第2章 第十一节 函数与方程（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第十一节　函数与方程 　 1.理解函数的零点与方程解的关系.了解函数零点存在定理,并能简单应用. 2.能借用工具用二分法求方程的近似解,了解二分法求方程的近似解具有一般性. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y=f(x),我们把使　　　　　的实数x叫做函数y=f(x)的零点.  (2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图象与　　　　有公共点⇔函数y=f(x)有　　　　.  (3)函数零点的判定(函数零点存在定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有　　　　　　,那么,函数y=f(x)在区间　　　内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得　　　　,这个c也就是方程f(x)=0的解.  2.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且　　　　　的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.  3.二次函数图象与零点的关系 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 与x轴 的交点 (x1,0), (x2,0)　 　　　  无 零点个数 　  　  　  解题结论拓展 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上具有单调性,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根. (2)由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0,如图所示,所以f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 典题细发掘 1.(人B必修①P126T3改编)若函数f(x)=+a的零点为1,则实数a的值为 (　　) A.-2 B.- C. D.2 2.(人A必修①P155T2改编)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,部分对应关系如表所示,则该函数的零点个数至少为 (　　) x 1 2 3 4 5 6 y 126.1 15.15 -3.92 16.78 -45.6 -232.64 A.2 B.3 C.4 D.5 3.(苏教必修①P253T8改编)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为 (　　) A.2 B.-2,0 C. D.0 题点一　函数零点所在区间的判定 　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 [例1] (1)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且有如下对应值表,则下列结论正确的是 (　　) x 1 2 3 4 5 6 y 10 8 -3 2 -7 -9 A.f(x)在(1,6)内恰有3个零点 B.f(x)在(1,6)内至少有3个零点 C.f(x)在(1,6)内最多有3个零点 D.f(x)在(1,6)内不可能有4个零点 (2)[多选]函数f(x)=2x2-4ln x-3,则 (　　) A.f(x)在内有零点 B.f(x)在内有零点 C.f(x)在内有零点 D.f(x)在(e,e2)内有零点 |思维建模|　 确定函数零点所在区间的方法 (1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)<0,若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点; (2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. [即时训练] 1.已知函数f(x)=x+2x的零点在区间(n,n+1)内,n∈Z,则n的值为　 　　.  2.写出函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的一个区间:　　　　　　.  题点二　函数零点个数的判定 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　已知函数f(x)=则函数y=f(x)-3的零点个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 |思维建模|　 函数零点个数的判定方法 (1)直接求零点. (2)利用函数零点存在定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)图象法:画两个函数的图象,看其交点的个数有几个. [即时训练] 3.已知函数f(x)=则当k>0时,函数y=f(x)的零点个数为 (　　) A.8 B.6 C.4 D.2 4.已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-x2,则函数f(x)在R上的零点的个数是　　　　.  题点三　函数零点的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考法(一)　根据函数零点范围求参数范围 [例3]　(2024·阳泉三模)若函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1,2)存在零点,则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞,-5) B.(-5,-1) C.(1,5) D.(5,+∞) 考法(二)　根据函数零点个数求参数范围 [例4]　设c∈R,函数f(x)= 若f(x)恰有一个零点,则c的取值范围是 (　　) A.(0,1) B.{0}∪[1,+∞) C. D.{0}∪ |思维建模|　由函数零点所在区间或个数求参数的方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围. (2)分离参数法:先将参数分离,然后将原问题转化成求函数值域的问题加以解决. (3)数形结合法:将函数解析式(方程)适当变形,转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差,在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质求解. [即时训练] 5.(2025·自贡模拟)设函数f(x)=+x2-4x有唯一的零点,则实数m为 (　　) A.2 B. C.3 D. 6.已知函数f(x)=若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则实数m的取值范围是　　　　.  　课下作业:请完成“课时跟踪检测(十八)” 学科网（北京）股份有限公司 $$