6.1　平行四边形的性质 暑假巩固练习2024-2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册 6.1　平行四边形的性质 暑假巩固 一、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，点P是平行四边形ABCD的对角线AC上一点，连接BP，DP，设△ABP的面积为S1，△ADP的面积为S2，则S1与S2的大小关系（　　） A.S1＞S2 B.S1＜S2 C.S1=S2 D.无法确定 2.如图，▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为(　　) A.3 B.6 C.12 D.24 3.如图，在▱ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，AC＝10，BD＝6，AD＝4，则▱ABCD的面积是(　　) A.12 B.12 C.24 D.30 4.在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，AC垂直于BC，且AB＝10 cm，AD＝8 cm，则OB＝________ cm. 5.如图，▱ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是________． 6.如图，▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O，EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F，连接EC. (1)求证：OE＝OF； (2)若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长． 7.如图，▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF. (1)根据题意，补全图形； (2)求证：BE＝DF. 二、平行四边形的对角相等 1.如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(　　) A.66° B.104° C.114° D.124° 2.如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BCE＝42°，则∠D度数是(　　) A.42° B.48° C.58° D.138° 3.在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶2，则∠D等于(　　) A.36° B.108° C.72° D.60° 4.如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠AED的度数是________度． 5.如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D′，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D′AD＝__________. 6.如图，如果▱ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求▱ABCD的内角∠D，∠BAD的度数． 7.如图，在▱ABCD中，E是BC上的一点，且AB＝BE，AE，DC的延长线相交于点F，∠F＝62°，求∠D的度数． 三、求周长或面积 1.如图，若▱ABCD的周长为36 cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm，▱ABCD的面积为(　　) A.40 cm2 B.32 cm2 C.36 cm2 D.50 cm2 2.观察如图中的三个平行四边形，你认为说法正确的是（　　） A.它们形状相同，面积相等 B.它们形状相同，面积不相等 C.它们形状不相同，面积相等 D.它们形状不相同，面积不相等 3.如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD，若CE＝3 cm，AB＝4 cm，则▱ABCD的周长是(　　) A.20 cm B.21 cm C.22 cm D.23 cm 4.一根8米长的铜丝围成一个平行四边形，使长边和短边的比是5∶3，则长边的长是________米． 5.平行四边形的周长为36 cm，相邻两边的比为1∶2，则它的两邻边长分别是________． 6.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E. (1)求证：BE＝CD； (2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 7.如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝2 cm2，S△BQC＝8 cm2，求阴影部分的面积. 四、求边长或坐标 1.在▱ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为(　　) A.3 B.5 C.2或3 D.3或5 2.如图，▱ABCD的边BC在x轴的负半轴上，点B与原点O重合，DE⊥AB，交BA的延长线于点E，已知∠ABC=60°，AB=4，BC=6，则点E的坐标为（　　） A. B. C. D. 3.如图，▱ABCD的顶点坐标分别为A(1,4)，B(1,1)，C(5,2)，则点D的坐标为(　　) A.(5,5) B.(5,6) C.(6,6) D.(5,4) 4.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝__________. 5.如图，平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝6，AB＝5，则AE的长为________． 6.如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF=DE=5，BE=24，求BC的长. 7.如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF. (1)求证：DE＝CF； (2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长． 北师大版八年级下册 6.1　平行四边形的性质 暑假巩固（参考答案） 一、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，点P是平行四边形ABCD的对角线AC上一点，连接BP，DP，设△ABP的面积为S1，△ADP的面积为S2，则S1与S2的大小关系（　　） A.S1＞S2 B.S1＜S2 C.S1=S2 D.无法确定 【答案】C 【解析】根据平行四边形ABCD的性质，点B和点D到AC的距离相等，设为h, ∴2S1=2S△ABP=AP•2S2=2S△APD=AP•2h， ∴2S1=2S2， ∴S1=S2， 故选：C． 2.如图，▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为(　　) A.3 B.6 C.12 D.24 【答案】A 【解析】∵▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2， ∴S▱ABCD＝3×2＝6，AD∥BC， ∴OA＝OC，∠OAE＝∠OCF， 在△AOE和△COF中，∠OAE＝∠OCF，OA＝OC，∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF(ASA)， ∴S△AOE＝S△COF， 同理S△EOG＝S△FOH，S△DOG＝S△BOH， ∴S阴影＝S△ABD＝S▱ABCD＝×6＝3. 故选A. 3.如图，在▱ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，AC＝10，BD＝6，AD＝4，则▱ABCD的面积是(　　) A.12 B.12 C.24 D.30 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝10，BD＝6， ∴OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝3， ∵AD＝4， ∴AD2＋DO2＝OA2， ∴△ADO是直角三角形，且∠BDA＝90°，即AD⊥BD， ∴▱ABCD面积为AD·BD＝4×6＝24. 