第2章 第八节 指数函数（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第八节　指数函数 　　 1.了解指数函数的实际意义,会画指数函数的图象,并能应用图象解决一些简单问题. 2.理解指数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.指数函数的定义 一般地,函数　　　　　　　　　　　叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.  2.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域为　;值域为　　　　  图象过定点　　　　,即当x=　时,y=　  当x>0时,恒有　　　;  当x<0时,恒有　　  当x>0时,恒有　　　;  当x<0时,恒有　　  在R上为增函数 在R上为减函数 解题结论拓展 (1)当指数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论. (2)指数函数的图象恒过点(0,1),(1,a),,依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象. (3)任意两个指数函数的图象都是相交的,过定点(0,1),底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. (4)指数函数在同一平面直角坐标系中图象的相对位置与底数的大小关系如图所示,其中0<c<d<1<a<b. 典题细发掘 1.(人A必修①P159T1(1))函数y=-2-x与y=2x的图象 (　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 2.(人B必修②P13T1改编)已知指数函数y=f(x)的图象经过点(-1,2),那么这个函数也必定经过点 (　　) A. B. C.(1,2) D. 3.(人A必修①P117例3改编)设a=1.70.3,b=0.93.1,c=0.91.7,则a,b,c的大小关系是 (　　) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 4.(北师大必修①P88例4改编)函数f(x)=3|x|+1的值域为　　　　.  题点一　指数函数的图象及应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1] (1)(人A必修①P120T9改编)已知函数y=a+b的图象经过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则ab= (　　) A.-1 B.-2 C.-4 D.-9 (2)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图象如图所示,则g(x)=ax-b的图象可能是 (　　) |思维建模|　 应用指数函数图象的技巧 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除. (2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时,应注意分类讨论. [即时训练] 1.[多选]已知实数a,b满足等式3a=6b,则下列可能成立的关系式为 (　　) A.a=b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b 2.若函数f(x)=|ex-1|-b有一个零点,则实数b的取值集合是　　　　.  题点二　指数函数的性质及应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考法(一)　比较大小 [例2]　(2023·天津高考)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c |思维建模|　比较指数式大小的方法 (1)直接法:当指数式的底数相同时,直接运用指数函数的单调性比较. (2)转化法:当指数式的底数不同时,利用幂的运算法则将底数统一. (3)中间量法:当指数式的底数不同且不能化为同底时,可利用中间量“1”进行比较. 考法(二)　解简单的指数方程或不等式 [例3]　若不等式>对任意的x∈(1,4)恒成立,则实数a的取值范围为 (　　) A.(-∞,-5) B.(-∞,-5] C.[-1,+∞) D.(-∞,-1) 方法引入:化成同底数指数幂,然后参变分离,可得a的取值范围. |思维建模| 解指数不等式的常用方法 (1)性质法:解形如ax>ab的不等式,可借助函数y=ax的单调性求解.如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论. (2)隐含性质法:解形如ax>b的不等式,可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助函数y=ax的单调性求解. (3)图象法:解形如ax>bx的不等式,可利用对应的函数图象求解. 考法(三)　指数函数性质的综合应用 [例4]　已知函数f(x)=ax-(a>0,且a≠1). (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)若f(1)>0,试判断函数f(x)的单调性.并求使不等式f(k·3x)+f(4·3x-9x-1)<0在R上恒成立的k的取值范围; (3)若f(1)=,g(x)=a2x+a-2x-2mf(x),且g(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,求m的值. |思维建模| 指数型函数的应用技巧 (1)函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性可根据复合函数“同增异减”的规律进行判断,其最值要结合单调性转化为f(x)的最值进行分析求解. (2)对于函数y=f(ax)(a>0,且a≠1),一般要通过换元令ax=t,化为函数y=g(t),再研究其各种性质. [即时训练] 3.已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 (　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 4.[多选]已知函数f(x)=,则 (　　) A.函数f(x)的定义域为R 　　　B.函数f(x)的值域为(0,2] C.函数f(x)在[-2,+∞)上单调递增 　　　D.f()>f(4) 5.已知0<a<1,f(x)=,则使f(x)>1成立的一个充分不必要条件是 (　　) A.-2<x<0 B.-1<x<0 C.x<1 D.x<-2或x>1 　课下作业:请完成“课时跟踪检测(十五)” 学科网（北京）股份有限公司 $$