第1章 第一节 集 合（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第一节 集　合 　 1.了解集合的含义,了解空集与全集的含义,理解元素与集合的属于关系. 2.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集、真子集. 3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义,会求简单集合的并集、交集与补集. 4.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.集合的相关概念 (1)集合元素的三个特性:　　　、无序性、　　　.  (2)元素与集合的两种关系:属于,记为　　;不属于,记为　　.  (3)集合的三种表示方法:　 　　、　 　　、图示法.  (4)五个特定的集合: 集合 自然数集 (非负整数集) 正整数集 整数 集 有理 数集 实数 集 符号 　  N*或N+ 　  　  　  2.集合间的基本关系 项目 文字语言 符号语言 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 　　　或　　　  真子集 集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A 　　　或　　　  相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素 　　　　　　⇔A=B  空集是任何集合的　　　,任何非空集合的　　　　  3.集合的基本运算 项目 文字语言 图形语言 符号表示 并 集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B=　　　　　　 　　　　　　　  交 集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B=　　　　　　　　　　 　　　  补 集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ∁UA=　　　　　　　 　　 　　　　　　  解题结论拓展 (1)子集的传递性:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C. (2)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个. (3)等价关系:A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB. (4)德·摩根定律:∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)集合{x∈N|x3=x},用列举法表示为{-1,0,1}. (　　) (2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}. (　　) (3)若1∈{x2,x},则x=-1或x=1. (　　) (4)对任意集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B). (　　) 2.(苏教必修①P23T7)若M={-1,0,1,2,3,4,5,6,7},N={x|x2-2x-3=0,x∈R},则∁MN= (　　) A.{-1,3} B.{-1,0,1,2,3,4,5,6,7} C.{0,1,2,4,5,6,7} D.{1,2,3,4,5,6,7} 3.(人A必修①P14T1改编)若集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则A∪B=　　　　.  4.(人A必修①P9T5改编)已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B⊆A,则实数a的取值范围是　　　　.  题点一　集合的含义与表示 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1] (1)(2025·广州模拟)若m∈{1,3,4,m2},则m可能取值的集合为 (　　) A.{0,1,4} B.{0,3,4} C.{-1,0,3,4} D.{0,1,3,4} (2)(2025·宝鸡一模)若集合A={x∈R|ax2-2x+1=0}中只有一个元素,则实数a= (　　) A.1 B.0 C.2 D.0或1 |思维建模|　 与集合中元素有关问题的求解策略 (1)确定集合中的代表元素是什么,即集合是数集、点集还是其他类型的集合. (2)看这些元素满足什么限制条件. (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性. [即时训练] 1.(2024·乐山三模)已知集合A={-1,0,1},B={1,2},C={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则集合C的元素个数为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 2.(2024·济南二模)已知集合{x|(x-a2)(x-1)=0}的元素之和为1,则实数a所有取值的集合为 (　　) A.{0} B.{1} C.{-1,1} D.{0,-1,1} 题点二　集合间的基本关系 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2] (1)设集合P={y|y=ex+1},M={x|y=log2(x-2)},则集合M与集合P的关系是 (　　) A.M=P B.P∈M C.M⊆P D.P⊆M 快审准解:求出集合P中函数的值域,集合M中函数的定义域,得到这两个集合,可判断集合间的关系. (2)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a= (　　) A.2 B.1 C. D.-1 [考教衔接] [例2]第(2)题源自人教A版必修①P35T9:已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},是否存在实数a,使得A∪B=A?若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 启示:高考题与教材题均考查由集合的关系求参数值.教材题虽然考查的是由集合运算求参数,但是需转化为集合的关系求解,从考查难度上来说高考题降低了难度.只要掌握教材题目,就能轻轻松松地解决高考题. |思维建模| 集合间基本关系的解题策略 (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系.如果集合中含有参数,那么需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论. (2)确定非空集合A的子集的个数,需要先确定集合A中元素的个数.不能忽略任何非空集合是它自身的子集. (3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系,常用数轴法、Venn图法求解. [即时训练] 3.(2024·汕头三模)已知集合A={x∈N|-2<x<3},则集合A的所有非空真子集个数是 (　　) A.6 B.7 C.14 D.15 4.设a,b∈R,集合P={x|(x-1)2(x-a)=0},Q={x|(x+1)(x-b)2=0},若P=Q,则a-b= (　　) A.0 B.2 C.-2 D.1 5.已知集合A={-1,0,2},B={x|1-mx>0},若A⊆B,则m的取值范围是 (　　) A.(-1,+∞) B. C. D.(-∞,-1)∪ 题点三　集合的基本运算 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考法(一)　集合的运算 [例3] (1)(2024·北京高考)已知集合M={x|-3<x<1},N={x|-1≤x<4},则M∪N= (　　) A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3} C.{x|-3<x<4} D.{x|x<4} (2)(2024·全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则∁A(A∩B)= (　　) A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} |思维建模| 解决集合运算问题的3个技巧 (1)看元素构成:集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键. (2)对集合化简:有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决. (3)应用数形结合:离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解;连续型数集的运算,常借助数轴求解. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考法(二)　根据集合的运算求参数的值或范围 [例4]　已知集合A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若A∪B=A,则实数m的取值范围是　　　　　.  |易错提醒| 　　[例4]中易忽略B为空集的情况,因为空集是任何集合的子集,所以在含参集合中若未指明集合非空,要考虑集合为空集的情况,同时注意所得结果端点值的取舍. |思维建模|　 求参数的值或范围的方法 (1)根据集合运算的结果,利用集合运算的定义和数轴建立关于参数的方程(不等式)求解,注意对空集的讨论. (2)在求出参数后,注意结果的验证(满足互异性). [即时训练] 6.(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B= (　　) A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 7.(2024·临汾三模)已知集合A={x|x>a},B={x|1<x≤2},且A∪∁RB=R,则实数a的取值范围是 (　　) A.{a|a≤1} B.{a|a<1} C.{a|a≥2} D.{a|a>2} 8.(2024·邵阳三模)已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤2},B={x|1≤x≤6},如图所示,则图中阴影部分表示的集合是 (　　) A.{x|-1≤x≤6} B.{x|x<-1} C.{x|x>6} D.{x|x<-1或x>6} |习得方略| 集合混合运算中的Venn图 　课下作业:请完成“课时跟踪检测(一)” 学科网（北京）股份有限公司 $$