故选C. 4.在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，AC垂直于BC，且AB＝10 cm，AD＝8 cm，则OB＝________ cm. 【答案】 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝8 cm，OB＝OD，OA＝OC， ∵AC⊥BC， ∴AC＝＝＝6(cm)， ∴OC＝AC＝3(cm)， ∴OB＝＝＝(cm). 5.如图，▱ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是________． 【答案】1＜a＜7 【解析】如题图所示,∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝AC＝4，OD＝BD＝3， 在△AOD中，由三角形的三边关系， 得4－3＜AD＜4＋3.即1＜a＜7. 6.如图，▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O，EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F，连接EC. (1)求证：OE＝OF； (2)若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长． 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD＝OB，DC∥AB， ∴∠FDO＝∠EBO， 在△DFO和△BEO中， ∠FDO＝∠EBO，OD＝OB，∠FOD＝∠EOB， ∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴OE＝OF. (2)解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC， ∵EF⊥AC， ∴AE＝CE， ∵△BEC的周长是10， ∴BC＋BE＋CE＝BC＋BE＋AE＝BC＋AB＝10， ∴▱ABCD的周长＝2(BC＋AB)＝20. 7.如图，▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF. (1)根据题意，补全图形； (2)求证：BE＝DF. 【答案】(1)解：如图所示. (2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD交于点O， ∴OB＝OD，OA＝OC. 又∵E，F分别是OA,OC的中点， ∴OE＝OA，OF＝OC， ∴OE＝OF. ∵在△BEO与△DFO中， OE＝OF，∠BOE＝∠DOF，OB＝OD， ∴△BEO≌△DFO(SAS)， ∴BE＝DF. 二、平行四边形的对角相等 1.如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(　　) A.66° B.104° C.114° D.124° 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， 由折叠的性质，得∠BAC＝∠B′AC， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°， ∴∠B＝180°－∠2－∠BAC＝180°－44°－22°＝114°. 故选C. 2.如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BCE＝42°，则∠D度数是(　　) A.42° B.48° C.58° D.138° 【答案】B 【解析】∵CE⊥AB，∠BCE＝42°， ∴∠B＝48°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B＝48°. 故选B. 3.在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶2，则∠D等于(　　) A.36° B.108° C.72° D.60° 【答案】B 【解析】在▱ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶3∶2∶3， 设∠A=∠C=2x，则∠B=∠D=3x, 得到2x＋3x＋2x＋3x＝360°， 解得x＝36°， 则∠D＝108°. 故选B. 4.如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠AED的度数是________度． 【答案】85 【解析】∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD， ∴∠EAD＝∠AEB， 又∵AB＝AE， ∴∠B＝∠AEB， ∴∠B＝∠EAD， 在△ABC和△EAD中，AB＝EA，∠ABC＝∠EAD，BC＝AD， ∴△ABC≌△EAD(SAS)， ∴∠AED＝∠BAC. ∵AE平分∠DAB， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB＝∠B， ∴△ABE为等边三角形， ∴∠BAE＝60°， ∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝85°， ∴∠AED＝∠BAC＝85°. 5.如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D′，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D′AD＝__________. 【答案】55° 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠C， 由折叠的性质，得∠D′AE＝∠C， ∴∠D′AE＝∠BAD， ∴∠D′AD＝∠BAE＝55°. 6.如图，如果▱ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求▱ABCD的内角∠D，∠BAD的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD， ∵EA平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB， ∵AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B＝∠AEB， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠B＝∠D＝60°，∠C＝∠BAD＝120°. 7.如图，在▱ABCD中，E是BC上的一点，且AB＝BE，AE，DC的延长线相交于点F，∠F＝62°，求∠D的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠F＝62°， ∵AB＝BE， ∴∠AEB＝∠BAE＝62°， ∴∠B＝180°－2×62°＝56°， ∴∠D＝56°. 三、求周长或面积 1.如图，若▱ABCD的周长为36 cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm，▱ABCD的面积为(　　) A.40 cm2 B.32 cm2 C.36 cm2 D.50 cm2 【答案】A 【解析】∵▱ABCD的周长为36 cm， ∴AB＋BC＝18 (cm)， ∵过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm， ∴4AB＝5BC， AB+AB=18(cm)，解得AB＝10 cm，BC＝8 cm， ∴▱ABCD的面积为AB·DE＝40 (cm2)． 故选A. 2.观察如图中的三个平行四边形，你认为说法正确的是（　　） A.它们形状相同，面积相等 B.它们形状相同，面积不相等 C.它们形状不相同，面积相等 D.它们形状不相同，面积不相等 【答案】C 【解析】图中三个平行四边形的形状不相同，但面积均为：3×5=15（cm2）， 故选：C． 3.如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD，若CE＝3 cm，AB＝4 cm，则▱ABCD的周长是(　　) A.20 cm B.21 cm C.22 cm D.23 cm 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝DC，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵AE平分∠BCD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴BE＝AB＝4 cm， ∴BC＝BE＋CE＝7(cm)， ∴▱ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝2×(4＋7)＝22(cm)；故选C. 4.