第2章 第九节 对数函数（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第九节　 　　对数函数 　　 1.了解对数函数的实际意义,会画对数函数的图象,并能应用图象解决一些简单问题. 2.理解对数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.对数函数的定义 一般地,函数　　　　　　　　　　叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是　　　　　.  2.对数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 定义域 　　　  值域 R 性质 过定点　　　,即x=1时,y=0  当x>1时,　　　;  当0<x<1时,　　  当x>1时,　 　　;  当0<x<1时,　　  在(0,+∞)上是　　  在(0,+∞)上是　　  3.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,图象关于直线　 　　对称.  　　[微点提醒] (1)不论a>1还是0<a<1,对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象都经过点,(1,0),(a,1),且图象都在y轴右侧,据此可以快速画出对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的大致图象. (2)底数a与1的大小关系决定了对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的单调性,因此若底数a的大小不确定,则需要分0<a<1和a>1两种情况讨论. (3)在同一平面直角坐标系内,当a>1时,随a的增大,对数函数的图象愈靠近x轴;当0<a<1时,对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见下图)(对数函数在第一象限内从左到右底数逐渐增大. ) 典题细发掘 1.(湘教必修①P126T17(1))下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 (　　) A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y= 2.(北师大必修①P114例7改编)已知a=log0.90.8,b=log0.80.9,c=1.41.9,则 (　　) A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a 3.(人B必修②P27例2改编)已知log0.72m<log0.7(m-1),则实数m的取值范围是　　　　.  4.(人A必修①P140T1改编)函数y=的定义域为　　　　.  题点一　对数函数的图象及应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1] (1)已知函数f(x)=|log3x|,若b>a>0,且a,b是f(x)的图象与直线y=m(m>0)的两个交点对应的横坐标,则4a+b的最小值为 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 (2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的大致图象如图所示,已知a的取值为,,,,则曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次是　　　　　　　.  |思维建模| (1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)对于一些对数型方程、不等式问题,常转化为相应函数图象问题,利用数形结合求解. |价值发掘| 　　同一直角坐标系内函数图象在x轴上方部分越远离y轴的对数函数的底数越大. [即时训练] 1.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是 (　　) A.0<a-1<b<1 　　　B.0<b<a-1<1 C.0<b-1<a<1 　　　D.0<a-1<b-1<1 2.若方程4x=logax在上有解,则实数a的取值范围为　　　　.  题点二　对数函数的性质及应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考法(一)　比较大小 [例2]　已知a=log36,b=log510,c=log714,则 (　　) A.b<a<c 　　B.c<b<a C.a<b<c 　　D.a<c<b |思维建模|　比较对数函数值大小的方法 (1)单调性法:在同底的情况下直接得到大小关系,若不同底,先化为同底. (2)中间量过渡法:寻找中间数联系要比较的两个数,一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”. (3)图象法:根据图象观察得出大小关系. 考法(二)　解不等式 [例3]　已知不等式logx(2x2+1)<logx(3x)<0成立,则实数x的取值范围是　　　　.  |思维建模| 解对数不等式的类型及方法 (1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解.如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论. (2)形如logax>b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解. 考法(三)　对数函数性质的综合应用 [例4]　已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的最小值为0,求a的值. 快审准解:(1)先根据f(1)=1,求出a,再由复合函数的单调性求单调区间; (2)f(x)的最小值为0,转化为y=ax2+2x+3的最小值为1,结合二次函数的图象与性质求解. |思维建模| 　　利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用. [即时训练] 3.(2025·泰安模拟)已知a=log0.20.3,b=ln a,c=2a,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c>b>a B.a>b>c C.b>a>c D.c>a>b 4.已知对数函数y=logax(a>0,且a≠1),且loga<loga,则关于x的不等式loga(2x-3)>0的解集为　　　　　.  5.已知函数f(x)=loga(2-a2x)在区间[3,7]上单调递增,则a的取值范围为　　　　　.  　课下作业:请完成“课时跟踪检测(十六)” 学科网（北京）股份有限公司 $$