第2章 第十二节 函数模型及其应用（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第十二节　函数模型及其应用 　　 1.在实际情境中,会选择合适的函数模型来刻画现实问题的变化规律. 2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0) “对勾”函数模型 f(x)=x+(a>0) 2.三种函数模型的性质 性质 函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn (n>0) 在(0,+∞)上的单调性 单调　　  单调　　  单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象 的变化 随x的增大,逐渐表现为与　　　平行  随x的增大,逐渐表现为与　　　平行  随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax 典题细发掘 1.(人A必修①P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是 (　　) A.40万元 B.60万元 C.80万元 D.120万元 2.(苏教必修①P150T2改编)在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的试验,将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据,其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克,同时小明发现可以用指数型函数S=ae-kt(a,k为常数)来描述以上糖块的溶解过程,其中S(单位:克)代表t分钟末未溶解糖块的质量,则k= (　　) A.ln 2 B.ln 3 C. D. 3.(人B必修②P40例2改编)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项正确的是 (　　) A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x) 题点一　图表型函数的实际应用问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　某工厂近6年来生产某种产品的情况:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是 (　　) |思维建模| 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的2种方法 (1)构造函数模型法:当根据题意易构造函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选择函数图象. (2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合函数图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案. [即时训练] 1.函数f(x)的数据如下表,则该函数的解析式可能形如 (　　) x -2 -1 0 1 2 3 5 f(x) 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 A.f(x)=ka|x|+b B.f(x)=kxex+b C.f(x)=k|x|+b D.f(x)=k(x-1)2+b 题点二　已知函数模型解决实际问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　(2024·九江二模)已知火箭在t时刻的速度为v(t)(单位:千米/秒),质量为m(t)(单位:千克),满足v(t)=v0+uln(u为常数),v0,m0分别为火箭初始速度和质量.假设一小型火箭初始质量m0=1 000千克,其中包含燃料质量为500千克,初始速度为v0=0,经过t1秒后的速度v(t1)=2千米/秒,此时火箭质量m(t1)=800千克,当火箭燃料耗尽时的速度大约为(ln 2≈0.69,ln 5≈1.61) (　　) A.4 B.5 C.6 D.7 |思维建模|　已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. (3)利用函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验. [即时训练] 2.(2024·龙岩三模)声音的等级f(x)(单位:dB)与声音强度x(单位:ω/m2)满足f(x)=10×lg.喷气式飞机起飞时,声音的等级约为140 dB,若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍,则一般说话时声音的等级约为 (　　) A.120 dB B.100 dB C.80 dB D.60 dB 3.(2025·苏州一模)德国天文学家约翰尼斯·开普勒于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星,其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系:T=·,其中M为太阳质量,G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍,则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的 (　　) A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 题点三　构造函数模型解决实际问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　绿色、环保是新时代健康生活的理念.某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆,已知每瓶空气净化剂含量为a,投放后该空气净化剂以每小时10%的速度减少,根据经验,当场馆内空气净化剂含量不低于3a时有净化效果,且至少需要持续净化12小时才能达到净化目的.现有9瓶该空气净化剂. (1)如果一次性投放该空气净化剂9瓶,能否达到净化的目的?如果能,请说明理由;如果不能,最多可净化多长时间?(精确到0.1小时) (2)如果9瓶空气净化剂分两次投放,在第一次投放后间隔6小时进行第二次投放,为达到净化目的,试给出两次投放的所有可能方案.(每次投放的瓶数为整数,投放用时忽略不计) (参考数据:lg 3≈0.477,0.96≈0.53) 快审准解:(1)利用条件构造函数模型,结合指数与对数的转化、计算、解不等式即可; (2)设第一次投放n瓶,利用条件建立不等式组,利用指数的近似值解不等式组即可. |思维建模|　构造函数模型解决实际问题的步骤 建模 抽象出实际问题的数学模型 推理、 演算 对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解 评价、 解释 对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,然后返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解 [即时训练] 4.某大学毕业生团队主动创业,计划销售轻食,每个月的店租和水电等成本为2万元,且每销售1份轻食,成本为5元.已知该团队轻食的月销售量为x(x∈N*)万份,该团队每个月保底能够销售5 000份轻食,且当0.5≤x≤4时,月销售收入为万元;当x>4时,月销售收入为万元. (1)求该团队的月销售利润f(x)(万元)与月销售量x(万份)之间的函数解析式; (2)当月销售量为何值时,该团队的月销售利润最小?最小利润为多少万元? 　课下作业:请完成“课时跟踪检测(十九)” 学科网（北京）股份有限公司 $$