2|x|,则下列结论正确的是 (　　) A.f(-1)<f(2)<f(-) B.f(-)<f(-1)<f(2) C.f(2)<f(-)<f(-1) D.f(-1)<f(-)<f(2) 2.(2024·资阳二模)若定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,则不等式f(2x+1)-f(x-1)>-3x2-6x的解集为 (　　) A.(-∞,-2)∪(0,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-2,0) D.(-1,0) |习得方略|　偶函数单调性改变 　　当函数f(x)为定义在R上的偶函数时, ①若x≥0时,f(x)单调递增,则x<0时,f(x)单调递减,即f(m)>f(n)⇒|m|>|n|,f(x)+f(-x)>2f(m)⇒|x|>|m|. ②若x≥0时,f(x)单调递减,则x<0时,f(x)单调递增,即f(m)>f(n)⇒|m|<|n|,f(x)+f(-x)>2f(m)⇒|x|<|m|. 题点二　奇偶性、对称性与周期性相结合 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　(2025·河源模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)为奇函数,且y=f(2x)的图象关于直线x=1对称,若f(0)=-1,则f(i)= (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 快审准解:函数的对称性求得f(1)=f(3)=0,f(2)=1,f(4)=-1,从而有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,再确定f(x)的周期,利用周期性求函数值的和. |思维建模| 　　解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时,要注意把已知函数的奇偶性按定义转化,再判断函数图象的对称轴或对称中心;也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性.总之,要充分利用已知条件进行适当转化. [即时训练] 3.已知函数f(x)的定义域为R,且f(2x+1)为奇函数,f(2x+4)=f(2x),则下列结论一定正确的是 (　　) A.f(x)的周期为2 B.f(x)图象关于直线x=1对称 C.f(x+1)为偶函数 D.f(x+3)为奇函数 题点三　函数性质的综合应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　(多选)已知函数f(x)对∀x∈R都有f(x)=f(x+4)+f(2),若函数f(x+3)的图象关于直线x=-3对称,且对∀x1,x2∈[0,2],当x1≠x2时,都有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,则下列结论正确的是 (　　) A.f(2)=0 B.f(x)是偶函数 C.f(x)是周期为4的周期函数 D.f(3)<f(-4) |思维建模| 　　对于函数性质结合的题目,函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到,函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题. [即时训练] 4.[多选]已知定义在R上的函数f(x)在(-∞,2]上单调递增,且f(x+2)为偶函数,则 (　　) A.f(x)图象的对称中心为(2,0) B.f(x)图象的对称轴为直线x=2 C.f(-1)>f(4) D.不等式f(x+3)>f(4x)的解集为∪(1,+∞) 　课下作业:请完成“课时跟踪检测(十二)” 学科网（北京）股份有限公司 $$