第2章 第二节 函数的 单调性与最大(小)值（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第二节　函数的 单调性与最大(小)值 　　 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法. 2.理解函数最大值、最小值的概念,理解它们的作用和实际意义,会求简单函数的最值. 3.能够利用函数的单调性解决有关问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.函数的单调性 (1)单调性 定　义 设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I 当x1<x2时,都有　　　　　　,那么就称函数f(x)在区间I上单调递增  当x1<x2时,都有　　　　　　,那么就称函数f(x)在区间I上单调递减  图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上　　　　　　或　　　　　,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间.  2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 ∀x∈D,都有　　　;∃x0∈D,使得　　　  ∀x∈D,都有　　　;∃x0∈D,使得　　　  结论 M为最大值 M为最小值 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若函数f(x)满足f(-3)<f(2),则f(x)在[-3,2]上单调递增. (　　) (2)若f(x)在R上是减函数,则f(0)>f(1). (　　) (3)函数的最小值一定比最大值小. (　　) (4)若函数f(x)≤1恒成立,则f(x)的最大值为1. (　　) (5)若函数f(x)在(-2,3)上单调递增,则函数f(x)的单调递增区间为(-2,3). (　　) 2.(人A必修①P77“思考”改编)下列函数是增函数的为 (　　) A.f(x)=|x| B.f(x)= C.f(x)=x2 D.f(x)= 3.(人A必修①P81例5改编)已知函数f(x)=(x∈[2,6]),则f(x)的最小值为　　　　　,最大值为　　　　.  4.(苏教必修①P134T6)设m为实数,若函数f(x)=x2+mx-2在区间(-∞,2)上单调递减,则m的取值范围为　　　　.  题点一　确定函数的单调性 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考法(一)　求函数的单调区间 [例1]　函数f(x)=的单调递增区间为 (　　) A. B.(-∞,-1] C. D. |习得方略| (1)在公共定义域内,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数. (2)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”. (3)函数y=f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反. 考法(二)　判断或证明函数的单调性 [例2]　试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性. |思维建模| 1.已知函数解析式求单调区间的策略 注意函数的定义域,复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则. 2.确定函数单调性的方法 (1)定义法:先求定义域,再利用单调性定义求解. (2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象直接写出它的单调区间. (3)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间. [即时训练] 1.函数y=的单调递减区间是　　　　　.  2.已知函数f(x)=x+,且f(1)=2. (1)求m的值; (2)判断函数f(x)在(1,+∞)上单调递增还是单调递减,并证明. 题点二　函数单调性的应用 考法(一)　比较大小 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　(北师大必修①P65T3改编)已知函数f(x)在R上是减函数,a,b∈R,且a+b<0,则有 (　　) A.f(a)+f(b)<0 B.f(a)+f(b)>0 C.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) |思维建模| 　　比较函数值的大小时,先转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决. 考法(二)　解不等式 [例4]　定义在[-2,2]上的函数f(x)满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(x1≠x2),且f(x)>f(2x-1),则实数x的取值范围为 (　　) A.(-∞,1) B. C. D.[-1,1) |思维建模| 　　利用函数的单调性解不等式的关键是利用函数的单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为关于自变量的不等式.需要注意的是不要忘记函数的定义域. 考法(三)　求参数范围 [例5]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) |谨记结论| (1)若∀x1,x2∈I(x1≠x2),则>0(<0)或(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减). (2)若函数在区间[a,b]上具有单调性,则该函数在此区间的任意子集上也具有单调性. |思维建模| 利用单调性求参数的策略 (1)依据函数的单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较. (2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值. [即时训练] 3.已知f(x)=2x-,a=f(),b=f(),c=f(),则 (　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 4.(2025·广州模拟)函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不具有单调性,则a的取值范围是 (　　) A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1] |习得方略|(左栏T4延伸) 　　函数f(x)=a|x-b|+c(a≠0)图象的形状如一个“V”,顶点为(b,c),若a>0,则开口向上,若a<0,则开口向下. 5.(2025·青岛部分学校联考)已知函数f(x)=若f(a2-4)>f(3a),则实数a的取值范围是 (　　) A.(-1,4) B.(-∞,-1)∪(4,+∞) C.(-4,1) D.(-∞,-4)∪(1,+∞) 题点三　函数的最值 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例6] (1)(单调性)函数f(x)=x-+1在[1,4]上的值域为 (　　) A. B.[0,1] C. D. (2)(利用单调性和基本不等式)已知函数f(x)=则f(x)的最小值是　　　　.  (3)(换元法)函数f(x)=2x2-的最小值为　　　　.  |思维建模|　 求函数最值的4种基本方法 (1)单调性:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)基本不等式:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (3)换元法:将解析式化归为熟悉的函数,进而解出最值(值域). (4)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值. [即时训练] 6.函数f(x)=在区间[1,2]上的最大值与最小值分别是 (　　) A., B.5,2 C.2,1 D.1, 7.函数f(x)=的值域为　　　　.  　课下作业:请完成“课时跟踪检测(九)” 学科网（北京）股份有限公司 $$