第1章 第五节 二次函数与一元二次方程、不等式（学生讲义）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第五节　二次函数与一元二次方程、不等式 　　 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式,了解一元二次不等式的现实意义. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.了解一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数方程的联系. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.三个“二次”间的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异 实根x1,x2 (x1<x2) 有两相等 实根x1= x2=- 没有 实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 　　　　  　　　　  　　　  　　　  ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 　　　　  　　　　  　　　  　　　  2.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a=b a>b (x-a)· (x-b)>0 {x|x<a或x>b} 　　　  　　　  　　　  (x-a)· (x-b)<0 {x|a<x<b} 　　　  　　　  　　　  3.分式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若方程ax2+bx+c=0无实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R. (　　) (2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1,x2),则a<0. (　　) (3)若ax2+bx+c>0恒成立,则a>0且Δ<0. (　　) (4)不等式≥0等价于(x-a)(x-b)≥0. (　　) 2.(人A必修①P55T1改编)不等式-x2+3x+10>0的解集为 (　　) A.{x|-2<x<5} B.{x|x<-2或x>5} C.{x|-5<x<2} D.{x|x<-5或x>2} 3.(人B必修①P75T5改编)设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 (　　) A.{x|x<-n或x>m} 　B.{x|-n<x<m} C.{x|x<-m或x>n} 　D.{x|-m<x<n} 4.(人A必修①P50“思考”:一元二次方程的根与不等式解集端点值的关系)若二次函数y=ax2+bx+2,使函数值大于0的x的取值范围是,则a+b=　　　　.  5.(湘教必修①P57例9改编)甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得利润100元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,则x的最小值是　　　　.  题点一　不含参数的一元二次不等式的解法 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　(多选)下列选项正确的是 (　　) A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R,则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件 |习得方略| 　　解分式不等式的实质就是将分式不等式转化为整式不等式.当分式右侧不为0时,可通过移项、通分、合并的手段将右侧变为0;当分母符号确定时,可利用不等式的形式直接去分母. |思维建模| 解一元二次不等式的4个步骤 (1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)计算对应方程的判别式. (3)求出对应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有没有实根. (4)利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集. [即时训练] 1.已知集合A={x|1<2x-1<},B={x|y=},则A∪B= (　　) A.{x|1≤x≤2} B. C. D. 2.(2024·上海高考)不等式x2-2x-3<0的解集为　　　　　　　.  题点二　含参数的一元二次不等式的解法 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a∈R). |思维建模| 含参数的不等式分类讨论的关键点 　　对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有: (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论. [即时训练] 3.解关于x的不等式x2-(a-2)x-2a>0(a∈R). 题点三　三个“二次”之间的关系 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-4或x≥5},则下列说法正确的是 (　　) A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-5} C.不等式cx2-bx+a<0的解集为 D.a+b+c>0 |思维建模| 　　已知一元二次不等式的解集,就能够得到相应的一元二次方程的两根,由根与系数的关系,可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负. [即时训练] 4.[多选]若关于x的一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为,则下列说法正确的是 (　　) A.a<0 B.a+b=-5 C.不等式ax2+x-b>0的解集是 D.不等式ax2+x-b>0的解集是∪(1,+∞) |谨记结论| 　　对于不等式ax2+bx+c>0,若其解集为(-∞,m)∪(n,+∞),则a>0且方程ax2+bx+c=0的两根为m,n,且m<n;若其解集为(m,n),则a<0且方程ax2+ax+c=0的两根为m,n,且m<n. 5.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2},且x2-x1=15,求a的值. 　课下作业:请完成“课时跟踪检测(六)” 学科网（北京）股份有限公司 $$