一根8米长的铜丝围成一个平行四边形，使长边和短边的比是5∶3，则长边的长是________米． 【答案】2.5 【解析】设长边和短边长分别为5x米,3x米， ∴2(5x＋3x)＝8，解得x＝0.5， ∴5 x=5×0.5=2.5（米）， ∴长边的长是2.5米． 5.平行四边形的周长为36 cm，相邻两边的比为1∶2，则它的两邻边长分别是________． 【答案】6 cm,12 cm 【解析】∵平行四边形的周长为36 cm， ∴AB＋BC＝36÷2＝18(cm)， ∵AB∶BC＝1∶2， ∴AB＝6（cm），BC＝12(cm). 6.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E. (1)求证：BE＝CD； (2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AEB＝∠DAE， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE，∴BE＝CD. (2)解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝4， ∵BF⊥AE， ∴AF＝EF＝2， ∴BF＝＝＝2， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E， 在△ADF和△ECF中，∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，AF＝EF， ∴△ADF≌△ECF(AAS)， ∴△ADF的面积＝△ECF的面积， ∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝AE·BF＝×4×2＝4. 7.如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝2 cm2，S△BQC＝8 cm2，求阴影部分的面积. 【答案】解：连接EF， ∵F是▱ABCD的边CD上的点， ∴BE∥CF， ∴∠EBF=∠CFB，∠BEC=∠FCE， ∵BQ=FQ， ∴△EBQ≌△CFQ， ∴EQ=CQ， ∴四边形EBCF是平行四边形， ∴S△BEF＝2S△BQC＝16 cm2， ∵S△AED=S△AEF， ∴S△APD＝S△EPF＝2 cm2， ∴S阴影＝S△EPF+S△EBF＝18(cm2). 四、求边长或坐标 1.在▱ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为(　　) A.3 B.5 C.2或3 D.3或5 【答案】D 【解析】①如图1，在▱ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB， ∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC， ∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC， ∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF， ∴AB＝BE，CF＝CD，∵EF＝2， ∴BC＝BE＋CF－EF＝2AB－EF＝8， ∴AB＝5； ②在▱ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB， ∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC， ∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC， ∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF， ∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF， ∴AB＝BE，CF+EF＝CD， ∵EF＝2， ∴BC＝BE＋CF+EF＝2AB＋EF＝8，∴AB＝3. 综上所述AB的长为3或5. 故选D. 2.如图，▱ABCD的边BC在x轴的负半轴上，点B与原点O重合，DE⊥AB，交BA的延长线于点E，已知∠ABC=60°，AB=4，BC=6，则点E的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，过点E作EF⊥y轴于点F， 则∠EFO=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC=6，AD∥BC， ∴∠EAD=∠ABC=60°， ∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°， ∴∠ADE=90°-∠EAD=30°， ∴AE=AD=3， ∴BE=AB+AE=4+3=7， ∵∠EOF=90°-∠ABC=30°， ∴EF=OE=， ∴OF===， ∴点E的坐标为（-,）， 故选：C． 3.如图，▱ABCD的顶点坐标分别为A(1,4)，B(1,1)，C(5,2)，则点D的坐标为(　　) A.(5,5) B.(5,6) C.(6,6) D.(5,4) 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵A(1,4)，B(1,1)，C(5,2)， ∴AB＝3， ∴点D的坐标为(5,5)． 故选A. 4.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝__________. 【答案】 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD， ∴∠GCE＝∠B＝60°， ∵E是BC的中点，∴CE＝BE＝2， ∵EF⊥AB， ∴EF⊥DG， ∴∠G＝90°， 又∵∠CEG=∠G-∠GCE=30°， ∴CG＝CE＝1， ∴EG＝＝=，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4， ∴DE＝＝＝. 5.如图，平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝6，AB＝5，则AE的长为________． 【答案】8 【解析】连接EF，AE与BF交于点O， 如图，∵AB＝AF，AO平分∠BAD， ∴AO⊥BF，BO＝FO＝BF＝3， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AF∥BE，∴∠1＝∠3， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∴AB＝EB，而BO⊥AE， ∴AO＝OE， 在Rt△AOB中，AO＝＝4， ∴AE＝2AO＝8. 6.如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF=DE=5，BE=24，求BC的长. 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE， ∵AF⊥BE， ∴BE=2BF， ∴BF=12， ∴AB===13， ∴AE=AB=13， ∴BC=AD=AE+DE=13+5=18. 7.如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF. (1)求证：DE＝CF； (2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC. 又∵F是AD的中点， ∴FD＝AD.∵CE＝BC， ∴FD＝CE. 又∵FD∥CE， ∴四边形CEDF是平行四边形． ∴DE＝CF. (2)过D作DG⊥CE于点G.如图所示， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，CD＝AB＝4，BC＝AD＝6. ∴∠DCE＝∠B＝60°. 在Rt△CDG中，∠DGC＝90°， ∴∠CDG＝30°， ∴CG＝CD＝2. 由勾股定理得DG＝＝2. ∵CE＝BC＝3， ∴GE＝1. 在Rt△DEG中，∠DGE＝90°， ∴DE＝＝. ∴AF∥CE. 学科网（北京）股份有限公司 $$