第2章 第三节 函数的奇偶性与周期性（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第三节 函数的奇偶性与周期性 　　 1.了解函数奇偶性的含义,了解函数的周期性及其几何意义. 2.会依据函数的奇偶性、周期性解决一些简单的问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且　　　　　　　,那么函数f(x)就叫做偶函数  关于　　　对称  奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且　　　　　　　,那么函数f(x)就叫做奇函数  关于　　　对称  2.函数的周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且　　　　　　　　　,那么函数y=f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.  (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　　　的正数,那么这个　　　　　就叫做f(x)的最小正周期.  3.函数周期性的3个常用结论 对于f(x)定义域内任一自变量的值x, (1)若f(x+a)=-f(x),则2a(a>0)是f(x)的一个周期; (2)若f(x+a)=,则2a(a>0)是f(x)的一个周期; (3)若f(x+a)=-,则2a(a>0)是f(x)的一个周期. 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若函数f(x)为奇函数,则f(0)=0. (　　) (2)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数. (　　) (3)对于函数y=f(x),若f(-2)=-f(2),则函数y=f(x)是奇函数. (　　) (4)若T是函数f(x)的一个周期,则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期. (　　) 2.(人A必修①P84例6改编)[多选]给出下列函数,其中为奇函数的是 (　　) A.f(x)=x4 B.f(x)=x5 C.f(x)=x+ D.f(x)= 3.(苏教必修①P134T8)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,则下列关系式中成立的是 (　　) A.f(-1)<f(-2) B.f(1)<f(2) C.f(-1)<f(2) D.f(-1)>f(2) 4.(北师大必修②P4T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,且f(-1)=2f(10)+3,则f(2 023)=　　　　.  题点一　函数奇偶性的判断 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1] (1)(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是 (　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= (2)(人B必修①P115T4改编)[多选]已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R,则 (　　) A.f(x)+g(x)是奇函数 B.f(x)|g(x)|是奇函数 C.f(x)g(x)是偶函数 D.f(g(x))是偶函数 |思维建模| 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法:先判断定义域是否关于原点对称,再判断f(x)与f(-x)的关系. (2)取特殊值排除法:比如若根据函数得到f(1)≠f(-1),则排除f(x)是偶函数,适用于选择题. (3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数;两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数;一个奇函数与偶函数的积为奇函数. [即时训练] 1.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x3-; (2)f(x)=; (3)f(x)=+; (4)f(x)= 题点二　函数奇偶性的应用 　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 考法(一)　利用奇偶性求解析式 [例2]　(人A必修①P86T11改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1-x),则f(x)的解析式为　　　　.  |思维建模|　 (1)将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上,再利用奇偶性的定义求出. (2)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. 考法(二)　利用奇偶性求值 [例3] (1)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a= (　　) A.-1 B.0 C. D.1 (2)设函数f(x)=x5+2x3+3x+1在区间[-2 025,2 025]上的最大值为M,最小值为m,则M+m等于 (　　) A.0 B.2 C.1 D.3 |思维建模|　 利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值. 考法(三)　利用奇偶性解不等式 [例4]　(2025·大连模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>3f(x)的解集为 (　　) A.(-,0)∪(,2) B.(-2,-)∪(0,)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(-,0)∪(,2) D.(-2,-)∪(,2) |思维建模|　 　　解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组). [即时训练] 2.已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且满足f(x)+g(x)=ex+x,则g(x)= (　　) A. B. C. D. 3.已知函数f(x)=a-为奇函数,则a= (　　) A.2 B.1 C. D.-1 |谨记结论| 　　偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数. 题点三　函数的周期性及应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例5]　设f(x)是定义域为R的偶函数,且f(2+x)=f(-x),f=,则f等于 (　　) A.- B.- C. D. |思维建模|　 与周期性有关的解题策略 (1)求解与函数周期有关的问题,应根据题目特征及周期的定义,求出函数的周期. (2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题. [即时训练] 4.设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,已知当x∈[2,3]时,f(x)=x,则当x∈[-2,0]时,f(x)= (　　) A.x+4 B.2-x C.3-|x+1| D.2+|x+1| 5.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)f(x)=1,若f(0)∈(1,2),则f(2 026)的取值范围为　　　　.  　课下作业:请完成“课时跟踪检测(十)” 学科网（北京）股份有限公司 $$