第2章 第七节 指数与对数的运算（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第七节 指数与对数的运算 　　 1.通过对有理数指数幂(a>0,m,n为正整数,且n>1)、实数指数幂ax(a>0,x∈R)含义的理解,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.理解对数的概念与运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.根式 (1)概念 式子叫做　　　,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.  (2)性质 ①　　　　没有偶次方根;  ②0的任何次方根都是0,记作=　　;  ③()n=a(n∈N*,且n>1); ④ =a(n为大于1的奇数); ⑤ =|a|=(n为大于1的偶数). 2.分数指数幂 (1)正分数指数幂:= 　　　　(a>0,m,n∈N*,n>1).  (2)负分数指数幂:=　　　 　=　　 　　(a>0,m,n∈N*,n>1).  (3)0的正分数指数幂等于　,0的负分数指数幂没有意义.  3.指数幂的运算性质 (1)aras=　　　　　(a>0,r,s∈R).  (2)(ar)s= 　　　　(a>0,r,s∈R).  (3)(ab)r=　　　(a>0,b>0,r∈R).  4.对数的概念 定义 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作　　　　　,其中　　叫做对数的底数,　叫做真数  性质 loga1=　,logaa=　,logaax=　,其中a>0,且a≠1;负数和0没有对数  5.对数的运算 运算 性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 loga(MN)=　　　　　;  loga=　　　　　;  logaMn=　 　　　(n∈R)  换底 公式 logab=　　　　(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1)  解题结论拓展 1.换底公式的变形 (1)logab·logba=1,即logab=(a,b均大于0且不等于1); (2)lobn=logab(a,b均大于0且不等于1,m≠0,n∈R); (3)logNM==(a,b,N均大于0且不等于1,M>0). 2.换底公式的推广 logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0). 3.对数恒等式 =N(a>0且a≠1,N>0). 典题细发掘 1.(人A必修①P109T1改编)下列运算正确的是 (　　) A.=2-π B.a= C.= D.(=x9 2.(人A必修①P127T5改编)设lg 2=a,lg 3=b,则log1210= (　　) A. B. C.2a+b D.2b+a 3.(人A必修①P127T6改编)若xlog34=1,则4x+4-x= (　　) A.1 B.2 C. D. 4.(苏教必修①P86T8改编)已知+=3,则a+a-1=　　　　;a2+a-2=　　　　.  题点一　指数幂的运算 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1] (1)计算: -+0.2; (2)化简:4÷(a,b>0); (3)已知-=2,求的值. |思维建模|　 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数,形式力求统一. [即时训练] 1.(2025·盐城开学考试)[多选]下列选项正确的有 (　　) A.=a B.若a∈R,则(a2-a+1)0=1 C.=+y D.= 2.计算: -+=　　　　.  题点二　对数的运算 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2] (1)计算:lg-lg+lg; (2)已知log23=a,log37=b,试用a,b表示log1456. |思维建模|　对数式化简与求值的策略 策略一:将真数化为底数的指数幂的形式. 策略二:将同底对数的和、差、倍合并. 策略三:利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. 策略四:利用常用对数中的lg 2+lg 5=1. [即时训练] 3.[多选]下列命题正确的是 (　　) A.已知2a=5,log83=b,则4a-3b= B.2(lg 2)2+3lg 2lg 5+(lg 5)2-lg 2的值为1 C.+lo=0 D.若2m=3n=k且+=2,则k=6 4.(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-,则a=　　　　.  5.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=　　　　.  题点三　指数与对数运算的实际应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　假设某水果店销售的大荔冬枣的单价y(单位:元/斤)与单果的直径x(单位: mm)满足关系式y=eax+b.当单果的直径为16 mm时,大荔冬枣的单价为8元/斤;当单果的直径为40 mm时,大荔冬枣的单价为24元/斤.当单果的直径为24 mm时,大荔冬枣的单价约为(参考数据:≈2.08,≈1.44) (　　) A.11.5元/斤 B.12.5元/斤 C.10元/斤 D.14元/斤 |思维建模|　 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 (1)理解题意,弄清楚题目条件与所求之间的关系; (2)运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算,把题目条件转化为所求. [即时训练] 6.(2025·济南模拟)[多选]某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修排气扇恢复正常,排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm,继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位: ppm)与排气时间t(单位:分钟)之间满足函数关系y=aeRt(a,R为常数,e是自然对数的底数).若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm,人就可以安全进入车库了,则下列说法正确的是 (　　) A.a=128 B.R=ln 2 C.排气12分钟后浓度为16 ppm D.排气32分钟后,人可以安全进入车库 　课下作业:请完成“课时跟踪检测(十四)” 学科网（北京）股份有限公司 $$